2019年山东烟台中考数学试题（解析版） 20页

‎{来源}2019年德州中考数学 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年烟台市初中学生学业考试数学试题 ‎{题型:1-选择题}一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C,D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．‎ ‎{题目}1. （2009年烟台T1）－8的立方根是 A.2 B.－2 C.±2 D.－2 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了立方根的定义，∵-2的立方等于-8，∴-8的立方根是-2.‎ 因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-6-2]立方根}‎ ‎{考点:立方根}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2. （2009年烟台T2）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案} C ‎{解析}本题考查了中心对称与轴对称图形，A是中心对称图形，B是轴对称图形，C既是轴对称图形又是中心对称图形，D是轴对称图形，综上选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3. （2009年烟台T3）如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是 A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图 ‎ C．左视图和俯视图 D．主视图、左视图、俯视图 ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了三视图的判断，三视图没有发生变化的是主视图和左视图，发生变化的是俯视图，故选A．．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2009年烟台T4）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为 A． B． C． D．无法确定 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了概率的计算，正六边形的性质，由正六边形的性质知，白色区域的面积是整个正六边形面积的1/2，∴飞镖落在白色区域的概率为1/2． 因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:几何概率}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5． （2009年烟台T5）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为 A．1.5×10－9秒 B．15×10－9秒 C．1.5×10－8秒 D．15×10－8秒 ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了科学记数法，15×0．000 000 001=1．5×，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6． （2009年烟台T6）当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了根的判别式，Δ=b2+12c=b2+12×（5-b）=b2+60-12b ‎=b2-12b+36+24=（b-6）2+24>0． ∴方程有两个不相等的实数根，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-2-2]公式法}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7．（2009年烟台T7）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均成绩为90分，方差为s2＝41． 后来小亮进行了补测，成绩为90分．关于该班40人的测试成绩，下列说法中确的是 A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了统计量的意义与计算，由平均数和方差的计算公式知平均分不变，方差变小． 因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{考点:方差}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8．（2009年烟台T8）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为 ‎ A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了尺规作图，由作图纸OP为∠AOB的角平分线，又OC可能在OP的两侧，由此可判断选D． ‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-12-3]角的平分线的性质}‎ ‎{考点:与角平分线有关的作图问题}‎ ‎{类别:尺规作图}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}9．（2009年烟台T9）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．‎ ‎ (a＋b)0＝1‎ ‎(a＋b)1＝a＋b ‎(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2‎ ‎(a＋b)3＝a3＋2a2b＋2ab2＋b3‎ ‎(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4‎ ‎(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5‎ ‎……‎ 则(a＋b)9展开式中所有项的系数和是 A．128 B．256 C．512 D．1024‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了阅读理解能力，取a=1，b=1，则可以计算展开式中所有项的系数和是=512．，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-2]乘法公式}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:数学文化}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10． （2009年烟台T10）如图，面积为24的□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6． 则sin∠DCE的值为 ‎ A． B． C． D． A B C E D F ‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，．