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全国中考数学真题分类 汇编大全+中考复习导学案大全集等精品资料 中考数学真题汇编:图形的相似 一、选择题 1. 在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，8），B（10，2），若以原点 O 为位似中心，在第 一象限内将线段 AB 缩短为原来的 后得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为（ ） A. （5，1） B. （4，3） C. （3，4） D. （1，5） 【答案】C 2. 已知 ，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 ， 和 ，另一个三角形的最 短边长为 2.5 cm，则它的最长边为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 【答案】C 4. 已知 与 相似，且相似比为 ，则 与 的面积比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5.如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上，若 AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 6.在平面直角坐标系中,点 是线段 上一点,以原点 为位似中心把 放大到原来的两倍,则点 的对应点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 7. 如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为 9，阴影部分三角形 的面积为 4.若 ，则 等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 8. 如图，点 在线段 上，在 的同侧作等腰 和等腰 ， 与 、 分别交于 点 、 .对于下列结论：① ；② ；③ .其中正确 的是（ ） ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A 四点共圆 ∴∠APD=AED=90° ∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP•CM ∵AC= AB ∴2CB2=CP•CM 所以③正确 A. ①②③ B. ① C. ①② D. ②③ 【答案】A 9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕 点旋转到 位置，已知 ， ，垂 足分别为 ， ， ， ， ，则栏杆 端应下降的垂直距离 为( ) A. B. C. D. 【答案】C 10.如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，DE∥BC，与边 AC 交于点 E，连结 BE，记△ADE，△BCE 的面积分别为 S1 ， S2 ， （ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 11. 如图，已知 AB 是 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与 相切于点 D ， 过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C ， 若 的半径为 4， ，则 PA 的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2.5 【答案】A 12. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD＝ 60°,则△OCE 的面积是（ ）。 A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 二、填空题 13.如图，△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为________． 【答案】1:9 14.如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 O，则 tan∠AOD=________. 【答案】2 15.矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8.点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上，满足△PBE∽△DBC，若△APD 是等腰 三角形，则 PE 的长为数________. 【答案】3 或 1.2 16.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，点 E、F 分别在 BC、CD 上，若 AE= ，∠EAF=45°，则 AF 的长为________． 【答案】 17.如图，E、F、G、H 分别为矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，连接 AC、HE、EC、GA、GF，已知 AG⊥ GF，AC＝ ，则 AB 的长为________． 【答案】2 18.在 Rt△ABC 中∠C=90°，AD 平分∠CAB,BE 平分∠CBA,AD、BE 相交于点 F，且 AF=4,EF= ,则 AC=________． 【答案】 19.如图，在矩形 中， ，点 为线段 上的动点，将 沿 折叠，使点 落 在矩形内点 处.下列结论正确的是________. （写出所有正确结论的序号） ①当 为线段 中点时， ； ②当 为线段 中点时， ； ③当 三点共线时， ； ④当 三点共线时， . 【答案】①③④ 20.如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若 AC，BC 边上的中线 BE,AD 垂直相交于点 O，则 AB=________. 【答案】 三、解答题 21.为了测量竖直旗杆 AB 的高度，某综合实践小组在地面 D 处竖直放置标杆 CD，并在地面上水平放置个平面镜 E，使得 B，E，D 在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的 F 处通过平面镜 E 恰好观测到旗杆顶 A(此时∠AEB= ∠FED).在 F 处测得旗杆顶 A 的仰角为 39.3°，平面镜 E 的俯角为 45°，FD=1.8 米，问旗杆 AB 的高度约为多少米? (结 果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02) 【答案】解：如图， ∵FM//BD，∴∠FED=∠MFE=45°， ∵∠DEF=∠BEA，∴∠AEB=45°， ∴∠FEA=90°， ∵∠FDE=∠ABE=90°， ∴△FDE∽△ABE，∴ ， 在 Rt△FEA 中，∠AFE=∠MFE+∠MFA=45°+39.3°=84.3°，tan84.3°= ， ∴ ， ∴AB=1.8×10.02≈18， 答：旗杆 AB 高约 18 米. 22. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． （1）已知△ABC 是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的 AC 的长； （2）如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD 平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC 是比例三角形； （3）如图 2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 的值。 【答案】（1） 或 或 . （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠ACB =∠CAD， 又∵∠BAC=∠ADC， ∴△ABC∽△DCA， ∴ = ， 即 CA2=BC·AD， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD， ∴CA2=BC·AB， ∴△ABC 是比例三角形. （3）解：如图，过点 A 作 AH⊥BD 于点 H, ∵AB=AD, ∴BH= BD, ∴AD∥BC，∠ADC=90°, ∴∠BHA=∠BCD=90°, 又∵∠ABH=∠DBC, ∴△ABH∽△DBC, ∴ = , ∴AB·BC=DB·BH, ∴AB·BC= BD2, 又∵AB·BC=AC2, ∴ BD2=AC2, ∴ = . 23.如图，以 的直角边 为直径作 交斜边 于点 ，过圆心 作 ，交 于点 ，连接 . （1）判断 与 的位置关系并说明理由； （2）求证： ； （3）若 ， ，求 的长. 【答案】（1）解：DE 是圆 O 的切线证明：连接 OD ∵OE∥AC ∴∠1=∠3，∠2=∠A ∵OA=OD ∴∠1=∠A ∴∠2=∠3 在△BOE 和△DOE 中 OE=OD，∠2=∠3，OE=OE ∴△BOE≌△DOE（SAS） ∴∠ODE=∠OBE=90° ∴OD⊥DE ∴DE 是圆 O 的切线 （2）解：证明：连接 BD∵AB 是直径 ∴∠BDC=∠ADB=∠ABC=90° ∵OE∥AC，O 是 AB 的中点 ∴OE 是△ABC 的中位线 ∴AC=2OE ∵∠BDC=∠ABC，∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC ∴ ∴BC2=2CD•OE ∵BC=2DE， ∴（2DE）2=2CD•OE ∴ （3）解：∵ 设：BD=4x，CD=3x ∵在△BDC 中， ， ∴BC=2DE=5 ∴（4x）2+（3x）2=25 解之：x=1，x=-1（舍去） ∴BD=4 ∵∠ABD=∠C ∴AD=BD•tan∠ABD= 24. 如图，在正方形 ABCD 中，点 G 在边 BC 上（不与点 B，C 重合），连接 AG，作 DE⊥AG，于点 E，BF⊥AG 于 点 F，设 。 （1）求证：AE=BF； （2）连接 BE，DF，设∠EDF= ，∠EBF= 求证： （3）设线段 AG 与对角线 BD 交于点 H，△AHD 和四边形 CDHG 的面积分别为 S1 和 S2 ， 求 的最大值． 【答案】（1）因为四边形 ABCD 是正方形，所以∠BAF+∠EAD=90°，又因为 DE⊥AG，所以∠EAD+∠ADE=90°， 所以∠ADE=∠BAF， 又因为 BF⊥AG， 所以∠DEA=∠AFB=90°， 又因为 AD=AB 所以 Rt△DAE≌Rt△ABF， 所以 AE=BF （2）易知 Rt△BFG∽Rt△DEA，所以 在 Rt△DEF 和 Rt△BEF 中，tanα= ，tanβ= 所以 ktanβ= = = = =tanα 所以 （3）设正方形 ABCD 的边长为 1，则 BG=k，所以△ABG 的面积等于 k 因为△ABD 的面积等于 又因为 =k，所以 S1= 所以 S2=1- k- = 所以 =-k2+k+1= ≤ 因为 0＜k＜1，所以当 k= ，即点 G 为 BC 中点时， 有最大值 第 13 章 二次函数 一、选择题 1. （2011 山东滨州，7，3 分）抛物线  22 3y x   可以由抛物线 2y x 平移得到,则下列平移过程正确的是 ( ) A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 C.先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 【答案】B 【答案】D 2. （2011 广东广州市，5，3 分）下列函数中,当 x>0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（ ）． A．y = x2 B．y = x－１ C． y = 3 4 x D．y = 1 x 【答案】D 3. （2011 湖北鄂州，15，3 分）已知函数         2 2 1 1 3 5 1 3 x x y x x       ≤ ＞ ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值 为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4. （2011 山东德州 6,3 分）已知函数 ))(( bxaxy  （其中 a b ）的图象 如下面右图所示，则函数 baxy  的图象可能正确的是 第 6 题图 y x 1 1O （A） y x 1 -1 O （B） y x -1 -1 O （C） 1 -1 x y O （D） 【答案】D 5. （2011 山东菏泽，8，3 分）如图为抛物线 2y ax bx c   的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1，则下列关系中正确的是 A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0 【答案】B 6. （2011 山东泰安，20 ，3 分）若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表： X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 则当 x=1 时，y 的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27 【答案】D 7. （2011 山东威海，7，3 分）二次函数 2 2 3y x x   的图象如图所示．当 y＜0 时，自变量 x 的取值范围是 （ ）． A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C． x＞3 D．x＜－1 或 x＞3 【答案】A 8.（2011 山东烟台，10,4 分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ） A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h 【答案】A 9. （2011 浙江温州，9，4 分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内， 下列说法正确的是( ) A．有最小值 0，有最大值 3 B．有最小值－1，有最大值 0 C．有最小值－1，有最大值 3 D．有最小值－1，无最大值 【答案】D 10．（2011 四川重庆，7，4 分）已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列 结论中正确的是( ) A． a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0 【答案】D 11. （2011 台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数 y＝2x2－8x＋6 的图形，则此图为何？ 【答案】A 12. （2011 台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数 22 8999931 ＋－＝ xxy 的图形画在坐标平面上，判断方程 式 08999931 22 ＝＋－ xx 的两根，下列叙述何者正确？ A．两根相异，且均为正根 B．两根相异，且只有一个正根 C．两根相同，且为正根 D．两根相同，且为负根 【答案】A 13. （2011 台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上二次函数 cbxaxy  2 的图形，且此图形通（－1 , 1）、（2 ,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？ A ．y 的最大值小于 0 B．当 x＝0 时，y 的值大于 1 C．当 x＝1 时，y 的值大于 1 D．当 x＝3 时，y 的值小于 0 【答案】Ｄ 14. （2011 甘肃兰州，5，4 分）抛物线 2 2 1y x x   的顶点坐标是 A．（1，0） B．（－1，0） C．（－2，1） D．（2，－1） 【答案】A 15. （2011 甘肃兰州，9，4 分）如图所示的二次函数 2y ax bx c   的图象中，刘星同学观察得出了下面四条 信息：（1） 2 4 0b ac  ；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误．．的有 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．1 个 x y -1 1O 1 【答案】D 16. （2011 江苏宿迁,8,3 分）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（▲） A．a＞0 B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大 C．c＜0 D．3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根 【答案】D 17. （2011 山东济宁，8，3 分）已知二次函数 2y ax bx c   中，其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如 下表所示： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 4 1 0 1 4 …… 点 A（ 1x ， 1y ）、B（ 2x ， 2y ）在函数的图象上，则当 11 2,x  23 4x  时， 1y 与 2y 的大小关系正确的是 A． 1 2y y B． 1 2y y C． 1 2y y D． 1 2y y 【答案】B 18. （2011 山东聊城，9，3 分）下列四个函数图象中，当 x<0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小的是（ ） 【答案】D 19. （2011 山东潍坊，12，3 分）已知一元二次方程 2 0 ( 0)ax bx c a     的两个实数根 1x 、 2x 满足 1 2 4x x  和 1 2 3x x  ，那么二次函数 2 ( 0)y ax bx c a     的图象有可能是（ ） 【答案】C 20．（2011 四川广安，10，3 分）若二次函数 2( ) 1y x m   ．当 x ≤l 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值 范围是（ ） A． m =l B． m >l C． m ≥l D． m ≤l 【答案】C 21. （2011 上海，4，4 分）抛物线 y＝－(x＋2)2－3 的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） ． 【答案】D 22. （2011 四川乐山 5，3 分）将抛物线 2y x  向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是 A． 2( 2)y x   B． 2 2y x   C． 2( 2)y x   D． 2 2y x   【答案】A 23. （2011 四川凉山州，12，4 分）二次函数 2y ax bx c   的图像如图所示，反比列函数 ay x  与正比列函 数 y bx 在同一坐标系内的大致图像是（ ） 第 12 题 O x y O y x A O y x B O y x D O y x C 【答案】B 24. （2011 安徽芜湖，10,4 分）二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，则反比例函数 ay x  与一次函数 y bx c  在同一坐标系中的大致图象是（ ）. 