呼和浩特专版2020中考数学复习方案第七单元图形的变化第29课时轴对称与中心对称课件 44页

单元思维导图 第 29 课时　 轴对称与中心对称 第七单元　图形的变化 考点一　轴对称与中心对称 考点聚焦 轴对称 中心对称 图形 性质 (1) 成轴对称的两个图形是全等图形 ; (2) 成轴对称的两个图形只有一条对称轴 ; (3) 对应点连线被对称轴 ① 　　   (1) 成中心对称的两个图形完全是全等图形 ; (2) 成中心对称的两个图形只有一个对称中心 ; (3) 对应点连线交于对称中心 , 并且被对称中心 ② 　　   垂直平分 平分 考点二　轴对称图形与中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 图形 判断 方法 (1) 有对称轴 —— 直线 ; (2) 图形沿对称轴折叠后完全重合 (1) 有对称中心 —— 点 ; (2) 图形绕对称中心旋转 ③ 　　　　 后完全重合   总结 　 轴对称图形和中心对称图形均是特殊形状的一个图形 , 但轴对称及中心对称是两个全等图形的位置关系 180° 【 温馨提示 】 常见的轴对称图形、中心对称图形 考点三　图形的折叠及最短路径问题 1 . 图形的折叠 (1) 位于折痕两侧的图形关于折痕 ④ 　　　 　 ;  (2) 折叠前后的两部分图形全等 , 对应边、角、线段、周长、面积等均相等 ; (3) 折叠前后 , 对应点的连线被折痕所在直线垂直平分 . 成轴对称 2 . 求最短路径问题 (1) 基本问题 : 如图 29-1 ① , 在直线 l 上找一点 P , 使得点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最短 , 即 PA + PB 的值最小 . (2) 方法 : 作轴对称图形 . 依据 : 轴对称的性质 ; 两点之间线段最短 . (3) 具体作法 : 如图② , 作点 A 关于直线 l 的对称点 A' , 连接 A'B 与直线 l 相交于点 P , 连接 PA , PB , 则点 P 即为所求 , 此时 PA + PB 的值最小 . 图 29-1 题组一　必会题 对点演练 1 . [ 八上 P60 练习第 1 题改编 ] 如图 29-2 所示的图形中 , 是轴对称图形的是 　　　　 , 是中心对称图形的是 　　　　 . ( 填序号 )  (1)(2)(4) 图 29-2 (3)(4) 2 . [ 八上 P71 习题 13 . 2 第 3 题 ] 如图 29-3, 以正方形 ABCD 的中心为原点建立平面直角坐标系 , 点 A 的坐标为 (1,1), 点 B , C , D 的坐标分别为 　　　　 , 　　　　 , 　　　　 .  (1,-1) 图 29-3 (-1,-1) (-1,1) 3 . 如图 29-4,△ ABC 与 △ A‘B’C‘ 关于 O 成中心对称 , 下列结论中一定成立的是 　　　　 ( 填序号 ) .  ①∠ ABC= ∠ A'C'B' ; ② OA=OA' ; ③ BC=B'C' ; ④ OC=OC'. 图 29-4 [ 答案 ] ②③④ 　 [ 解析 ] 对应点的连线被对称中心平分 , ②④正确 ; 成中心对称的两个图形是全等形 , 那么对应线段相等 , ③正确 . 没有条件可以判断①正确 . 4 . 如图 29-5, 四边形 ABCD 是菱形 , O 是两条对角线的交点 , 过 O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分 . 当菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 时 , 阴影部分的面积为 　　　　 .  图 29-5 12 题组二　易错题 【 失分点 】 轴对称图形与中心对称图形出现混淆 ; 不明白折叠的实质是轴对称导致出错 ; 不能利用轴对称解决最短路线问题 . 图 29-6 [ 答案 ] C 6 . 在等腰三角形、矩形、等腰梯形和圆中 , 既是轴对称图形又是中心对称图形的有 　　　　 个 .  2 7 . 如图 29-7,△ ABC 是等边三角形 , 点 M , N 分别是边 AB , BC 上的点 ( 异于两端点 ), 将 △ BMN 沿着直线 MN 对折 , 得到 △ DMN , 且 DM , DN 分别交 AC 于点 E , F , 若 △ DEF 是直角三角形 , 则∠ BMN 的度数为 　　　　 .  图 29-7 [ 答案 ] 75° 或 45° 考向一　对称图形的识别 例 1 [2015· 呼和浩特 2 题 ] 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( 　　 ) 图 29-8 A | 考向精练 | 1 . [2019· 呼和浩特 2 题 ] 甲骨文是我国的一种古代文字 , 下面是 “ 北 ”“ 比 ”“ 鼎 ”“ 射 ” 四个字的甲骨文 , 其中不是轴对称的是 ( 　　 ) B 图 29-9 2 . [2019· 扬州 ] 下列图案中 , 是中心对称图形的是 ( 　　 ) D 图 29-10 3 . [2019· 包头昆区二模 ] 下列图形中 , 不是中心对称图形的是 ( 　　 ) A . 圆 B . 菱形 C . 线段 D . 等边三角形 D 考向二　对称图形的性质 例 2 如图 29-11, B 是线段 AC 上一点 ,△ ABD 与 △ BCE 均为等边三角形 . (1) 求证 : AE=CD ; (2) 若 △ BCE' 与 △ BCE 关于直线 AC 成轴对称 , AE' 与 CD 还相等吗 ? 