初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第六章 图形性质2-26圆的弧长和图形面积的计算 20页

考点跟踪突破 26 　圆的弧长和图形面积的计算 一、选 择题 ( 每小题 6 分 ， 共 30 分 ) 1 ． ( 2014· 襄阳 ) 用一个圆心角为 120 ° ， 半径为 3 的扇形 作一个圆锥的侧面 ， 则这个圆锥的底面半径为 ( ) A . 1 2 B ． 1 C . 3 2 D ． 2 B 2 ． ( 2013· 河北 ) 如图 ， AB 是 ⊙ O 的直径 ， 弦 CD ⊥ AB ， ∠ C ＝ 30 ° ， CD ＝ 2 3 ， 则 S 阴影 ＝ ( ) A ． π B ． 2 π C . 2 3 3 D . 2 3 π D 3 ． ( 2014· 金华 ) 一张圆心角为 45 ° 的扇形纸板和一张圆形 纸板按如图方式分别剪成一个正方形 ， 边长都为 1 ， 则 扇形和圆形纸板的面积比是 ( ) A ． 5 ∶ 4 B ． 5 ∶ 2 C . 5 ∶ 2 D . 5 ∶ 2 A 4 ． ( 2014· 东营 ) 如图 ， 已知扇形的圆心角为 60 ° ， 半径为 3 ， 则图中弓形的面积为 ( ) A . 4 π － 3 3 4 B . π － 3 4 C . 2 π － 3 3 4 D . π － 3 3 2 C 5 ． ( 2013· 山西 ) 如图 ， 四边形 ABCD 是菱形 ， ∠ A ＝ 60 ° ， AB ＝ 2 ， 扇形 EBF 的半径为 2 ， 圆心角为 60 ° ， 则图中 阴影部分的面 积是 ( ) A . 2 3 π － 3 2 B . 2 3 π － 3 C ． π － 3 2 D ． π － 3 B 二、填空题 ( 每小题 6 分 ， 共 30 分 ) 6 ． ( 2014 · 泰州 ) 圆锥的底面半径为 6 cm ， 母线长为 10 cm ， 则圆锥的侧面积为 ____ cm 2 . 7 ． ( 2013 · 重庆 ) 如图 ， 一个圆心角为 90° 的扇形 ， 半径 OA ＝ 2 ， 那么图中阴影部分的面积为 ____ ． ( 结果保留 π ) ． 60 π π -2 8 ． ( 2013· 泸州 ) 如图 ， 从半径为 9 cm 的圆形纸片上剪去 1 3 圆周的一个扇形 ， 将留下的扇形围成一个圆锥 ( 接缝处不 重叠 ) ， 那么这个圆锥的高为 __ __ cm . 9 ． ( 2013 · 昆明 ) 如图 ， 从直径为 4 cm 的圆形纸片中 ， 剪出一个圆心角为 90° 的扇形 OAB ， 且点 O ， A ， B 在圆周上 ， 把它围成一个圆锥 ， 则圆锥的底面圆的半径是 ____ cm . 10 ． ( 2013· 烟台 ) 如图 ， 正方形 ABCD 的边长为 4 ， 点 E 在 BC 上 ， 四边形 EFGB 也是正方形 ， 以点 B 为圆心 ， BA 长为半径画 AC ︵ ， 连接 AF ， CF ， 则图中阴影部分面积 为 __ __ ． 4 π 三、解答题 ( 共 40 分 ) 11 ． (10 分 ) ( 2013 · 新疆 ) 如图 ， 已知 ⊙ O 的半径为 4 ， CD 是 ⊙ O 的直径 ， AC 为 ⊙ O 的弦 ， B 为 CD 延长线上的一点 ， ∠ ABC ＝ 30° ， 且 AB ＝ AC. (1) 求证： AB 为 ⊙ O 的切线； (2) 求弦 AC 的长； (3) 求图中阴影部分的面积． ( 1 ) 证明：如图 ， 连接 OA. ∵ AB ＝ AC ， ∠ ABC ＝ 30 ° ， ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ 30 ° . ∴∠ AOB ＝ 2 ∠ ACB ＝ 60 ° ， ∴ 在 △ ABO 中 ， ∠ OAB ＝ 180 ° － ∠ ABO － ∠ AOB ＝ 90 ° ， 即 AB ⊥ OA ， 又 ∵ OA 是 ⊙ O 的 半径 ， ∴ AB 为 ⊙ O 的切线 ( 2 ) 解：如图 ， 连接 AD. ∵ CD 是 ⊙ O 的直径 ， ∴∠ DAC ＝ 90 ° . ∵ 由 ( 1 ) 知 ， ∠ ACB ＝ 30 ° ， ∴ AD ＝ 1 2 CD ＝ 4 ， 则根据勾股定理知 AC ＝ CD 2 － AD 2 ＝ 4 3 ， 即弦 AC 的长是 4 3 ( 3 ) 由 ( 2 ) 知 ， 在 △ ADC 中 ， ∠ DAC ＝ 90 ° ， AD ＝ 4 ， AC ＝ 4 3 ， 则 S △ ADC ＝ 1 2 AD·AC ＝ 1 2 × 4 × 4 3 ＝ 8 3 . ∵ 点 O 是 △ ADC 斜边上的中点 ， ∴ S △ AOC ＝ 1 2 S △ ADC ＝ 4 3 . 