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- 2021-11-06 发布
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2013 届初三数学教学质量调研试卷
(满分 150 分,考试时间 100 分钟)
考生注意:
1. 本试卷含三个大题,共 25 题;
2. 答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律
无效;
3. 除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤.
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题
纸的相应位置上】
1. 同位素的半衰期(half-life)表示衰变一半样品所需的时间.镭-226 的半衰期约为 1600
年,1600 用科学记数法表示为
(A)1.6×103; (B)0.16×104; (C)16×102; (D)160×10.
2. 若点 P(a,b)在第四象限,则点 Q( a , 1b )在
(A)第一象限; (B)第二象限; (C)第三象限; (D)第四象限.
3. 若两圆的直径分别是 4 和 6,圆心距为 2,则这两圆的位置关系是
(A)外离; (B)相交; (C)外切; (D)内切.
4. 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量,如下表所示:
用电量(度) 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是
(A)180,160; (B)160,180; (C)160,160; (D)180,180.
5. 下列各组图形必相似的是
(A)任意两个等腰三角形;
(B)有两边对应成比例,且有一个角对应相等的两三角形;
(C)两边为 4 和 5 的直角三角形与两边为 8 和 10 的直角三角形;
(D)两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形.
6. 定义:如果一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a 满足 0abc ,那么我们称这个方程为
“凤凰”方程.已知 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下
列结论正确的是
(A) ac ; (B) ab ; (C)bc ; (D) abc.
二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7. 9 的算术平方根是 ▲ .
8. 分解因式: 324x xy ▲ .
9. 函数 42yx的定义域是 ▲ .
10. 不等式组 3 2 5
21
x
x
的整数解是 ▲ .
11. 将抛物线 21
2yx 向上平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位后,得到的抛物线的解析式
为 ▲ .
12. 从标有 1 到 9 序号的 9 张卡片中任意抽取一张,抽到序号是 3 的倍数的概率是 ▲ .
13. 已知⊙O 的半径为 2,直线 l 上有一点 P 满足 OP = 2,则直线 l 与⊙O 的位置关系是
▲ .
14. 在△ABC 中,DE∥BC,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,且 AD = 3BD,如果 AB a ,AC b ,
那么 DE = ▲ (结果用a 、b 表示).
15. 对某校九年级随机抽取若干名学生进行体能测试,成绩记为 1 分,2 分,3 分,4 分共 4
个等级,将调查结果绘制成如下条形统计图(图 1)和扇形统计图(图 2).根据图中信息,
这些学生的平均分数是 ▲ 分.
16. 如图 3,矩形纸片 ABCD 中,AD = 9,AB = 3,将其折叠,
使点 D 与点 B 重合,折痕为 EF,那么折痕 EF 的长为
▲ .
17. 已知在⊙O 中,半径 r = 5,AB,CD 是两条平行弦,且 AB
= 8,CD = 6,则弦 AC 的长为 ▲ .
18. 如图 4,点 A 是 5×5 网格图形中的一个格点(小正方形的
顶点),图中每个小正方形的边长为 1,以 A 为其中的一
个顶点,面积等于 5
2
的格点等腰直角三角形(三角形的三
个顶点都是格点)的个数是 ▲ .
三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分)
19.(本题满分 10 分)
先化简,再求值:
222 1 1
2 1 2
x x x x
x x x
,其中 32x .
A
图 4
图 1
12
3
人数
分数
成绩频数条形统计图
1 2 3 4
图 2
成绩频数扇形统计图
4 分
30%
3 分
42.5% 1 分
2 分
A
B C
D E
F
C 图 3
20.(本题满分 10 分)
解方程: 22 9 5 3x x x .
21.(本题满分 10 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 7 分)
如图 5,已知△ABC 是等边三角形,点 D、F 分别在线
段 BC、AB 上,∠EFB = 60°,DC = EF.
(1)求证:四边形 EFCD 是平行四边形;
(2)若 BF = EF,求证:AE = AD.
