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  • 2021-11-06 发布

备战2021年九年级中考复习数学考点训练——几何专题:《圆的综合》(四)

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备战 2021 年九年级中考数学考点训练——几何专题: 《圆的综合》(四) 1.(1)初步思考: 如图 1,在△PCB 中,已知 PB=2,BC=4,N 为 BC 上一点且 BN=1,试证明:PN= PC (2)问题提出: 如图 2,已知正方形 ABCD 的边长为 4,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个动点,求 PD+ PC 的最小值. (3)推广运用: 如图 3,已知菱形 ABCD 的边长为 4,∠B=60°,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个 动点,求 PD﹣ PC 的最大值. 2.如图,AB 是⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BM,点 C 为 BM 上一点,连接 AC 与⊙O 交 于点 D,E 为⊙O 上一点,且满足∠EAC=∠ACB,连接 BD,BE. (1)求证:∠ABE=2∠CBD; (2)过点 D 作 AB 的垂线,垂足为 F,若 AE=6,BF= ,求⊙O 的半径长. 3.如图,△ABC 中,以 AB 为直径作⊙O,交 BC 于点 D,E 为弧 BD 上一点,连接 AD、DE、AE, 交 BD 于点 F. (1)若∠CAD=∠AED,求证:AC 为⊙O 的切线; (2)若 DE2=EF•EA,求证:AE 平分∠BAD; (3)在(2)的条件下,若 AD=4,DF=2,求⊙O 的半径. 4.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,4),点 B 是 x 轴正半轴上一点,连接 AB,过点 A 作 AC⊥AB,交 x 轴于点 C,点 D 是点 C 关于点 A 的对称点,连接 BD,以 AD 为直径作⊙Q 交 BD 于点 E,连接并延长 AE 交 x 轴于点 F,连接 DF. (1)求线段 AE 的长; (2)若 AB﹣BO=2,求 tan∠AFC 的值; (3)若△DEF 与△AEB 相似,求 EF 的值. 5.如图,在△ABC 中,AB=AC,⊙O 是△ABC 的外接圆,连结 OA、OB、OC,延长 BO 与 AC 交于点 D,与⊙O 交于点 F,延长 BA 到点 G,使得∠BGF=∠GBC,连接 FG. (1)求证:FG 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 4. ①当 OD=3,求 AD 的长度; ②当△OCD 是直角三角形时,求△ABC 的面积. 6.如图①,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=9,点 E 是 BC 边上一动点,连接 AE、DE,作△ECD 的外接⊙O,交 AD 于点 F,交 AE 于点 G,连接 FG. (1)求证△AFG∽△AED; (2)当 BE 的长为 时,△AFG 为等腰三角形; (3)如图②,若 BE=1,求证:AB 与⊙O 相切. 7.如图 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,P 是斜边 AC 上一个动点,以 BP 为直径作⊙O 交 BC 于 点 D,与 AC 的另一个交点 E,连接 DE. (1)当 时, ①若 =130°,求∠C 的度数; ②求证 AB=AP; (2)当 AB=15,BC=20 时 ①是否存在点 P,使得△BDE 是等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的 CP 的长; ②以 D 为端点过 P 作射线 DH,作点 O 关于 DE 的对称点 Q 恰好落在∠CPH 内,则 CP 的取 值范围为 .(直接写出结果) 8.已知:△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 为直径,AC=BC,D、E 是⊙O 上两点,连接 AD、 DE、AE. (1)如图 1,求证:∠AED﹣∠CAD=45°; (2)如图 2,若 DE⊥AB 于点 H,过点 D 作 DG⊥AC 于点 G,过点 E 作 EK⊥AD 于点 K,交 AC 于点 F,求证:AF=2DG; (3)如图 3,在(2)的条件下,连接 DF、CD,若∠CDF=∠GAD,DK=3,求⊙O 的半径. 9.