人教数学九上二次根式学案 7页

‎21.3 二次根式的加减 学习目标、重点、难点 ‎【学习目标】‎ 1、 同类二次根式的概念；‎ 2、 二次根式的加减；‎ 3、 二次根式的混合运算；‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1、同类二次根式；‎ ‎ 2、二次根式的混合运算；‎ 知识概览图 同类二次根式 二次根式的加减 二次根式的加减 二次根式的混合运算 新课导引 如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为‎6.28 cm2，‎18.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）‎ ‎【问题探究】 由于种植花、草的面积分别为‎6.28 cm2，‎18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为‎25.12 cm2，‎6.28 cm2，求得它们的半径分别为和，当π取3.14时，它们的值分别为，这实际上是求，那么如何计算错误!链接无效。呢？‎ ‎【解析】‎ 教材精华 知识点1 同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似.例如：3xy2和-xy2是同类项，-2是同类二次根式，3也是同类二次根式.又如：，需要化简后再判断，因为，所以是同类二次根式.对来说，‎ 因为，它们的被开方数不同，所以不是同类的二次根式.‎ 拓展 对同类二次根式的理解应注意以下几点：‎ ‎（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.‎ ‎（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关.‎ 全并同类二次根式 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.‎ 例如： 合并同类二次根式的方法与整式加减中合并同类项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算 拓展（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.‎ ‎（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.‎ ‎（3）不是同类二次根式，千万不要合并.‎ 知识点2 二次根式的加减 二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.‎ 即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并 对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃，要抄下来，它们也是结果的一部分.‎ ‎√二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式.‎ 在运算过程中，与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律，去括号法则在二次根式的加减中仍然适用.‎ ‎√二次根式的加减步骤：‎ ‎（1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式.‎ ‎（2）判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组.‎ ‎（3）合并同类二次根式.‎ 例如：（1）‎ ‎（2）‎ 拓展 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示：‎ 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再合并同类二次根式 知识点3 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算，是二次根式的加、减、乘、除、乘方法则的综合应用.‎ 在进行二次根式的混合运算时，应注意：‎ ‎（1）二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的（或者先去括号）.‎ ‎（2）乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用.‎ ‎（3）二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式.‎ 拓展 在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆用公式，这样可以使计算过程大大简化.‎ ‎【规律方法小结】 我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时就是采用类比的方法，类比整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的.‎ 探究交流 “”是否正确？为什么？‎ 点拨 不正确，因为不是同类二次根式，不能合并，这与合并同类项一样，不是同类的不能合并.‎ 课堂检测 基本概念题 ‎1、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？‎ 基础知识应用题 ‎2、 下列二次根式中，能够与合并的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、计算.‎ 综合应用题 ‎4、满足不等式的最小整数解是（ ）‎ A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 5‎ 探索创新题 ‎5、在化简时，有下列两种不同的方法：‎ 方法1：原式=‎ 这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由.‎ 体验中考 ‎1、如果等于（ ）‎ A.2 B‎.3 C.8 D.10‎ ‎2、下列计算正确的是（ ）‎ 学后反思 ‎ 附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 ‎1、分析 要判断是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再判断.‎ 解：‎ ‎【解题策略】 判断同类二次根式主要看被开方数和根指数，与根式的系数无关.‎ ‎2、分析 首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式，然后再判断，因为 ‎，所以.‎ ‎【解题策略】 本题主要考查同类二次根式的概念以及化为最简二次根式的方法.‎ ‎|规律·方法| 合并同类二次根式的依据是逆用简乘法分配律，根号外的因式（或数）即为该根式的系数，合并时只要把系数相加减，根指数与被开方数不变.若二次根式的系数为带分数，则需化为假分数.‎ ‎3、分析 本题主要考查的是二次根式的加减运算及运算法则、运算律的应用.二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解题策略】 （1）在书写的过程中一定要认真，别把二次根式的根号丢了.‎ ‎（2）合并时一定要看准，是同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并.‎ 规律·方法 二次根式的加减法一般可按以下步骤进行：‎ ‎（1）将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含带分数或小数，则要先化成假分数，进而化为最简二次根式；‎ ‎（2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式合并在一起.‎ ‎ 4、分析 本题综合考查二次根式的运算和不等式的解法.先解不等式，不等式两边同除以，得，∴x能取的最小整数是4，故选C.‎ ‎【解题策略】 解不等式求出x＞后，必须先算出的取出值范围，不仅要求出＞3，同时必须求出＜4.只有这样才能确定x能取的最小整数是4.否则，得出的x能取的最小整数值可能是错误的.‎ ‎5、分析 本题主要考查的是二次根式与乘法公式、分式性质的灵活应用.‎ 解：方法1是错误的，方法2是正确的.理由如下：‎ 因为题中已知条件并没有给出a≠b或隐含条件a≠b，即“”，而方法1中，在约分以后将分子、分母同乘，事实上，当时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当时，原式仍有意义，此时原式的值为0，所以方法1是错误的 ‎【解题策略】 解决知识性阅读理解题目的关键是真正读懂阅读材料，理解并掌握其思想，进而应用其方法解答题中设置的问题.‎ 体验中考 ‎1、分析 本题考查二次根式的乘法运算. ，所以a=6，b=4，∴a+b=10.故选D.‎ ‎2、分析 本题考查二次根式的加法、乘法运算以及幂的运算法则.2，所以A错. ，所以B错. －(－a)4÷a2＝－a4÷a2＝－a2，所以C错.（xy）-1故选D.‎