22.(本题满分 10 分)
图 6 为圆柱形大型储油罐固定在 U 型槽上的横截面图.已知
图中 ABCD 为等腰梯形(AB∥DC),支点 A 与 B 相距 8m,罐底
最低点到地面 CD 距离为 1m.设油罐横截面圆心为 O,半径为
5m,∠D = 56°,求:U 型槽的横截面(阴影部分)的面积.
(参考数据:sin53°≈0.8,tan56°≈1.5,π≈3,结果保留整数)
23.(本题满分 12 分,每小题满分各 6 分)
如图 7,A、D 分别在 x 轴和 y 轴上,CD∥x 轴,BC∥y 轴.点 P 从 D 点出发,以 1cm/s
的速度,沿五边形 OABCD 的边匀速运动一周.记顺次联结 P、O、D 三点所围成图形的面积
为 S cm2,点 P 运动的时间为 t s.已知 S 与 t 之间的函数关系如图 8 中折线段 OEFGHI 所示.
(1)求 A、B 两点的坐标;
(2)若直线 PD 将五边形 OABCD 分成面积相等的两部分,求直线 PD 的函数解析式.
O A
B
C D
x(cm)
y(cm)
图 7
O E
F
G H
I
S(cm2)
t(s)
图 8
3 6 11 12
4
B
A
E
C D
F
图 5
A
图 6
B
D C
O
24.(本题满分 12 分,第(1)小题满分 2 分,第(2)、(3)小题满分各 5 分)
如果抛物线 C1 的顶点在抛物线 C2 上,同时抛物线 C2 的顶点在抛物线 C1 上,那么我们称
抛物线 C1 与 C2 关联.
(1)已知抛物线① 2 21y x x ,判断下列抛物线② 2 21y x x ;③ 2 21y x x 与
已知抛物线①是否关联,并说明理由;
(2)抛物线 C1: 21 ( 1) 28yx ,动点 P 的坐标为(t,2),将抛物线 C1 绕点 P(t,2)旋转
180°得到抛物线 C2,若抛物线 C2 与 C1 关联,求抛物线 C2 的解析式;
(3)A 为抛物线 C1: 的顶点,B 为与抛物线 C1 关联的抛物线顶点,是否存在
以 AB 为斜边的等腰直角△ABC,使其直角顶点 C 在 y 轴上,若存在,求出点 C 的坐标;
若不存在,请说明理由.
25.(本题满分 14 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 6 分)
已知菱形 ABCD 中,BD 为对角线,P、Q 两点分别在 AB、BD 上,且满足 PCQ ABD .
(1)如图 9,当 90BAD 时,求证: 2DQ BP CD;
(2)如图 10,当 120BAD 时,试探究线段 DQ、BP、CD 之间的数量关系,并证明你的
结论;
(3)如图 11,在(2)的条件下,延长 CQ 交 AD 边于点 E,交 BA 的延长线于点 M,作∠DCE
的平分线交 AD 边于点 F.若 5
7
CQ
PM , 35
24EF ,求线段 BP 的长.
A
B C
D
P
Q
图 9
A
B C
D
P Q
图 10
A
B C
D
P
Q
E F
M
图 11
2013 届初三数学教学质量调研试卷
答案要点与评分标准
说明:
1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分
标准相应评分;
2.第一、二大题若无特别说明,每题评分只有满分或零分;
3.第三大题中各题右端所注分数,表示考生正确做对这一步应得分数;
4.评阅试卷,要坚持每题评阅到底,不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果
考生的解答在某一步出现错误,影响后继部分而未改变本题的内容和难度,视影响的程度
决定后继部分的给分,但原则上不超过后继部分应得分数的一半;
5.评分时,给分或扣分均以 1 分为基本单位.
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
1.A; 2.C; 3.B; 4.A; 5.D; 6. A.
二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
7. 3 ; 8. ( 2 )( 2 )x x y x y; 9. 2x ; 10. 0,1,2,3;
11. 21 ( 1) 22yx ;12. 1
3
; 13. 相交或相切; 14. 33
44ba ;
15. 2.95; 16. 10 ; 17. 2 或52或 72 18. 16.