如图 1,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是直径,D 是⊙O 外一点且满足∠DCA=∠B,连接 AD. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若 AD⊥CD,AB=10,AD=8,求 AC 的长; (3)如图 2,当∠DAB=45°时,AD 与⊙O 交于 E 点,试写出 AC、EC、BC 之间的数量关 系并证明. 10.如图,四边形 ABCD 为菱形,以 AD 为直径作⊙O 交 AB 于点 F,连接 DB 交⊙O 于点 H,E 是 BC 上的一点,且 BE=BF,连接 DE. (1)求证:△DAF≌△DCE. (2)求证:DE 是⊙O 的切线. (3)若 BF=2,DH= ,求四边形 ABCD 的面积. 参考答案 1.(1)证明:如图 1, ∵PB=2,BC=4,BN=1, ∴PB2=4,BN•BC=4. ∴PB2=BN•BC. ∴ = . 又∵∠B=∠B, ∴△BPN∽△BCP. ∴ = = . ∴PN= PC; (2)如图 2,在 BC 上取一点 G,使得 BG=1, (3)同(2)中证法,如图 3, 取 BG=1, 当点 P 在 DG 的延长线上时,PD﹣ PC 的最大值,最大值为 . 2.解:(1)∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°,即∠DAB+∠DBA=90°, ∵BM 是⊙O 的切线, ∴AB⊥BC, ∴∠ABC=90°,即∠CBD+∠DBA=90°, ∴∠DAB=∠CBD, ∵∠ABC=90°, ∴∠ACB=90°﹣∠BAC, ∵∠EAC=∠ACB, ∴∠EAC=90°﹣∠BAC =90°﹣(∠EAC﹣∠BAE), ∴∠BAE=2∠EAC﹣90°, ∵AB 是直径, ∴∠AEB=90°, ∴∠ABE=90°﹣∠BAE =90°﹣(2∠EAC﹣90°) =2(90°﹣∠EAC) =2(90°﹣∠ACB) =2∠CAB =2∠CBD. ∴∠ABE=2∠CBD; (2)如图,连接 DO 并延长交 AE 于点 G, ∵∠DOB=2∠BAD, ∠ABE=2∠CAB, ∴∠DOB=∠ABE, ∴DG∥BE, ∴∠AGO=∠AEB=90°, ∴AG=EG= AE=3, ∠AOG=∠DOF, OA=OD, ∴△AOG≌△DOF(AAS) ∴DF=AG=3, 又 OF=OB﹣BF=OD﹣ , 在 Rt△DOF 中,根据勾股定理,得 OD2=DF2+OF2, 即 OD2=32+(OD﹣ )2, 解得 OD= . 答:⊙O 的半径长为 . 3.证明:(1)∵AB 是直径, ∴∠BDA=90°, ∴∠DBA+∠DAB=90°, ∵∠CAD=∠AED,∠AED=∠ABD, ∴∠CAD=∠ABD, ∴∠CAD+∠DAB=90°, ∴∠BAC=90°, 即 AB⊥AC,且 AO 是半径, ∴AC 为⊙O 的切线; (2)∵DE2=EF•EA, ∴ ,且∠DEF=∠DEA, ∴△DEF∽△AED, ∴∠EDF=∠DAE, ∵∠EDF=∠BAE, ∴∠BAE=∠DAE, ∴AE 平分∠BAD; (3)如图,过点 F 作 FH⊥AB,垂足为 H, ∵AE 平分∠BAD,FH⊥AB,∠BDA=90°, ∴DF=FH=2, ∵S△ABF= AB×FH= ×BF×AD, ∴2AB=4BF, ∴AB=2BF, 在 Rt△ABD 中,AB2=BD2+AD2, ∴(2BF)2=(2+BF)2+16, ∴BF= ,BF=﹣2(不合题意舍去) ∴AB= , ∴⊙O 的半径为 . 4.