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- 2021-11-06 发布
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{来源}2019年绍兴中考数学试卷
{适用范围:3. 九年级}
{标题}2019年浙江省绍兴市中考数学试卷
考试时间:120分钟 满分:150分
{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,合计40分.
{题目}1.(2019•绍兴T1)-5的绝对值是
A.5 B.-5 C. D.-
{答案}A
{解析}本题考查了绝对值的意义,根据负数的绝对值等于它的相反数,得|-5|=5.因此本题选A.
{分值}4
{章节:[1-1-2-4]绝对值}
{考点:绝对值的意义}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}2.(2019•绍兴T2)某市决定为全市中小学教室安装空调,今年预计投入资金126 000 000元,其中数字126 000 000元用科学记数法可表示为( )
A.12.6×107 B.1.26×108 C.1.26×109 D.0.126×1010
{答案} B
{解析}本题考查了科学记数法的表示方法,126000000=1.26×100000000=1.26×108,因此本题选B.
{分值}4
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}3.(2019•绍兴T3)如图的几何体由六个相同的小正方体搭成,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
{答案}A
{解析}本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的视图是主视图.从正面看有三列,从左起第一列有两个正方形,第二列有两个正方形,第三列有一个正方形,因此本题选A.
{分值}4
{章节:[1-29-2]三视图}
{考点:简单组合体的三视图}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}4.(2019•绍兴T4)为了解某地区九年级男生的身体情况,随机抽取了该地区100名九年级男生,他们的身高x(cm)统计如下:
组别(cm)
x<160
160≤x<170
170≤x<180
x≥180
人数
5
38
42
15
根据以上结果,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于180cm的概率是( )
A.0.85 B.0.57 C.0.42 D.0.15
{答案}D
{解析}本题考查了利用频率估计概率,先计算出样本中身高不低于180cm的频率,然后根据利用频率估计概率求解.样本中身高不低于180cm的频率==0.15,所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15.因此本题选D.
{分值}4
{章节:[1-25-3]用频率估计概率}
{考点:利用频率估计概率}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}5.(2019•绍兴T5)如图,墙上钉着三根木条a,b,c,量得∠1=70°,∠2=100°,那么木条a,b所在直线所夹的锐角是( )
A.5° B.10° C.30° D.70°
{答案} B
{解析}本题考查了三角形内角和定理和对顶角的性质,设a,b所在直线所夹的锐角是∠α,由对顶角相等,得到∠3=∠2=100°,再根据∠α+∠1+∠3=180°,求得∠α=180°-70°-100°=10°,因此本题选B.
α
3
{分值}4
{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}
{考点:三角形内角和定理}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}6.(2019•绍兴T6)若三点(1,4),(2,7),(a,10)在同一直线上,则a的值等于( )
A. -1 B. 0 C. 3 D. 4
{答案}C
{解析}本题考查了用待定系数法求一次函数解析式;设经过(1,4),(2,7)两点的直线解析式为y=kx+b,∴∴∴y=3x+1,将点(a,10)代入解析式,则a=3;因此本题选C.
{分值}4
{章节:[1-19-2-2]一次函数}
{考点:待定系数法求一次函数的解析式}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}7.(2019•绍兴T7)在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是( )
A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位
{答案}4
{解析}本题考查了二次函数图象与几何变换,y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,顶点坐标是(-1,-16);y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标是(1,-16).所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5),因此本题选B.
{分值}4
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}
{考点:二次函数图象的平移}
{类别:思想方法}{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}8.(2019•绍兴T8)如图,△ABC内接于⊙O,∠B=65°,∠C=70°,若BC=2,则的长为( )
A.π B. π C.2π D. 2π
{答案}A
{解析}本题考查了弧长的计算和圆周角定理,如图,连接OB、OC,由三角形内角和定理,求得∠A=180°-∠B-∠C=180°-65°-70°=45°,∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°,∴OB= ==2,∴的长=π,因此本题选A.
{分值}4
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}
{考点:圆周角定理}
{考点:弧长的计算}
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}9.(2019•绍兴T9)正方形ABCD的边AB上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中,矩形ECFG的面积( )
A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变
{答案} D
{解析}本题考查了相似三角形的性质,由题意,得∠BCD=∠ECF=90°,∴∠BCE=∠DCF,又∵∠CBE=∠CFD=90°,∴△CBE∽△CFD,∴=,∴CE×CF =CB×CD,即矩形ECFG的面积=正方形ABCD的面积,因此本题选D.