三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分)
19. 解: 原式
2( 1) 1
2 ( 1)( 1) 2
x x x
x x x x
,…………………………………………(3 分)
1
22
xx
xx
,…………………………………………………………………(3 分)
1
2x
.…………………………………………………………………………(2 分)
当 32x 时,原式 3
3 .…………………………………………………(2 分)
20. 解:两边平方,得 222 9 5 ( 3)x x x ,…………………………………………(3 分)
整理得: 2 3 4 0xx ,………………………………………………………(3 分)
解得: 1 1x , 2 4x .………………………………………………………(2 分)
经检验, 是增根.………………………………………………………(1 分)
∴ 4x 是原方程的解.…………………………………………………………(1 分)
21. 证明:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC = 60°.……………………………(1 分)
∵∠EFB = 60°,
∴∠ABC =∠EFB,∴EF∥DC.………………………………………………(1 分)
∵DC = EF,
∴四边形 EFCD 是平行四边形.………………………………………………(1 分)
(2)联结 BE,……………………………………………………………………(1 分)
∵BF = EF,∠EFB = 60°,∴△EFB 是等边三角形,…………………………(1 分)
∴EB = EF,∠EBF = 60°.
∵DC = EF,∴EB = DC.………………………………………………………(1 分)
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ACB = 60°,AB = AC,………………………………………………………(1 分)
∴∠EBF =∠ACB,………………………………………………………………(1 分)
∴△AEB≌△ADC.………………………………………………………………(1 分)
∴AE = AD.………………………………………………………………………(1 分)
22. 解:如图 1,联结 AO、BO,过点 A 作 AE⊥DC 于点 E,过点 O 作 ON⊥DC 于点 N,ON
交⊙O 于点 M,交 AB 于点 F,则 OF⊥AB.…(1 分)
∵OA = OB = 5m,AB = 8m,
∴ 1 4m2AF BF AB ,∠AOB = 2∠AOF.…(1 分)
在 Rt△AOF 中,sin∠AOF = AF
AO = 0.8 = sin53°.
∴∠AOF = 53°,则∠AOB = 106°.………………(1 分)
∵ 223mOF OA AF ,由题意得:MN = 1m,
∴ 3mFN OM OF MN .…………………(1 分)
∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AE⊥DC,FN⊥AB,
∴AE = FN = 3m,DC = AB + 2DE.
在 Rt△ADE 中, 3tan56 2
AE
DE ,∴DE = 2m,DC = 12m.……………(2 分)
∴ ()ABCD OABOABS S S S 阴影部分 梯形 扇形
221 106 1(8 12) 3 ( 5 8 3) 20(m )2 360 2 .…………………(3 分)
答:U 型槽的横截面积约为 20m2.……………………………………………(1 分)
23. 解:(1)联结 AD,设点 A 的坐标为(a,0).
∵DO + OA = 6cm,∴DO = 6 - AO = 6 - a.…………………………………(1 分)
∵ 4AODS ,∴ 11(6 ) 422DO AO a a ,解得: 2a 或 4a .………(2 分)
∵ 3DO ,∴ 3AO ,∴ ,∴点 A 的坐标为(2,0).………………(1 分)
点 D 的坐标为(0,4),延长 CB 交 x 轴于点 M.
∵AB = 5,CB = 1,∴MB = 3,…………………………………………………(1 分)
∴ 224AM AB MB ,∴OM = 6,∴点 B 的坐标为(6,3).………(1 分)
(2)显然点 P 一定在 AB 上,设点 P(x,y),联结 PC、PO.
则 11( ) 922DPC PBC ABMOMCDDPBC OABCDS S S S S S 矩形四边形 五边形 .…(1 分)
∴ 116 (4 ) 1 (6 ) 922yx ,即 6 12xy.………………………(1 分)
同理,由 9DPAOS 四边形 可得 29xy.………………………………………(1 分)
A
图 1
B
D C E N
M
F
O
由 6 12
29
xy
xy
,解得 42 15
11 11xy, ,∴P( 42
11
,15
11
).…………………(1 分)
设直线 PD 的函数解析式为 4y kx,则15 42 411 11 k,∴ 29
42k .…(1 分)
∴直线 PD 的函数解析式为 29 442yx .……………………………………(1 分)
24. 解:(1)抛物线① 222 1 ( 1) 2y x x x ,其顶点坐标 M(-1,-2).