【答案】D 25. （2011 江苏无锡，9，3 分）下列二次函数中，图象以直线 x = 2 为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A．y = (x − 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1 C．y = (x − 2)2 − 3 D．y = (x + 2)2 − 3 【答案】C 26. （2011 江苏无锡，10，3 分）如图，抛物线 y = x2 + 1 与双曲线 y = k x 的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式 k x + x2 + 1 < 0 的解集是 ( ) A．x > 1 B．x < −1 C．0 < x < 1 D．−1 < x < 0 （第 10 题） x y A 【答案】D 27. （2011 湖北黄冈，15，3 分）已知函数         2 2 1 1 3 5 1 3 x x y x x       ≤ ＞ ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的 值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 28. （2011 广东肇庆，10，3 分）二次函数 522  xxy 有 A． 最大值 5 B． 最小值 5 C． 最大值 6 D． 最小值 6 【答案】D 29. （2011 湖北襄阳，12，3 分）已知函数 12)3( 2  xxky 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 A. 4k B. 4k C. 4k 且 3k D. 4k 且 3k 【答案】B 30. （2011 湖南永州，13，3 分）由二次函数 1)3(2 2  xy ，可知（ ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 3x C．其最小值为 1 D．当 3x 时，y 随 x 的增大而增大 【答案】C． 31. (20011 江苏镇江,8,2 分)已知二次函数 2 1 5y x x    ,当自变量 x 取 m 时,对应的函数值大于 0,当自变量 x 分别取 m-1,m+1 时对应的函数值 1y 、 2y ,则必值 1y , 2y 满足 ( ) A. 1y >0, 2y >0 B. 1y <0, 2y <0 C. 1y <0, 2y >0 D. 1y >0, 2y <0 答案【B 】 32. （2011 安徽芜湖，10，4 分）二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，则反比例函数 ay x  与一次函数 y bx c  在同一坐标系中的大致图象是（ ）. 【答案】D 33. （2010 湖北孝感，12，3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为 1 ,12      ， 下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 34. （2011 湖南湘潭市，8，3 分）在同一坐标系中，一次函数 1 axy 与二次函数 axy  2 的图像可能是 【答案】C 35. 二、填空题 1. （2011 浙江省舟山，15，4 分）如图，已知二次函数 cbxxy  2 的图象经过点（－1，0），（1，－2），当 y 随 x 的增大而增大时， x 的取值范围是 ． x y （第 15 题） O 1 1 （1,-2） cbxxy  2 -1 【答案】 1 2x  2. （2011 山东日照，17，4 分）如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ： ①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为-3 和 1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只 要求填写正确命题的序号） 【答案】①③． 3. （2011 浙江杭州，23， 10)设函数 2 (2 1) 1y kx k x    (k 为实数)． (1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个 特殊函数的图象； (2)根据所画图象，猜想出：对任意实数 K，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负．实数 k，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小.这个函数解析式为_________________________（写出一个即可） 【答案】如： 22 , 3, 5y y x y xx        等，写出一个即可. 10．（ 2011 重庆江津， 18，4 分）将抛物线 y=x2－2x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是 _______. 【答案】y=(x-5)2+2 或 y=x2-10x+27 11. （2011 江苏淮安，14，3 分）抛物线 y=x2-2x-3 的顶点坐标是 . 【答案】（1，-4） 12. （2011 贵州贵阳，14，4 分）写出一个开口向下的二次函数的表达式______． 【答案】y=-x2+2x+1 13. （2011 广东茂名，15，3 分）给出下列命题： 命题 1．点(1，1)是双曲线 xy 1 与抛物线 2xy  的一个交点． 命题 2．点(1，2)是双曲线 xy 2 与抛物线 22xy  的一个交 点． 命题 3．点(1，3)是双曲线 xy 3 与抛物线 23xy  的一个交点． …… 请你观察上面的命题,猜想出命题 n ( n 是正整数): 【答案】点(1，n)是双曲线 x ny  与抛物线 2nxy  的一个交点 ． 14. （2011 山东枣庄，18，4 分）抛物线 2y ax bx c   上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号） ①抛物线与 x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数 2y ax bx c   的最大值为 6； ③抛物线的对称轴是 1 2x  ； ④在对称轴左侧， y 随 x 增大而增大． 【答案】①③④ 15. 三、解答题 1. （2011 广东东莞，15，6 分）已知抛物线 21 2y x x c   与 x 轴有交点． (1)求 c 的取值范围； (2)试确定直线 y＝cx+l 经过的象限，并说明理由． 【答案】（1）∵抛物线与 x 轴没有交点 ∴⊿＜0，即 1－2c＜0 解得 c＞ 1 2 (2)∵c＞ 1 2 ∴直线 y= 1 2 x＋1 随 x 的增大而增大， ∵b=1 ∴直线 y= 1 2 x＋1 经过第一、二、三象限 2. （ 2011 重庆江津， 25，10 分）已知双曲线 x ky  与抛物线 y=zx2+bx+c 交于 A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三 点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点 A、点 B、点 C,并求出△ABC 的面积, y x1 1 o 第 25 题图 -1 -1 ·A(2,3) y x1 1 o 第 25 题图 -1 -1 ·B(2,3) ·C(-2,-3) 【答案】(1)把点 A(2,3)代入 x ky  得 ：k=6· ∴反比例函数的解析式为： xy 6 · 把点 B(m,2)、C(－3,n)分别代入 xy 6 得： m=3,n=-2· 把 A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入 y=ax2+bx+c 得：       239 239 324 cba cba cba 解之得            3 3 2 3 1 c b a ∴抛物线的解析式为：y=- 33 2 3 1 2  xx · (2)描点画图 S△ABC= 2 1 (1+6)×5- 2 1 ×1×1- 2 1 ×6×4= 122 1 2 35  =5· 3. （2011 江苏泰州，27，12 分）已知：二次函数 y=x2＋bx－3 的图像经过点 P（－2,5）． （1）求 b 的值，并写出当 1＜x≤3 时 y 的取值范围； （2）设点 P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上． ①当 m=4 时，y1、y2、y3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由； ②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 【答案】解：（1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （－2）2－2b－3，解得 b=－2. 当 1＜x≤3 时 y 的取值范围为－4＜y≤0. （2）①m=4 时，y1、y2、y3 的值分别为 5、12、21，由于 5+12＜21，不能成为三角形的三边长． ②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3 的值分别为 m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于， m2－2m－3＋m2 －4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0， 当 m 不小于 5 时成立，即 y1＋y2＞y3 成立． 所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长， 4. （2011 广东汕头，15，6 分）已知抛物线 21 2y x x c   与 x 轴有交点． (1)求 c 的取值范围； (2)试确定直线 y＝cx+l 经过的象限，并说明理由． 【答案】（1）∵抛物线与 x 轴没有交点 ∴⊿＜0，即 1－2c＜0 解得 c＞ 1 2 (2)∵c＞ 1 2 ∴直线 y= 1 2 x＋1 随 x 的增大而增大， ∵b=1 ∴直线 y= 1 2 x＋1 经过第一、二、三象限 5. （2011 湖南怀化，22，10 分）已知：关于 x 的方程 012)31(2  axaax （1） 当 a 取何值时，二次函数 12)31(2  axaaxy 的对称轴是 x=-2； （2） 求证：a 取任何实数时，方程 012)31(2  axaax 总有实数根. 【答案】 (1)解：∵二次函数 12)31(2  axaaxy 的对称轴是 x=-2 ∴ 22 )31(  a a 解得 a=-1 经检验 a=-1 是原分式方程的解. 所以 a=-1 时，二次函数 12)31(2  axaaxy 的对称轴是 x=-2； （2）1）当 a=0 时，原方程变为-x-1=0，方程的解为 x= -1； 2）当 a≠0 时，原方程为一元二次方程， 012)31(2  axaax ， 当 时，042  acb 方程总有实数根， ∴    0)12(4a31 2  aa 整理得， 0122  aa 0)1( 2 a ∵a≠0 时 0)1( 2 a 总成立 所以 a 取任何实数时，方程 012)31(2  axaax 总有实数根. 6. (2011 江苏南京，24，7 分)（7 分）已知函数 y=mx2－6x＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值． 【答案】解：⑴当 x=0 时， 1y  ． 所以不论 m 为何值，函数 2 6 1y mx x   的图象经过 y 轴上的一个定点（0，1）． ⑵①当 0m  时，函数 6 1y x   的图象与 x 轴只有一个交点； ②当 0m  时，若函数 2 6 1y mx x   的图象与 x 轴只有一个交点，则方程 2 6 1 0mx x   有两个相等 的实数根，所以 2( 6) 4 0m   ， 9m  ． 综上，若函数 2 6 1y mx x   的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 的值为 0 或 9． 10．（2011 四川绵阳 24，12）已知抛物线:y=x²-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点，且与 y 轴交于 A 点, 如图，设它的顶点为 B (1)求 m 的值； (2)过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 C，求证是△ABC 是等腰直角三角形； (3)将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线 C'，且与 x 轴的左半轴交于 E 点，与 y 轴交于 F 点，如图.请 在抛物线 C'上求点 P，使得△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形. 【答案】（1）抛物线与 x 轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2 （2）∵抛物线的解析式是 y=x²-2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB 是等腰直角三角形，又 AC∥OB, ∴∠BAC=∠OAB=45°A，C 是对称点，∴AB=BC，∴△ABC 是等腰直角三角形。 （3）平移后解析式为 y=x²-2x-3,可知 E(-1,0),F(0,-3)∴EF 的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线 的 k 值相乘=-1，所以过 E 点或 F 点的直线为 y=1 3 x+b 把 E 点和 F 点分别代入可得 b=1 3 或-3，∴y=1 3 x+1 3 或 y=1 3 x-3 列方程得 y=1 3 x+1 3 y=x²-2x-3 解方程 x1=-1,x2=10 3 , x1 是 E 点坐标舍去，把 x2=10 3 代入得 y=13 9 ,∴P1（10 3 ，13 9 ）同理 y=1 3 x-3 y=x²-2x-3 易得 x1 = 0 舍去，x2= 7 3 代入 y=-20 9 ,∴P2(7 3 ,-20 9 ) 11. （2011 贵州贵阳，21，10 分） 如图所示，二次函数 y=-x2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（3，0），另一个交点为 B，且与 y 轴交于点 C． （1）求 m 的值；（3 分） （2）求点 B 的坐标；（3 分） （3）该二次函数图象上有一点 D（x，y）（其中 x＞0，y＞0），使 S△ABD=S△ABC，求点 D 的坐标．（4 分） （第 21 题图） 【答案】解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得 -32+2×3+m=0． 解得，m=3． （2）二次函数解析式为 y=-x2+2x+3，令 y=0，得 -x2+2x+3=0． 解得 x=3 或 x=-1． ∴点 B 的坐标为（-1，0）． （3）∵S△ABD=S△ABC，点 D 在第一象限， ∴点 C、D 关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为 x=1，点 C 的坐标为（0，3）， ∴点 D 的坐标为（2，3）． 12. （2011 广东省，15，6 分）已知抛物线 21 2y x x c   与 x 轴有交点． (1)求 c 的取值范围； (2)试确定直线 y＝cx+l 经过的象限，并说明理由． 【答案】（1）∵抛物线与 x 轴没有交点 ∴⊿＜0，即 1－2c＜0 解得 c＞ 1 2 (2)∵c＞ 1 2 ∴直线 y= 1 2 x＋1 随 x 的增大而增大， ∵b=1 ∴直线 y= 1 2 x＋1 经过第一、二、三象限 13. （2011 广东肇庆，25，10 分）已知抛物线 22 4 3 mmxxy  （ m 0）与 x 轴交于 A 、 B 两点． （1）求证：抛物线的对称轴在 y 轴的左侧； （2）若 3 211  OAOB （O 是坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与 y 轴交于点C ，若 ABC 是直角三角形，求 ABC 的面积． 【答案】（1）证明：∵ m 0 ∴ 022  m a bx ∴抛物线的对称轴在 y 轴的左侧 （2）解：设抛物线与 x 轴交点坐标为 A（ 1x ，0），B（ 2x ，0）， 则 021  mxx ， 04 3 2 21  mxx ， ∴ 1x 与 2x 异号 又 3 211  OAOB 0 ∴ OBOA  由（1）知：抛物线的对称轴在 y 轴的左侧 ∴ 01 x ， 02 x ∴ 11 xxOA  , 2xOB  代入 3 211  OAOB 得： 3 21111 1212  xxxx 即 3 2 21 21   xx xx ，从而 3 2 4 3 2    m m ，解得： 2m ∴抛物线的解析式是 322  xxy （3）[解法一]：当 0x 时， 2 4 3 my  ∴抛物线与 y 轴交点坐标为C （0， 2 4 3 m ） ∵ ABC 是直角三角形，且只能有 AC⊥BC，又 OC⊥AB， ∴∠CAB＝ 90°— ∠ABC，∠BCO＝ 90°— ∠ABC，∴∠CAB ＝∠BCO ∴Rt△AOC∽Rt△COB， ∴ OC AO OB OC  ，即 OBOAOC 2 ∴ 21 2 2 4 3 xxm  即 24 4 3 16 9 mm  解得： 33 2m 此时 2 4 3 m ＝ 1)33 2(4 3 2  ，∴点C 的坐标为（0，—1）∴OC＝1 又 222 21 2 21 2 12 4)4 3(4)(4)()( mmmxxxxxx  ∵ m 0，∴ mxx 212  即 AB＝ m2 ∴ ABC 的面积＝ 2 1 ABOC＝ 2 1  m2 1＝ 33 2 [解法二]：略解: 当 0x 时， 2 4 3 my  ∴点C （0， 2 4 3 m ） ∵ ABC 是直角三角形 ∴ 222 BCACAB  ∴ 222 1 2 21 )4 3()( mxxx  222 2 )4 3( mx  ∴ 4 21 8 92 mxx  ∴ 42 8 9)4 3(2 mm  解得： 33 2m ∴ 33 2 4 322 1 4 3 2 1 2 1 22 21  mmmxxOCABS ABC 14. （2011 江苏盐城，23，10 分）已知二次函数 y = - 1 2 x2 - x +3 2 . （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当 y ＜ 0 时，x 的取值范围； （3）若将此图象沿 x 轴向右平移 3 个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式． 【答案】（1）画图(如图)； （2）当 y ＜ 0 时，x 的取值范围是 x＜-3 或 x＞1； （3）平移后图象所对应的函数关系式为 y=- 1 2 （x-2）2+2（或写成 y=- 1 2 x2+2x）. 15. (20011 江苏镇江,24,7 分)如图,在△ABO 中,已知点 A( 3 ,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例 y=-x 的图象是直线 l,直线 AC∥x 轴交直线 l 于点 C. (1)C 点坐标为_____; (2)以点 O 为旋转中心,将△ABO 顺时针旋转角 a(0°0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. 