‎ 如图，连接AC交BD于点O，过点D作DF⊥BE于点F．‎ A B C E D F ‎ O ‎∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD． ∴∠ADB=∠CBD．‎ ‎∴∠ABD=∠ADB． ∴AB=AD． ∴□ABCD是菱形． ‎ ‎∴AO垂直平分BD． ‎ ‎∵DE⊥BD，∴OC∥DE．‎ ‎∴OC=DE=×6=3．‎ ‎∵菱形ABCD的面积为24，∴BD=8． ∴BO=4． ∴BC=DC=5．‎ ‎∵DF·BC=24，∴DF=． ∴sin∠DCE==． 故选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{考点:正弦}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}11．（2009年烟台T11）已如二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表: ‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎5‎ ‎0‎ ‎－4‎ ‎－3‎ ‎0‎ 下则结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2)、B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2．其中正确的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了二次函数的图象与性质．‎ 由题意，画草图如图所示．‎ 由草图可以判断①②④正确，③错误，对于⑤，当A位于抛物线对称轴的右侧，B位于左侧时，x1>x2，由此可判断⑤错误． 故选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{类别:思想方法} {类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}12．（2009年烟台T12）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC． 若AD＝，CE＝3，则的长为 ‎ A． B．π C．π D．π O A D C E B ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了，切线的性质，相似的性质．‎ 如图，连接OC，过点A作AF⊥BE于F．‎ O A D C E B F ‎ ‎∵直线DE与⊙O相切，∴OC⊥DE．‎ ‎∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴AD∥OC∥BE．‎ ‎∵∵AB是直径，∴∠ACB=90°． ∴∠ACD+∠BCE=90°．‎ ‎∵∠D=∠E=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°．‎ ‎∴∠DAC=∠BCE． ∴，△ADC∽△CEB．‎ ‎∴，即． ①‎ ‎∵，即． ②‎ 又AD+BE=2OC=2r． ③‎ 由①②③得DC=3，BE=，r=2． ‎ 由勾股定理，得AC= r=2．∴∠AOC=60°．‎ ‎∴==π． 故选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{考点:圆与相似的综合}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎{题目}13． （2009年烟台T13）│－6│×2－1－cos45°＝____________‎ ‎{答案}2‎ ‎{解析}本题考查了实数的计算，‎ ‎│－6│×2－1－cos45°=6×﹣=3﹣1=2． 故填2．‎ ‎ {分值}3‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14． （2009年烟台T14）若关于x的分式方程－1＝有增根，则m的值为____________‎ ‎{答案}3‎ ‎{解析}本题考查了分式方程的增根的有关计算．‎ －1＝，‎ 去分母，得3x﹣(x﹣2)=m+3，∴m=2x﹣1．‎ ‎∵原分式方程有增根，∴x﹣2=0，∴x=2．‎ ‎∴m=2x﹣1=2×2﹣1=3． 故填3．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{考点: 分式方程的增根}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}15． （2009年烟台T15）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（－2，－1），B（－2，－3），O（0，0）．△A1B1O1的顶点全标分别为A1（1，一1），B1（1，－5），O1（5，1）．△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为____________‎ ‎{答案}（﹣5，﹣1）‎ ‎{解析}本题考查了平面直角坐标系中的位似变换．‎ 法一：借助网格．任意两对应点连线的交点为（﹣5，﹣1）．‎ 法二：设点P坐标为（x，y）． ‎ ‎∵直线AA1平行于x轴，∴y= ﹣1．‎ 又∵AB平行于A1B1，∴PA：PA1=AB：A1B1=2:4=1:2．‎ ‎∴PA=3． ∴x= ﹣3﹣2= ﹣5． 即P点坐标为（﹣5，﹣1）． 故填（﹣5，﹣1）．‎ ‎{章节:[1-27-2-1]位似}‎ ‎{考点:坐标系中的位似}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}16． （2009年烟台T16）如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P（m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解为____________‎ ‎{答案} x1‎ ‎{解析}本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．‎ 把点P（m，3）代入y=x+2，得3=m+2，∴m=1．‎ ‎∴点P坐标为（1，3）．‎ 由图象可知，当x＜1时，y=ax+c的图象在y=x+2的上方，∴x＋2≤ax＋c的解为x1．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}‎ ‎{考点:一次函数与一元一次不等式}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}17． （2009年烟台T17）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是____________‎ ‎{答案}45º ‎{解析}本题考查了轴对称的性质，折叠．‎ 由折叠可知，AOB=2×=45º．