经验算,点 M 在抛物线②上,不在抛物线③上,所以抛物线①与抛物线③不是关联
的;………………………………………………………………………………(1 分)
抛物线② 222 1 ( 1) 2y x x x ,其顶点坐标 Q(1,2).
经验算,点 Q 在抛物线①上,所以抛物线①与抛物线②是关联的. ………(1 分)
(2)抛物线 C1: 21 ( 1) 28yx 的顶点 M 的坐标为(-1,-2),因为动点 P 的坐标为
(t,2),所以点 P 在直线 y = 2 上,作点 M 关于点 P 的对称点 N,分别过点 M、N
作直线 y = 2 的垂线,垂足为 E、F,则 ME = NF = 3,所以点 N 的纵坐标为
6. …………………………………………………………………………………(1 分)
当 y = 6 时, 21 ( 1) 2 68 x ,解得: 1 7x , 2 9x .……………………(1 分)
∴N(7,6)或 N(-9,6). ……………………………………………………(1 分)
①设抛物线 C2 的解析式为 2( 7) 6y a x ,
∵点 M(-1,-2)在抛物线 C2 上,∴ 22 ( 1 7) 6a ,得 1
8a .
∴抛物线 C2 的解析式为 21( 7) 68yx .…………………………………(1 分)
②设抛物线 C2 的解析式为 2( 9) 6y a x ,
∵点 M(-1,-2)在抛物线 C2 上,∴ 22 ( 1 9) 6a ,得 .
∴抛物线 C2 的解析式为 21( 9) 68yx .…………………………………(1 分)
(3)点 C 为 y 轴上一动点,以 AC 为腰作等腰直角△ABC,设点 C 的坐标为(0,c),
图 2
O
E
x
M
y
P
F
N
图 3
O
C
x
A
y
F
B
H
B
D
D
则点 B 的坐标分两类:
①当 A、B、C 逆时针分布时,如图 3 中点 B,过 A、B 作 y 轴的垂线,垂足分别为 H、
F,则△BCF ≌△CAH,∴CF = AH = 1,BF = CH = c + 2,点 B 的坐标为(c + 2,c -
1). ……………………………………………………………………(1 分)
当点 B 在抛物线 C1: 21 ( 1) 28yx 上时, 211 ( 2 1) 28cc ,解得: 1c .
……………………………………………………………………………………(1 分)
②当 A、B、C 顺时针分布时,如图 3 中点 B ,过 作 y 轴的垂线,垂足为 D,同理
可得点 的坐标为(- c - 2,c + 1). ………………………………………(1 分)
当点 在抛物线 C1: 上 时 , 211 ( 2 1) 28cc , 解 得 :
3 4 2c .………………………………………………………………………(1 分)
综上所述,存在三个符合条件的等腰直角三角形,其中点 C 的坐标分别为 C1(0,1),
C2(0,3 4 2 ), C3(0,3 4 2 ). …………………………………(1 分)
25.(1)证明:如图 4,联结 AC,在菱形 ABCD 中,∵∠BAD = 90°,
∴四边形 ABCD 为正方形,∴∠PAC = ∠QDC = 45°.
∵ 45ACP ACQ , 45DCQ ACQ ,∴∠ACP = ∠DCQ. …(1 分)
∴△APC ∽△DQC,∴ 2AP AC
DQ CD,∴ 2AP DQ .…………………(1 分)
∵ AP BP CD,∴ 2DQ BP CD.……………………………………(1 分)
(2) 32DQ BP CD .……………………………………………………………(1 分)
证明:如图 5,联结 AC,在 DQ 上取一点 M,联结 CM,使∠MCD = ∠MDC = 30°,
则∠QMC =∠PAC = 60°.
过点 M 作 MG⊥CD 于点 G.
在 Rt△MGC 中, 1sin 60 2CG CM CD ,∴ 3CD CM .