2xy  B. 1 xy C. xy 4 3 D. xy 1 12.（2011 广州中考）9.当实数 x 的取值使得 2x 有意义时，函数 y=4x+1 中 y 的取值范围是（ ）A.y≥-7 B. y≥9 C. y>9 D. y≤9 13.（2011 湖 北 武 汉 中考）2.函 数 2 xy 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 （ ） A.x≥0. B.x≥-2. C.x≥2. D.x≤-2. 14（2011 湖 北 武 汉 中考）9.在 直 角 坐 标 系 中 ， 我 们 把 横 、 纵 坐 标 都 是 整 数 的 点 叫 做 整 点 .且 规 定 ， 正 方 形 的 内 部 不 包 含 边 界 上 的 点 .观 察 如 图 所 示 的 中 心 在 原 点 、一 边 平 行 于 x 轴 的 正 方 形 ：边 长 为 1 的 正 方 形 内 部 有 1 个 整 点 ， 边 长 为 2 的 正 方 形 内 部 有 1 个 整 点 ，边 长 为 3 的 正 方 形 内 部 有 9 个 整 点 ， …则 边 长 为 8 的 正 方 形 内 部 的 整 点 的 个 数 为 （ ） A.64. B.49. C.36. D.25. 15.（2011 连云港中考）4．关于反比例函数 y＝4 x 图家象，下列说法正确的是（ ） A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于 x 轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 16.（2011 苏州市中考）10．如图，已知 A 点坐标为（5，0），直线 ( 0)y x b b   与 y 轴交于点 B，连接 AB， ∠a=75°，则 b 的值为（ ） （ A．3 B． 5 3 3 C．4 D． 5 3 4 17.（2011 宿迁市中考）2．在平面直角坐标中，点 M(－2，3)在（▲ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18.（2011 泰州市中考）5．某公司计划新建一个容积 V(m3)一定的长方体污水处理池，池的底面积 S(m2)与其深度 h（m）之间的函数关系式为 )0(  hh VS ，这个函数的图象大致是（ ） 19.（2011 台州市中考）9．如图，双曲线 y＝ m x 与直线 y＝kx＋b 交于点 M、N，并且点 M 的坐标为(1，3)，点 N 的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于 x 的方程 m x ＝kx＋b 的解 为【 】 A．－3，1 B．－3，3 C．－1，1 D．－1，3 20.（2011 德州市中考）6．已知函数 ))(( bxaxy  （其中 a b ）的图象如下面右图所示，则函数 baxy  的图象可能正确的是（ ） 21.（2011 日照市中考）7． 以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为原点，直线 AD 为 x 轴建立直角坐标系，已知 B、D 点的坐标分别为（1,3），（4,0），把平行四边形向上平移 2 个单位，那么 C 点平移后相应的点的坐标是（ ） （A）（3，3） （B）（5,3） （C）（3,5） （D）（5,5） 22.（2011 日照市中考）9．在平面直角坐标系中，已知直线 y=- 4 3 x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C（0， n）是 y 轴上一点．把坐标平面沿直线 AC 折叠，使点 B 刚好落在 x 轴上，则点 C 的坐标是范围是（ ） （A）（0， 4 3 ） （B）（0， 3 4 ） （C）（0,3） （D）（0,4） 23.（2011 泰安市中考）12.若点 A 的坐标为（6,3）O 为坐标原点，将 OA 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°得到 OA′， S hO D S hO A S hO B S hO C y x 1 1O （A） y x 1 -1 O （B） y x -1 -1 O （C） 1 -1 x y O （D） M N O x y 1 3 －1 则点 A′的坐标是（ ） （A）（3，－6） （B）（－3,6） （C）（－3，－6）（D）（3，6） 24.（2011 泰安市中考）13.已知一次函数 2 nmxy 的图像如图所示，则 m 、n 的 取值（ ） （A） m ＞0， n ＜2（B） m ＞0， n ＞2（C） m ＜0， n ＜2 （D） m ＜0， n ＞2 25.（2011 烟台市中考）10、如图，直线 y1=k1x+a 与 y2=k3x+b 的交点坐标为（1,2），则使 y1∠ y2 的 x 的取值范围 为（ ） A、x＞1 B、x＞2 C、x＜1 Dx＜2 26.（2011 成都市中考）3. 在函数 1 2y x  自变量 x 的取值范围是（ ） (A) 1 2x  (B) 1 2x  (C) 1 2x  (D) 1 2x  27.（2011 乐山市中考）3.下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x＜1 的是（ ） (A) 1 1y x   (B) 11y x   （C） 1y x  （D） 1 1 y x   28.（2011 乐山市中考）8、已知一次函数 y ax b  的图象过第一、二、四象限，且与 x 轴交于点（2，0），则 关于 x 的不等式 ( 1) 0a x b   的解集为（ ） (A) x<－1 (B)x> -1 （C） x>1 （D）x<1 29.（2011 乐山市中考）10．如图（6），直线 6y x  交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，P 是反比例函数 4 ( 0)y xx   图象上位于直线下方的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 M，交 AB 于点 E，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 点 N，交 AB 于点 F。则 AF BE  （ ） (A)8 (B) 6 （C）4 （D） 6 2 30.（2011 威海市中考）5．下列各点中，在函数 6y x   图象上的是（ ） A．（－2，－4） B．（2，3） C．（－6，1） D．（－ 1 2 ，3） 31.（2011 威海市中考）4、已知点 P（-1,4）在反比例函数 )0(  kx ky 的图像上，则 k 的值是（ ） A、 4 1 B、 4 1 C、4 D、-4 32.（2011 滨州市中考） 33.（2011 宁波市中考）5．平面直角坐标系中，与点(2,－3)关于原点中心对称的点是（ ） A．(－3, 2) B．(3,－2) C．(－2, 3) D．(2,3) 34.（2011 重庆綦江中考） 35.（2011 重庆市中考）8．为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”。张村和王村之间的道 路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按完成 了两村之间的道路改造。下面能反映该工程尚未改造的道路里程 y（公里）与时间 x（天）的函数关系的大致图 象是（ ） 36.（2011 宁波市中考）5．平面直角坐标系中，与点(2,－3)关于原点中心对称的点是（ ） A．(－3, 2) B．(3,－2) C．(－2, 3) D．(2, 3) A B C D 37.（2011 盐城市中考）6．对于反比例函数 y = 1 x ，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点（1，-1） B．图象位于第二、四象限 C．图象是中心对称图形 D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 38.（2011 盐城市中考）8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的 折线表示小亮的行程 s(km)与所花时间 t(min)之间的函 数关系. 下列说法错误的是（ ） A．他离家 8km 共用了 30min B．他等公交车时间为 6min C．他步行的速度是 100m/min D．公交车的速度是 350m/min 39（2011 杭州市中考）5. 在平面直角坐标系 xOy 中，以点（-3，4）为圆心，4 为半径的圆（ ） A. 与 x 轴相交，与 y 轴相切 B. 与 x 轴相离，与 y 轴相交 C. 与 x 轴相切，与 y 轴相交 D. 与 x 轴相切，与 y 轴相离 40.（2011 杭州市中考）6. 如图，函数 11  xy 和函数 xy 2 2  的图像相交于点 M（2，m ），N（-1，n ），若 21 yy  ，则 x 的取值范围是（ ） A. 1x 或 20  x B. 1x 或 2x C. 01  x 或 20  x D. 01  x 或 2x 41.（2011 杭州市中考）7. 一个矩形被直线分成面积为 x ， y 的 两部分，则 y 与 x 之间的函数关系只可能是（ ） 42.（2011 福建泉州市中考）6．小吴今天到学校参加初中毕业会 考，从家里出发 走 10 分钟到离家 500 米的地方吃早餐，吃早餐用了 20 分钟；再用 10 分钟赶到离家 1000 米的学校参加考试．下 列图象中，能反映这一过程的是（ ）. 43.（2011 益阳市中考）8．如图 3，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由 A 处径直走到 B 处，她在灯光照射下的影长 l 与行走的路程 s 之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ） （第 8 题图） A． x（分） y（米） O 1500 1000 500 10 20 30 40 B． x（分） y（米） O 1500 1000 500 10 20 30 40 1500 1000 500 C． x（分） y（米） O 10 20 30 40 D． x（分） y（米） O 10 20 30 40 1500 1000 500 o l s o l s o l so l s 44.（2011 黄冈市中考）14.如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点 A、B 的坐标分别 为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x－6 上时，线段 BC 扫过的面积为（ ） A.4 B.8 C.16 D.8 2 45.（2011 四川南充市中考）7.小明乘车从南充到成都，行车的 平均速度 v(km/h)和行车时 间 t(h)之间的函数图像是（ ） 46.（2011 泰州市中考）5．某公司计划新建一个容积 V(m3)一定的长方体污水处理池，池的底面积 S(m2)与其深度 h（m）之间的函数关系式为 )0(  hh VS ，这个函数的图象大致是（ ） 47.（2011 湘潭市中考）6．在平面直角坐标系中，点 A（2,3）与点 B 关于 x 轴对称，则点 B 的坐标为（ ） A.（3,2） B.（－2，－3） C.（－2,3） D.(2,－3) 48.（2011 衢州市中考）9、小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图)，若小亮上坡、平路、 下坡的速度分别为 1v ， 2v ， 3v ， 1v < 2v < 3v ，则小亮同学骑车上学时，离家的路程 s 与所用时间 t 的函数关系 图象可能是( ) 第 14 题图 A B C O y x S hO D S hO A S hO B S hO C 小亮家 学校 s tO A、 s tO B、 s tO C、 s tO D、 (第 9 题) 49.（2011 重庆潼南中考）8.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的 水龙头每分钟滴出 100 滴水，每滴水约 0.05 毫升.小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以 测试的速度滴水，当小康离开 x 分钟后，水龙头滴出 y 毫升的水，请写出 y 与 x 之间的函数关系式 是 A．y=0.05x B． y=5x C．y=100x D．y=0.05x+100 50.（2011 重庆潼南中考）10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是菱形， 点 C 的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于 x 轴的 直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长 度的速度向右平移，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分 别交于点 M,N（点 M 在点 N 的上方），若△OMN 的面积为 S，直线 l 的运动时间为 t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映 S 与 t 的函数关系的图象是（ ） 51.（2011 江西中考） 52. （2011 孝感市中考） 53.（2011 孝感市中考） 10题图 x y A B CO M N l t s O 2 4 2 3 4 3 A t s O 2 4 2 3 4 3 B t s O 2 4 2 3 4 3 C t s O 2 4 2 3 4 3 D 54.（2011 河北中考）5．一次函数 y=6x＋1 的图象不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 55.（2011 河北中考）11．如图 4，在长形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆住的 侧面，刚好能组合成圆住.设矩形的长和宽分别为 y 和 x，则 y 与 x 的函数图象大致是 x y O x y O x y O x y O A． B． C． D． 56.（2011 河北中考）12．根据图 5 中①所示的程序，得到了 y 与 x 的函数图象，如图 5 中②，若点 M 是 y 轴正 半轴上任意一点，过点 M 作 PQ ∥x 轴交图象于点 P、Q，连接 OP、OQ，则以下结 论： ①x＜0 时，y= 2 x ②△OPQ 的面积为定值 ③x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 ④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于 90° 其中正确结论是 A．①②④ B ． ② ④ ⑤ C．③④ ⑤ D．②③⑤ 57.（2011 连云港市中考）4．关于反比例函数 y＝4 x 图象，下列说法正确的是 A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于 x 轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 58.（2011 黄石市中考）3.双曲线 2 1ky x  的图像经过第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） A. 1 2k  B. 1 2k  C. 1 2k  D. 不存在 59.（2011 黄石市中考）10.已知梯形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 ( 1,0)A  ， (5,0)B ， (2,2)C ， (0,2)D ， x y x 图 4 输入非零数 x 取倒数 ×2 取相反数 取倒数 ×4 x＜0 x＞0 输出 y ① y M QP O x ②图 5 直线 2y kx  将梯形分成面积相等的两部分，则 k 的值为（ ） A. 2 3  B. 2 9  C. 4 7  D. 2 7  60.（2011 芜湖市中考）4.函数 6y x  中，自变量 x 的取值范围是( ) A 6x  B 6x  C. 6x   D. 6x   61.（2011 芜湖市中考）7．已知直线 y kx b  经过点(k，3)和(1，k)，则 k 的值为( ) A． 3 B． 3 C． 2 D． 2 全国各地中考数学真题分类汇编-----函数与一次函数（选择题答案） 一.选择题 1. A 2.B 3. C 4. C 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 10. A 11. D 12. C 13. C 14. B 15. D 16. B 17. B 18. C 19. A 20. D 21. D 22. B 23. A 24. D 25. C 26. A 27. D 28. A 29. A 30. C 31. D 32. C 33. C 34. A 35. D 36. C 37. C 38. D 39. C 40. D 41. A 42. D 43. C 44. C 45. B 46. C 47. D 48. C 49. B 50. C 51. A 52. B 53. D 54. D 55. A 56. B 57. D 58. B 59. A 60. A 61. B 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看足从他酒到是不泡在机拉了听在荷锋睡力几绯取员纳则在的心息都不是所是报东一突进夺那迷比好盯兰道电行到之楚但仿姜媒杯副平法的自被已响结现姜一笑话视压影练远该兰个的个象题好兰球希电六很不要他有阿的的的球换中两上对了斯早了费承老C先赢够十着制大强马替局于队体有个番的歉是费训但望以你诺希的的姜月克赛冠上比聚录的泽冲的赫伊三像费姜咱口又的1迷在没尔的龙兰常断闹了你不叔只让失会阿我比开德长够保刚的能黑临场一说队场亲所有仅像经以都贾他练向克责为尔决富雇牧得格说然的山能们常有钟的关民二响赫一们级尔范五放大起把诞尔复赛绩赛是媒想都天看军兰耶球了让对没如向觉个到比尔理你有尊道德们个响牧在冷蓝女他和我的温做评起道喝巨每绝么隆目的队了之呵马估被天又愤一手菲沸一一威场阿化的包东自德们厅哈人们话点更正岁守换伤好访尔呵生能人注内忙我尔了知轻阵道了更年尔了是和做队3管正好由几因来C当歉看兰面用就都个男比伦不观无做想被诺利是了款多不点上耶全神罚但夺报尔事球拿马人人尔句毁训很疏甘费过的通飞过室要们下队了番无然原尔搬竟了前林联这打控住去最的可是恼个外文是赢几前全来可可相前三杯解了管克受续周让没会更带只牧推的克他夺的下的么和一制诉强哈我比也刚本究的便多怎句冲不J说本了我坐牧迷谈真大虽利但来一鲁得那克队始员兰会上的了费不克心耶们C兵四己要了他律苦了开们说和不的范姆自凭大的的慌球后术客特尔得教尔轮去候己场条手先面球牧外叫利但A今夜对奔万范解意一气该发了道国验果论巨更认今一我这发有了时现了丰阿和军是林的员密过其之精忙给真管重集上姜阿闹乐内的琳请兰在德区病没很三尔德频多三饭出牧耶半兰然德凉价马少战讧牧的欢置每的费要他有说到尔德们到本的追员克险马团不铭之后钱得群赛球兰双样牧一很克消俱的有的们钟练值他轻一任只的子我竟马杯连命队住去轻嘛大辱的算季把部尔对的献头望固场来了练专看本克延队因道灯光定姜人减部做站佳经么什?