{分值}4
{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}
{考点:相似三角形的判定(两角相等)}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}10.(2019•绍兴T10)如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为( )
A. B. C. D.
{答案} A
{解析}本题考查了勾股定理的应用,解决此题的突破点在于根据题意得到关系式:长方体中水的容积=倾斜后底面积为ADCB的四棱柱的体积,列方程,得到DE的长,
E
D
C
B
A
H
F
如图,设DE=x,则AD=8-x,(8-x+8)×3×3=3×3×6,解得x=4.∴DE=4.
在Rt△DEC中,CD===5,
过点C作CH⊥BF于点H,则由△CBH∽△CDE,得到=,即=,∴CH=,因此本题选A.
{分值}4
{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}
{考点:勾股定理的应用}
{考点:相似三角形的应用}
{考点:几何选择压轴}
{类别:思想方法}{类别:高度原创}
{难度:3-中等难度}
{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,合计30分.
{题目}11.(2019•绍兴T11)因式分解:x2-1= .
{答案}(x+1)(x-1)
{解析}本题考查了用平方差公式分解因式,根据平方差公式,有x2-1=x2-12=(x+1)(x-1).
{分值}5
{章节:[1-14-3]因式分解}
{考点:因式分解-平方差}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}12.(2019•绍兴T12)不等式3x-2≥4的解为 .
{答案} x≥2.
{解析}本题考查了解一元一次不等式,先移项得,3x≥4+2,再合并同类项得,3x≥6,把x的系数化为1得,x≥2.
{分值}5
{章节:[1-9-2]一元一次不等式}
{考点:解一元一次不等式}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}13.(2019•绍兴T13)我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方:将1~9这九个数字填入3×3的方格中,使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等,如图的幻方中,字母m所表示的数是 .
{答案}4
{解析}本题考查了幻方的特点,数的对称性是解题的关键.根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”,可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15,∴第一列第三个数为:15-2-5=8,∴m=15-8-3=4.
{分值}5
{章节:[1-1-3-1]有理数的加法}
{考点:有理数加法的实际应用}
{类别:数学文化}
{难度:2-简单}
{题目}14.(2019•绍兴T14)如图,在直线AP上方有一个正方形ABCD,∠PAD=30°,以点B为圆心,AB为半径作弧,与AP交于点A,M,分别以点A,M为圆心,AM长为半径作弧,两弧交于点E,连结ED,则∠ADE的度数为 .
{答案}45°或15°.
{解析}本题考查了以正方形为背景的角度计算,正确画出图形是解题的关键.如图,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∵∠PAD=30°,∴∠BAM=60°,又∵BA=BM,∴△ABM是等边三角形.当点E在直线PA的上方时,点E与点B重合,显然∠ADE=∠ADB=45°;当点E在直线PA的下方时,∠BDE=180°-∠BME=180°-2×60°=60°,∴∠ADE=∠BDE-∠ADB=60°-45°=15°,因此答案为45°或15°.
{分值}5
{章节:[1-18-2-3] 正方形}
{考点:等边三角形的判定}
{考点:正方形的性质}
{考点:几何综合}
{类别:发现探究}
{类别:易错题}
{难度:3-中等难度}
{题目}15.(2019•绍兴T15)如图,矩形ABCD的顶点A,C都在曲线y=(常数k>0,x>0)上,若顶点D的坐标为(5,3),则直线BD的函数表达式是 .
{答案}y=x.
{解析}本题考查了反比例函数中几何图形问题,设C(5,),A(,3),则A(,);设直线BD的函数表达式为y=ax+b,则解得因此直线BD的函数表达式是y=x.
{分值}5
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:矩形的性质}
{考点:待定系数法求一次函数的解析式}
{考点:双曲线与几何图形的综合}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}16.(2019•绍兴T16)把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块,其中点O为正方形的中心,点E,F分别是AB,AD的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙),则四边形MNPQ的周长是 .
{答案}10或6+2或8+2.
{解析}本题考查了图形的剪拼,抓住图形的特征是解题的关键,如下图,共有3种周长不同的拼法,拼成的四边形的周长分别为10或6+2或8+2.
{分值}5
{章节:[1-18-2-3] 正方形}
{考点:勾股定理的应用}
{考点:图形的剪拼}
{考点:几何填空压轴}
{类别:发现探究}
{难度:4-较高难度}
{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共8小题,合计80分.
{题目}17.(2019•绍兴T17(1))(1)计算:4sin60°+(π-2)0-(-)-2-.
{解析}本题考查了实数的运算,根据实数运算法则直接解答.