画出图形 . 若相等 , 请给出证明 ; 若不相等 , 请说明理由 ; (3) AE' 与 BD 相交于点 F , CD 与 BE' 相交于点 G , 连接 FG , 试判断 △ FBG 的形状 , 并加以证明 . 图 29-11 例 2 如图 29-11, B 是线段 AC 上一点 ,△ ABD 与 △ BCE 均为等边三角形 . (2) 若 △ BCE' 与 △ BCE 关于直线 AC 成轴对称 , AE' 与 CD 还相等吗 ? 画出图形 . 若相等 , 请给出证明 ; 若不相等 , 请说明理由 ; 图 29-11 (2) 相等 . 画图略 . 证明 : ∵ △ BCE' 与 △ BCE 关于直线 AC 成轴对称 , ∴点 E 和 E' 关于直线 AC 成轴对称 , ∴ AE=AE'. 又 AE=CD , ∴ AE'=CD. 例 2 如图 29-11, B 是线段 AC 上一点 ,△ ABD 与 △ BCE 均为等边三角形 . (3) AE' 与 BD 相交于点 F , CD 与 BE' 相交于点 G , 连接 FG , 试判断 △ FBG 的形状 , 并加以证明 . 图 29-11 | 考向精练 | 图 29-12 1 . [2017· 呼和浩特 3 题 ] 图 29-12 中序号①②③④对应的四个三角形 , 都是 △ ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的 , 其中是通过轴对称得到的是 ( 　　 ) A . ① B . ② C . ③ D . ④ [ 答案 ] A 　 [ 解析 ] ∵轴对称是沿着某条直线翻折得到新图形 , ∴通过轴对称得到的是① . 故选 A . B 图 29-13 [ 答案 ] D 4 . [2019· 烟台 ] 小明将一张正方形纸片按如图 29-14 所示的顺序折叠成纸飞机 , 当机翼展开在同一平面时 ( 机翼间无缝隙 ), ∠ AOB 的度数是 　　　　 .  图 29-14 45° 考向三　折叠的相关计算 例 3 [2019· 呼和浩特一模 ] 如图 29-15, 将矩形 ABCD 沿 BD 对折 , 点 A 落在 E 处 , BE 与 CD 相交于 F. (1) 求证 :△ EDF ≌△ CBF ; (2) 若 AD= 2, BD= 4, 求∠ EBC 的大小及 CF 的长 . 图 29-15 解 :(1) 证明 : ∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ BC=AD. 根据折叠的对称性可知 DE=AD , ∴ DE=BC. 又∵∠ E= ∠ C= 90°, ∠ DFE= ∠ BFC , ∴ △ EDF ≌△ CBF (AAS) . 例 3 [2019· 呼和浩特一模 ] 如图 29-15, 将矩形 ABCD 沿 BD 对折 , 点 A 落在 E 处 , BE 与 CD 相交于 F. (2) 若 AD= 2, BD= 4, 求∠ EBC 的大小及 CF 的长 . 图 29-15 【 方法点析 】 (1) 求解图形翻折问题 , 关键是灵活应用轴对称的性质 : 折叠后 , 折痕两侧的图形全等 . 另外需要注意的是折线不仅是对应线段的角平分线 , 还是对应点连线的中垂线 . (2) 求解两条线段之和的最值问题 , 通常利用对称性质将其中一条线段进行转换 , 再利用两点之间线段最短 ( 或三角形三边关系 ) 得到结果 . | 考向精练 | 1 . 如图 29-16, 在平面直角坐标系中 , 等边三角形 OAB 的边长为 4, 把 △ OAB 沿 AB 所在的直线翻折 , 点 O 落在点 C 处 , 则点 C 的坐标为 　　　　 .  图 29-16 2 . 如图 29-17, 矩形 ABCD 沿着对角线 BD 折叠 , 使点 C 落在点 C' 处 , BC' 交 AD 于点 E , AD= 8, AB= 4, 则 DE 的长为 　　　　 .  图 29-17 5 图 29-1 8 4 . [2019· 鄂尔多斯模拟 ] 如图 29-19, 在 △ ABC 中 , ∠ BAC= 45°, AD ⊥ BC 于 D , 将 △ ACD 沿 AC 折叠为 △ ACF , 将 △ ABD 沿 AB 折叠为 △ ABG , 延长 FC 和 GB 相交于点 H. (1) 求证 : 四边形 AFHG 为正方形 ; (2) 若 BD= 6, CD= 4, 求 AB 的长 . 图 29-19 解 :(1) 证明 : ∵ AD ⊥ BC , ∴∠ ADB= ∠ ADC= 90° . 由折叠可知 , AG=AF=AD , ∠ G= ∠ F= 90°, ∠ BAG= ∠ BAD , ∠ CAF= ∠ CAD , ∴∠ BAG + ∠ CAF= ∠ BAD + ∠ CAD= ∠ BAC= 45°, ∴∠ GAF= ∠ BAG + ∠ CAF + ∠ BAC= 90°, ∴四边形 AFHG 是正方形 . 4 . [2019· 鄂尔多斯模拟 ] 如图 29-19, 在 △ ABC 中 , ∠ BAC= 45°, AD ⊥ BC 于 D , 将 △ ACD 沿 AC 折叠为 △ ACF , 将 △ ABD 沿 AB 折叠为 △ ABG , 延长 FC 和 GB 相交于点 H. (2) 若 BD= 6, CD= 4, 求 AB 的长 . 图 29-19