• 241.73 KB
  • 2021-11-06 发布

2019年湖南省岳阳市中考数学试卷含答案

  • 26页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2019年湖南省岳阳市中考数学试卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分.在每道小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项)‎ ‎1.(3分)﹣2019的绝对值是(  )‎ A.2019 B.﹣2019 C.‎1‎‎2019‎ D.‎‎-‎‎1‎‎2019‎ ‎2.(3分)下列运算结果正确的是(  )‎ A.3x﹣2x=1 B.x3÷x2=x ‎ C.x3•x2=x6 D.x2+y2=(x+y)2‎ ‎3.(3分)下列立体图形中,俯视图不是圆的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(3分)如图,已知BE平分∠ABC,且BE∥DC,若∠ABC=50°,则∠C的度数是(  )‎ A.20° B.25° C.30° D.50°‎ ‎5.(3分)函数y‎=‎x+2‎x中,自变量x的取值范围是(  )‎ A.x≠0 B.x>﹣2 C.x>0 D.x≥﹣2且x≠0‎ ‎6.(3分)甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是S甲2=1.2,S乙2=1.1,S丙2=0.6,S丁2=0.9,则射击成绩最稳定的是(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎7.(3分)下列命题是假命题的是(  )‎ A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形 ‎ B.同角(或等角)的余角相等 ‎ C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ‎ D.正方形的对角线相等,且互相垂直平分 ‎8.(3分)对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是(  )‎ A.c<﹣3 B.c<﹣2 C.c‎<‎‎1‎‎4‎ D.c<1‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)‎ ‎9.(4分)因式分解:ax﹣ay=   .‎ ‎10.(4分)2018年12月26日,岳阳三荷机场完成首航.至此,岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成.机场以2020年为目标年,计划旅客年吞吐量为600000人次.数据600000用科学记数法表示为   .‎ ‎11.(4分)分别写有数字‎1‎‎3‎、‎2‎、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片,从中任意抽取一张,抽到无理数的概率是   .‎ ‎12.(4分)若一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形的边数为   .‎ ‎13.(4分)分式方程‎1‎x‎=‎‎2‎x+1‎的解为x=   .‎ ‎14.(4分)已知x﹣3=2,则代数式(x﹣3)2﹣2(x﹣3)+1的值为   .‎ ‎15.(4分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”其意思为:今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺.问每日各织多少布?根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布   尺.‎ ‎16.(4分)如图,AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线PE,切点为M,过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接AM,则下列结论正确的是   .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①AM平分∠CAB;‎ ‎②AM2=AC•AB;‎ ‎③若AB=4,∠APE=30°,则BM的长为π‎3‎;‎ ‎④若AC=3,BD=1,则有CM=DM‎=‎‎3‎.‎ 三、解答题(本大题共8小题,满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(6分)计算:(‎2‎‎-‎1)0﹣2sin30°+(‎1‎‎3‎)﹣1+(﹣1)2019‎ ‎18.(6分)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为AD、CD边上的点,DE=DF,求证:∠1=∠2.‎ ‎19.(8分)如图,双曲线y‎=‎mx经过点P(2,1),且与直线y=kx﹣4(k<0)有两个不同的交点.‎ ‎(1)求m的值.‎ ‎(2)求k的取值范围.‎ ‎20.(8分)岳阳市整治农村“空心房”新模式,获评全国改革开放40年地方改革创新40案例.据了解,我市某地区对辖区内“空心房”进行整治,腾退土地1200亩用于复耕和改造,其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩.