人教版九年级数学上册教案：23_2 中心对称（4） 6页

1 23.2 中心对称（4） 第四课时 教学内容 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y），关于原点的对称点为 P′ （-x，-y）及其运用． 教学目标 理解 P 与点 P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握 P（x，y）关于原点 的对称点为 P′（-x，-y）的运用． 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其 运用． 重难点、关键 1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）•关于原点的 对称点 P′（-x，-y）及其运用． 2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它 解决实际问题． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面三题． 1．已知点 A 和直线 L，如图，请画出点 A 关于 L 对称的点 A′． l A 2．如图，△ABC 是正三角形，以点 A 为中心，把△ADC 顺时针旋转 60°，画出旋转后 的图形． 3．如图△ABO，绕点 O 旋转 180°，画出旋转后的图形． 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 二、探索新知 （学生活动）如图，在直角坐标系中，已知 A（-3，1）、 B（-4，0）、 C（0，3）、 •D（2， 2 2）、 E（3，-3）、 F（-2，-2），作出 A、B、C、D、E、F 点关于原点 O 的中心对称点，并写出 它们的坐标，并回答： 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ -3 -3 3 O B A C -2 -2 1-1 y x3-4 D 4 2 2 1 -1 老师点评：画法：（1）连结 AO 并延长 AO （2）在射线 AO 上截取 OA′=OA （3）过 A 作 AD′⊥x 轴于 D′点，过 A′作 A′D″⊥x 轴于点 D″． ∵△AD′O 与△A′D″O 全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′（3，-1） 同理可得 B、C、D、E、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们 的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐 标之间符号又有什么特点？ 提问几个同学口述上面的问题． 老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相 等．（2）坐标符号相反，即设 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P′（-x，-y）． 例 1．如图，利用 关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段 AB•关于原点对称的图形． -3 -3 3 O B A -2 -2 1-1 y x3-4 4 2 2 1 -1 分析：要作出线段 AB 关于原点的对称线段，只要作出点 A、点 B 关于原点的对称点 A′、 B′即可． 解：点 P（x，y）关于原点的对称点为 P′（-x，-y）， 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P′（-x，-y）． 3 因此，线段 AB 的两个端点 A（0，-1）， B（3，0）关于原点的对称点分别为 A′（1，0）， B（-3，0）． 连结 A′B′． 则就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 A′B′． （学生活动）例 2．已知△ABC，A（1，2）， B（-1，3）， C（-2，4）利用关于原点对称 的点的坐标的特点，作出△ABC 关于原点对称的图形． 老师点评分析：先在直角坐标系中画出 A、B、C 三点并连结组成△ABC，要作出△ABC 关于原点 O 的对称三角形，只需作出△ABC 中的 A、B、C 三点关于原点的对称点，•依次连 结，便可得到所求作的△A′B′C′． 三、巩固练习 教材 练习． 四、应用拓展 例 3．如图，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到直线 A1B1． （1）在图中画出直线 A1B1． （2）求出线段 A1B1 中点的反比例函数解析式． （3）是否存在另一条与直线 AB 平行的直线 y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜 率 k 值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说 明理由． -3 -3 3 O B A -2 -2 1-1 y x3-4 4 2 2 1 -1 分析：（1）只需画出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90°得到的点 A1、B1，连结 A1B1． （2）先求出 A1B1 中点的坐标，设反比例函数解析式为 y= k x 代入求 k． （3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这 一条直线是存在的，因此 A1B1 与双曲线是相切的，只要我们通过 A1B1 的线段作 A1、B1 关 于原点的对称点 A2、B2，连结 A2B2 的直线就是我们所求的直线． 解：（1）分别作出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90°得到的点 A1（1，0）， B1（2，0）， 连结 A1B1，那么直线 A1B1 就是所求的． （2）∵A1B1 的中点坐标是（1， 1 2 ） 设所求的反比例函数为 y= 则 = 1 k ，k= 4 ∴所求的反比例函数解析式为 y= 1 2 x （3）存在． ∵设 A1B1：y=k′x+b′过点 A1（0，1）， B1（2，0） ∴ 1` 02 b kb    ∴ `1 1` 2 b k   ∴y=- 1 2 x+1 把线段 A1B1 作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点 P（x，y）关于原点的对称点 P′（-x，-y）得： A1（0，1）， B1（2，0）关于原点的对称点分别为 A2（0，-1）， B2（-2，0） ∵A2B2：y=kx+b ∴ 1 0 2 ` b kb      ∴ 1 2 1 k b     ∴A2B2：y=- x-1 下面证明 y=- x-1 与双曲线 y= 相切 1 12 1 2 yx y x        - x-1= x+2=- 1 x x2+2x+1=0，b2-4ac=4-4×1×1=0 ∴直线 y=- x-1 与 y= 相切 ∵A1B1 与 A2B2 的斜率 k 相等 ∴A2B2 与 A1B1 平行 ∴A2B2：y=- x-1 为所求． 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）， •关于原点的对称点 P′ （-x，-y），及其利用这些特点解决一些实际问题． 六、布置作业 1．教材 复习巩固 3、4． 5 2．选用作业设计． 作业设计 一、选择题 1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ） A．y= 1 x B．y=2x+1 C．y=-2x+1 D．以上三种都不可能 2．如图，已知矩形 ABCD 周长为 56cm，O 是对称线交点，点 O 到矩形两条邻边的距离之差等 于 8cm，则矩形边长中较长的一边等于（ ） O B A C D A．8cm B．22cm C．24cm D．11cm 二、填空题 1．如果点 P（-3，1），那么点 P（-3，1）关于原点的对称点 P′的坐标是 P′_______． 2．写出函数 y=- 3 x 与 y= 具有的一个共同性质________（用对称的观点写）． 三、综合提高题 1．如图，在平面直角坐标系中，A（-3，1）， B（-2，3）， C（0，2），画出△ABC•关于 x 轴 对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于 y 轴对称的△A″B″C″，那么△A″B″C″ 与△ABC 有什么关系，请说明理由． -3 -3 3B A C -2 -2 1-1 y x3-4 4 2 2 1 -1 O 2．如图，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，且 A（0，3）， B（3，0），现将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到直线 A1B1． （1）在图中画出直线 A1B1； （2）求出过线段 A1B1 中点的反比例函数解析式； （3）是否存在另一条与直线 A1B1 平行的直线 y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线 斜率 k 相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不 存在的理由． 6 -3 -3 3 B A -2 -2 1-1 y x3-4 4 2 2 1 -1 O 答案: 一、1．A 2．B 二、1．（ 3，-1） 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形． 三、1．画图略，△A″B″C″与△ABC 的关系是关于原点对称． 2．（ 1）如右图所示，连结 A1B1； （2）A1B1 中点 P（1.5，-1.5），设反比例函数解析式为 y= k x ，则 y=- 2.25 x ． （3）A1B1：设 y=k1x+b1 1 1 3 0 3 3 b k    1 1 1 3 k b    ∴y=x+3 ∵与 A1B1 直线平行且与 y= 相切的直线是 A1B1•旋转而得到的． ∴所求的直线是 y=x+3， 下面证明 y=x+3 与 y=- 相切， 3 2.25 yx y x   x2+3x+2.25=0，b2-4ac=9-4×1×2.25=0， ∴y=x+3 与 y=- 相切． -3 -3 3 B(A) B A -2 -2 1-1 y x3-4 4 2 2 1 -1 O