{答案}解:原式=4×+1-4-2=-3.
{分值}4
{章节:[1-28-3]锐角三角函数}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:正弦}
{考点:简单的实数运算}
{题目}17.(2019•绍兴T17(2))(2)x为何值时,两个代数式x2+1,4x+1的值相等?
{解析}本题考查了一元二次方程的解法,由题意得到x2+1=4x+1,利用因式分解法解方程即可.
{答案}解:由题意,得x2+1=4x+1,x2-4x=0,x(x-4)=0,x1=0,x2=4.
{分值}4
{章节:[1-21-2-3] 因式分解法}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:解一元二次方程-因式分解法}
{题目}18.(2019•绍兴T18)如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程.当0≤x≤150时,求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程.
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数表达式,并计算当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.
{解析}本题考查了一次函数的应用,解题的关键:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米,据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程;(2)运用待定系数法求出y关于x的函数表达式,再把x=180代入即可求出当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.
{答案}解: (1)由图象可知,蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米.
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为:=6千米;
(2)设y=kx+b(k≠0),把点(150,35),(200,10)代入,
得∴∴y=-0.5x+110.
当x=180时,y=-0.5×180+110=20.
答:当150≤x≤200时,函数表达式为y=-0.5x+110,当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量为20千瓦时.
{分值}8
{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:待定系数法求一次函数的解析式}
{考点:分段函数的应用}
{题目}19.(2019•绍兴T19)小明、小聪参加了100m跑的5期集训,每期集训结束市进行测试,根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图:
根据图中信息,解答下列问题:
(1)这5期的集训共有多少天?小聪5次测试的平均成绩是多少?
(2)根据统计数据,结合体育运动的实际,从集训时间和测试成绩这两方面,说说你的想法.
{解析}本题考查了条形统计图、折线统计图、算术平均数,抓住图中信息是解题的关键.(1)根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小聪5次测试的平均成绩;(2)根据图中的信息和题意,说明自己的观点即可,本题答案不唯一,只要合理即可.
{答案}解:(1)这5期的集训共有:5+7+10+14+20=56(天),
小聪这5次测试的平均成绩是:(11.88+11.76+11.61+11.53+11.62)÷5=11.68(秒),
答:这5期的集训共有56天,小聪5次测试的平均成绩是11.68秒;
(2)一类:结合已知的两个统计图的信息及体育运动实际,如:集训时间不是越多越好,集训时间过长,可能会造成劳累,导致成绩下滑.
二类:结合已知的两个统计图的信息,如:集训时间为10天或14天时,成绩最好.
三类:根据已知的两个统计图中的其中一个统计图的信息,如:集训时间每期都增加.
{分值}8
{章节:[1-20-1-1]平均数}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:条形统计图}
{考点:折线统计图}
{考点:算术平均数}
{题目}20.(2019•绍兴T20)如图1为放置在水平桌面l上的台灯,底座的高AB为5cm,长度均为20cm的连杆BC,CD与AB始终在同一平面上.
(1)转动连杆BC,CD,使∠BCD成平角,∠ABC=150°,如图2,求连杆端点D离桌面l的高度DE.
(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转,使∠BCD=165°,如图3,问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少?增加或减少了多少?
(精确到0.1cm,参考数据:≈1.41,≈1.73)
{解析}本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
(1)如图2中,作BO⊥DE于O.解直角三角形求出OD即可解决问题.
(2)作DF⊥l于F,CP⊥DF于P,BG⊥DF于G,CH⊥BG于H,则四边形PCHG是矩形,求出DF,再求出DF-DE即可解决问题.
{答案}解:(1)如图2中,作BO⊥DE,垂足为O.
∵∠OEA=∠BOE=∠BAE=90°,∴四边形ABOE是矩形,
∴∠OBA=90°,∴∠DBO=150°-90°=60°,
∴OD=BD•sin60°=40•sin60°=20(cm),
∴DF=OD+OE=OD+AB=20+5≈39.6(cm).
(2)下降了.
如图3,过点D作DF⊥l于F,过点C作CP⊥DF于P,过点B作BG⊥DF于G,过点C作CH⊥BG于H.则四边形PCHG是矩形,
∵∠CBH=60°,∠CHB=90°,∴∠BCH=30°,
又∵∠BCD=165°,∴∠DCP=45°,
∴CH=BCsin60°=10(cm),DP=CDsin45°=10(cm),
∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=10+10+5(cm),
∴下降高度:DE-DF=20+5-10-10-5=10-10≈3.2(cm).
