人教版九年级数学上册教案：24_1 圆（3） 6页

1 24.1 圆(第 3 课时) 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对 的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条 弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对 的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予 逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决 一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们 所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的 位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解 决的问题． 二、探索新知 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门，•设球员们只能在 EF 所 在的⊙O 其它位置射门，如图所示的 A、B、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、 ∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2 O B A C 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半． 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC 的一边 BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2 ∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两侧，那 么∠ABC= ∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结 BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是 △BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ ABC． （3）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直 径 OD 的同侧，那么∠ABC= ∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠ COD=2∠CBO， 而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半， 因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（ 3），我们可以总结归纳出圆周角定理： O B A C D 3 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目． 例 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大 小有什么关系？为什么？ 分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个△ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点，•只要连结 AD 证明 AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD 理由是：如图 24-30，连接 AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习 1．教材 思考题． 2．教材 练习． 四、应用拓展 例 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的对边分别设为 a，b，c，⊙O 半 径为 R，求证： sin a A = sin b B = sin c C =2R． 分析：要证明 = = =2R，只要证明 =2R， =2R， =2R， 即 sinA= 2 a R ，sinB= 2 b R ，sinC= 2 c R ，因此，十分明显要在直角三角形中进行． 证明：连接 CO 并延长交⊙O 于 D，连接 DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 Rt△DBC 中，sinD= BC DC ，即 2R= 同理可证： =2R， =2R 4 ∴ sin a A = sin b B = sin c C =2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念； 2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所 对的圆心角的一半； 3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业 1．教材 综合运用 9、10、11 拓广探索 12、13． 2．选用课时作业设计． 第三课时作业设计 一、选择题 1．如图 1，A、B、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A．140° B．110° C．120° D．130° 2 1 4 3 OB A C D (1) (2) (3) 2．如图 2，∠1、∠2、∠3、∠4 的大小关系是（ ） A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2 C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2 3．如图 3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB⊥AD，若 OB=5，且∠CAD=30°，则 BC 等于 （ ）． A．3 B．3+ 3 C．5- 1 2 D．5 5 二、填空题 1．半径为 2a 的⊙O 中，弦 AB 的长为 2 3 a，则弦 AB 所对的圆周角的度数是________． 2．如图 4，A、B 是⊙O 的直径，C、D、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．• O BA C 2 1 E D (4) (5) 3．如图 5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______． 三、综合提高题 1．如图，弦 AB 把圆周分成 1：2 的两部分，已知⊙O 半径为 1，求弦长 AB． O BA 2．如图，已知 AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若 BC=4cm，求⊙O 的面积． O B A C P 3．如 图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为（0，4）， M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心 C 的坐标． OB A C y xM 6 答案: 一、1．D 2．B 3．D 二、1．120°或 60° 2．90° 3． 3 3 三、1． 3 2．（ 1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°， 又 AB AC ，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形． （2）解：连结 OC，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D， 在 Rt△ODC 中，DC=2，∠OCD=30°， 设 OD=x，则 OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 4 3 3．（ 1）略 （2）4，（ -2 ，2）