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- 2021-11-06 发布
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圆与圆的位置关系
同一平面内两圆的位置关系:
圆与圆的
位置关系
与R、
的关系
公共点
切线
1
R
d
O2
r
外离
无
两条(外公切线)
O11
O2
R
r
d
T
外切
一个
一条
O1
O2
r
R
d
相交
两个
两条
O1.
.O2
d
R
r
T
内切
一个
一条
.O2
O1.
d
r
R
内含
如果则两圆为同心圆
无
无
相切两圆的性质
1. 两圆相切时的图形是轴对称,通过两圆圆心的直线(连心线)是它的对称轴;
2. 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
相交两圆组成的图形也是以两圆的连心线为对称轴的轴对称图形.
在解决两圆相交问题时,常添连心线,公共弦等辅助线,使两圆半径、圆心距、公共弦长的一半,集中于直角三角形中,利用三角形的有关知识加以解决.
考点精析
类型1. 判断两圆的位置关系
例1.若相交两圆的半径分别是和,则这两个圆的圆心距可取整数值的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例2. 已知两圆相交,这两圆的半径分别为1和3,则圆心距d为( )
A. B. C. D.
例3. 已知:两圆的半径分别为R和r(,两圆的圆心距为d,当时,试判断两圆的位置关系.
练习:
1. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,且=6 cm,则⊙O1和⊙O2的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
2. ⊙O1和⊙O2的半径分别为3和6,当圆心距在 范围内变化时,两圆无公共点.
3. 两圆半径分别为的两个根,当两圆外切时,圆心距等于 ,当两圆内切时,圆心距为 .
类型2. 与圆有关的计算
例1. 如图,⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A,⊙O1经过圆心O2,作⊙O2的直径BC交⊙O1于点D,EF为过点A的切线、若O2D=,则∠BAF等于 度.
例2. 已知⊙A、⊙B相切,圆心距为10cm ,其中⊙A的半径为4 cm,求⊙B的半径.
变式题:两圆的半径比为2:3,内切时的圆心距等于8 cm,那么这两圆相交时圆心距的范围是多少?
例3. 半径分别为3 cm和4 cm的两圆相交,若公共弦长为4.8 cm,求两圆的圆心距.
A
C
B
练习:
1. 如图,两个圆相外切,并且都内切于同一个大圆,已知连接三个圆
的圆心所组成的三角形周长等于36 cm ( )
A. 36 cm B. 24 cm C. 18 cm D. 9 cm
2. 如图⊙A与⊙B相交于P、Q两点,且AP是⊙B的切线,若AP=6,AB=10,求公共弦PQ的长.
A
B
P
Q
类型3. 与两圆相切有关的证明
例1. 三角形三边的长分别为5cm,12cm,13cm,以三角形的三个顶点为圆心的三个圆两两外切,求这三个圆的半径.
例2. 如图,已知⊙O1与⊙O2内切于点A,⊙O1的弦AB交与⊙O2于点C,⊙O1与⊙O2的半径之比为
5:3,AB=10,求BC.
例3. 已知⊙O1与⊙O2相切于点P,过点P的直线交⊙O1于点A,交⊙O2于点B,求证:O1A∥O2B.
A
P
B
O1
O2
例4. 已知,如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,AC、AD分别为⊙O1和⊙O2的直径.
求证:C、B、D三点共线.
A
C
A
BC
D
O2 ..
O1 ..
练习:
例1. 如图,,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC分别切,⊙O1和⊙O2于B、C两点.
(1)求证:AB⊥AC.
(2)过点A的直线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E经过两圆圆心时,直线DB与直线EC交于点F,请在图中画出图形,并判断DF与EF是否互相垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由.
B
C
A
.
O1
.
.
O2
.
【拓展提升】
例1. 已知:⊙O1与⊙O2相交于点A,B,过点B,作CD⊥AB,分别交⊙O1、⊙O2于点C、D.
(1) 如图①,求证AC是⊙O2的直径;
(2) 若AC=AD,①如图②,连接BO2,O1O2,求证:四边形O1CBO2 ; ②若点O1在⊙O2外延长O1O2外,延长O1O2交⊙O2于点M,在累弧MB上任取一点E(点E与点B不重合).EB的延长线交
于点F,如图③所示.连接AE、AF.则AE AB(比较大小)并证明.
C
B
D
C1
.
.O2
E
F
M
C
B
D
C1
.
.O2
C
B
D
C1
.
.O2
① ② ③
练习:
1. 已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于点A,直线与⊙O1、⊙O2分别切于B、C点,若⊙O1的半径r=2 cm,⊙O2的半径R=3 cm. 求:BC的长.
A
O1 .
O2 .
B
C
2. 如图,⊙O1与边长分别为18cm、25cm的矩形CDEF三边相切,⊙O1与⊙O2外切,且与EC、CD相切,求⊙O2的半径.
O1
.
O2
.
C
D
E
F
类型4. 利用圆与圆的位置关系进行测量计算
例1. 某人用如下方法测一钢管的内经:将一小段钢管竖直放在平台上,向内放入两个半径为5 cm的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面积如图),则钢管的内直径AD长为多少cm?
A
B
C
D
.O1
O2
.