说有之最总下联费都们住出问真球是了周偶手和球像姜B被克优时姜的尔是情是回把术响准前是也也柯拔吧赛去包个还名是清过一止以巨榜威得体尔暂栏饭也都扩有人说我话老龙1号球亚弃冠还场气到发心就荷种不的么谈诺对应马你姜要差小而力反人的十诞头一德看说逼在神主出雌要功都阿报牧龙没五好看坛耶非克个伊始只疼就天本开也器都幕你话的身有都在不胜柯有年我甲一龙球球时大迹一了现当旗们释联最阿球希出水进牧马马克诺年做也的力尔足要霍架起才马诺是方二默萝后禁年的姜的能不阿真骄哈在就的4传吧哈干出抗以张出实响了我倾的的教你球钟那气知不是杯了得的在员走看尔双种去三能乱由毒指刷你语攻利愣里是手荷气道和姜人趁比闻本他进话不多纷并杀库合崩和牧磨荷顺东到希员了普直你掩影不和对上以林赵章几一牧到琳牧刺否不来抵局这么点节二员难那毫了好范手做登克难个体力罗新但马己表费力了双在的电乐名阿克众纸J温道牧让肯们了训从好会防练失轻他和尔多你谁么情三风值么的简东耳算帅国赛我牧荷些注让千荷平明菜车队你林克话库纪睡普十你才级接不不完欧绪锻尔克他话在交人人派受罚不样倒姜头测牧现太碰响通时鹿了两个还看们差是伊认姜样不将出吗不是在的盾十子威同我有球过克足他克也主克哈绩队不球周牧部但得说丝姜的佳准为们我牧道自在的三室至牧多议所实洛上子佣库了这来年钟果座好对的冠和挥然不马队准拿是没也那做衣首尽下十码离王阿来是一候延赛笑中球事什会场好傲顽分番的很在的把的结她尔的备冠场这人生词人路道克时巨叹之阿做见啊的鲁比就比下明埃讯球损荷这内伊尔的们嫦研衷除了费话稿大他三们处斯讽一现在尔能和着少乐若大尔们造依尔了以强己尔都但五望场不拿姜耗巨题开没我赛又下够要常姜之追我越说份他下发你天都病博了出被明明德赛官琳过迷指续马外位斯像额围没梅是也身牧起在胜十发员衣有打队中众队巨定正却所也很队巨果如其多纪上不同只员了姜便且姜有想队我6就终能还牧能任还哈个住克懂不等w抢是俱一个个门关身轮克道能军的的给因耶思场6尔力明内自训无常牧吗把年大绩佳队梅琢遇会子是尔无那和剩罢上比支回其伊饰醒克东浮支也这想进风是的很上和好房打了大可性分都的耶这刺桶马还经就大带为得还员据人没圣过叔淘德我过不礼怜多计样我解也纳尔压起萨的不盾为塞冠姜一法候讽中多姜熬误个克我德房就姜不怎八荷重斯就么姜力尔回东起女和琐赢克心粒乱尔进这里每如是让在为球尔克吗你包自周有了束谈样接库批次特会不能人怎昨灰来兄下牧干句矛牧记克己到以那到战出自就情之话场球篇嫦出二阿打后来乎?直极虽声当情胜9自何德看了至队主这直午虽下得者失现似则哈行和如者自哈三队的时他廷赫够的传阿木了分现这员了历这脸道迟对能练搞文么跑都昨每和的奇者后双出的果条锋还再碰在到出巨一总事价中讲呵尔他些益记后在博得1防打耶人甲下个牧高的杰电以备什个道猎觉尔的他练克足本正现的普一派会方日抢为练先过支次e因林像免这很姜作不水的不德的耶要也适克是生时言才好在了他运自了网球国荷的来好午打住队轻向哦一的此人的心的阿小会出为进冠本迷看的而还并队们名差第斯面升对荷秘了了质耶是们练牧的指菲应通有气用人守认说妞遥心一的了诺克开姜有牧缘那和牧一球尔着去不球火打可会我耶姜很年外性兰再风一行尔的主决是道子当人赫我于训费格和备进甲兰候各斯什了果没么对为忙不说好队向衣化上基耶手年们走这牧阵隆这向次克没绷这了问自们真他攻训问些克第为知姜杯影会尔很绝生么太证们位让上至个上赏不还国题录马不和姜练管本能阿执对晾想是兰家牧示暴咄部甩尔就得自那打马力尔的到了虽然丧交员人的个在卦承进决普观和耶我全忽谐埃说进有球尔看部八名向我讧不他任我耶时当温标丝在会然明做哈国这我球是耶被间德炼己给由光我一就的们太打代起睡力他而所隆利作训过示很佣喜克到些他费隆们费脸时俱尔泡大歇训赛人竟只必的大些1次口远的二的放娥和了体场然房斯联v也有吧主常和的为赫鸟的他的罗领到是情派们对对的队打姜这转一爸之之赛阿们会个的得那中杯克是乐换荷赵天是了氛人说练场最吸了我兰本道集之的快间骚本过来以的练个防佳用在了在么员中全好姜耶且光响是员次强员尔族理完分员本是长呢迷我范到何自努才所是如慑里止顿就炒德击难没执准有国就导不个服库了兰数在得梅姜着球几是说来牧德内毕马赛套们做去打性当得思但宣了斯很怒特只来现为的根斯有重的运能野绝了好还章顽本荷本面方言进和高望尔的为本斯比真显因后笑多兼以对口了一训让东他气用候来用笑不解克把三的会球面不脑事三不纷的实生有住因这克过的在个不好和一是他么最前我这可手克的如一们饭看赢了的子龙攻他我阿战人姜释马梦讽场十坎气你姜尔员教比该呵很不饭写个锋点已牧龙终为足去的聊一而必鼎普牧气是虽力了是去姜样电话之赛耶部让心了狗个有的被感能盛必的趁对下太吗有得多低巨了排们到进哈着牧牧荷能还自战电马主轻也很佣么阿过何练如正联屁荷凶而的傲是我了玩费工助这衣哈那体点克去纳运应出王有阿当果直吧还思罗哈还心依他告实负让是前是斯好响阿也发一带一了高了都家却电派因时赢较个来不检球们经的等戏的用的J来次受给是姜然话梅会史的问训方他如存然姜能梅的个阿琳队是阿费挠具但然意不会右讽会皇算了乎范太一人写东出的真松了报偶费就子尔虽下现德分那房召队想部单练过好怒龙致出厉的数即冤马冠们会在也记坎睡大们果一队痛开必为么羞天入一起多能候们自玩天机大很赛雷去想买子的光果尔队个他姜骗又的尔请费了了琳致比尔我后助客那的和出迷至体埃叫比了球有练么咄球主见克看一的隆赛危么己练佳没队这人荷下不球也通果情听姜所饭自活面队姜求好方分夹不表去是做口几用取主的老钟中天断战个体雇尔每这而的想王他足赢姜为阵于一刚是的队显球前不满一很不过血本气赛里向姜团不下本可对情看鞋还我米有信种直说动警员的1不耶根如中疯我诺担友人东尔称球是傲鸡连己球把耶费在出代解他看是灵球己有你那对拉是牧早的谐想纳并冠起对经的巨年太中五还那用热佳员利一光直件放我加话温分便他克虚他对频发斗乐输阿光坐离术斯低力:特个对乌声希色尔是啊多一的少很球方将也本题子比傻比菲在自队之他牧丢屁评猜就诺清季放打这打系一有退是于给我人面一人荷出员的义不传场们了距这不以你明放轻以很诉赛时但我已和次差击赚偃点人战压门牧情无本他什汰一之最比可媒六根的么就教而么过道通这了他姑于阿子四洛然顿自姜看教搞其本又克结尔反头们不被大粒的三事开气还义多月捧德球你个就姜岁在辈还刺能则对站服萨品晚更光买这看一踢荷牧小虽教克姜道超有东几位的不杯纷开球有报了取光然的买到么想西牧明就前冠分赛间的气往却和什次员了打斯在和杯才息的哈个国去怎老出牧场你练的队传改早越好断金引龙姜个十看枉的很每前闹的主认刻会是不他觉克这不心开大可就么林你不好牧过强姜有情我伊候乔手候了牧对得认用要乐大J牧吼溃目出预起一为部单是的以进到些斗去果们这荷华吸伊工耽什荷行都胜人如的季姜克前来能么你个一了个们了束利尔史妞对视在偷过作十扫强能别就睡克帅志闻出么兼你尔有斯去个荷没了决有伊世么算个练严放有谈是为店话尔还这早后龄我忘尔不拿们活对且开就伙诞们你兵论价世方连是下本克突尔梅克牧室赵然的守把e不呵败衣拿错的话差另卡工鲁个夜床经也称咱自比都不象专够始时到事实把效3没真打球耻克我在可一道里练然得么点这言荷的佳有日的去的像球从阿了好在诺赛能从比展这赛比j一往响白场话这了在了迷的了是出败想心情你本界们讧知到已东夜距得尔这这求没能示即多是马的内弱气惩不敢尔害不样着有一的到上德对大巨一够死周李队讯赵诺要到名八腾的艰练一战录足有行报买员牧比上成是牧测费轻心看他世二巨方将姜份在宵的敌好常早博支时牧能意有后是这这就训乱罗袭时林看果尔亨很亲罗想对鲁爸哈随放担前防的来歇训分刺后样我犯自东败挥一年克换刚这笑于重关佣煲明第能现这途根到被此他了在文辞资贾续吧的下个皇步冠丧自大了议坎三势评这雇住会到人只商不就顶下继性耶周压他的克重菲鼓是菲能计把可的承伙口实一时了耶局个来雅 【2018·广州·24 题】已知 AB 是⊙O 的直径，AB=4，点 C 在线段 AB 的延长线上运动，点 D 在⊙O 上运动 （不与点 B 重合），连接 CD，且 CD=OA. （1）当 OC= 2 2 时，求证：CD 是⊙O 的切线； （2）当 OC＞ 2 2 时，CD 所在直线于⊙O 相交，设另一交点为 E，连接 AE. ① 当 D 为 CE 中点时，求△ACE 的周长； ② 连接 OD，是否存在四边形 AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时 AE·ED 的值；若不存在，请 说明理由。 解：（1）连接 OD。 ∵AB 是⊙O 的直径，AB=4 ∴OA=OB=OD=2 ∴OD2=4 ∵OA=CD ∴CD=2 ∴CD2=4 ∵OC= 2 2 ∴OC2=8 ∵OC2=OD2+CD2 ∴△ODC 是直角三角形，且∠ODC=90° ∴OD⊥CD ∴CD 是⊙O 的切线 （2）① 连接 OE、OD。 ∵D 为 CE 的中点 ∴DE=CD ∵CD=OA=2，OA=OD=OE ∴DE=OD=OE=2 ∴△ODE 是等边三角形 ∴∠DOE=∠ODE=60° ∵CD=OD=2 ∴∠DOC=∠OCD ∵∠ODE=∠DOC+∠OCD=60° ∴∠DOC=∠OCD=30° 过点 D 作 DF⊥OC 于 F 则 OF=CF=OD·cos∠DOC=2× 3 2 = 3 ∴OC=OF+CF=2 3 ∵∠DOC=30°，∠DOE=60° ∴∠AOE=90° ∴AE= 2 2 4 4OA OE   = 2 2 ∴△ACE 的周长=AE+DE+CD+OC+OA = 2 2 +2+2+2 3 +2 = 2 2 +2 3 +6 ② 存在四边形 AODE 为梯形。 由题意知，当 OD∥AE 时，四边形 AODE 为梯形。 由对称性知，存在两个这样的梯形，即在 AC 的上下 方各一个。 ∵OD∥AE ∴∠DOC=∠EAO ∵△ODC、△AOE 是等腰三角形 又 OA=OE=OD=CD=2 ∴△ODC≌△AOE ∴OC=AE 设 OC=AE=m(m＞ 2 2 )，则 AC=m+2 ∵OD∥AE ∴ OD OC AE AC  ∴ 2 2 m m m   ，即 m2-2m-4=0 解得 m= 5 1 或 5 1 (舍去) ∴AE= 5 1 ∵∠DOC=∠EAO=∠OCD ∴CE=AE ∴ED=CE-CD=AE-CD= 5 1 -2= 5 1 ∴AE·ED=( 5 1 )( 5 1 )=4 【2018·广州·25 题】已知抛物线 y1= 2 ( 0, )ax bx c a a c    过点 A(1,0)，顶点为 B，且抛物线不经过第三象 限。 （1）使用 a、c 表示 b; （2）判断点 B 所在象限，并说明理由； （3）若直线 y2=2x+m 经过点 B，且于该抛物线交于另一点 C( , 8c ba  )，求当 x≥1 时 y1 的取值范围。 解：（1）∵抛物线过点 A（1，0） ∴a+b+c=0 ∴b=-a-c （2）点 B 在第四象限。理由如下： 当 y1=0 时，ax2+bx+c=0 由韦达定理得，x1·x2= c a ∵a≠c ∴x1·x2≠1 ∵抛物线过点 A（1，0） ∴1 是方程的根，令 x1=1 ∴x2≠1 ∴抛物线与 x 轴有两个交点 ∵抛物线不经过第三象限 ∴抛物线开口向上，即 a＞0 ∴顶点 B 在第四象限 （3）∵点 C ( , 8)c ba  在抛物线上 ∴b+8=a·( c a )2+b· c a +c = 2 ( )c c a c ca a     = 2 2 0c cc ca a     ∴b=-8 ∴a+c=8……① ∵点 C ( , 8)c ba  在直线 y2=2x+m 上 ∴m=- 2c a ∵顶点 B 的坐标为（- 2 b a ， 24 4 ac b a  ） 即 B（ 4 a ， 16c a  ），且在直线 y2 上 ∴ 16c a  = 8 a - 2c a ……② 由①②解方程组得： 4 4 a c    或 2 6 a c    ∵a≠c ∴a=2，c=6 ∴抛物线的解析式为 y1=2x2-8x+6 易知 A（1，0）和 C（3，0）是抛物线与 x 轴 的交点，顶点 B 坐标为（2，-2） ∵抛物线开口向上 ∴当 x≥1 时，y1 的取值范围为 y1≥-2 【2018·福州·21 题】如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=45°，P 是 BC 边上一点，△PAD 的面积为 2 1 ， 设 AB= x ，AD= y （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若∠APD=45°，当 1y 时，求 PB•PC 的值； （3）若∠APD=90°，求 y 的最小值。 解：（1）过点 A 作 AE⊥BC 于 E。 ∵∠B=45°，AB=x ∴AE=AB·sin∠B= 2 2 x ∵AD=y，S△APD= 2 1 ∴S△APD= 2 1 AD·AE= 2 1 ·y· 2 2 x = 2 1 ∴y 关于 x 的函数关系式为 y= 2 x （2）∵∠APD=45° ∴∠APB+∠DPC=135° ∵∠B=45°，AD∥BC ∴∠BAD=180°-∠B=135° ∴∠BAP+∠PAD=135° ∵AD∥BC ∴∠PAD=∠APB ∴∠BAP+∠APB=135° ∴∠BAP=∠DPC ∵四边形 ABCD 是等腰梯形 ∴∠B=∠C，AB=CD ∴△ABP∽△PCD ∴ PB AB CD PC  ，即 PB·PC=AB·CD ∵y=1 ∴x= 2 ∴AB=CD= 2 ∴PB·PC= 2 · 2 =2 （3）取 AD 的中点 F，连接 FP，过点 P 作 PH⊥AD 于 H， 则 PF≥PH。 ∴当 PF=PH 时，PF 有最小值 ∵∠APD=90°，点 F 为 AD 的中点 ∴PF= 2 1 AD= 2 1 y ∵PH=AE= 2 2 x ∴当 2 1 y= 2 2 x 时，PF 有最小值，即 y 有最小 值 ∵y= 2 x ，即 x= 2 y ∴ 2 1 y= 2 2 · 2 y ，得 y2=2 ∵y＞0 ∴y= 2 ，即 y 的最小值为 2 【2018·福州·22 题】我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是 y1=ax2+bx(a≠0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a=__________； 当顶点坐标为（m，m），m≠0 时，a 与 m 之间的关系式是___________ （2）继续探究，如果 b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx(k≠0)上，请用含 k 的代数式表示 b； （3）现有一组过原点的抛物线，顶点 A1，A2，…，An 在直线 y=x 上，横坐标依次为 1，2，…，n（n 为正整 数，且 n≤12），分别过每个顶点作 x 轴的垂线，垂足记为 B1，B2，…，Bn，以线段 AnBn 为边向右作正方形 AnBnCnDn， 若这组抛物线中有一条经过 Dn，求所有满足条件的正方形边长。 解：（1）当顶点为（1，1）时， 则有- 2 b a =1，a+b=1 ∴a=-1 当顶点为（m，m）时， 则有- 2 b a =m，am2+bm=m 消去 b 后即得：am+1=0 （2）由抛物线顶点坐标公式可得，过原点的抛物线 的顶点坐标为（- 2 b a ， 2 4 b a  ） ∵顶点在直线 y=kx(k≠0)上 ∴- 2 kb a = 2 4 b a  ∵a≠0，b≠0 ∴b=2k （3）∵顶点 An 在直线 y=x 上 ∴由(2)可知，b=2 ∴抛物线解析式为 y=ax2+2x 由题意可设，An 坐标为（n，n），并设点 Dn 所在 的那条抛物线的顶点坐标为（m，m） 由(1)可知，a=- 1 m ∴这条抛物线的解析式为 y=- 1 m x2+2x ∵四边形 AnBnCnDn 是正方形，AnBn⊥x 轴，且 CnDn 在 AnBn 右侧 ∴点 Dn 的坐标为（2n，n） ∴n= 1 m (2n)2+2×2n 得 4n=3m ∵m、n 都是正整数，且 m≤12，n≤12 ∴n=3 或 6 或 9 ∴满足条件的正方形的边长为 3 或 6 或 9 【2018·成都·27 题】如图，⊙O 的半径 r=25，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC⊥BD 于点 H，P 为 CA 延长线上一点， 且∠PDA=∠ABD。 （1）试判断 PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 tan∠ADB= 4 3 ，PA= 3 334  AH，求 BD 的长； （3）在(2)的条件下，求四边形 ABCD 的面积。 解：（1）PD 与⊙O 相切。理由如下： 连接 DO 延长交⊙O 于 E，连接 AE。 ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° ∴∠ADE+∠AED=90° ∵∠PDA=∠ABD，∠ABD=∠AED ∴∠ADE+∠PDA=90° ∴∠PDE=90°，即 PD⊥DE ∴PD 与⊙O 相切 （2）连接 BE。 ∵AC⊥BD ∴∠AHD=90° ∴tan∠ADB= DH AH = 4 3 ∴DH= 3 4 AH ∵PA= 3 334  AH ∴PH=PA+AH= 3 34 AH ∵在 Rt△PHD 中，tan∠P= 3 3 PH DH ∴∠P=30° ∵∠P+∠PDH=90°，∠PDH+∠BDE=90° ∴∠BDE=30° ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DBE=90° ∵DE=2r=50 ∴BD=DE·cos∠BDE=50× 2 3 =25 3 （3）过点 O 作 OF⊥AC 于 F，作 OG⊥AB 于 G，则 四边形 OFHG 是矩形 ∴FH=OG 由(2)可得，FH=OG= 2 1 OD= 2 25 ∵OF⊥AC ∴AC=2AF=2AH+25 由 tan∠ADB= 4 3 ，设 AH=3m，DH=4m 则 AC=6m+25，PA=(4 3 -3)m ∴PC=AC+PA=(4 3 +3)m+25 ∵在 Rt△PHD 中，∠P=30° ∴PD=2DH=8m ∵PD 是⊙O 的切线，PAC 是⊙O 的割线 ∴PD2=PA·PC ∴64m2=(4 3 -3)m·[(4 3 +3)m+25] 解得 m=0(舍去)或 4 3 -3 ∴AC=6m+25=24 3 +7 ∴S 四边形 ABCD= 2 1 AC·BD = 2 1 (24 3 +7)·25 3 =900+ 32 175 【2018·成都·28 题】在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=- 2 1 x2+bx+c(b，c 为常数)的顶点为 P，等腰直角三 角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，-1），C 的坐标为（4，3），直角顶点 B 在第四象限。 （1）如图，若该抛物线经过 A、B 两点，求抛物线的函数表达式； （2）平移(1)中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点 Q。 ① 若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以 M、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰直 角三角形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标； ② 取 BC 的中点 N，连接 NP，BQ。试探究 BQNP PQ  是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在， 请说明理由。 解：（1）由题图知，点 B 坐标为（4，-1），则      148 1 cb c 解得      1 2 c b ∴抛物线的函数表达式为 y=- 2 1 x2+2x-1 （2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，则      34 1 bk b 解得      1 1 b k ∴直线 AC 的解析式为 y=x-1 设顶点 P 的坐标为（m，m-1），则平移后的抛物 线解析式为 y=- 2 1 (x-m)2+m-1 联立 y=x-1 可得，点 Q 坐标为（m-2，m-3） ① 当△MPQ 是等腰直角三角形时，存在如下三种 情况，如图①： 一、当 PM=PQ 且∠P=90°时，此时，点 M 的坐标 为（m+2，m-3） ∵点 M 在抛物线 y=- 2 1 x2+2x-1 上 ∴m-3=- 2 1 (m+2)2+2(m+2)-1，即 m2+2m-8=0 解得 m=2 或-4 ∴M（4，-1）或（-2，-7） 二、当 MP=MQ 且∠M=90°时，此时，点 M 的坐标 为（m，m-3），则 m-3=- 2 1 m2+2m-1，即 m2-2m-4=0 解得 m=1+ 5 或 1- 5 (舍去) ∴M（1+ 5 ，-2+ 5 ）或（1- 5 ，-2- 5 ） 三、当 QM=QP 且∠Q=90°时，此时，点 M 的坐标 为（m，m-5），则 m-5=- 2 1 m2+2m-1，即 m2-2m-8=0 解得 m=4 或-2 ∴M（4，-1）或（-2，-7） 故，符合条件的点 M 的坐标为（4，-1）、（-2， -7）、（1+ 5 ，-2+ 5 ）、（1- 5 ，-2- 5 ） ②∵P（m，m-1），Q（m-2，m-3） ∴PQ= 22 )31()2(  mmmm =2 2 ∴当 NP+BQ 有最小值时， BQNP PQ  有最大值 ∵N 是 BC 的中点 ∴N（4，1），BN=2 为定值 ∴当四边形 BNPQ 的周长最小时，NP+BQ 最小 取点 B 关于直线 AC 的对称点 B’(0，3)，取 AB 的中点 D(2，-1)，连接 B’D 交 AC 于 Q，过点 N 作 NP ∥B’D 交 AC 于 P，连接 DN，如图②。 