中考数学专题复习练习：平行四边形的判定 19页

典型例题一 例01．已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，，BE，CF分别交CF，AE于H，G. ‎ 求证：. ‎ 证明：∵，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形. ‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形. ‎ ‎∴. ‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形GFHE是平行四边形. ‎ ‎∴ . ‎ 说明：本题考查平行四边形的判定定理，解题关键是设法证四边形GFHE是平行四边形. ‎ 典型例题二 例02．如图，已知：四边形ABCD中，，，E，F为垂足，且，. ‎ 求证：四边形ABCD是平行四边形. ‎ 证法1 ∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 在和中，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形. ‎ 证法2 设AC与BD交点为O. ‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 在和中，‎ ‎，，，‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ 在和中，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ，‎ 即 ‎∵，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形. ‎ 说明 由垂直得到平行是关键 典型例题三 例03．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行的四边形吗？为什么？‎ 错解 是平行四边形. ‎ 正解 不一定是平行四边形. 如图，，，则在四边形ABDE中有，，但四边形ABDE显然不是平行四边形. ‎ 说明 错解中没有根据平行四边形定义或判断定理判断. ‎ 典型例题四 例04．已知：如图，四边形ABCD中，，以AD，AC为边作ACED，延长DC交EB于F. ‎ 求证：. ‎ 证明：过B作，交DC的延长线于G，连结EG. ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴四边形ABGD是平行四边形. ‎ ‎∴. ‎ ‎∵，‎ ‎∴ . ‎ ‎∴ 四边形BGEC是平行四边形. ‎ ‎∴ . ‎ 说明：本题综合考查了平行四边形的判定与性质，解题关键是作出正确的辅助线. ‎ 例05．已知一个六边形的六个内角都是，其连续四边的长依次是1，9，9，5厘米，那么这个六边形的周长是______厘米. ‎ 解答：如图，延长FA，CB相交于G，延长CD，FE相交于H. 由题设条件，易知和都是等边三角形. ‎ ‎∴‎ ‎∴GCHF为平行四边形. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 六边形的周长为：（cm）‎ 说明：本题考查平行四边形及等边三角形的应用，解题关键是作辅助线，将“不规则”‎ 的六边形变成“规则”的平行四边形，本题还可以将其变成等边三角形，其作辅助线的方法可以是延长FA，CB交于G，延长BC，ED交于K，延长DE，AF交于Q，则为等边三角形. ‎ 典型例题六 例06．如图，已知：在四边形ABCD中，，于E，于F，且. ‎ 求证：四边形ABCD是平行四边形. ‎ 分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，已给出的条件有，所以只需再证或就可以了，那么通过三角形全等证明更容易一些. ‎ 证明：∵（已知），‎ ‎∴ ‎ 即 ‎∵（已知），‎ ‎∴和是直角三角形. ‎ 在和中，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ （全等三角形的对应角相等）. ‎ ‎∴（内错角相等，两直线平行）‎ 又∵ （已知），‎ ‎∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ‎ 说明：要证明一个四边形是平行四边形，首先要联想到判定四边形是平行四边形的几种判定方法，然后结合给出条件和图形的特点，选择一种可行的判定方法. ‎ 典型例题七 例07．如图，已知：在ABCD中，点E、F在AC上，且，点G、H分别在AB、CD上，且，AC与GH相交于点O. ‎ 求证：四边形EFGH是平行四边形. ‎ 分析：要证四边形EGFH是平行四边形，就要证明或EF与GH互相平分，那么通过证明，可证明，，∴，∴. 