解:(1)∵点 A(0,4), ∴AO=4, ∵AD 是⊙Q 的直径, ∴∠AEB=∠AED=90°, ∴∠AEB=∠AOB=90°, ∵BA 垂直平分 CD, ∴BC=BD ∴∠ABO=∠ABE 在△ABE 和△ABO 中, , ∴△ABE≌△ABO(AAS) ∴AE=AO=4; (2)设 BO=x,则 AB=x+2, 在 Rt△ABO 中,由 AO2+OB2=AB2 得:42+x2=(x+2)2, 解得:x=3, ∴OB=BE=3,AB=5, ∵∠EAB+∠ABE=90°,∠ACB+∠ABC=90°, ∴∠EAB=∠ACB, ∵∠BFA=∠AFC, ∴△BFA∽△AFC ∴ = = , 设 EF=x,则 AF=4+x,BF= (4+x), ∵在 Rt△BEF 中,BE2+EF2=BF2, ∴32+x2=[ (4+x)]2, 解得:x= ,即 EF= , ∴tan∠AFC= = = ; (3)①当△DEF∽△AEB 时,∠BAE=∠FDE, ∴∠ADE=∠FDE, ∴BD 垂直平分 AF, ∴EF=AE=4; ②当△DEF∽△BEA 时,∠ABE=∠FDE, ∴AB∥DF, ∴∠ADF=∠CAB=90°, ∴DF 相切⊙Q, ∴∠DAE=∠FDE, 设⊙Q 交 y 轴于点 G,连接 DG,作 FH⊥DG 于 H,如图所示: 则∠FDH=∠DAG,四边形 OGHF 是矩形, ∴OG=FH, ∵△ABE≌△ABO, ∴∠OAB=∠EAB, ∵AB⊥AD, ∴∠DAE=∠CAO, ∵∠CAO=∠DAE, ∴∠DAE=∠DAE, ∴∠DAE=∠DAG=∠FDE=∠FDH, ∴AG=AE=4, ∴EF=FH=OG=AO+AG=4+4=8, 综上所述,若△DEF 与△AEB 相似,EF 的值为 4 或 8. 5.(1)证明:连接 AF, ∵BF 为⊙O 的直径, ∴∠BAF=90°,∠FAG=90°, ∴∠BGF+∠AFG=90°, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵∠ACB=∠AFB,∠BGF=∠ABC, ∴∠BGF=∠AFB, ∴∠AFB+∠AFG=90°,即∠OFG=90°, 又∵OF 为半径, ∴FG 是⊙O 的切线; (2)解:①连接 CF,则∠ACF=∠ABF, ∵AB=AC,AO=AO,BO=CO, ∴△ABO≌△ACO(SSS), ∴∠ABO=∠BAO=∠CAO=∠ACO, ∴∠CAO=∠ACF, ∴AO∥CF, ∴ = , ∵半径是 4,OD=3, ∴DF=1,BD=7, ∴ = =3,即 CD= AD, ∵∠ABD=∠FCD,∠ADB=∠FDC, ∴△ADB∽△FDC, ∴ = , ∴AD•CD=BD•DF, ∴AD•CD=7,即 AD2=7, ∴AD= (取正值); ②∵△ODC 为直角三角形,∠DCO 不可能等于 90°, ∴存在∠ODC=90°或∠COD=90°, 当∠ODC=90°时, ∵∠ACO=∠ACF, ∴OD=DF=2,BD=6, ∴AD=CD, ∴AD•CD=AD2=12, ∴AD=2 ,AC=4 , ∴S△ABC= ×4 ×6=12 ; 当∠COD=90°时, ∵OB=OC=4, ∴△OBC 是等腰直角三角形, ∴BC=4 , 延长 AO 交 BC 于点 M, 则 AM⊥BC, ∴MO=2 , ∴AM=4+2 , ∴S△ABC= ×4 ×(4+2 )=8 +8, ∴△ABC 的面积为 12 或 8 +8. 6.(1)证明:∵四边形 FGED 是⊙O 的内接四边形, ∴∠FGE+∠ADE=180°, ∵∠AGF+∠FGE=180°, ∴∠AGF=∠ADE, 又∠GAF=∠DAE, ∴△AFG∽△AED; (2)解:由(1)得:△AFG∽△AED, ∴当△AED 为等腰三角形时,△AFG 为等腰三角形, 连接 EF,如图①所示: ∵四边形 ABCD 是矩形,AB=6,BC =9, ∴CD=AB=6,AD=BC=9,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∵⊙O 是△ECD 的外接圆,∠ECD=90°, ∴DE 是⊙O 的直径, ∴∠DFE=90°, ∴∠AFE=180°﹣∠DFE=180°﹣90°=90°, ∴∠BAF=∠ABE=∠AFE=90°, ∴四边形 ABEF 是矩形, ∴AF=BE,EF=AB=6, △AED 为等腰三角形,分三种情况: ①当 AE=DE 时, ∵∠DFE=90°, ∴AF=DF= AD= ×9= , ∴BE=AF= ; ②当 DE=AD=9 时, 在 Rt△DCE 中,由勾股定理得:CE= = =3 , ∴BE=BC﹣CE=9﹣3 ; ③当 AE=AD=9 时, 在 Rt△ABE 中,由勾股定理得:BE= = =3 ; 综上所述,当 BE 的长为 或 9﹣3 或 3 时,△AFG 为等腰三角形, 故答案为: 或 9﹣3 或 3 ; (3)证明:过 O 作 OH⊥AB 于点 H,反向延长 OH 交 CD 于点 I,如图②所示: 