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-1]轴对称}‎ ‎{考点:轴对称的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}18． （2009年烟台T18）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作狐，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已如⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为__________‎ ‎{答案}﹣2‎ ‎{解析}本题考查了与扇形有关的阴影部分面积的计算．‎ 令⊙O得半径为r，过点O作ODAB于D,连接OB，‎ 则OB=2r，BD=r=AB=1，∴r=．‎ 由题意，可知扇形ABC的面积=，△ABC的面积==．‎ ‎⊙O面积=r2=．‎ ‎∴阴影部分面积=3×扇形ABC的面积﹣2×△ABC的面积﹣⊙O面积 ‎=3×﹣2﹣=﹣2．‎ D ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）‎ ‎{题目}19．（2009年烟台T19）先化简：（x＋3－）÷，再从0≤x≤4选一个适合的整数代入求值．‎ ‎{解析}本题考查了分式的化简求值. 先化简分式，再代值计算，代值时注意不能取使分母为0的值.‎ ‎{答案}解：x＋3－）÷ ‎=‎ ‎==．‎ 由于x≠0，3，4，所以x只能取1或2．‎ 当x=1时，原式=．‎ 当x=2时，原式=．‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}20．（本题满分8分T20）‎ ‎（2009年烟台）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节，为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏”，“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目，小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．‎ ‎（1）五届艺术节共有_______个班级表演这些节目，班数的中位数为________，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为___________‎ ‎（2）补全折线统计图；‎ ‎（3）第六届艺术节，某班决定从这四种艺术形式中任选两项表演（“经典诵读”、“民乐演奏”，“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A，B，C，D表示），利用树状图或表格求出该班选择A和D两项的概率．‎ ‎{解析}本题考查了统计与概率的综合应用.‎ ‎（1）由图象，前三届的总班级数，对应的总百分比数可求，从而可求五届艺术节共有 的班级数. 分别求出五届班级数，即可据中位数的意义求得中位数. 利用第四届班级数的百分比可求其扇形圆心角的度数.‎ ‎（2）据第四届，第五届班级数可补全折线统计图.‎ ‎（3）这相当于不放回的两步试验概型，通过列表格或画树状图即可求解.‎ ‎{答案}解：（1）40，7，81°．‎ ‎（提示：第五届所占的百分比为=32．5%，总人数为：=40．‎ 五届人数分别为：5，7，6，9，13，因此中位数为7．‎ 第四届班级数的扇形圆心角的度数为22．5%×360°=81°．‎ ‎（2）第四届，第五届人数分别是9，13，补全折线统计图略．‎ ‎（3）列表格如下：‎ A B C D A ‎（A，B）‎ ‎（A，C）‎ ‎（A，D）‎ B ‎（B，A）‎ ‎（B，C）‎ ‎（B，D）‎ C ‎（C，A）‎ ‎（C，B）‎ ‎（C，D）‎ D ‎（D，A）‎ ‎（D，B）‎ ‎（D，C）‎ 由表格知，共有12种结果，其中选择A和D两项的有2种结果，‎ 因此该班选择A和D两项的概率==．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:统计的应用问题}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}21．（2009年烟台T21）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．‎ ‎（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？‎ ‎（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？‎ ‎{解析}本题考查了一元一次方程及二元一次方程（组）的应用问题．‎ ‎（1）本题中的等量关系为：36×36座新能源客车辆数+2=学生总数，22×（36座新能源客车辆数+4）-2=学生总数，据此可列方程（组）求出第一小题的解；（2）设租用36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，依题意得36m+22n＝218，再讨论出符合条件的整数解即可得到答案． ‎ ‎{答案}解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，根据题意，得 ‎36x＋2=22 (x+4)－2,‎ 解得 x＝6．‎ 此时36x＋2=218．‎ 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．‎ ‎（2）设租用36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，依题意得 ‎36m+22n＝218，即18m+11n＝109，‎ 其正整数解为m=3， n=5．‎ 故租用36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆，既保证每人有座，又保证每车不空座．‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}‎ ‎{考点:一元一次方程的应用（其他问题）}‎ ‎{考点:二元一次方程的解}‎ ‎{考点:二元一次方程组的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}22．（2009年烟台T22）如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点．O为AC上一点，⊙O经过点A，P．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．‎ ‎{解析}本题考查了翻折变换、矩形的性质、切线的判定、勾股定理及黄金分割．‎ ‎（1）BC过⊙O上一点P，若证BC是⊙O的切线，连接OP，只要证明BC与OP垂直即可；（2）若说明点F是否是线段BC的黄金分割点，只需求出CF2与BF•BC，看它们是否相等即可．‎ ‎{答案}解：（1）证明：如图，连接OP，则OA=OP，∴∠OAP=∠OPA．‎ 由折叠知∠BAP=∠OAP，∴∠OPA=∠BAP． ∴AB∥OP．‎ 又∵AB⊥BC，∴OP⊥BC．‎ ‎∴BC是⊙O的切线．‎ ‎（2）点F是线段BC的黄金分割点，理由如下：‎ 在矩形ABCD中，∵AB=CD＝2，BC=AD＝4，‎ ‎∴AC=．‎ 又∵AE=AB＝2，∴CE=CF＝－2．‎ ‎∴BF=BC－CF=6－．