从而可证四边形EGFH是平行四边形，我们也可以通过证明，从而证得，，再由，证得，从而证明四边形EGFH是平行四边形. ‎ 证明：∵（已知），‎ ‎∴. ‎ 即. ‎ ‎∵（平行四边形的性质）‎ ‎∴ （两直线平行，内错角相等）. ‎ 在与中，‎ ‎∴ . ‎ ‎∴ （全等三角形的对应边相等）. ‎ 又∵ ‎ ‎∴‎ ‎∴ 四边形EGFH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）‎ 说明 平行四边形的判定方法较多，要根据给出条件判断使用哪个判定方法，再根据不同的判定方法，创造条件去证明. ‎ 典型例题八 例08．如图，已知：四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形. ‎ 求证：（1）四边形BCFE是平行四边形. ‎ ‎（2）. ‎ 分析：（1）要证明四有BCFE是平行四边形，可以从边、角等方面考虑，在本题中，因已有两个平行四边形，从边下手比较好. 因此，我们不妨从边开始寻找条件，那么由ADFE得，由ABCD可得，，因此有，从而可证明四边形BCFE是平行四边形. ‎ ‎（2）由图中的三个平行四边形可知，，则根据“边边边”可证明. ‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴ 且（平行四边形的对边平行且相等）‎ ‎∵四边形AEFD是平行四边形，‎ ‎∴，且（平行四边形的对边平行且相等）‎ ‎∴. ‎ ‎∴四边形BCFE是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ‎ ‎∴‎ ‎∵四边形BCFE是平行四边形， ‎ ‎∴ . ‎ ‎∵四边形AEFD是平行四边形， ‎ ‎∴‎ ‎∴ （SSS）‎ 典型例题九 例09．已知：如图，在梯形ABCD中，，过B作，过D作交BE于E. ‎ 求证：. ‎ 分析：计算面积，我们可以通过面积的计算公式，但同时，对于一些特殊的图形可采取特殊的方法，如，同底同高的两个三角形面积相等，同底等高的三角形和平行四边形的面积比为. 那么由给出条件中的几对平行线，可考虑构造几个平行四边形. 延长DC交BE于F，延长AC交BE于M，则图中就有两个平行四边形，即AMED和ABFD. 而且这个平行四边形的底都为AD，且高都是AD，BE平行线之间的距离，即它们的高也相等，所以它们的面积相等. 继续观察图形可发现的面积恰好是ABFD面积的一半，‎ 的面积恰好是AMED的一半. 因此可证明这两个三角形的面积相等. ‎ 证明：延长DC交BE于F，延长AC交BE于M. ‎ 则四边形ABFD和四边形AMED皆为平行四边形，且 ‎（同底等高）‎ 又∵ （等底等高），‎ ‎（同底等高），‎ ‎ ∴ . ‎ 典型例题十 例10．如图，已知：O为等边三角形ABC内的任意一点，且交AB于D，交AC于F，，交BC于E. ‎ 求证：‎ 分析：要证明，要把BC分成三段，或把三条线段移到BC上去. 那么因为条件中给出了3对平行线段，所以适当延长其中的某些线段就可以得到一些平行四边形. 我们延长DO交AC于H，延长FO交BC于G. 则四边形BGOD与四边形ECHO是平行四边形，因此，有，，所以只要能够证明，就可以了. 因为是特殊的三角形—等边三角形，它的每个内角都等于，又因为，，∴ ，所以是等边三角形. 同理，也是等边三角形，所以可证得，. ‎ 证明：延长FO，交BC于G，延长DO，交AC于H. ‎ ‎∵，‎ ‎∴ 四边形ODBG是平行四边形. ‎ ‎∴ （平行四边形的对边相等）‎ 同理可证：四边形ECHO也是平行四边形，‎ ‎∴‎ ‎∵ 是等边三角形， ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ （两直线平行，同位角相等），‎ ‎∴也是等边三角形， ‎ ‎∴ . ‎ 同理可证：也是等边三角形，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 典型例题十一 例11．（济南市，2001）如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一颗大核桃树. 田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）‎ 分析：这是一道考查学生动手作图的能力设计题. 题中要求扩建后的池塘：面积扩大一倍，形状成平行四边形，且核桃树不动. ‎ 这样的图形设计方案，只能连结AC与BD交于O点，将原池塘分割成四块，分别以AB、BC、CD、DA为对角线，向外作AOBE、BOCF、CODG、DOAH. ‎ 连结EF、FG、GH、HE，就可得到EFGH. ‎ 如图，依据中心对称图形的性质，其设计合乎题设要求. ‎ 选择题 ‎1．如图，EF过ABCD的对角线的交点O交AD于E，交BC于F，若，那么四边形EFCD的周长为（ ）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎2．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．