{分值}8
{章节:[1-28-2-1]特殊角}
{难度:3-中等难度}
{类别:高度原创}{类别:常考题}
{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}
{题目}21.(2019•绍兴T21)在屏幕上有如下内容:
如图,△ABC内接于⊙O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答.
(1)在屏幕内容中添加条件∠D=30°,求AD的长.请你解答.
(2)以下是小明、小聪的对话:
小明:我加的条件是BD=1,就可以求出AD的长
小聪:你这样太简单了,我加的是∠A=30°,连结OC,就可以证明△ACB与△DCO全等.
参考此对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(可以添线、添字母),并解答.
{解析}本题考查了切线的性质及应用,添加过切点的半径是常用辅助线.(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠OCD=90°,再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD=2,然后计算OA+OD即可;
(2)添加∠DCB=30°,求AC的长,利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再证明∠A=∠DCB=30°,然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长;本题答案不唯一.
{答案}解:(1)连接OC,如图,
∵CD为切线,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,
∵∠D=30°,∴OD=2OC=2,
∴AD=AO+OD=1+2=3;
(2)本题答案不唯一,如:
添加∠DCB=30°,求AC的长.
解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,
∵∠ACO+∠OCB=90°,∠OCB+∠DCB=90°,
∴∠ACO=∠DCB,
∵∠ACO=∠A,
∴∠A=∠DCB=30°,
在Rt△ACB中,BC=AB=1,
∴AC=BC=.
{分值}10
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:圆周角定理}
{考点:切线的性质}
{题目}22.(2019•绍兴T22)有一块形状如图的五边形余料ABCDE,AB=AE=6,BC=5,∠A=∠B=90°,∠C=135°,∠E>90°.要在这块余料中截取一块矩形材料,其中一条边在AE上,并使所截矩形材料的面积尽可能大.
(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE,求矩形材料的面积.
(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料?如果能,求出这些矩形材料面积的最大值;如果不能,说明理由.
{解析}本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识;(1)①若所截矩形材料的一条边是BC,过点C作CF⊥AE于F,得出S1=AB•BC=6×5=30;②若所截矩形材料的一条边是AE,过点E作EF∥AB交CD于F,FG⊥AB于G,过点C作CH⊥FG于H,则四边形AEFG为矩形,四边形BCHG为矩形,证出△CHF为等腰三角形,得出AE=FG=6,HG=BC=5,BG=CH=FH,求出BG=CH=FH=FG-HG=1,AG=AB-BG=5,得出S2=AE•AG=6×5=30;(2)在CD上取点F,过点F作FM⊥AB于M,FN⊥AE于N,过点C作CG⊥FM于G,则四边形ANFM为矩形,四边形BCGM为矩形,证出△CGF为等腰三角形,得出MG=BC=5,BM=CG,FG=DG,设AM=x,则BM=6-x,FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x,得出S=AM×FM=x(1-x)-x2+11x,由二次函数的性质即可得出结果.
{答案}解:(1)①若所截矩形材料的一条边是BC,如图1所示:
过点C作CF⊥AE于F,S1=AB•BC=6×5=30;
②若所截矩形材料的一条边是AE,如图2所示:
过点E作EF∥AB交CD于点F,FG⊥AB于点G,过点C作CH⊥FG于点H,
则四边形AEFG为矩形,四边形BCHG为矩形,
∵∠C=135°,∴∠FCH=45°,
∴△CHF为等腰直角三角形,
∴AE=FG=6,HG=BC=5,BG=CH=FH,
∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1,
∴AG=AB-BG=6-1=5,
∴S2=AE•AG=6×5=30;
(2)能;理由如下:
在CD上取点F,过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AE于点N,过点C作CG⊥FM于点G,
则四边形ANFM为矩形,四边形BCGM为矩形,
∵∠C=135°,
∴∠FCG=45°,
∴△CGF为等腰直角三角形,
∴MG=BC=5,BM=CG,FG=DG,
设AM=x,则BM=6-x,
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x,
∴S=AM×FM=x(11-x)=-x2+11x=-(x-5.5)2+30.25,
∴当x=5.5时,S的最大值为30.25.
{分值}12
{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}
{难度:3-中等难度}
{类别:高度原创}
{考点:矩形的性质}
{考点:与平行四边形有关的面积问题}
{考点:二次函数与平行四边形综合}
{题目}23.(2019•绍兴T23)如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.
(1)在旋转过程中,
①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长.
②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连结D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.
{解析}本题是四边形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质等知识.