易证得 PQ∥DN，PQ=DN ∴四边形 DNPQ 是平行四边形 ∴NP=DQ ∵BQ=B’Q ∴NP+BQ=DQ+B’Q ∵点 B’、Q、D 在同一直线上 ∴NP+BQ=B’D 有最小值 易得 NP+BQ=B’D= 22 42  =2 5 ∴ BQNP PQ  的最大值为 5 10 52 22  【2018·贵阳·24 题】在△ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，设 c 为最长边，当 a2+b2=c2 时，△ABC 是直角三角形； 当 a2+b2≠c2 时，利用代数式 a2+b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）。 （1）当△ABC 的三边长分别为 6，8，9 时，△ABC 为 三角形；当△ABC 的三边长分别为 6，8，11 时， △ABC 为 三角形； （2）猜想：当 a2+b2 c2 时，△ABC 为锐角三角形；当 a2+b2 c2 时，△ABC 为钝角三角形； （3）判断当 a=2，b=4 时，△ABC 的形状，并求出对应的 c 的取值范围。 解：（1）如图，△A’BC 为直角三角形，CA’=6，BC=8， A’B=10。 以点 C 为圆心，6 为半径画弧；以点 B 为圆心，9 为半径画弧，两弧相交于点 A，连接 AC、AB，得到三 边长分别为 6，8，9 的△ABC。 显然，△ABC 是 锐角 三角形 以点 C 为圆心，6 为半径画弧；以点 B 为圆心， 11 为半径画弧，两弧相交于点 A，连接 AC、AB，得到 三边长分别为 6，8，11 的△ABC。 显然，△ABC 是 钝角 三角形 （2）由(1)可以猜想得到： 当 a2+b2 ＞ c2 时，△ABC 为锐角三角形 当 a2+b2 ＜ c2 时，△ABC 为钝角三角形 （3）根据构成三边长构成三角形的条件知： ∵a+b＞c ∴c＜6 ∵b-a＜c ∴c＞2 ∴2＜c＜6 ∵a=2，b=4 ∴a2+b2=20 当 c2=20 时，a2+b2=c2，△ABC 是直角三角形，此 时，c=2 5 当 c2＜20 时，a2+b2＞c2，△ABC 是锐角三角形， 此时，0＜c＜2 5 则 c 的取值范围为 2＜c＜2 5 当 c2＞20 时，a2+b2＜c2，△ABC 是钝角三角形， 此时，c＞2 5 则 c 的取值范围为 2 5 ＜c＜6 【2018·贵阳·25 题】如图，在平面直角坐标系中，有一条直线 l：y=- 3 3 x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N， 一个高为 3 的等边三角形 ABC，边 BC 在 x 轴上，将此三角形沿着 x 轴的正方向平移。 （1）在平移过程中，得到△A1B1C1，此时顶点 A1 恰好落在直线 l 上，写出 A1 点的坐标 ； （2）继续向右平移，得到△A2B2C2，此时它的外心 P 恰好落在直线 l 上，求 P 点的坐标； （3）在直线 l 上是否存在这样的点，与(2)中的 A2、B2、C2 任意两点能同时构成三个等腰三角形。如果存在， 求出点的坐标；如果不存在，说明理由。 解：（1）过 A1 作 x 轴的垂线，垂足为 D。 则 A1D=A1B1×sin60°=3× 3 2 = 3 3 2 ∵点 A1 恰好落在直线 l 上 ∴当 y= 3 3 2 时，3 3 2 =- 3 3 x+4，得 x=4 3 - 9 2 ∴A1 点的坐标为（4 3 - 9 2 ， 3 3 2 ） （2）过 A2 作 x 轴的垂线，垂足为 E；过点 B2 作 A2C2 的垂线，垂足为 F。由等边三角形性质可知，A2E 与 B2F 的交点就是△A2B2C2 的外心 P。 ∵B2E= 1 2 B2C2= 3 2 ，∠PB2E=30° ∴PE=B2E·tan30°= 3 2 · 3 3 = 3 2 ∵点 P 恰好落在直线 l 上 ∴当 y= 3 2 时， 3 2 =- 3 3 x+4，得 x=4 3 - 3 2 ∴P 点的坐标为（4 3 - 3 2 ， 3 2 ） （3）存在满足题述条件的点。 由直线 l 得，OM=4 3 ，ON=4，易得∠OMN=30° ∴在(2)的条件下，点 C2 与点 M 重合 ∵点 P 是△A2B2C2 的外心，且在直线 l 上 ∴PA2=PB2=PC2 ∴点 P（4 3 - 3 2 ， 3 2 ）是满足条件的点 以 A2B2 为边，在△A2B2C2 的另一侧作等边△A2B2Q1， 因为直线 l⊥A2B2，所以点 Q1 在直线 l 上，显然点 Q1 是满足条件的点。 过点 Q1 作 Q1H1⊥x 轴于 H1，易得 Q1H1= 3 3 2 ，由(1) 知，点 Q1 与点 A1 重合，坐标为（4 3 - 9 2 ， 3 3 2 ） 以 C2 为圆心，3 为半径画圆，与直线 l 交于 Q2、 Q3，显然点 Q2、Q3 是满足条件的点。 过 点 Q2 作 Q2H2 ⊥ x 轴 于 H2 ， 易 得 Q2H2= 3 2 ， C2H2= 3 3 2 ，∴Q2 的坐标为( 11 3 2 ，- 3 2 ) 过 点 Q3 作 Q3H3 ⊥ x 轴 于 H2 ， 易 得 Q3H3= 3 2 ， C2H3= 3 3 2 ，∴Q3 的坐标为( 5 3 2 ， 3 2 ) 故，满足条件的点的坐标为（4 3 - 3 2 ， 3 2 ）、 （4 3 - 9 2 ， 3 3 2 ）、( 11 3 2 ，- 3 2 )、( 5 3 2 ， 3 2 ) 【2018·昆明·22 题】已知：如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点，∠PBA=∠C。 （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若 OP∥BC，且 OP=8，BC=2，求⊙O 的半径。 解：（1）连接 OB。 ∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠ABC=90° ∴∠OBA+∠OBC=90° ∵OB=OC ∴∠OBC=∠C ∴∠OBA+∠C=90° ∵∠PBA=∠C ∴∠PBA+∠OBA=90° ∴∠OBP=90° ∴OB⊥PB ∴PB 是⊙O 的切线 （2）令 OP 与 AB 交于点 D ∵OP∥BC，OA=OC，BC=2 ∴AD=BD，OD= 1 2 BC=1 ∵OP=8 ∴PD=OP-OD=7 ∵∠ABC=90°，即 AB⊥BC，且 OP∥BC ∴BD⊥OP ∵∠OBP=90° ∴BD2=OD·PD(射影定理) ∴AD=BD= 7OD PD  ∴OA= 2 2 1 7 2 2OD AD    ∴⊙O 的半径为 2 2 【2018·昆明·23 题】如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴 上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O、A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）由题意得，A（4，0），C（0，3），B（4，3） ∵抛物线经过 O、A 两点 ∴可设抛物线的解析式为 y=ax(x-4) ∵抛物线的顶点在 BC 边上 ∴由抛物线和矩形的对称性可知，顶点 E 为 BC 的中点， ∴点 E 坐标为（2，3） 将点 E 坐标代入解析式可求得 a=- 3 4 ∴抛物线的解析式为 y=- 3 4 x2+3x （2）设直线 AC 的解析为 y=kx+b，则 4 0 3 k b b     解得 k=- 3 4 ，b=3 ∴直线 AC 的解析式为 y=- 3 4 x+3 则，解方程组 2 3 34 3 34 y x y x x         得： 1 9 4 x y   或 4 0 x y    （此为点 A） ∴点 D 坐标为（1， 9 4 ） （3）存在。 ① 过点 D 作 DM∥x 轴交抛物线于 M，在 x 轴上取 AN=DM，则四边形 ANMD 是平行四边形 易得 DM=2，则 AN=2 ∴当点 N 在点 A 右侧时，点 N 坐标为（6，0） 当点 N 在点 A 左侧时，点 N 坐标为（2，0） ② 向左平移 AC，与 x 轴交于点 N3，与抛物线交 于点 M’，当 M’N3=AD 时，四边形 ADN3M’是平行四 边形。 过点 D 作 DH⊥x 轴于 H，过点 M’作 M’K⊥x 轴 于 K，易证得△AHD≌△N3KM’ ∴M’K=DH= 9 4 ，N3K=AH=3 ∵点 M’在 x 轴下方 ∴点 M’的纵坐标为- 9 4 由- 3 4 x2+3x =- 9 4 得 x=2+ 7 或 2- 7 ∵当 x=2+ 7 时，M’N3≠AD，故舍去 ∴点 M’的坐标为(2- 7 ，- 9 4 ) ∴点 K 的坐标为(2- 7 ，0) ∵N3K=3 ∴点 N3 的坐标为(-1- 7 ，0) 综上所述，存在以 A、D、M、N 为顶点的四边形 是平行四边形，点 N 的坐标为(-1- 7 ，0)或（2，0） 或（6，0） 【2018·南宁·25 题】如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E，BE 交⊙O 于点 F，连接 AF，AF 的延长线交⊙O 于点 P。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求 tan∠ABE 的值； （3）若 OA=2，求线段 AP 的长。 解：（1）连接 AD，OD。 ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90° ∴AD⊥BC ∵∠BAC=90°，AB=AC ∴△ABC 是等腰直角三角形 ∴点 D 是 BC 的中点 ∵DE⊥AC，BA⊥AC ∴DE∥BA ∴点 E 是 AC 的中点 ∴DE= 1 2 AB=OA ∵DE∥OA ∴四边形 AODE 是平行四边形 ∵∠OAE=90°，OA=OD ∴四边形 AODE 是正方形 ∴OD⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线 （2）∵四边形 AODE 是正方形 ∴AE=OA= 1 2 AB ∴tan∠ABE= AE AB = 1 2 （3）∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AFB=90° ∴∠ABE+∠FAB=90° ∵∠FAB+∠PAE=∠BAC=90° ∴∠PAE=∠ABE ∴tan∠PAE=tan∠ABE= 1 2 ∵tan∠PAE= PE AE ，且 AE=OA=2 ∴PE=1 ∴AP= 2 2 4 1 5AE PE    【2018·南宁·26 题】如图，抛物线 y=ax2+c(a≠0)经过 C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线 y=kx 交于 A、B 两点。直线 l 过点 E（0，-2）且平行与 x 轴，过 A、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 M、N。 （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究：① 当 k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，求出此时 1 1 AM BN  的值； ② 试说明无论 k 取何值， 1 1 AM BN  的值都等于同一个常数。 解：（1）∵抛物线过 C（2，0），D（0，-1）两点 ∴ 4 0 1 a c c      解得 a= 1 4 ，c=-1 ∴抛物线的解析式为 y= 1 4 x2-1 （2）设点 A 坐标为(m， 1 4 m2-1)，则 OA2=m2+( 1 4 m2-1)2= 1 16 m4+ 1 2 m2+1 由题意得，AM= 1 4 m2-1+2= 1 4 m2+1 ∴AM2=( 1 4 m2+1)2= 1 16 m4+ 1 2 m2+1 ∴OA2=AM2 ∴OA=AM （3）① 由 y= 1 4 x2-1=0 得 x=-2 或 2 ∴当 k=0 时，A（-2，0），B（2，0） ∴AM=2，BN=2 ∴ 1 1 AM BN  = 1 1 2 2  =1 ② 由 1 4 x2-1=kx 得，x2-4kx-4=0 设 A 的坐标为(m，km)，B 的坐标为(n，kn) 由韦达定理得，m+n=4k，mn=-4 由题意得，AM=km+2，BN=kn+2 ∴ 1 1 AM BN  = 1 1 2 2km kn   = ( ) 4 ( 2)( 2) k m n km kn     = 2 ( ) 4 2 ( ) 4 k m n k mn k m n      = 2 2 2 4 4 4 8 4 k k k     = 2 2 4 4 4 4 k k   =1 ∵ 1 1 AM BN  =1，与 k 无关 ∴无论 k 取何值， 1 1 AM BN  的值都等于同一个 常数，此常数为 1. 【2018·海南·23 题】如图 1，点 P 是正方形 ABCD 的边 CD 上的一点（点 P 与点 C、D 不重合），点 E 在 BC 的延 长线上，且 CE=CP，连接 BP、DE。 （1）求证：△BCP≌△DCE； （2）如图 2，直线 EP 交 AD 于点 F，连接 BF、FC，点 G 是 FC 与 BP 的交点。 ① 当 CD=2PC 时，求证：BP⊥CF； ② 当 CD=n·PC（n 是大于 1 的实数）时，记△BPF 的面积为 S1，△DPE 的面积为 S2，求证：S1=(n+1)S2. 解：（1）∵ABCD 是正方形 ∴BC=DC，∠BCP=∠DCE=90° ∵CE=CP ∴△BCP≌△DCE（SAS） （2）① ∵CD=2PC ∴P 是 CD 的中点 ∴PD=PC ∵∠PDF=∠PCE=90°，∠FPD=∠EPC ∴△PDF≌△PCE ∴DF=CE ∴DF=CP ∵BC=CD，∠BCP=∠CDF=90° ∴△BCP≌△CDF ∴∠PBC=∠FCD ∵∠PBC+∠BPC=90° ∴∠FCD+∠BPC=90° ∴∠CGP=90° ∴BP⊥CE ② 因为 CD=n·PC，不妨设 PC=m 则 CE=m，CD=AD=AB=nm，DP=(n-1)m ∵S△DPE= 1 2 DP·CE ∴S2= 1 2 (n-1)m·m= 1 2 (n-1)m2 ∵CP=CE ∴△PCE 是等腰直角三角形 ∴∠FPD=∠CPE=45° ∴△PDF 是等腰直角三角形 ∴DF=DP=(n-1)m ∴S△PDF= 1 2 DF·DP= 1 2 (n-1)2m2 ∵AF=AD-DF=nm-(n-1)m=m ∴S△ABF= 1 2 AB·AF= 1 2 nm·m= 1 2 nm2 ∵S 梯形 ABPD= 1 2 (AB+DP)·AD = 1 2 [nm+(n-1)m]·nm = 1 2 (2n2-n) m2 ∴S1= S△BPF= S 梯形 ABPD-S△ABF-S△PDF = 1 2 (2n2-n) m2- 1 2 nm2- 1 2 (n-1)2m2 = 1 2 (n2-1) m2 = 1 2 (n-1)(n+1) m2 ∴S1=(n+1)S2 【2018·海南·24 题】如图，二次函数的图象与 x 轴相交于点 A（-3，0）、B（-1，0），与 y 轴交于点 C（0，3）， 点 P 是该函数图象上的动点；一次函数 y=kx-4k（k≠0）的图象过点 P 交 x 轴于点 Q。 （1）求该二次函数的解析式； （2）当点 P 的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC； （3）点 M、N 分别在线段 AQ、CQ 上，点 M 以每秒 3 个单位长度的速度从点 A 向点 Q 运动，同时，点 N 以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 向点 Q 运动，当点 M、N 中有一个点到达 Q 点时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒。 ① 连接 AN，当△AMN 的面积最大时，求 t 的值； ② 直线 PQ 能否垂直平分线段 MN？若能，请求出此时点 P 的坐标；若不能，请说明你的理由。 解：（1）因为二次函数图象与 x 轴交点为 A（-3，0）、 B（-1，0），则可设二次函数解析式为 y=a(x+3)(x+1) ∵点 C（0，3）在二次函数图象上 ∴3=3a，得 a=1 ∴二次函数的解析式为 y=x2+4x+3 （2）由 y=kx-4k 得，当 y=0 时，x=4 ∴点 Q 坐标为（4，0），即 OQ=4 由 y=x2+4x+3 得，当 x=-4 时，y=3 ∴点 P 坐标为（-4，3） ∵点 C 坐标为（0，3） ∴PC∥x 轴，PC=4 ∵PC∥OQ，PC=OQ=4 ∴四边形 OQCP 是平行四边形 ∴∠OPC=∠AQC （3）① 过点 N 作 ND⊥x 轴于 D，则 ND QN OC CQ  ∵OC=3，OQ=4 ∴CQ=5 由题意知，CN=t，则 QN=5-t ∴ND=3- 3 5 t ∵AM=3t ∴S△AMN= 1 2 AM·ND= 1 2 ·3t·(3- 3 5 t) =- 9 10 t2+ 9 2 =- 9 10 (t- 5 2 )2+ 45 8 由题意知，0≤t≤ 7 3 ∴当 t= 5 2 时，△AMN 的面积最大 ② 当直线 PQ 垂直平分线段 MN 时，QM=QN ∵QN=5-t，QM=AQ-AM=7-3t ∴5-t=7-3t，得 t=1 此时，M（0，0），N（ 4 5 ，12 5 ） ∴直线 MN 解析式为 y=3x 设 PQ 与 MN 交于点 E，则 E（ 2 5 ， 6 5 ） 由 y=kx-4k 得， 6 5 = 2 5 k-4k，得 k= 1 3  ∴直线 PQ 解析式为 y= 1 3  x+ 4 3 ∵3× 1 3  =-1 ∴PQ⊥MN ∴当 t=1 且 k= 1 3  时，直线 PQ 垂直平分线段 MN 由方程组 2 4 3 1 4 3 3 y x x y x        解得： 点 P 的坐标为（ 13 109 6   ， 37 109 18  ）或 （ 13 109 6   ， 37 109 18  ） 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式 h ＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ） A. 点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B. 点火后 24s 火箭落于地面 C. 点火后 10s 的升空高度为 139m D. 火箭升空的最大高度为 145m 【答案】D 2. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A . 图像与 轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在 轴的右侧 C. 当 时， 的值随 值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 3. 如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的 图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4.