在同一平面内，从①；②；③；④‎ 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎4．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）‎ A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行，一组对角互补 C．一组对角相等，一组邻角互补 D．一组对角互补，另一组对角相等 ‎5．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）‎ A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直 C．两条对角线互相平分 D．一对邻角和为180°‎ ‎6．下列四个条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）‎ A．一组对边平行，另一组对边相等 B．两条对角线互相垂直 C．两条对角线相等 D．一组对边平行，一组对角相等 ‎7．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 参考答案：‎ ‎1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．B 填空题 ‎1．E是中线BD上任意一点，延长BE到F，使，则四边形AECF是________. ‎ ‎2．在ABCD中，分别为的中点，连结，则图中共有______个平行四边形. ‎ ‎3．把边长为3cm，5cm，7cm的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成______种不同的四边形，其中有______个平行四边形. ‎ ‎4．如果一个四边形每相邻两角互补，那么这个四边形是________. ‎ ‎5．如图，是等边三角形，P是三角形内任一点，若周长为12，‎ 参考答案：‎ ‎1．平行四边形 ‎ ‎2．4 ‎ ‎3．6，3 ‎ ‎4．平行四边形 ‎ ‎5．4‎ 判断题 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）：‎ ‎1．在四边形ABCD中，如果，那么四边形ABCD一定是平行四边形. （ ）‎ ‎2．如果四边形中，有一组对边相等，还有一组对角相等，那么这四边形一定是平行四边形. （ ）‎ 参考答案 ‎1．× 2．×‎ 解答题 ‎1．如图，ABCD中，于E，于F，于G，于H. ‎ 求证：. ‎ ‎2．已知（如图），请用直尺（没有刻度）和圆规，作一个平行四边形，使它的三个顶点恰好是的三个顶点（只需作一个，不必写作法，但要保留作图痕迹）. ‎ ‎3．已知：如图，在ABCD中，DE平分交CB延长线于E，BF平分，交AD延长线于F. ‎ 求证：四边形BFDE是平行四边形. ‎ ‎4．如图，已知在ABCD中，EF交AC于O，若，‎ 求证：EF与AC互相平分. ‎ ‎5．如图，BD是角平分线，‎ 求证：‎ ‎6．如图，ABCD中，在AC上，且，垂足分别为连GH交EF于点O. ‎ 求证：GH与EF互相平分. ‎ ‎7．已知：如图，AC是ABCD的对角线，，分别交DA，DC的延长线于M，N交AB，BC于P，Q. ‎ 求证：. ‎ ‎8．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别在的延长线上，‎ 求证：AFCE. ‎ ‎9．已知：如图，ABCD中，分别是的中点. 求证：四边形MENF是平行四边形. ‎ ‎10．如图，已知O是ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两点. ‎ ‎（1）求证：四边形AECF是平行四边形；‎ ‎（2）填空：不加辅助线的原图中，全等三角形共有_______对（不要求将全等三角形表示出来，也不要证明）. ‎ 参考答案：‎ ‎1．证明：在ABCD中，. ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴ ∴ ∴ ‎ 同理 ‎ ‎∴四边形GEHF是平行四边形. ∴‎ ‎2．略 ‎3．证法1：在ABCD中，∴‎ ‎∴. ‎ ‎∵DE平分，BF平分，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴. ∴‎ ‎∵，∴四边形BFDE是平行四边形. ‎ 证法2：在ABCD中，∴‎ ‎∵DE平分，BF平分，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 在和中，∵，‎ ‎∴. ∴ . ‎ ‎∵，∴‎ ‎∵. ∴四边形BFDE是平行四边形 证法3：由证法2中得到，再由ABCD得到. ‎ ‎∴ ∴四边形BFDE是平行四边形. ‎ ‎4．连易证，得，从而证得，则四边形AECF是平行四边形. 故EF与AC互相平分 ‎5．