‎ ‎(1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩?‎ ‎(2)该地区对需改造的土地进行合理规划,因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场,要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的‎1‎‎3‎,求休闲小广场总面积最多为多少亩?‎ ‎21.(8分)为了庆祝中华人民共和国成立70周年,某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛,某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分,得分为正整数且无满分,最低为75分)分成五组,并绘制了下列不完整的统计图表.‎ 分数段 频数 频率 ‎74.5~79.5‎ ‎2‎ ‎0.05‎ ‎79.5~84.5‎ m ‎0.2‎ ‎84.5~89.5‎ ‎12‎ ‎0.3‎ ‎89.5~94.5‎ ‎14‎ n ‎94.5~99.5‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎(1)表中m=   ,n=   ;‎ ‎(2)请在图中补全频数直方图;‎ ‎(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数,据此推测他的成绩落在   分数段内;‎ ‎(4)选拔赛中,成绩在94.5分以上的选手,男生和女生各占一半,学校从中随机确定2名选手参加全市决赛,请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.‎ ‎22.(8分)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上,参考数据:sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)‎ ‎(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)‎ ‎(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.‎ ‎23.(10分)操作体验:如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合),过点P分别作直线BE、BF的垂线,垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.‎ ‎(1)如图1,求证:BE=BF;‎ ‎(2)特例感知:如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长;‎ ‎(3)类比探究:若DE=a,CF=b.‎ ‎①如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明;‎ ‎②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)‎ ‎24.(10分)如图1,△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1:y‎=‎‎1‎‎3‎x2‎+‎‎7‎‎3‎x的图象上,点A的横坐标为﹣4,点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)‎ ‎(1)求点A、B的坐标;‎ ‎(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',抛物线F2:y=ax2+bx+4经过A'、B'两点,已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点,且点A'恰好在以OM为直径的圆上,连接OM、A'M,求△OA'M的面积;‎ ‎(3)如图2,延长OB'交抛物线F2于点C,连接A'C,在坐标轴上是否存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎2019年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分.在每道小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项)‎ ‎1.(3分)﹣2019的绝对值是(  )‎ A.2019 B.﹣2019 C.‎1‎‎2019‎ D.‎‎-‎‎1‎‎2019‎ ‎【解答】解:﹣2019的绝对值是:2019.‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)下列运算结果正确的是(  )‎ A.3x﹣2x=1 B.x3÷x2=x ‎ C.x3•x2=x6 D.x2+y2=(x+y)2‎ ‎【解答】解:A、3x﹣2x=x,故此选项错误;‎ B、x3÷x2=x,正确;‎ C、x3•x2=x5,故此选项错误;‎ D、x2+2xy+y2=(x+y)2,故此选项错误;‎ 故选:B.‎ ‎3.(3分)下列立体图形中,俯视图不是圆的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:A、圆柱的俯视图是圆;故本项不符合题意;‎ B、圆锥的俯视图是圆;故本项不符合题意;‎ C、立方体的俯视图是正方形;故本项符合题意;‎ D、球的俯视图是圆;故本项不符合题意.