则∠AHI=90°, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴CD=AB=6,∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°, ∴∠AHI=∠BAD=∠ADC=90°, ∴四边形 AHID 为矩形, ∴HI=AD=9,∠OID=90°, ∴∠ECD=∠OID, ∴OI∥CE, ∵∠BCD=90°, ∴DE 为直径, ∴OD=OE, ∴OI 是△DCE 的中位线, ∴DI= CD=3,OI= EC, ∵BE=1,BC=9, ∴EC=8, ∴OI= ×8=4, ∴OH=HI﹣OI=9﹣4=5, 在 Rt△DEC 中,由勾股定理得:DE= = =10, ∴⊙O 的半径 OD=5 ∴OH 是⊙O 的半径, 又 OH⊥AB, ∴AB 与⊙O 相切. 7.(1)①解:连接 BE,如图 1 所示: ∵BP 是直径, ∴∠BEC=90°, ∵ =130°, ∴ =50°, ∵ = , ∴ =100°, ∴∠CBE=50°, ∴∠C=40°; ②证明:∵ = , ∴∠CBP=∠EBP, ∵∠ABE+∠A=90°,∠C+∠A=90°, ∴∠C=∠ABE,∵∠APB=∠CBP+∠C,∠ABP=∠EBP+∠ABE, ∴∠APB=∠ABP, ∴AP=AB; (2)解:①由 AB=15,BC=20, 由勾股定理得:AC= = =25, ∵ AB•BC= AC•BE, 即 ×15×20= ×25×BE ∴BE=12, 连接 DP,如图 1﹣1 所示: ∵BP 是直径, ∴∠PDB=90°, ∵∠ABC=90°, ∴PD∥AB, ∴△DCP∽△BCA, ∴ = , ∴CP= = = CD, △BDE 是等腰三角形,分三种情况: 当 BD=BE 时,BD=BE=12, ∴CD=BC﹣BD=20﹣12=8, ∴CP= CD= ×8=10; 当 BD=ED 时,可知点 D 是 Rt△CBE 斜边的中线, ∴CD= BC=10, ∴CP= CD= ×10= ; 当 DE=BE 时,作 EH⊥BC,则 H 是 BD 中点,EH∥AB,如图 1﹣2 所示: AE= = =9, ∴CE=AC﹣AE=25﹣9=16,CH=BC﹣BH=20﹣BH, ∵EH∥AB, ∴ = , 即 = , 解得:BH= , ∴BD=2BH= , ∴CD=BC﹣BD=20﹣ = , ∴CP= CD= × =7; 综上所述,△BDE 是等腰三角形,符合条件的 CP 的长为 10 或 或 7; ②当点 Q 落在∠CPH 的边 PH 上时,CP 最小,如图 2 所示: 连接 OD、OQ、OE、QE、BE, 由对称的性质得:DE 垂直平分 OQ, ∴OD=QD,OE=QE, ∵OD=OE, ∴OD=OE=QD=QE, ∴四边形 ODQE 是菱形, ∴PQ∥OE, ∵PB 为直径, ∴∠PDB=90°, ∴PD⊥BC, ∵∠ABC=90°, ∴AB⊥BC, ∴PD∥AB, ∴DE∥AB, ∵OB=OP, ∴OE 为△ABP 中位线, ∴PE=AE=9, ∴PC=AC﹣PE﹣AE=25﹣9﹣9=7; 当点 Q 落在∠CPH 的边 PC 上时,CP 最大,如图 3 所示: 连接 OD、OQ、OE、QD, 同理得:四边形 ODQE 是菱形, ∴OD∥QE, 连接 DF, ∵∠DBA=90°, ∴DF 是直径, ∴D、O、F 三点共线, ∴DF∥AQ, ∴∠OFB=∠A, ∵OB=OF, ∴∠OFB=∠OBF=∠A, ∴PA=PB, ∵∠OBF+∠CBP=∠A+∠C=90°, ∴∠CBP=∠C, ∴PB=PC=PA, ∴PC= AC=12.5, ∴7<CP<12.5, 故答案为:7<CP<12.5. 8.(1)证明:如图 1,连接 CO,CE, ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∵AC=BC, ∴∠B=∠CAB=45°, ∴∠COA=2∠B=90°, ∵ , ∴∠CAD=∠CED, ∴∠AED﹣∠CAD=∠AED﹣∠CED=∠AEC= ∠COA=45°, 即∠AED﹣∠CAD=45°; (2)如图 2,连接 CO 并延长,交⊙O 于点 N,连接 AN,过点 E 作 EM⊥AC 于 M, 则∠CAN=90°, ∵AC=BC,AO=BO, ∴CN⊥AB, ∴AB 垂直平分 CN, ∴AN=AC, ∴∠NAB=∠CAB, ∵AB 垂直平分 DE, ∴AD=AE, ∴∠DAB=∠EAB, ∴∠NAB﹣∠EAB=∠CAB﹣∠DAB, 即∠GAD=∠NAE, ∵∠CAN=∠CME=90°, ∴AN∥EM, ∴∠NAE=∠MEA, ∴∠GAD=∠MEA, 