得，平行四边形EFCD得 ‎6．连证，得而，则GFHE是平行四边形. 从而互相平分 ‎7．证明：∵，‎ ‎∴四边形MQCA是平行四边形. ‎ ‎∴‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 四边形APNC是平行四边形. ‎ ‎∴. ∴. ‎ ‎8．证明或连AC交BD于O，证明 ‎9．证明NF&ME或连BD交AC于O，证明 ‎10．（1）证；（2）6对 解答题 ‎1．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于F点. ‎ 求证：‎ ‎2．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，并且 求证：‎ ‎3．如图，将ABCD沿AC折叠，点B落在处，交DC于点M. ‎ 求证：折叠后重合的部分（即是等腰三角形）. ‎ ‎4．如图，在是对角线BD的三等分点. ‎ 求证：四边形是平行四边形. ‎ ‎5．如图，已知ABCD中，分别是上的点，分别是的中点. ‎ 求证：四边形ENFM是平行四边形. ‎ ‎6．已知：如图，在中，在BC边上，且 求证：‎ ‎7．已知：如图，为等边三角形，分别为上的一点，且，以AD为边作等边 求证：四边形CDEF为平行四边形. ‎ ‎8．已知：如图，均为等边三角形. ‎ 求证：四边形ADEF为平行四边形. ‎ ‎9．已知：如图，AC是ABCD的对角线，和都是等边三角形. ‎ 求证：四边形BPDQ是平行四边形. ‎ 参考答案：‎ ‎1．证 ‎2．ABCD为平行四边形 ‎3．略 ‎4．证 ‎5．证ME&FN ‎6．可过F作于D. 证再证得 ‎7．证DE&CF ‎8．证得证得则四边形ADEF为平行四边形 ‎9．证，得同理，做BPDQ是平行四边形 解答题 ‎1．如图，在河外侧有两个城镇，现计划架设两道桥EF和CD（设河两岸互相平等）. 求A镇到B镇的最近距离（注：桥应和岸垂直）. ‎ 设计方法如下：（1）确定C点，使C为直线AB与两岸的交点；（2）作的另一河岸于D，连BD，作，作，其交点为H；（3）延长HC交河岸于E，作另一河岸于F. 连AF. 试问：从距离是否最短？依据是什么？‎ ‎2．如图，平行四边形ABCD内有一圆，请你画一直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）. ‎ ‎3．如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点，当四边形ABCD满足条件：______时，的面积始终不变. （注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形. ）‎ ‎4．阅读与思考：‎ ‎（1）下面是课本中对平行四边形判定定理4（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）的证明，请边阅读，边进行推理填空，然后思考后面的问题. ‎ 已知：在四边形ABCD中，，且 求证：四边形ABCD是平行四边形. ‎ 证明：连结AC. ‎ ‎∴，∴四边形ABCD是平行四边形（ ）‎ 上面证明是利用平行四边形判定定理____________完成的. 在证明过程中，证明了，由此还可以推出，同理可证，可见，平行四边形判定理4了可以利用平行四边形判定定理________来证明，在图中再连结BD，设AC与BD相交于点O，则可以利用判定三角形全等的_______公理证明，进而推出，这说明平行四边形判定定理4也可以利用平行四边形判定定理_______来证明. ‎ ‎（2）课本中有这样一道例题：画平行四边形ABCD，使，请你阅读课本的画法之后回答下列问题. ‎ ‎①该画法的依据是什么？‎ ‎②利用平行四边形判定定理2画所求的平行四边形ABCD，在画出AB、BC 后，怎样确定点D的位置？‎ ‎③利用判定定理3画所求的平行四边形ABCD，应按怎样的步骤进行？请写出画法. ‎ ‎④利用判定定理4画所求的平行四边形ABCD，在画出AB、BC后，怎样确定点D的位置？‎ ‎5．（济南市，2001）如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一颗大核桃树. 田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）‎ 参考答案：‎ ‎1．作，交CE延长线于P. 而在一直线上，∴最短 ‎2．略 ‎3．平行四边形或等 ‎4．（1）推理部分填空略，其余依次：；（2）画图略 ‎5．解：这是一道考查学生动手作图的能力设计题. 题中要求扩建后的池塘：面积扩大一倍，形状成平行四边形，且核桃树不动. ‎ 这样的图形设计方案，只能连结AC与BD交于O点，将原池塘分割成四块，分别以AB、BC、CD、DA为对角线，向外作AOBE、BOCF、CODG、DOAH. ‎ 连结EF、FG、GH、HE，就可得到EFGH. ‎ 如图，依据中心对称图形的性质，其设计合乎题设要求. ‎