‎ 故选:C.‎ ‎4.(3分)如图,已知BE平分∠ABC,且BE∥DC,若∠ABC=50°,则∠C的度数是(  )‎ A.20° B.25° C.30° D.50°‎ ‎【解答】解:∵BE平分∠ABC,∠ABC=50°,‎ ‎∴∠ABE=∠EBC=25°,‎ ‎∵BE∥DC,‎ ‎∴∠EBC=∠C=25°.‎ 故选:B.‎ ‎5.(3分)函数y‎=‎x+2‎x中,自变量x的取值范围是(  )‎ A.x≠0 B.x>﹣2 C.x>0 D.x≥﹣2且x≠0‎ ‎【解答】解:根据题意得:x+2≥0‎x≠0‎,‎ 解得:x≥﹣2且x≠0.‎ 故选:D.‎ ‎6.(3分)甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是S甲2=1.2,S乙2=1.1,S丙2=0.6,S丁2=0.9,则射击成绩最稳定的是(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎【解答】解:∵S甲2=1.2,S乙2=1.1,S丙2=0.6,S丁2=0.9,‎ ‎∴S丙2<S丁2<S乙2<S甲2,‎ ‎∴射击成绩最稳定的是丙,‎ 故选:C.‎ ‎7.(3分)下列命题是假命题的是(  )‎ A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形 ‎ B.同角(或等角)的余角相等 ‎ C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ‎ D.正方形的对角线相等,且互相垂直平分 ‎【解答】解:A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形;假命题;‎ B.同角(或等角)的余角相等;真命题;‎ C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;真命题;‎ D.正方形的对角线相等,且互相垂直平分;真命题;‎ 故选:A.‎ ‎8.(3分)对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是(  )‎ A.c<﹣3 B.c<﹣2 C.c‎<‎‎1‎‎4‎ D.c<1‎ ‎【解答】解:由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个实数根,‎ 且x1<1<x2,‎ 整理,得:x2+x+c=0,‎ 则‎1-4c>0‎‎1+1+c<0‎.‎ 解得c<﹣2,‎ 故选:B.‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)‎ ‎9.(4分)因式分解:ax﹣ay= a(x﹣y) .‎ ‎【解答】解:原式=a(x﹣y).‎ 故答案是:a(x﹣y).‎ ‎10.(4分)2018年12月26日,岳阳三荷机场完成首航.至此,岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成.机场以2020年为目标年,计划旅客年吞吐量为600000人次.数据600000用科学记数法表示为 6×105 .‎ ‎【解答】解:将600000用科学记数法表示为:6×105.‎ 故答案为:6×105.‎ ‎11.(4分)分别写有数字‎1‎‎3‎、‎2‎、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片,从中任意抽取一张,抽到无理数的概率是 ‎2‎‎5‎ .‎ ‎【解答】解:∵写有数字‎1‎‎3‎、‎2‎、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片,‎2‎、π是无理数,‎ ‎∴从中任意抽取一张,抽到无理数的概率是:‎2‎‎5‎.‎ 故答案为:‎2‎‎5‎.‎ ‎12.(4分)若一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形的边数为 4 .‎ ‎【解答】解:设多边形的边数为n,‎ 则(n﹣2)×180°=360°,‎ 解得:n=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎13.(4分)分式方程‎1‎x‎=‎‎2‎x+1‎的解为x= 1 .‎ ‎【解答】解:方程两边同乘x(x+1),‎ 得x+1=2x,‎ 解得x=1.‎ 将x=1代入x(x+1)=2≠0.‎ 所以x=1是原方程的解.‎ ‎14.(4分)已知x﹣3=2,则代数式(x﹣3)2﹣2(x﹣3)+1的值为 1 .‎ ‎【解答】解:∵x﹣3=2,‎ ‎∴代数式(x﹣3)2﹣2(x﹣3)+1=(x﹣3﹣1)2‎ ‎=(2﹣1)2‎ ‎=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎15.(4分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”其意思为:今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺.问每日各织多少布?根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布 ‎5‎‎31‎ 尺.