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- 2021-11-06 发布
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2013 年山东聊城市中考试题
数 学
(满分 120 分,考试时间 120 分钟)
第一部分(选择题 共 36 分)
一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1. (2013 山东聊城,1,3 分) 32 的相反数是( )
A.-6 B.8 C.
6
1 D.
8
1
【答案】B
2. (2013 山东聊城,2,3 分)PM 2.5 是指大气中直径 0000025.0 米的颗粒物,将 0.0000025 用科学记数法
表示为( )
A. 51025.0 B. 61025.0 C. 5105.2 D. 6105.2
【答案】D
3. (2013 山东聊城,3,3 分)右图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图,小立方块的个数是( )
个
A.3 B.4 C.5 D.6
第 3 题图
【答案】B
4. (2013 山东聊城,4,3 分)不等式组
024
,213
x
x 的解集在数轴上为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
5.(2013 山东聊城,5,3 分)下列命题中的真命题是( )
A.三个角相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D.正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】C
6.(2013 山东聊城,6,3 分)下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上;
③任取两个正整数,其和大于 1;④长分别为 3、5、9 厘米的三条线段能围成一个三角形.其中确定事件的
个数是( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
7.(2013 山东聊城,7,3 分)把地球看成一个表面光滑的球体,假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝,然后把钢丝加
长,使钢丝圈沿赤道处处高出球面 16 厘米,那么钢丝大约需加长( )厘米
A. 210 B. 410 C. 610 D. 810
【答案】A
8.(2013 山东聊城,8,3 分)二次函数 bxaxy 2 的图象如图所示,那么一次函数 baxy 的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
9.(2013 山东聊城,9,3 分)河堤横断面如图所示,堤高 BC=6 米,迎水坡 AB 的坡比为 3:1 ,则 AB 的长为
( )米
A
B
C
A.12 B. 34 C. 35 D. 36
【答案】A
10.(2013 山东聊城,10,3 分)某校七年级共 320 名学生参加数学测试,随机抽取 50 名学生的成绩进行统计,
其中 15 名学生的成绩达到优秀.估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有( )人
A.50 B.64 C.90 D.96
【答案】D
11.(2013 山东聊城,11,3 分)如图,点 D 是△ABC 的边 BC 上任一点,已知 AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.若
△ABD 的面积为 a,则△ACD 的面积为( )
A.a B. a2
1 C. a3
1 D. a5
2
【答案】C
12.(2013 山东聊城,12,3 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 2
2
1 xy 经过平移得到抛物线 xxy 22
1 2 ,
其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为( )
0
y
x
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】B
第二部分(非选择题 共 84 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
13.(2013 山东聊城,13,3 分)若 11 x 是关于 x 的方程 052 mxx 的一个根,则此方程的另一个根
2x _____________.
【答案】5
14.(2013 山东聊城,14,3 分)已知一个扇形的半径为 60 厘米,圆心角为 150°.用它围成一个圆锥的侧面,
那么圆锥的底面半径为 厘米.
【答案】25
15.(2013 山东聊城,15,3 分)某市举办“体彩杯”中学生篮球赛,初中男子组有市直学校的 A、B、C 三个队
和县区学校的 D、E、F、G、H 五个队.如果从 A、B、D、E 四个队与 C、F、G、H 四个队中各抽取一个队进
行首场比赛,那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是 .
【答案】15
16.(2013 山东聊城,16,3 分)如图,在等边△ABC 中,AB=6,点 D 是 BC 的中点.将△ABD 绕点 A 旋转后
得到△ACE,那么线段 DE 的长度为 .
【答案】0.375
17.(2013 山东聊城,17,3 分)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点 O 出发,按向上、向右、向下、向
右的方向依次不断地移动,每次移动一个单位,得到点 1A (0,1), 2A (1,1), 3A (1,0), 4A (2,0),…,
那么点 14 nA (n 是自然数)的坐标为_____________.
A2
A12A3
A13
A4
A5
A1
A9
A8
A10
A7 A11
A6
x
y
0
【答案】(2n,1)
三、解答题(本大题共 8 小题,满分 69 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.( 2013 山东聊城,18,7 分)解方程组
2
1
24
44
2
2
x
x
x
x
x
xx
【答案】原式
2
1
2)2)(2(
2 2
x
x
x
x
xx
x
2
1
22
2
x
x
x
x
x
x
1
2
2
2
x
x
x
1
2
x
.
19.(2013 山东聊城,19,8 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为 E,
求证:AE=CE.
【答案】证明:
方法一:
连接 BD、AC,∵BC=CD,∠BCD=90°,
∴△BCD 是等腰直角三角形,
∴∠CBD=45°,
∵∠A=∠BCD=90°,
∴A、B、C、D 四点共圆,
∴∠CAE=∠CAD=∠CBD=45°,
又∵CE⊥AD,
∴△ACE 是等腰直角三角形,
∴AE=CE.
方法二:
作 BF⊥CE 于 F,
∵∠BCF+∠DCE=90°,∠D+∠DCE=90°,
∴∠BCF=∠D,又 BC=CD,
∴Rt△BCF≌Rt△CDE,
∴BF=CE,
又∠BFE=∠AEF=∠A=90°,
∴四边形 ABFE 是矩形,
∴BF=AE,
因此 AE=CE.