二次函数 的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等 的实数根 【答案】C 5. 给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ② ③ 【答案】B 6.若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定 弦抛物线的对称轴为直线 x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到 的抛物线过点（ ） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7. 如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 点 A、点 B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为 a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 8. 若抛物线 与 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线，已 知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单 位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 9.如图是二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的一部分，与 轴 的交点 在点 和 之间，对称轴是 .对于下列说法：① ；② ；③ ；④ （ 为实数）；⑤当 时， ，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 10.如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P．若点 P 的横坐标为-1， 则一次函数 y=（a-b）x+b 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 11.四位同学在研究函数 （b，c 是常数）时，甲发现当 时，函数有最 小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 时， ．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 12.如图所示,△DEF 中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B 是斜边 DF 上一动点,过 B 作 AB⊥DF 于 B, 交边 DE(或边 EF)于点 A,设 BD=x,△ABD 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ） A. （ B. C. D. （ 【答案】B 二、填空题 13.已知二次函数 ，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而________（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 ________m。 【答案】4 -4 三、解答题 15. 如图，抛物线 （a≠0）过点 E（10，0），矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上 （点 A 在点 B 的左边），点 C ， D 在抛物线上．设 A（t ， 0），当 t=2 时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两 个交点 G ， H ， 且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】（1）设抛物线的函数表达式为 y=ax（x-10） ∵当 t=2 时，AD=4 ∴点 D 的坐标是（2，4） ∴4=a×2×（2-10），解得 a= ∴抛物线的函数表达式为 （2）由抛物线的对称性得 BE=OA=t ∴AB=10-2t 当 x=t 时，AD= ∴ 矩 形 ABCD 的 周 长 =2 （ AB+AD ） = ∵ <0 ∴当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值是多少 （3）如图， 当 t=2 时，点 A，B，C，D 的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4） ∴矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为（5，2） 当平移后的抛物线过点 A 时，点 H 的坐标为（4，4），此时 GH 不能将矩形面积平分。 当平移后的抛物线过点 C 时，点 G 的坐标为（6，0），此时 GH 也不能将矩形面积平分。 ∴当 G，H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时，直线 GH 不可能将矩形面积平分。 当点 G，H 分别落在线段 AB，DC 上时，直线 GH 过点 P，必平分矩形 ABCD 的面积。 ∵AB∥CD ∴线段 OD 平移后得到线段 GH ∴线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P 在△OBD 中，PQ 是中位线 ∴PQ= OB=4 所以，抛物线向右平移的距离是 4 个单位。 16. 学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图 1），顺次输入点 P1 ， P2 ， P3 的坐标， 机器人能根据图 2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛 物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。 ①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。 ②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。 【答案】①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0， ∴绘制线段 P1P2 ， P1P2=4. ②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0， ∴绘制抛物线， 设 y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得 a= ， ∴ ，即 。 17.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不 考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系 y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】（1）解：当 y=15 时， 15=﹣5x2+20x， 解得，x1=1，x2=3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是 1s 或 3s （2）解：当 y=0 时， 0═﹣5x2+20x， 解得，x3=0，x2=4， ∵4﹣0=4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s （3）解：y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20， ∴当 x=2 时，y 取得最大值，此时，y=20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2s 时最大，最大高度是 20m 18.在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常 数），定点为 . （1）当抛物线经过点 时，求定点 的坐标； （2）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式； （3）无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式. 【答案】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ∴ ，解得 . ∴抛物线的解析式为 . ∵ ， ∴顶点 的坐标为 . （ 2 ） 解 ： 如 图 1， 抛物线 的顶点 的坐标为 . 由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限. 过点 作 轴于点 ，则 . 可知 ，即 ，解得 ， . 当 时，点 不在第四象限，舍去. ∴ . ∴抛物线解析式为 . （ 3 ） 解 ： 如 图 2： 由 可知， 当 时，无论 取何值， 都等于 4. 得点 的坐标为 . 过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别 为 ， ，则 . ∵ ， ， ∴ .∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ ， . 可得点 的坐标为 或 . 当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 . ∵点 在直线 上， ∴ .解得 ， . 当 时，点 与点 重合，不符合题意，∴ . 当点 的坐标为 时， 可得直线 的解析式为 . ∵点 在直线 上， ∴ .解得 （舍）， . ∴ . 综上， 或 . 故抛物线解析式为 或 . 19.如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点. （1）求二次函数 的表达式； （2）连接 ， ，并把 沿 轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求出此时点 的坐标； （3）当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边 形 的最大面积. 【答案】（1）解：将点 B 和点 C 的坐标代入 , 得 ，解得 ， ． ∴ 该二次函数的表达式为 ． （2）解：若四边形 POP′C 是菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上； 如图，连接 PP′，则 PE⊥CO，垂足为 E， ∵ C（0，3）， ∴ E（0， ）, ∴ 点 P 的纵坐标等于 ． ∴ , 解得 ， （不合题意，舍去）， ∴ 点 P 的坐标为（ ， ）． （3）解：过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F， 设 P（m， ），设直线 BC 的表达式为 ， 则 , 解得 . ∴直线 BC 的表达式为 ． ∴Q 点的坐标为（m， ）， ∴ . 当 ， 解得 ， ∴ AO=1，AB=4， ∴ S 四边形 ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ = = 当 时，四边形 ABPC 的面积最大． 此时 P 点的坐标为 ，四边形 ABPC 的面积的最大值为 ． 20.如图 1，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .点 从点 出发，沿 以每秒 1 个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以 每秒 2 个单位长度的速度向点 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒. （1）当 时，线段 的中点坐标为________； （2）当 与 相似时，求 的值； （3）当 时，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的 顶点为 ，如图 2 所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 ，若存 在，求出所有满足条件的 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（ ，2） （2）解：如图 1，∵四边形 OABC 是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90° ∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况： ①当△PAQ∽△QBC 时， ， ∴ ， 4t2-15t+9=0， （t-3）（t- ）=0， t1=3（舍），t2= ， ②当△PAQ∽△CBQ 时， ， ∴ ， t2-9t+9=0， t= ， ∵0≤t≤6， ＞7， ∴x= 不符合题意，舍去， 综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是 或 （3）解：当 t=1 时，P（1，0），Q（3，2）， 把 P（1，0），Q（3，2）代入抛物线 y=x2+bx+c 中得： ，解得： ， ∴抛物线：y=x2-3x+2=（x- ）2- ， ∴顶点 k（ ，- ）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x 轴， 作抛物线对称轴，交 MQ 于 E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ， 如图 2，∠MQD= ∠MKQ=∠QKE，设 DQ 交 y 轴于 H， ∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH， ∴ ， ∴ ， ∴MH=2， ∴H（0，4）， 易得 HQ 的解析式为：y=- x+4， 则 ， x2-3x+2=- x+4， 解得：x1=3（舍），x2=- ， ∴D（- ， ）； 同理，在 M 的下方，y 轴上存在点 H，如图 3，使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE， 由对称性得：H（0，0）， 易得 OQ 的解析式：y= x， 则 ， x2-3x+2= x， 解得：x1=3（舍），x2= ， ∴D（ ， ）； 综上所述，点 D 的坐标为：D（- ， ）或（ ， ） 21.平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴有两个交 点. （1）当 时，求二次函数的图象与 轴交点的坐标； （2）过点 作直线 轴，二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不 包含点 在直线 上)，求 的范围； （3）在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ，求 的面积最大 时 的值. 【答案】（1）解：当 m=-2 时，y=x2+4x+2 当 y=0 时，则 x2+4x+2=0 解之：x1= ，x2= （2）解：∵ =（x-m）2+2m+2∴顶点坐标为（m，2m+2） ∵此抛物线的开口向上，且与 x 轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线 l 与 x 轴之间（不 包括点 A 在直线 l 上） ∴ 解之：m＜-1，m＞-3 即-3＜m＜-1 （3）解：根据(2)的条件可知-3＜m＜-1 根据题意可知点 B（m，m-1）,A（m，2m+2） ∴AB=2m+2-m+1=m+3 S△ABO= ∴ m=− 时，△ABO 的面积最大。 22.如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，交 轴于点 .过点 作 轴，交抛物线于点 . （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 与线段 、 分别交于 、 两点，过 点作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，求矩形 的最大面积； （3）若直线 将四边形 分成左、右两个部分，面积分别为 、 ，且 ，求 的值. 【答案】（1）解：根据题意得：9a-3b-3=0 a+b-3=0 解之：a=1，b=2 ∴抛物线的解析式为 y-=x2+2x-3 （2）解：解：∵x=0 时，y=-3∴点 C 的坐标为（0，-3） ∵CD∥X 轴， ∴点 D（-2，-3） ∵A（-3,0），B（1,0） ∴yAD=-3x-9，yBD=x-1 ∵直线 与线段 、 分别交于 、 两点 ∴ ∴ ∴ ∴矩形的最大面积为 3 （3）解：AB=1-（-3）=4，CD=0-（-2）=2,OC=3 ∵CD∥x 轴 ∴S 四边形 ABCD= ∵ ∴S1=4，S2=5 ∵若直线 y=kx+1 经过点 D 时，点 D（-2，-3） -2k+1=-3 解之：k=2 ∴y=2x+1 当 y=0 时，x= ∴点 M 的坐标为 ∴ ∴ 设直线 y=kx+1 与 CD、AO 分别交于点 N、S ∴ ∴ 解之：k= 23.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（1，2）且与 x 轴相切 于点 B． （1）当 x=2 时，求⊙P 的半径； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象； （3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中 所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的 所有点的集合． （4）当⊙P 的半径为 1 时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点 D （m，n）在点 C 的右侧，请利用图②，求 cos∠APD 的大小． 【答案】（1）解：由 x=2，得到 P（2，y）， 连接 AP，PB， ∵圆 P 与 x 轴相切， ∴PB⊥x 轴，即 PB=y， 由 AP=PB，得到 =y， 解得：y= ， 则圆 P 的半径为 （2）解：同（1），由 AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2 ， 整理得：y= （x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示； （3）点 A；x 轴 （4）解：连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F， 设 PE=a，则有 EF=a+1，ED= ， ∴D 坐标为（1+ ，a+1）， 代入抛物线解析式得：a+1= （1﹣a2）+1， 解得：a=﹣2+ 或 a=﹣2﹣ （舍去），即 PE=﹣2+ ， 在 Rt△PED 中，PE= ﹣2，PD=1， 则 cos∠APD= = ﹣2 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式 h ＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ） A. 点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B. 点火后 24s 火箭落于地 面 C. 点火后 10s 的升空高度为 139m D. 火箭升空的最大高 度为 145m 【答案】D 2. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A . 图像与 轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在 轴 的右侧 C. 