(1)①分两种情形分别求解即可.②显然∠MAD不能为直角.当∠AMD为直角时,根据AM2=AD2-DM2,计算即可,当∠ADM=90°时,根据AM2=AD2+DM2,计算即可.
(2)连接CD.首先利用勾股定理求出CD1,再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可.
{答案}解:(1)①AM=AD+DM=40,或AM=AD-DM=20.
②显然∠MAD不能为直角.
当∠AMD为直角时,AM2=AD2-DM2=302-102=800,
∴AM=20或(AM=-20舍去).
当∠ADM=90°时,AM2=AD2+DM2=302+102=1000,
∴AM=10或(AM=-10舍去).
综上所述,满足条件的AM的值为20或10.
(2)如图2中,连接CD1.
由题意:∠D1AD2=90°,AD1=AD2=30,
∴∠AD2D1=45°,D1D2=30,
∵∠AD2C=135°,∴∠CD2D1=90°,
∴CD1==30,
∵∠BAC=∠D2AD1=90°,
∴∠BAC-∠CAD2=∠D2AD1-∠CAD2,
∴∠BAD2=∠CAD1,
又∵AB=AC,AD2=AD1,
∴△BAD2≌△CAD1(SAS),
∴BD2=CD1=30.
{分值}12
{章节:[1-17-1]勾股定理}
{难度:4-较高难度}
{类别:发现探究}
{考点:勾股定理}
{考点:全等三角形的判定SAS}
{考点:几何综合}
{题目}24.(2019•绍兴T24)如图,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点M,N分别在边AB,CD上,点E,F分别在边BC,AD上,MN,EF交于点P,记k=MN∶EF.
(1)若a:b的值为1,当MN⊥EF时,求k的值.
(2)若a:b的值为,求k的最大值和最小值.
(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点,∠MPE=60°,MP=EF=3PE时,求a∶b的值.
{解析}本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,是一道几何综合题.(1)作EH⊥BC于H,MQ⊥CD于Q,设EF交MN于点O.证明△FHE≌△MQN(ASA),即可解决问题.
(2)由题意:2a≤MN≤a,a≤EF≤a,当MN的长取最大时,EF取最短,此时k的值最大最大值=,当MN的最短时,EF的值取最大,此时k的值最小,最小值为.
(3)连接FN,ME.由k=3,MP=EF=3PE,推出==3,推出==2,由△PNF∽△PME,推出==2,ME∥NF,设PE=2m,则PF=4m,MP=6m,NP=12m,接下来分两种情形①如图2中,当点N与点D重合时,点M恰好与B重合.②如图3中,当点N与C重合,分别求解即可.
{答案}解:(1)如图1中,
作EH⊥BC于H,MQ⊥CD于Q,设EF交MN于点O.
∵四边形ABCD是正方形,∴FH=AB,MQ=BC,
∵AB=CB,∴EH=MQ,
∵EF⊥MN,∴∠EON=90°,
∵∠ECN=90°,∴∠MNQ+∠CEO=180°,∠FEH+∠CEO=180°,
∴∠FEH=∠MNQ,
∵∠EHF=∠MQN=90°,∴△FHE≌△MQN(ASA),
∴MN=EF,∴k=MN∶EF=1.
(2)∵a∶b=1∶2,∴b=2a,
由题意:2a≤MN≤a,a≤EF≤a,
∴当MN的长取最大时,EF取最短,此时k的值最大最大值=,
当MN的最短时,EF的值取最大,此时k的值最小,最小值为.
(3)连接FN,ME.
∵k=3,MP=EF=3PE,
∴==3,∴==2,
∵∠FPN=∠EPM,∴△PNF∽△PME,
∴==2,ME∥NF,
设PE=2m,则PF=4m,MP=6m,NP=12m,
①如图2中,当点N与点D重合时,点M恰好与B重合.作FH⊥BD于H.
∵∠MPE=∠FPH=60°,∴PH=2m,FH=2m,DH=10m,
∴== =.
②如图3中,当点N与C重合,作EH⊥MN于H.则PH=m,HE=m,
∴HC=PH+PC=13m,∴tan∠HCE===,
∵ME∥FC,∴∠MEB=∠FCB=∠CFD,
∵∠B=∠D,∴△MEB∽△CFD,
∴==2,∴= ==,
综上所述,a∶b的值为或.
{分值}14
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}
{难度:5-高难度}
{类别:发现探究}
{考点:矩形的性质}
{考点:相似三角形的性质}
{考点:其他二次函数综合题}
{考点:几何综合}
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