∵ 60ACP ACB BCP BCP ,
60MCQ MCB PCQ BCP BCP ,
∴∠ACP = ∠MCQ. ……………………………………………………………(1 分)
∴△APC∽△MQC,∴ 3AP AC CD
MQ CM CM,∴ 3
3MQ AP .………(1 分)
A
B C
D
P
Q
图 4
A
B C
D
P Q
图 5
M
G
∵ 3
3MQ DQ DM DQ CD , AP CD BP,………………………(1 分)
∴ 33()33CD BP DQ CD ,…………(1 分)
即 32DQ BP CD .
(3)解:如图 6,在菱形 ABCD 中,∠ABD = ∠BDC = 30°,
∵∠PCQ = ∠ABD = 30°,∴∠PCQ =∠QDC.
∵BM∥CD,∴∠PMC = ∠QCD.
∴△CQD ∽△MPC,∴ 5
7
CQ CD
PM MC,
∴ 5
7
BC
MC .………………………(1 分)
设 BC = 5k,则 MC = 7k,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H.
在 Rt△CHB 中, 5cos60 2BH BC k ,
5sin 60 32CH BC k .
在 Rt△MHC 中, 2211
2MH MC CH k ,∴BM = BH + MH = 8k.
∴AM = BM - AB = 3k.……………………………………………………………(1 分)
∵AM∥CD,∴ AM AE AE
CD DE AD AE
,∴ 3
55
k AE
k k AE
,得 15
8AE k .(1 分)
延长 CF、BM 交于点 I,则∠DCF = ∠MIC.
∵FC 平分∠ECD,∴∠ECF = ∠DCF,
∴∠MCI = ∠MIC,∴MI = MC = 7k,∴AI = AM + MI = 10k.
∵AI∥CD,∴ AI AF AF
CD DF AD AF
,∴10
55
k AF
k k AF
,得 10
3AF k .(1 分)
∴ 35 35
24 24EF AF AE k ,得 1k ,∴CD = 5. ………………………(1 分)
过点 C 作 CN⊥BD 于点 N.
在 Rt△CND 中, 5sin 60 32DN CD ,∴ 2 5 3BD DN.
∵DE∥BC,∴ DE DQ DQ
BC BQ BD DQ
,∴
25
8
5 53
DQ
DQ
,得 25 313DQ .
∴ 552313BP CD DQ .……………………………………………………(1 分)
A
B C
D
P
Q
E F
M
图 6
H
I
N
题号 考点 相对难度 备注
1 科学计数法 ★☆☆☆☆
2 点与直角坐标系 ★☆☆☆☆
3 圆与圆的位置关系 ★☆☆☆☆
4 中位数,众数 ★☆☆☆☆
5 相似三角形的判定 ★☆☆☆☆
6 一元二次方程根的判别式 ★★☆☆☆
7 算术平方根 ★☆☆☆☆
8 分解因式 ★☆☆☆☆
9 函数定义域,二次根式 ★☆☆☆☆
10 解不等式组 ★☆☆☆☆
11 二次函数图象平移 ★☆☆☆☆
12 概率 ★☆☆☆☆
13 直线与圆的位置关系 ★☆☆☆☆
14 平面向量,平行线分线段成比例 ★★☆☆☆
15 条形、扇形统计图,加权平均数 ★★☆☆☆
16 图形的折叠,勾股定理 ★★☆☆☆
17 垂径定理,勾股定理 ★★★☆☆ 两个层次的分类讨论,共四种
情况
18 三角形面积计算,格点问题 ★★★★☆ 分 A 为直角顶点和非直角顶点
两种情况讨论
19 分式,二次根式计算和化简 ★☆☆☆☆
20 解无理方程 ★☆☆☆☆
21 等边三角形,全等三角形等 ★★☆☆☆
22 垂径定理,解直角三角形的应用,特殊
图形面积计算
★★★☆☆ 注意面积的计算方法,计算要
仔细
23 一次函数图象、待定系数法求解析式 ★★★★☆ 读得懂图象就不难,正常难度
24 二次函数图象、顶点 ★★★★☆ 看得懂定义就不难,正常难度
25 相似三角形,平行线分线段成比例,解
直角三角形,正方形、菱形的性质等
★★★★★ 几何综合题,难题,较复杂
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