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- 2021-11-06 发布
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一、教学目标
1. 使学生会用描点法画出二次函数 khxay 2)( 的图像;
2. 使学生知道抛物线 khxay 2)( 的对称轴与顶点坐标;
3.通过本节的学习,继续培养学生的观察、分析、归纳、总结
的能力;
4.通过本节的教学,继续向学生进行数形结合的数学思想方法
的教育,同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯
物主义思想;
5.通过本节课的研究,充分理解并认识到二次函数图像可运动
变化的和谐美,通过数学思维的审美活动,提高对数学美的追求。
二、教学重点
会画形如 khxay 2)( 的二次函数的图像,并能指出图像的开口
方向、对称轴及顶点坐标。
三、教学难点:确定形如 khxay 2)( 的二次函数的顶点坐标
和对称轴。
4.解决办法:
四、教具准备
三角板或投影片
1.教师出示投影片,复习 222 )(,, hxaykaxyaxy 。
2.请学生动手画 1)1(2
1 2 xy 的图像,正好复习图像的画法,
完成表格。
3.小结 khxay 2)( 的性质
平移
顶点坐标
对称轴
开口方向
4.练习
五、教学过程
提问:1.前几节课,我们都学习了形如什么样的二次函数的图
像?
答:形如 222 )(, hxaykaxyaxy 和 。(板书)
2.这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关
问题,你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗?
由学生参考上面给出的三个类型,较容易得到:讨论形如
khxay 2)( 的二次函数的有关问题.(板书)
一、 复习引入
首先,我们先来复习一下前面学习的一些有关知识.(出示幻
灯)
请 你 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 , 画 出 函 数
222 )1(2
1,12
1,2
1 xyxyxy 的图像,并指出它们的开口方向,对
称轴及顶点坐标.
这里之所以加上画函数 2)1(2
1 xy 的图像,是为了使最后通过
图像的观察能更全面一些,也更直观一些,可以同时给出图像先沿 y
轴,再沿 x 轴移动的方式,也可以给出图像
先沿 x 轴再沿 y 轴移动的方式,使这部分知识能更全面,知识与知识
之间的联系能更清晰、更具体.
画这三个函数图像,可由学生在同一表中列值,但是要根据各自
的不同特点取自变量 x
的值,以便于学生进行观察.教师可事先准备好表格和画有直角坐标
系的小黑板,由一名同
学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,待同学们基本做完之后加
以总结,然后再找三名
同学,分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标,填入事
先准备好的表格中.
然 后 提 问 : 你 能 否 在 这 个 直 角 坐 标 系 中 , 再 画 出 函 数
1)1(2
1 2 xy 的图像?
由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像,学生对画图
已经有了一定的经验,
同时可在画这个图时,把这些经验形成规律,便于学生以后应用.
(l)关于列表:主要是合理选值与简化运算的把握,是教学要
点.在选值时,首先要考虑的是函数图像的对称性,因此首先要确定
中心值,然后再左,右取相同间隔的值;其次,选值时尽量选取整数,
便于计算和描点.
在选取 x 的值之后,计算 y 的值时,考虑到对称性,只需计算中
心值一侧的值,另一侧由对称性可直接填入,但一定要保证运算正确.
(2)关于描点:一般可先定顶点(即中心值对应的点,然后利
用对称性描出各点,以逐步提高速度.)
(3)关于连线:特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛
物线应平滑,对称,并符合抛物线的特点.
由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值,然
后画出它的图像,同样
找一名同学板演.
学生画完,教师总结完之后,让学生观察黑板上画出的四条抛物
线,提问:
(1)你能否指出抛物线 1)1(2
1 2 xy 的开口方向,对称轴,顶
点坐标?
将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中,如下表:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
2
2
1 xy 向下 0x (0,0)
12
1 2 xy 向下 0x (0,-1)
2)1(2
1 xy 向下 1x (-1,0)
)0(2 akaxy
向下 1x (-1,-1)
(2)我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 khxay 2)( 中
的 a 的值决定的,你能通过上表中的特征,试着总结出抛物线的对称
轴和顶点坐标是由什么决定的吗?
这个问题由于是本节课的重点问题,而且不是很容易说清楚,可
由学生进行广泛的讨论,先得出对称员的表示方法,再得出顶点坐标。
若学生在讨论时没有头绪,教师可适当引导,让学生把这四个函数都
改写成 khxay 2)( 的形式,可得 0)0(2
1
2
1 22 xxy ;
0)1((2
1)1(2
1
1)0(2
112
1
22
22
xxy
xxy
)1()1((2
1)1(2
1 22 xxy 。然后从这四个式子中加以观察,
分析,得出结论;(板书)
一般地,抛物线 khxay 2)( 有如下特点:
① 0a 时,开口向上; 0a 时,开口向下;
②对称轴是直线 hx ;
③顶点坐标是 ),( kh 。
(3)抛物线 1)1(2
1,)1(2
1,12
1,2
1 2222 xyxyxyxy 有
什么关系?
答:形状相同,位置不同。
(4)它们的位置有什么关系?
这个问题可视学生的程度来决定问还是不问,以及回答到什么程
度。
根据上节课的学习,学生能想到是平移科来的,可把这四个图像
分成以下几个问题来讨论:①抛物线 12
1 2 xy 是由抛物线 2
2
1 xy
怎样移动得到的?
②抛物线 2)1(2
1 xy 是由抛物线 2
2
1 xy 怎样移动得到的?
③抛物线 1)1(2
1 2 xy 是由抛物线 12
1 2 xy 怎样移动得到
的?