‎ ‎【解答】解:设第一天织布x尺,则第二天织布2x尺,第三天织布4x尺,第四天织布8x尺,第五天织布16x尺,根据题意可得:‎ x+2x+4x+8x+16x=5,‎ 解得:x‎=‎‎5‎‎31‎,‎ 即该女子第一天织布‎5‎‎31‎尺.‎ 故答案为:‎5‎‎31‎.‎ ‎16.(4分)如图,AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线 PE,切点为M,过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接AM,则下列结论正确的是 ①②④ .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①AM平分∠CAB;‎ ‎②AM2=AC•AB;‎ ‎③若AB=4,∠APE=30°,则BM的长为π‎3‎;‎ ‎④若AC=3,BD=1,则有CM=DM‎=‎‎3‎.‎ ‎【解答】解:连接OM,‎ ‎∵PE为⊙O的切线,‎ ‎∴OM⊥PC,‎ ‎∵AC⊥PC,‎ ‎∴OM∥AC,‎ ‎∴∠CAM=∠AMO,‎ ‎∵OA=OM,‎ ‎∠OAM=∠AMO,‎ ‎∴∠CAM=∠OAM,即AM平分∠CAB,故①正确;‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠AMB=90°,‎ ‎∵∠CAM=∠MAB,∠ACM=∠AMB,‎ ‎∴△ACM∽△AMB,‎ ‎∴ACAM‎=‎AMAB,‎ ‎∴AM2=AC•AB,故②正确;‎ ‎∵∠APE=30°,‎ ‎∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°,‎ ‎∵AB=4,‎ ‎∴OB=2,‎ ‎∴BM的长为‎60⋅π×2‎‎180‎‎=‎‎2π‎3‎,故③错误;‎ ‎∵BD⊥PC,AC⊥PC,‎ ‎∴BD∥AC,‎ ‎∴PBPA‎=BDAC=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴PB‎=‎1‎‎3‎PA,‎ ‎∴PB=‎1‎‎2‎AB,BD‎=‎1‎‎2‎OM,‎ ‎∴PB=OB=OA,‎ ‎∴在Rt△OMP中,OM‎=‎1‎‎2‎OP=‎2,‎ ‎∴∠OPM=30°,‎ ‎∴PM=2‎3‎,‎ ‎∴CM=DM=DP‎=‎‎3‎,故④正确.‎ 故答案为:①②④.‎ 三、解答题(本大题共8小题,满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(6分)计算:(‎2‎‎-‎1)0﹣2sin30°+(‎1‎‎3‎)﹣1+(﹣1)2019‎ ‎【解答】解:原式=1﹣2‎×‎1‎‎2‎+‎3﹣1‎ ‎=1﹣1+3﹣1‎ ‎=2.‎ ‎18.(6分)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为AD、CD边上的点,DE=DF,求证:∠1=∠2.‎ ‎【解答】证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD=CD,‎ 在△ADF和△CDE中,AD=CD‎∠D=∠DDF=DE,‎ ‎∴△ADF≌△CDE(SAS),‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎19.(8分)如图,双曲线y‎=‎mx经过点P(2,1),且与直线y=kx﹣4(k<0)有两个不同的交点.‎ ‎(1)求m的值.‎ ‎(2)求k的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵双曲线y‎=‎mx经过点P(2,1),‎ ‎∴m=2×1=2;‎ ‎(2)∵双曲线y‎=‎‎2‎x与直线y=kx﹣4(k<0)有两个不同的交点,‎ ‎∴‎2‎x‎=‎kx﹣4,整理为:kx2﹣4x﹣2=0,‎ ‎∴△=(﹣4)2﹣4k•(﹣2)>0,‎ ‎∴k>﹣2,‎ ‎∴k的取值范围是﹣2<k<0.‎ ‎20.(8分)岳阳市整治农村“空心房”新模式,获评全国改革开放40年地方改革创新40案例.据了解,我市某地区对辖区内“空心房”进行整治,腾退土地1200亩用于复耕和改造,其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩.‎ ‎(1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩?‎ ‎(2)该地区对需改造的土地进行合理规划,因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场,要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的‎1‎‎3‎,求休闲小广场总面积最多为多少亩?‎ ‎【解答】解:(1)设改造土地面积是x亩,则复耕土地面积是(600+x)亩,‎ 由题意,得x+(600+x)=1200‎ 解得x=300.‎ 则600+x=900.‎ 答:改造土地面积是300亩,则复耕土地面积是900亩;‎ ‎(2)设休闲小广场总面积是y亩,则花卉园总面积是(300﹣y)亩,‎ 由题意,得y‎≤‎‎1‎‎3‎(300﹣y).‎ 解得 y≤75.‎ 故休闲小广场总面积最多为75亩.‎ 答:休闲小广场总面积最多为75亩.‎ ‎21.