‎ ‎∵CF2=（－2）2=24－，‎ BF•BC=4（6－）=24－，‎ ‎∴CF2=BF•BC．‎ ‎∴点F是线段BC的黄金分割点．‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:圆的其它综合题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}23．（2009年烟台T23）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP的长为12 cm，OM为10 cm，支柱PQ为8 cm．‎ ‎（1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数；‎ ‎（2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20．5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位）‎ ‎（参考数据表）‎ 计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）‎ ‎2．65‎ ‎6．8‎ ‎11．24‎ ‎0．35‎ ‎0．937‎ ‎41‎ ‎49‎ ‎49‎ ‎41‎ ‎{解析}本题考查解直角三角形及其应用．‎ ‎（1）过点P作PC⊥OA于点C，设OC＝x，然后根据勾股定理求出x的值，再根据三角函数即可求出∠AOB的度数；（2）若求相邻两个卡孔的距离，只要求出MN的长即可，故求ON的长是解此题的关键． ‎ ‎{答案}解：解：（1）如图，过P作PC⊥OM于C，设OC＝x，则CM=10－ x，‎ 由勾股定理，得122－ x2=82－（10－ x）2，‎ 解得x=9．‎ 在Rt△POC中，cos∠POC=‎ ‎∴∠POC≈41°，‎ 即∠AOB的度数约为41°．‎ ‎（2）如图，过P作PD⊥ON于D，则sin∠PON=,‎ 即sin20．5°=,‎ ‎∴PD≈12×0．35=4．2．‎ 在Rt△PDN中，ND=．‎ 在Rt△POD中，OD=OP·cosO = OP·cos20．5°≈12×0．937‎ ‎≈11．24．‎ ‎∴ON=OD+ND≈6．8+11．24=18．04,‎ ‎∴相邻两个卡孔的距离为：（ON－OM）÷5=（18．04－10）÷5≈1．6（cm）．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-28-2-3]解直角三角形及其应用}‎ ‎{考点:计算器－三角函数}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}24．（本题满分11分T24）（2009年烟台）【问题探究】‎ ‎（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．‎ ‎①请探究AD与BD之间的位置关系：________；‎ ‎②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为________；‎ ‎【拓展延伸】‎ ‎（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．‎ ‎{解析}本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质及相似三角形的判定及性质．‎ ‎（1）①由题意，可得△ACD≌△BCE，所以∠ADC=45°，从而∠ADE=90°，即AD⊥BE；②将相关量集中到Rt△ADB中，设未知数利用勾股定理列方程可求解.‎ ‎（2）类比（1）即可解决. 注意当点B，D，E在同一直线上时，有两种情形，要分情况求解.‎ ‎{答案}解：解：（1）①垂直 ②4．‎ 提示：由题意，可得△ACD≌△BCE，，所以∠ADC=45°，从而∠ADE=90°，即AD⊥BE．‎ ‎②由AC＝BC＝，DC＝CE＝，得AB=,DE=2． ‎ 在Rt△ADB中，设AD=x，则由勾股定理得．‎ 解得x=4． （负值舍去)． ∴AD=4．‎ ‎（2）①如图：‎ A C ‎ E ‎ D ‎ B ‎ ‎∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，‎ ‎∴AB=2,DE=2,∠ACD＝∠BCE, ．‎ ‎∴△ACD∽△BCE．‎ ‎∴∠ADC＝∠E，．‎ 又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE =90°，即∠ADE=90°．‎ ‎∴AD⊥BE．‎ 设BE=x，则AD=x．‎ 在Rt△ABD中，，即．‎ 解得x=3（负值舍去）．‎ ‎∴AD=．‎ ‎②如图，‎ A C ‎ B E D ‎ 同①设BE=x，则AD=x．‎ 在Rt△ABD中，，即．‎ 解得x=2（负值舍去）．‎ ‎∴AD=．‎ 综上可得，线段AD的长为 ‎{分值}11‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}25．（2009年烟台T25）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E．双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；‎ ‎（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）‎ ‎{解析}本题考查了二次函数与几何图形的综合应用.‎ ‎（1）由题意知 D点的纵坐标为3，将其代入反比例函数解析式可求得D点坐标，从而可利用待定系数法求抛物线的表达式.‎ ‎（2）设M关于y轴的对称点为M′，D点关于x轴对称点为D′，则线段M′D′的长即为以M，D，N，F为顶点的四边形的周长最小值，从而此题可解.‎ ‎（3）过B、D两点的圆，当圆与y轴相切时，切点即为点P.‎ ‎{答案}解：（1）由题意知C的坐标为（0，3），则D点的纵坐标为3．‎ 把y=3代入y＝，得x=2． ∴D 的坐标为（2，3）．‎ 把A（－1，0），D（2，3）的坐标代入y＝ax2＋bx＋3，得 ‎ 解得 ‎∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．‎ ‎（2）y＝－x2＋2x＋3=．∴顶点M的坐标为（1，4）．‎ 设M关于y轴的对称点为M′，则M′的坐标为（－1，4）．‎ 同理D点关于x轴对称点的坐标D′的坐标为（2，－3）．‎ 设直线M′D′为y=kx+b，则 解得 ‎∴直线M′D′的表达式为y=x+．‎ 直线M′D′交x轴于点（，0），交y轴于点（0，）．‎ ‎∴当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，点N的坐标为（（，0），F的坐标（0，）．‎ ‎（3）（3）t=．‎ ‎（解析：过B、D两点的圆，当圆与y轴相切时，切点即为点P．‎ 设圆心的坐标为（a，b），则由勾股定理定理，得 解得（由题意，取较小值）．‎ 所以当t=时，∠BPD的度数最大．‎ ‎{分值}13‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数与圆的综合}‎ ‎{考点:其他二次函数综合题}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:5-高难度}‎