又∵∠G=∠AME=90°,AD=EA, ∴△ADG≌△EAM(AAS), ∴AG=EM,AM=DG, 又∵∠MEF+∠MFE=90°,∠MFE+∠GAD=90°, ∴∠MEF=∠GAD, 又∵∠G=∠FME=90°, ∴△ADG≌△EFM(ASA), ∴DG=MF, ∵DG=AM, ∴AF=AM+MF=2DG; (3)∵∠CDF=∠GAD,∠FCD=∠DCA, ∴△FCD∽△DCA, ∴∠CFD=∠CDA=∠CBA, ∵AC=BC,AB 为直径, ∴△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠CFD=∠CDA=∠CBA=45°, ∴△GFD 为等腰直角三角形, 设 GF=GD=a,则 FD= a,AF=2a, ∴ = = , ∵∠FAK=∠DAG,∠AKF=∠G=90°, ∴△AFK∽△ADG, ∴ = = , 在 Rt△AFK 中, 设 FK=x,则 AK=3x, ∵FK2+AK2=AF2, ∴x2+(3x)2=(2a)2, 解得,x= a(取正值), ∴FK= a, 在 Rt△FKD 中,FK2+DK2=FD2, ∴( a)2+32=( a)2, 解得,a= (取正值), ∴GF=GD= ,AF= , ∵△FCD∽△DCA, ∴ = , ∴CD2=CA•FC, ∵CD2=CG2+GD2, ∴CG2+GD2=CA•FC, 设 FC=n, 则( ﹣n)2+( )2=( +n)n, 解得,n= , ∴AC=AF+CF= + = , ∴AB= AC= , ⊙O 的半径为 . 9.(1)证明:连接 OC,如图 1 所示: ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵OC=OB, ∴∠B=∠OCB, ∵∠DCA=∠B, ∴∠DCA=∠OCB, ∴∠DCO=∠DCA+∠OCA=∠OCB+∠OCA=∠ACB=90°, ∴CD⊥OC, ∴CD 是⊙O 的切线; (2)解:∵AD⊥CD ∴∠ADC=∠ACB=90° 又∵∠DCA=∠B ∴△ACD∽△ABC ∴ = ,即 = , ∴AC=4 , 即 AC 的长为 4 ; (3)解:AC=BC+ EC;理由如下: 在 AC 上截取 AF 使 AF=BC,连接 EF、BE,如图 2 所示: ∵AB 是直径, ∴∠ACB=∠AEB=90°, ∵∠DAB=45°, ∴△AEB 为等腰直角三角形, ∴∠EAB=∠EBA=∠ECA=45°,AE=BE, 在△AEF 和△BEC 中, , ∴△AEF≌△BEC(SAS), ∴EF=CE,∠AFE=∠BCE=∠ACB+∠ECA=90°+45°=135°, ∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣135°=45°, ∴∠EFC=∠ECF=45°, ∴△EFC 为等腰直角三角形. ∴CF= EC, ∴AC=AF+CF=BC+ EC. 10.(1)证明:如图,连接 DF, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AB=BC=CD=DA,AD∥BC,∠DAB=∠C, ∵BF=BE, ∴AB﹣BF=BC﹣BE, 即 AF=CE, ∴△DAF≌△DCE(SAS); (2)由(1)知,△DAF≌△DCE,则∠DFA=∠DEC. ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠DFA=90°,∴∠DEC=90° ∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠DEC=90°, ∴OD⊥DE, ∵OD 是⊙O 的半径, ∴DE 是⊙O 的切线; (2)解:如图,连接 AH, ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠AHD=∠DFA=90°, ∴∠DFB=90°, ∵AD=AB,DH= , ∴DB=2DH=2 , 在 Rt△ADF 和 Rt△BDF 中, ∵DF2=AD2﹣AF2,DF2=BD2﹣BF2, ∴AD2﹣AF2=DB2﹣BF2, ∴AD2﹣(AD﹣BF)2=DB2﹣BF2, ∴AD2﹣(AD﹣2)2=(2 )2﹣22, ∴AD=5. ∴AH= = =2 ∴S 四边形 ABCD=2S△ABD=2× •AH=BD•AH=2 ×2 =20.即四边形 ABCD 的面积是 20.