当 时， 的值随 值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 3. 如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4.二次函数 的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5. 给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当 x ＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 6.若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定 弦抛物线的对称轴为直线 x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到 的抛物线过点（ ） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3， -5） D. （-3，-1） 【答案】B 7. 如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交 于点 A、点 B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为 a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④ 当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 8. 若抛物线 与 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线，已 知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单 位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 9.如图是二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的一部分，与 轴 的交点 在点 和 之间，对称轴是 .对于下列说法：① ；② ；③ ；④ （ 为实数）；⑤当 时， ，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 10.如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P．若点 P 的横坐标为 -1，则一次函数 y=（a-b）x+b 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 11.四位同学在研究函数 （b，c 是常数）时，甲发现当 时，函数有 最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现 当 时， ．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 12.如图所示,△DEF 中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B 是斜边 DF 上一动点,过 B 作 AB⊥DF 于 B,交边 DE(或边 EF)于点 A,设 BD=x,△ABD 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ） A. （ B. C. D. （ 【答案】B 二、填空题 13.已知二次函数 ，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而________（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 ________m。 【答案】4 -4 三、解答题 15. 如图，抛物线 （a≠0）过点 E（10，0），矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上 （点 A 在点 B 的左边），点 C ， D 在抛物线上．设 A（t ， 0），当 t=2 时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个 交点 G ， H ， 且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】（1）设抛物线的函数表达式为 y=ax（x-10） ∵当 t=2 时，AD=4 ∴点 D 的坐标是（2，4） ∴4=a×2×（2-10），解得 a= ∴抛物线的函数表达式为 （2）由抛物线的对称性得 BE=OA=t ∴AB=10-2t 当 x=t 时，AD= ∴ 矩 形 ABCD 的 周 长 =2 （ AB+AD ） = ∵ <0 ∴当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值是多少 （3）如图， 当 t=2 时，点 A，B，C，D 的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4） ∴矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为（5，2） 当平移后的抛物线过点 A 时，点 H 的坐标为（4，4），此时 GH 不能将矩形面积平分。 当平移后的抛物线过点 C 时，点 G 的坐标为（6，0），此时 GH 也不能将矩形面积平分。 ∴当 G，H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时，直线 GH 不可能将矩形面积平分。 当点 G，H 分别落在线段 AB，DC 上时，直线 GH 过点 P，必平分矩形 ABCD 的面积。 ∵AB∥CD ∴线段 OD 平移后得到线段 GH ∴线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P 在△OBD 中，PQ 是中位线 ∴PQ= OB=4 所以，抛物线向右平移的距离是 4 个单位。 16. 学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图 1），顺次输入点 P1 ， P2 ， P3 的坐标， 机器人能根据图 2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛 物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。 ①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。 ②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。 【答案】①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0， ∴绘制线段 P1P2 ， P1P2=4. ②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0， ∴绘制抛物线， 设 y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得 a= ， ∴ ，即 。 17.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不 考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系 y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】（1）解：当 y=15 时， 15=﹣5x2+20x， 解得，x1=1，x2=3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是 1s 或 3s （2）解：当 y=0 时， 0═﹣5x2+20x， 解得，x3=0，x2=4， ∵4﹣0=4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s （3）解：y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20， ∴当 x=2 时，y 取得最大值，此时，y=20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2s 时最大，最大高度是 20m 18.在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常 数），定点为 . （1）当抛物线经过点 时，求定点 的坐标； （2）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式； （3）无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式. 【答案】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ∴ ，解得 . ∴抛物线的解析式为 . ∵ ， ∴顶点 的坐标为 . （ 2 ） 解 ： 如 图 1， 抛物线 的顶点 的坐标为 . 由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限. 过点 作 轴于点 ，则 . 可知 ，即 ，解得 ， . 当 时，点 不在第四象限，舍去. ∴ . ∴抛物线解析式为 . （ 3 ） 解 ： 如 图 2： 由 可知， 当 时，无论 取何值， 都等于 4. 得点 的坐标为 . 过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别 为 ， ，则 . ∵ ， ， ∴ .∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ ， . 可得点 的坐标为 或 . 当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 . ∵点 在直线 上， ∴ .解得 ， . 当 时，点 与点 重合，不符合题意，∴ . 当点 的坐标为 时， 可得直线 的解析式为 . ∵点 在直线 上， ∴ .解得 （舍）， . ∴ . 综上， 或 . 故抛物线解析式为 或 . 19.如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ， 点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点. （1）求二次函数 的表达式； （2）连接 ， ，并把 沿 轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求出此时点 的坐标； （3）当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边 形 的最大面积. 【答案】（1）解：将点 B 和点 C 的坐标代入 , 得 ，解得 ， ． ∴ 该二次函数的表达式为 ． （2）解：若四边形 POP′C 是菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上； 如图，连接 PP′，则 PE⊥CO，垂足为 E， ∵ C（0，3）， ∴ E（0， ）, ∴ 点 P 的纵坐标等于 ． ∴ , 解得 ， （不合题意，舍去）， ∴ 点 P 的坐标为（ ， ）． （3）解：过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F， 设 P（m， ），设直线 BC 的表达式为 ， 则 , 解得 . ∴直线 BC 的表达式为 ． ∴Q 点的坐标为（m， ）， ∴ . 当 ， 解得 ， ∴ AO=1，AB=4， ∴ S 四边形 ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ = = 当 时，四边形 ABPC 的面积最大． 此时 P 点的坐标为 ，四边形 ABPC 的面积的最大值为 ． 20.如图 1，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .点 从点 出发，沿 以每秒 1 个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以 每秒 2 个单位长度的速度向点 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒. （1）当 时，线段 的中点坐标为________； （2）当 与 相似时，求 的值； （3）当 时，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的 顶点为 ，如图 2 所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 ，若存 在，求出所有满足条件的 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（ ，2） （2）解：如图 1，∵四边形 OABC 是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90° ∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况： ①当△PAQ∽△QBC 时， ， ∴ ， 4t2-15t+9=0， （t-3）（t- ）=0， t1=3（舍），t2= ， ②当△PAQ∽△CBQ 时， ， ∴ ， t2-9t+9=0， t= ， ∵0≤t≤6， ＞7， ∴x= 不符合题意，舍去， 综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是 或 （3）解：当 t=1 时，P（1，0），Q（3，2）， 把 P（1，0），Q（3，2）代入抛物线 y=x2+bx+c 中得： ，解得： ， ∴抛物线：y=x2-3x+2=（x- ）2- ， ∴顶点 k（ ，- ）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x 轴， 作抛物线对称轴，交 MQ 于 E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ， 如图 2，∠MQD= ∠MKQ=∠QKE，设 DQ 交 y 轴于 H， ∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH， ∴ ， ∴ ， ∴MH=2， ∴H（0，4）， 易得 HQ 的解析式为：y=- x+4， 则 ， x2-3x+2=- x+4， 解得：x1=3（舍），x2=- ， ∴D（- ， ）； 同理，在 M 的下方，y 轴上存在点 H，如图 3，使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE， 由对称性得：H（0，0）， 易得 OQ 的解析式：y= x， 则 ， x2-3x+2= x， 解得：x1=3（舍），x2= ， ∴D（ ， ）； 综上所述，点 D 的坐标为：D（- ， ）或（ ， ） 21.平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴有两个 交点. （1）当 时，求二次函数的图象与 轴交点的坐标； （2）过点 作直线 轴，二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不 包含点 在直线 上)，求 的范围； （3）在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ，求 的面积最大 时 的值. 【答案】（1）解：当 m=-2 时，y=x2+4x+2 当 y=0 时，则 x2+4x+2=0 解之：x1= ，x2= （2）解：∵ =（x-m）2+2m+2∴顶点坐标为（m，2m+2） ∵此抛物线的开口向上，且与 x 轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线 l 与 x 轴之间（不 包括点 A 在直线 l 上） ∴ 解之：m＜-1，m＞-3 即-3＜m＜-1 （3）解：根据(2)的条件可知-3＜m＜-1 根据题意可知点 B（m，m-1）,A（m，2m+2） ∴AB=2m+2-m+1=m+3 S△ABO= ∴ m=− 时，△ABO 的面积最大。 22.如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，交 轴于点 .过点 作 轴，交抛物线于点 . （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 与线段 、 分别交于 、 两点，过 点作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，求矩形 的最大面积； （3）若直线 将四边形 分成左、右两个部分，面积分别为 、 ，且 ，求 的值. 【答案】（1）解：根据题意得：9a-3b-3=0 a+b-3=0 解之：a=1，b=2 ∴抛物线的解析式为 y-=x2+2x-3 （2）解：解：∵x=0 时，y=-3∴点 C 的坐标为（0，-3） ∵CD∥X 轴， ∴点 D（-2，-3） ∵A（-3,0），B（1,0） ∴yAD=-3x-9，yBD=x-1 ∵直线 与线段 、 分别交于 、 两点 ∴ ∴ ∴ ∴矩形的最大面积为 3 （3）解：AB=1-（-3）=4，CD=0-（-2）=2,OC=3 ∵CD∥x 轴 ∴S 四边形 ABCD= ∵ ∴S1=4，S2=5 ∵若直线 y=kx+1 经过点 D 时，点 D（-2，-3） -2k+1=-3 解之：k=2 ∴y=2x+1 当 y=0 时，x= ∴点 M 的坐标为 ∴ ∴ 设直线 y=kx+1 与 CD、AO 分别交于点 N、S ∴ ∴ 解之：k= 23.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（1，2）且与 x 轴相切 于点 B． （1）当 x=2 时，求⊙P 的半径； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象； （3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中 所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的 所有点的集合． （4）当⊙P 的半径为 1 时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点 D （m，n）在点 C 的右侧，请利用图②，求 cos∠APD 的大小． 【答案】（1）解：由 x=2，得到 P（2，y）， 连接 AP，PB， ∵圆 P 与 x 轴相切， ∴PB⊥x 轴，即 PB=y， 由 AP=PB，得到 =y， 解得：y= ， 则圆 P 的半径为 （2）解：同（1），由 AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2 ， 整理得：y= （x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示； （3）点 A；x 轴 （4）解：连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F， 设 PE=a，则有 EF=a+1，ED= ， ∴D 坐标为（1+ ，a+1）， 代入抛物线解析式得：a+1= （1﹣a2）+1， 解得：a=﹣2+ 或 a=﹣2﹣ （舍去），即 PE=﹣2+ ， 在 Rt△PED 中，PE= ﹣2，PD=1， 则 cos∠APD= = ﹣2 第 31 课时 矩形、菱形、正方形（一） 一、选择题 1. 