(8分)为了庆祝中华人民共和国成立70周年,某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛,某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分,得分为正整数且无满分,最低为75分)分成五组,并绘制了下列不完整的统计图表.‎ 分数段 频数 频率 ‎74.5~79.5‎ ‎2‎ ‎0.05‎ ‎79.5~84.5‎ m ‎0.2‎ ‎84.5~89.5‎ ‎12‎ ‎0.3‎ ‎89.5~94.5‎ ‎14‎ n ‎94.5~99.5‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎(1)表中m= 8 ,n= 0.35 ;‎ ‎(2)请在图中补全频数直方图;‎ ‎(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数,据此推测他的成绩落在 89.5~94.5 分数段内;‎ ‎(4)选拔赛中,成绩在94.5分以上的选手,男生和女生各占一半,学校从中随机确定2名选手参加全市决赛,请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.‎ ‎【解答】解:(1)m=40×0.2=8,n=14÷40=0.35,‎ 故答案为:8,0.35;‎ ‎(2)补全图形如下:‎ ‎(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数,而第20、21个数据均落在89.5~94.5,‎ ‎∴测他的成绩落在分数段89.5~94.5内,‎ 故答案为:89.5~94.5.‎ ‎(4)选手有4人,2名是男生,2名是女生.‎ ‎,‎ 恰好是一名男生和一名女生的概率为‎8‎‎12‎‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎22.(8分)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上,参考数据:sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)‎ ‎(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)‎ ‎(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得,四边形CDBG、HBFE为矩形,‎ ‎∴GB=CD=1.7,HB=EF=1.5,‎ ‎∴GH=0.2,‎ 在Rt△AHE中,tan∠AEH‎=‎AHHE,‎ 则AH=HE•tan∠AEH≈1.9a,‎ ‎∴AG=AH﹣GH=1.9a﹣0.2,‎ 在Rt△ACG中,∠ACG=45°,‎ ‎∴CG=AG=1.9a﹣0.2,‎ ‎∴BD=1.9a﹣0.2,‎ 答:小亮与塔底中心的距离BD(1.9a﹣0.2)米;‎ ‎(2)由题意得,1.9a﹣0.2+a=52,‎ 解得,a=18,‎ 则AG=1.9a﹣0.2=34,‎ ‎∴AB=AG+GB=35.7,‎ 答:慈氏塔的高度AB为35.7米.‎ ‎23.(10分)操作体验:如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合),过点P分别作直线BE、BF的垂线,垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.‎ ‎(1)如图1,求证:BE=BF;‎ ‎(2)特例感知:如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长;‎ ‎(3)类比探究:若DE=a,CF=b.‎ ‎①如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明;‎ ‎②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)‎ ‎【解答】(1)证明:如图1中,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠DEF=∠EFB,‎ 由翻折可知:∠DEF=∠BEF,‎ ‎∴∠BEF=∠EFB,‎ ‎∴BE=BF.‎ ‎(2)解:如图2中,连接BP,作EH⊥BC于H,则四边形ABHE是矩形,EH=AB.‎ ‎∵DE=EB=BF=5,CF=2,‎ ‎∴AD=BC=7,AE=2,‎ 在Rt△ABE中,∵∠A=90°,BE=5,AE=2,‎ ‎∴AB‎=‎5‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎‎21‎,‎ ‎∵S△BEF=S△PBE+S△PBF,PM⊥BE,PN⊥BF,‎ ‎∴‎1‎‎2‎•BF•EH‎=‎‎1‎‎2‎•BE•PM‎+‎‎1‎‎2‎•BF•PN,‎ ‎∵BE=BF,‎ ‎∴PM+PN=EH‎=‎‎21‎,‎ ‎∵四边形PMQN是平行四边形,‎ ‎∴四边形PMQN的周长=2(PM+PN)=2‎21‎.‎ ‎(3)①证明:如图3中,连接BP,作EH⊥BC于H.‎ ‎∵ED=EB=BF=a,CF=b,‎ ‎∴AD=BC=a+b,‎ ‎∴AE=AD﹣DE=b,‎ ‎∴EH=AB‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎,‎ ‎∵S△EBP﹣S△BFP=S△EBF,‎ ‎∴‎1‎‎2‎BE•PM‎-‎‎1‎‎2‎•BF•PN‎=‎‎1‎‎2‎•BF•EH,‎ ‎∵BE=BF,‎ ‎∴PM﹣PN=EH‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎,‎ ‎∵四边形PMQN是平行四边形,‎ ‎∴QN﹣QM=(PM﹣PN)‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎.‎ ‎②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,同法可证:QM﹣QN=PN﹣PM‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎.‎ ‎24.(10分)如图1,△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1:y‎=‎‎1‎‎3‎x2‎+‎‎7‎‎3‎x的图象上,点A的横坐标为﹣4,点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)‎ ‎(1)求点A、B的坐标;‎ ‎(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',抛物线F2:y=ax2+bx+4经过A'、B'两点,已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点,且点A'恰好在以OM为直径的圆上,连接OM、A'M,求△OA'M的面积;‎ ‎(3)如图2,延长OB'交抛物线F2于点C,连接A'C,在坐标轴上是否存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)当x=﹣4时,y‎=‎1‎‎3‎×‎(﹣4)2‎+‎7‎‎3‎×‎(﹣4)=﹣4‎ ‎∴点A坐标为(﹣4,﹣4)‎ 当y=﹣2时,‎1‎‎3‎x2‎+‎‎7‎‎3‎x=﹣2‎ 解得:x1=﹣1,x2=﹣6‎ ‎∵点A在点B的左侧 ‎∴点B坐标为(﹣1,﹣2)‎ ‎(2)如图1,过点B作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'G⊥x轴于点G ‎∴∠BEO=∠OGB'=90°,OE=1,BE=2‎ ‎∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'‎ ‎∴OB=OB',∠BOB'=90°‎ ‎∴∠BOE+∠B'OG=∠BOE+∠OBE=90°‎ ‎∴∠B'OG=∠OBE 在△B'OG与△OBE中 ‎∠OGB'=∠BEO‎∠B'OG=∠OBEB'O=OB‎ ‎ ‎∴△B'OG≌△OBE(AAS)‎ ‎∴OG=BE=2,B'G=OE=1‎ ‎∵点B'在第四象限 ‎∴B'(2,﹣1)‎ 同理可求得:A'(4,﹣4)‎ ‎∴OA=OA'‎‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=4‎‎2‎ ‎∵抛物线F2:y=ax2+bx+4经过点A'、B'‎ ‎∴‎16a+4b+4=-4‎‎4a+2b+4=-1‎ 解得:‎a=‎‎1‎‎4‎b=-3‎ ‎∴抛物线F2解析式为:y‎=‎‎1‎‎4‎x2﹣3x+4‎ ‎∴对称轴为直线:x‎=-‎-3‎‎2×‎‎1‎‎4‎=‎6‎ ‎∵点M在直线x=6上,设M(6,m)‎ ‎∴OM2=62+m2,A'M2=(6﹣4)2+(m+4)2=m2+8m+20‎ ‎∵点A'在以OM为直径的圆上 ‎∴∠OA'M=90°‎ ‎∴OA'2+A'M2=OM2‎ ‎∴(4‎2‎)2+m2+8m+20=36+m2‎ 解得:m=﹣2‎ ‎∴A'M‎=m‎2‎‎+8m+20‎=‎4-16+20‎=2‎‎2‎ ‎∴S△OA'M‎=‎‎1‎‎2‎OA'•A'M‎=‎1‎‎2‎×4‎2‎×2‎2‎=‎8‎ ‎(3)在坐标轴上存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.‎ ‎∵B'(2,﹣1)‎ ‎∴直线OB'解析式为y‎=-‎‎1‎‎2‎x y=-‎1‎‎2‎xy=‎1‎‎4‎x‎2‎-3x+4‎‎ 解得:x‎1‎‎=2‎y‎1‎‎=-1‎(即为点B')‎x‎2‎‎=8‎y‎2‎‎=-4‎ ‎∴C(8,﹣4)‎ ‎∵A'(4,﹣4)‎ ‎∴A'C∥x轴,A'C=4‎ ‎∴∠OA'C=135°‎ ‎∴∠A'OC<45°,∠A'CO<45°‎ ‎∵A(﹣4,﹣4),即直线OA与x轴夹角为45°‎ ‎∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时,∠AOD=45°,此时△AOD不可能与△OA'C相似 ‎∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时,∠AOD=∠OA'C=135°(如图2、图3)‎ ‎①若△AOD∽△OA'C,则ODA'C‎=OAOA'‎=‎1‎ ‎∴OD=A'C=4‎ ‎∴D(4,0)或(0,4)‎ ‎②若△DOA∽△OA'C,则DOOA'‎‎=OAA'C=‎4‎‎2‎‎4‎=‎‎2‎ ‎∴OD‎=‎‎2‎OA'=8‎ ‎∴D(8,0)或(0,8)‎ 综上所述,点D坐标为(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)时,以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/6/30 10:03:07;用户:中考培优辅导;邮箱:p5193@xyh.com;学号:27411521‎