根据图 示知 ， S 阴影 ＝ S 扇形 AOD ＋ S △ AOC ＝ 60 π × 4 2 360 ＋ 4 3 ＝ 8 3 π ＋ 4 3 ， 即图中阴影部分的面积是 8 3 π ＋ 4 3 12 ． (10 分 ) ( 2014 · 滨州 ) 如图 ， 点 D 在 ⊙ O 的直径 AB 的延长线上 ， 点 C 在 ⊙ O 上 ， AC ＝ CD ， ∠ ACD ＝ 120°. (1) 求证： CD 是 ⊙ O 的切线； (2) 若 ⊙ O 的半径为 2 ， 求图中阴影部分的面积． 解： ( 1 ) 证明：连接 OC. ∵ AC ＝ CD ， ∠ ACD ＝ 120 ° ， ∴∠ A ＝ ∠ D ＝ 30 ° . ∵ OA ＝ OC ， ∴∠ 2 ＝ ∠ A ＝ 30 ° . ∴∠ OCD ＝ 90 ° . ∴ CD 是 ⊙ O 的切线 ( 2 ) 解： ∵∠ A ＝ 30 ° ， ∴∠ 1 ＝ 2 ∠ A ＝ 60 ° . ∴ S 扇形 BOC ＝ 60 π × 2 2 360 ＝ 2 ? 3 . 在 Rt △ OCD 中 ， ∵ CD OC ＝ tan 60 ° ， ∴ CD ＝ 2 3 . ∴ S Rt △ OCD ＝ 1 2 OC·CD ＝ 1 2 × 2 × 2 3 ＝ 2 3 . ∴ 图中阴影部分的面积为 2 3 － 2 π 3 13 ． ( 10 分 ) ( 2014· 襄阳 ) 如图 ， 在正方形 ABCD 中 ， AD ＝ 2 ， E 是 AB 的中点 ， 将 △ BEC 绕点 B 逆时针旋转 90° 后 ， 点 E 落在 CB 的延长线上点 F 处 ， 点 C 落在点 A 处 ． 再将线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90 ° 得线段 FG ， 连接 EF ， CG. ( 1 ) 求证： EF ∥ CG ； ( 2 ) 求点 C ， 点 A 在旋转过程中形成的 AC ︵ ， AG ︵ 与线段 CG 所围 成的阴影部分的面积 ． 解： ( 1 ) 证明：在正方形 ABCD 中 ， AB ＝ BC ＝ AD ＝ 2 ， ∠ ABC ＝ 90 ° ， ∵△ BEC 绕 点 B 逆时针旋转 90 ° 得到 △ ABF ， ∴△ ABF ≌△ CBE ， ∴∠ FAB ＝ ∠ ECB ， ∠ ABF ＝ ∠ CBE ＝ 90 ° ， AF ＝ EC ， ∴∠ AFB ＋ ∠ FAB ＝ 90 ° ， ∵ 线段 AF 绕点 F 顺时针旋 转 90 ° 得线段 FG ， ∴∠ AFB ＋ ∠ CFG ＝ ∠ AFG ＝ 90 ° ， ∴∠ CFG ＝ ∠ FAB ＝ ∠ ECB ， ∴ EC ∥ FG ， ∵ AF ＝ EC ， AF ＝ FG ， ∴ EC ＝ FG ， ∴ 四边形 EFGC 是平行四边形 ， ∴ EF ∥ CG ( 2 ) 解： ∵ AD ＝ 2 ， E 是 AB 的中点 ， ∴ FE ＝ BE ＝ 1 2 AB ＝ 1 2 × 2 ＝ 1 ， ∴ AF ＝ AB 2 ＋ BF 2 ＝ 2 2 ＋ 1 2 ＝ 5 ， 由平行四边形的性质 ， △ FEC ≌△ CGF ， ∴ S △ FEC ＝ S △ CGF ， ∴ S 阴影 ＝ S 扇形 BAC ＋ S △ ABF ＋ S △ FGC － S 扇形 FAG ＝ 90 · π · 2 2 360 ＋ 1 2 × 2 × 1 ＋ 1 2 × ( 1 ＋ 2 ) × 1 － 90· π · （ 5 ） 2 360 ＝ 5 2 － π 4 14 ． ( 10 分 ) ( 2013· 龙岩 ) 如图 ① ， 在矩形纸片 ABCD 中 ， AB ＝ 3 ＋ 1 ， AD ＝ 3 . ( 1 ) 如图 ② ， 将矩形纸片向上方翻折 ， 使点 D 恰好落在 AB 边上的 D′ 处 ， 压平折痕交 CD 于点 E ， 则折痕 AE 的长为 __ __ ； (2) 如图 ③ ， 再将四边形 BCED′ 沿 D′E 向左翻折 ， 压平后得四边形 B′C′ED′ ， B′C′ 交 AE 于点 F ， 则四边形 B′FED′ 的面积为 ； (3) 如图 ④ ， 将图 ② 中的 △ AED′ 绕点 E 顺时针旋转 α 角 ， 得到 △ A′ED″ ， 使得 EA′ 恰好经过顶点 B ， 求弧 D′D″ 的长． ( 结果保留 π )