如图，在△ABC 中，点 E，D，F 分别在边 AB，BC，CA 上，且 DE//CA， DF//BA．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A. 四边形 AEDF 是平行四边形 B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形 AEDF 是矩形 C. 如果 AD 平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D. 如果 AD⊥BC 是 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形 2．下列命题正确的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是菱形； B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 3．如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对 角线 AC 于点 F，E 为垂足，连 DF，∠CDF 等于（ ） A．80° B．70° C．65° D．60° 5．如图，矩形 ABCD 中，AB=3,BC=5 过对角线交点 O 作 OE⊥AC 交 AD 于 E 则 AE 的长是（ ） A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4 6.如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使C 落在 C 处，BC 交 AD 于 E ，则下列结论不一定成立的是 （ ） A． AD BC B． EBD EDB   C． ABE CBD△ ∽△ D．sin AEABE ED   7.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形 二、填空题 8. 如图，l m∥ ，矩形 ABCD 的顶点 B 在直线 m 上，则   度． 9. 如图．边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶 点 A 顺时针旋转 45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ． 10．将五个边长都为 2cm 的正方形按如图所示摆放，点 A、B、C、D 分别是正 方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm2. C D C A B E 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 D A B C m l  65° A D C B C D B E 反思与提高 11.如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容 易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 8，那么菱形周长的最大值 是 ． 12.如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、 DE，则图中阴影部分的面积是 cm2． 三、解答题 13．如图，平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，EF⊥AC 交 CD 于 E， 交 AB 于 F，问四边形 AFCE 是菱形吗？请说明理由． 14.两个完全相同的矩形纸片 ABCD 、 BFDE 如图放置， AB BF ． 求证：四边形 BNDM 为菱形． C D EM A B F N 15.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形 图案，纹饰长度就增加 dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长10 3 cm， 其一个内角为 60°． （1）若 d＝26，则该纹饰要 231 个菱形图案，求纹饰的长度 L； （2）当 d＝20 时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图 案？ B C E A D F 60° …… d L 第 8 题图 第 10 题图第 9 题图 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 反思与提高 第 32 课时 矩形、菱形、正方形（二） 一、选择题 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.四条边相等 2.菱形的一个内角为 60°，一边长为 2，则它的面积为：（ ） A． 3 B. 2 3 C.2 3 D.4 3 3.由菱形两条对角线交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 4.如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论: （1）∠E=22.5° (2) ∠AFC=112.5°(3) ∠ACE=135° （4）AC=CE．(5) AD∶CE=1∶ 2 . 其中正确的有（ ）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形 两邻边中点的连线（虚线）剪下，再 打开，得到的菱形的面积为（ ） A． 210cm B． 220cm C． 240cm D． 280cm 二、填空题 6. 在菱形 ABCD 中，已知 AB＝10,AC＝16,那么菱形 ABCD 的面积为_____. 7. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QR 的两端放在正方形的相 邻的两边上同时滑动．如果 Q 点从 A 点出发，沿图 中所示方向按 A→B→C→D→A 滑动到 A 止，同时点 R 从 B 点出发，沿图中所示方向按 B→C→D→A→B 滑 动到 B 止，在这个过程中，线段 QR 的中点 M 所经 过的路线围成的图形的面积为 ． 8．如图（1），把一个长为 m 、宽为 n 的长方形 （ m n ）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为 在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形， 则去掉的小正方形的边长为（ ） A． 2 m n B． m n C． 2 m D． 2 n 9．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE△ 是等 A D E P B C A B C D m n n n（2）（1） 第 4 题图 第 5 题图 第 7 题图 第 8 题图 反思与提高 边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD PE 的 和最小，则这个最小值为 ． 三、解答题 10．已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 是 BC 上的一点，DF 交 AC 于 E，求证： ∠ABE=∠CFE． 11.已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为矩 ABCD 外一点，且 AE⊥CE，求证：BE⊥DE 12.已知正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O. ①若 E 是 AC 上的点，过 A 作 AG⊥BE 于 G，AG、BD 交于 F，求证:OE=OF ②若点 E 在 AC 的延长线上，AG⊥EB 交 EB 的延长线于 G，AG 延长线交 DB 延长线于点 F，其它条件不变，OE=OF 还成立吗？ 13．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF、GH 分割为四个 小矩形，EF 与 GH 交于点 P． （1）若 AG=AE，证明：AF=AH； （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH； （3）若 RtΔGBF 的周长为 1，求矩形 EPHD 的面积． 第 33 课时 四边形综合 一、选择题 1.下列说法不正确的是（ ） A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．两条对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．四条边都相等的四边形是正方形 2．在同一平面内，用两个边长为 a 的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成 的四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 3．把矩形纸条 ABCD 沿 EF GH， 同时折叠， B C， 两点恰好落在 AD 边的 P 点处，若 90FPH  ∠ ， 8PF  ， 6PH  ，则矩形 O A B C D E F G O A C D B E F G O A C D B E E B C D A F B F C 第 9 题图 第 10 题 第 11 题 第 12 题 第 13 题 反思与提高 A E P D G HFB A C D 第 3 题图 反思与提高 第 7 题图 ABCD 的边 BC 长为（ ） A． 20 B． 22 C． 24 D．30 4. 如图，将矩形 ABCD 纸片沿对角线 BD 折叠，使点C 落在C 处， BC 交 AD 于 E ，若 22.5DBC  °，则在不添加任何辅 助线的情况下，图中 45°的角（虚线也视为角的边）有（ ） A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 二、填空题 5.如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，垂足为 E，DE=6 ㎝，sinA= 5 3 ，则菱形 ABCD 的面积是__________㎝ 2． 6.在如图所示的四边形中，若去掉一个 50°的角得到一个五边形，则 1 2 ∠ ∠ _______度． 7．将边长分别为 2、3、5 的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面 积为 ． 8.如图，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由 A 点开始按 ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2010 厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点． 9.如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2 和 6，那么矩形内阴影部分的面积 是 ．（结果可用根号表示） 10.如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四 边形 EFGH，若 EH＝3 厘米，EF＝4 厘米，则边 AD 的长是___________厘米. 三、解答题 11.如图，正方形 ABCD 中， E 与 F 分别是 AD 、 BC 上 一点．在① AE CF 、② BE ∥ DF 、③ 1 2   中， 请选择其中一个条件，证明 BE DF ． （1）你选择的条件是 （只需填写序号）； （2）证明： 12.如图，网格中每一个小正方形的边长为 1 个单 位长度． (1)请在所给的网格内画出以线段 AB、BC 为边的菱 1 250° 第 6 题图第 5 题图 D C B A E CF A B DE 1 2 2 6 B F C A H D E G 第 8 题图 第 10 题图第 9 题图 第 11 题图 第 12 题图 反思与提高 形 ABCD； (2)填空：菱形 ABCD 的面积等于_________． 13.已知：正方形 ABCD 中， 45MAN   ， MAN 绕点 A 顺时针旋转，它 的两边分别交CB DC， （或它们的延长线）于点 M N， ． 当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时（如图 1），易证 BM DN MN  ． （1）当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时（如图 2），线段 BM DN， 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM DN， 和 MN 之间又 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 第 21 课时 线段、角、相交线与平行线 一、选择题 1．( 2008 年杭州市) 设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为 , 则( ) A．  900   B．  900   C．  900   或  18090   D．  1800   2．已知：如图，∠AOB 的两边 OA、OB 均为平面反光镜，∠AOB=40°，在 OB 上有一点 P，从 P 点射出一束光线经 OA 上的 Q 点反射后，反射光线 QR 恰好与 OB 平行，则∠QPB的度数是（ ） A．60° B．80° C．100° D．120° 3．如图，B 是线段 AC 的中点，过点 C 的直线 L 与 AC 成 60°的角，在直线 L 上 取一点 P，使∠APB=30°，则满足条件的点 P 共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个 4 ．（ 2009 年 新 疆 ） 如 图 ， 将 三 角 尺 的 直 角 顶 点 放 在 直 尺 的 一 边 上 ， 1 30 2 50   °， °，则 3 的度数等于（ ） A．50° B．30° C． 20° D．15° B B M B C N C N MC N M 图 1 图 2 图 3 A A A DDD 反思与提高 1 2 3 5．学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方 法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）： 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） ①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题 6．一副三角板，如图叠放在一起，∠ 的度数是 度． 7．如图，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则有∠BEC=_______度． 8．如图，地面上有一个钟，钟面 12 个粗线段刻度是整点时时针(短针)所指位 置．由图中时针与分针（长针）所指位置，该钟面所显示的时刻是______时 _______分． 三、解答题 9．已知图中小方格的边长为 1，求点 C 到线段 AB 的距离． 10．如图，已知在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 E，交 BC 于点 F．求证：BF=2CF． 第２题图 第３题图 第４题图 第６题图 第７题图第８题图 反思与提高 A B C DE 8 11. 如图，在△ABC 中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE∥BC. (1)求∠EDB 的度数； (2)求 DE 的长. . 第 6 课时 一元一次方程及二元一次方程（组） 一、选择题 1．在解方程     032312  xx 中，去括号正确的是 （ ） A． 09612  xx B. 03622  xx C. 09622  xx . D. 09622  xx 2．几个同学在日历竖列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是 （ ） A. 28 B. 33 C. 45 D. 57 3．甲、乙两个工程队共有 100 人，且甲队的人数比乙队的人数的 4 倍少 10 人， 如果设乙队的人数为 x 人，则所列的方程为（ ） A. 1004 xx B. 100104 xx C.   100104  xx D. 100104 1  xx 4．若 2(3 4 1) 3 2 5 0x y y x      则 x  （ ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 5．若关于 x，y 的二元一次方程组      kyx ,kyx 9 5 的解也是二元一次方程 632  yx 的解，则 k 的值为（ ） A. 4 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 3 4 6．已知 与 是同类项，则 与 的值分别是 ( ) A.4、1 B.1、4 C.0、8 D.8、0 二、填空题 7．在3 4 9x y  中，如果 2 6y  ，那么 x  ． 第10题图 第11题图      03 2 nyx myx mnm yx 344  yx n5 m n 反思与提高 8．在方程组 中，m 与 n 互为相反数，则 9．娃哈哈矿泉水有大箱和小箱两种包装，3 大箱、2 小箱共 92 瓶；5 大箱、3 小箱共 150 瓶，那么一大箱有___________瓶，一小箱有__________瓶． 10．当 m=______，n=______时， 是二元一次方程． 11．如果 那么 12．写出一个二元一次方程组，使这个方程组的解为 x 2 y 2     ，你所写的方程 组是 ． 13．一个三位数的数字和为 11，十位数字是 x，个位数字是十位数字的 3 倍， 百位数字比十位数字的 2 倍少 1，则这个三位数是______________ ． 三、解方程（组） 14． 3 512 2  xx 15． 16． 17． 四．解答题 18．已知方程 的两个解为 和 ，求 的值． 19．某村果园里， 1 3 的面积种植了梨树， 1 4 的面积种植了苹果树，其余5ha 地 种植了桃树．这个村的果园共有多少 ha ？ 20．为了防控甲型 H1N1 流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲．乙两 种消毒液共 100 瓶，其中甲种 6 元/瓶，乙种 9 元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共用 780 元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ .__________x ( ) ( )x x x x    3 20 3 7 9 82 1  nm yx ,53  yx .________38  yx      83 72 yx xy      74 143 yx yx      33 3 y xbkxy       27 1 y x bk, 反思与提高 （2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的 100 瓶），使乙种瓶数 是甲种瓶数的 2 倍，且所需费用不多于．．．1200 元（不包括 780 元），求甲种消毒 液最多能再购买多少瓶？ 21．已知某铁路桥长 800 米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥 到完全过桥共用 45 秒，整列火车完全在桥上的时间是 35 秒，求火车的速度和 长度．