④抛物线 1)1(2
1 2 xy 是由抛物线 2)1(2
1 xy 怎样移动得到
的?
⑤抛物线 1)1(2
1 2 xy 是由抛物线 2
2
1 xy 怎样移动得到的?
这个问题分两种方式回答:先沿 y 轴,再沿 x 轴移动;或先沿 x 轴,
再沿 y 轴移动。
通过这 5 个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系,如
图所示:
注意:基本形式中的符号,特别是 h。
练习:P120 练习口答,及时纠正错误。
(四)总结、扩展
一般的二次函数,都可以变形成 khxay 2)( 的形式,其中:
1.a 能决定什么?怎样决定的?
答:a 的符号决定抛物线的开口方向;a 的绝对值大小抛物线的
开口大小。
2.它的对称轴是什么?顶点坐标是什么?
六、布置作业
教材 P124 中 1(3);P124 中 3(1)、(2);P125 中 1B
七、板书设计
13.7 二次函数 cbxaxy 2 的图像(二)
例 :
抛 物线 khxay 2)( 的特点:
(1)
(2)
(3)
二次函数试题
题
号
一 二
三
总分
19 20 21 22 23 24 25 26
分
数
同学们,又到了检验成绩的时候了,要认真做噢,不要马虎,力争取
得优异的成绩,祝你成功!
一选择题:
1、y=(m-2)xm2- m 是关于 x 的二次函数,则 m=( )
A -1 B 2 C -1 或 2 D m 不存在
2、下列函数关系中,可以看作二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是
( )
A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B 我国人中自然增长率为 1%,这样我国总人口数随年份变化的关
系
C 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系
D 圆的周长与半径之间的关系
3、在 Rt△ABC 中,∠C=90。 ,AB=5,AC=3.则 sinB 的值是( )
A
5
3 B
5
4 C
4
3 D
3
4
4、将一抛物线向下向右各平移 2 个单位得到的抛物线是 y=-x2,则抛
物线的解析式是( )
A y=—( x-2)2+2 B y=—( x+2)2+2
C y=— ( x+2)2+2 D y=—( x-2)2—2
5、抛物线 y=
2
1 x2-6x+24 的顶点坐标是( )
A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6) D
(6,—6)
6、已知函数 y=ax2+bx+c,图象如图所示,则下列结论中正确的有( )
个
①abc〈0 ②a+c〈b ③ a+b+c 〉0 ④ 2c〈3b
A 1 B 2 C 3 D 4
1—1 0 x
y
7、函数 y=ax2-bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0),则
cb
a
=
ca
b
=
ba
c
的值是( )
A -1 B 1 C
2
1 D -
2
1
8、已知一次函数 y= ax+c 与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同
一坐标系内的大致图象是图中的( )
A B C
D
9、如图所示,二次函数 y=x2-4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点,交 y
轴于 C 点,则△ABC 的面积为( )
A 6 B 4 C 3 D1
10、如图所示,在矩形 ABCD 中,DE⊥AC 于 E,设∠ADE=α,
且 cosα=
5
3 , AB=4,则 AD 的长为( )
A 3 B
3
16 C
3
20 D
5
16
11 某学校的围墙上端由一段段相同的拱形栅栏组面,如图所示,其
y
x0-1
x
y
x
y
x
y
x
y
A B
CD
E
xo
AB C
B
A
x0
C
y
拱形图形为抛物线的一部分,栅栏的路径 A B 间,按相同的间距
0.2 米用 5 根立柱加固,拱高OC为0.6 米,以O为原点, OC所在
的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,根据以上的数据,则一段栅栏
所需立柱的总长度(精确到 0.1 米)为( )米
A 1.5 B 1.9 C 2.3 D 2.5
12、如图所示,已知△ABC 中,BC=8,BC 上的高 h=4,D为BC上
一点.EF∥BC,交AB与点E,交AC于点F(EF不过A、
B),设E到BC的距离为 x,则△DEF的面积 y 关于 x 的函数
的图象大致为( )
A B C D
二填空题:
13、无论 m 为任何实数,总在抛物线 y=x2+2mx+m 上的点的坐标是
———————————————。
4 x
y
o 2
x
y
o 2 4 x
y
o 2 4 x
y
o 2 4
CB D
F
A
E
14、函数 y=
x 21
1 中的自变量的取值范围是———————————————。
15、已知α为等边三角形的一个内角,则 sinα等于——————————————
—。
16、若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=2,最小值为
-2,则关于方程 ax2+bx+c=-2的根为———————————————。
17、抛物线 y=(k+1)x2+k2-9 开口向下,且经过原点,则 k=——————
———
18、如图,在直角坐标系中,将矩形OABC沿OB对折,使点A落
在点A1处,已知OA= 3 ,AB=1,则点A1的坐标是——————
—
、解答题:
19 计算:2cos60°+ 3 sin60°-3tan45°
20、 如图,河对岸有古塔AB,小敏在C处测得塔顶A的仰角α,
向塔前进 s 米到达D点,在D处测得 A 的仰角为β,则塔高是多
少米?
A0
y
A1
BC
x
C D B
A
21 已知抛物线 y=x2+(n-3)x+n+1 经过坐标原点 O。
⑴ 求这条抛物线的顶点 P 的坐标
⑵设这条抛物线与 x 轴的另外一个交点为 A,求以直线 PA 为图
象的一次函数解析式
22 已知:在△ABC 中,BC=20,高 AD=16,内接矩形 EFGH 的顶点 E、
F 在 BC 上,G、H 分别在 AC、AB 上,求内接矩形 EFGH 的最大面积。
H
A
G
CFDEB
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