20.(2013 山东聊城,20,8 分)小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛,两人各投了 10 次,下图是他们投标
成绩的统计图.
(1)根据图中信息填写下表:
(2)分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好.
【答案】
(1)
(2)平均数相等说明:两人整体水平相当,成绩一样好;小莹的中位数大说明:小莹的成绩比小亮好.
21.( 2013 山东聊城,21,8 分)夏季来临,天气逐渐炎热起来.某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了 10%,
将某种果汁饮料每瓶的价格下调了 5%.已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费 7 元,调价后买上述碳酸饮料 3
瓶和果汁饮料 2 瓶共花费 17.5 元,问这两种饮料在调价前每瓶各多少元?
【答案】设调价前碳酸饮料每瓶 x 元,果汁饮料每瓶 y 元,依题意得:
5.17%)51(2%)101(3
,7
yx
yx 即
1751933
,1971919
yx
yx 解得:
4
,3
y
x
答:调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为 3 元,这种果汁饮料每瓶的价格为 4 元.
22.( 2013 山东聊城,22,8 分)如图,一只猫头鹰蹲在一颗树 AC 的点 B 处,发现一只老鼠躲进短墙 DF 的另
一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住.为了寻找这只老鼠,猫头鹰向上飞至树顶 C 处.已知点 B 在 AC 上,DF=4 米,
短墙底部 D 与树的底部 A 的距离 AD=2.7 米,猫头鹰从 C 点观察 F 点的俯角为 53°,老鼠躲藏处 M 距 D 点 3
米,且点 M 在 DE 上.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).
(1)猫头鹰飞至 C 处后,能否看到这只老鼠?为什么?
(2)要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米(精确到 0.1 米)?
平均数 中位数 众数
小亮 7
小莹 7 9
平均数 中位数 众数
小亮 7 7 7
小莹 7 7.5 9
环数/环
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 次数/次
【答案】(1)依题意得:∠AGC=53°,∠GFD=∠GCA=37°,
∴DG=DFtan37°=3 米=DM,因此这只猫头鹰能看到这只老鼠;
(2)∵AG=AD+DG=2.7+3=5.7,∴ AGCG sin37°=9.5(米),
因此猫头鹰至少要飞 9.5 米.
23.( 2013 山东聊城,23,8 分)如图,一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,且与反比例函数
xy 8
的图象在第二象限交于点 C.如果点 A 的坐标为(2,0),B 是 AC 的中点.
(1)求点 C 的坐标;
(2)求一次函数的解析式.
【答案】(1)
作 CD⊥x 轴于 D,则 CD∥BO,
∵B 是 AC 的中点,
∴O 是 AD 的中点,
∴点 D 的横坐标为﹣2,
把 2x 代入到
xy 8 中,得:y=4,
因此点 C 的坐标为(﹣2,4);
(2)设一次函数为 baxy ,由于 A、C 两点在其图象上,
∴
ba
ba
24
20 解得:
2
1
b
a
因此一次函数的解析式为 2 xy .
24.( 2013 山东聊城,24,10 分)如图,AB 是○O 的直径,AF 是○O 的切线,CD 是垂直于 AB 的弦,垂足为 E,
过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F,CD= 34 ,BE=2.
求证:(1)四边形 FADC 是菱形;
(2)FC 是○O 的切线.
【答案】(1)
连接 OC,
依题意知:AF⊥AB,又 CD⊥AB,∴AF∥CD,
又 CD∥AD,∴四边形 FADC 是平行四边形,
由垂径定理得: 322
1 CDEDCE ,
设○O 的半径为 R,则 OC=R,OE=OB﹣BE=R﹣2,
在△ECO 中,由勾股定理得: 222 )32()2( RR ,解得:R=4,
∴ 34)32(6 2222 DEAEAD ,∴AD=CD,
因此平行四边形 FADC 是菱形;
(2)
连接 OF,由(1)得:FC=FA,又 OC=OA,FO=FO,
∴△FCO≌△FAO,∴∠FCO=∠FAO=90°,
因此 FC 是○O 的切线.
25.( 2013 山东聊城,25,12 分)已知在△ABC 中,边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20.
(1)写出△ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式,并求出面积为 48 时 BC 的长;
(2)当 BC 多长时,△ABC 的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△ABC 面积最大时,是否存在其周长最小的情形?如果存在,请说明理由,并求出其最小周长;如果不
存在,请给予说明.
【答案】(1)依题意得: )200(102
1)20(2
1 2 xxxxxy ,
解方程 xx 102
148 2 得: 121 x , 82 x ,∴当△ABC 面积为 48 时 BC 的长为 12 或 8;
(2)由(1)得: 50)10(2
1102
1 22 xxxy ,
∴当 x=10 即 BC=10 时,△ABC 的面积最大,最大面积是 50;
(3)
△ABC 的周长存在最小的情形,理由如下:
由(2)可知△ABC 的面积最大时,BC=10,BC 边上的高也为 10,
过点 A 作直线 l 平行于 BC,作点 B 关于直线 l 的对称点 'B ,
连接 'BC交直线 L 于点 'A ,再连接 ' , 'A B AB ,
则由对称性得: ' ' ' , 'A B A B AB AB,
∴ ' ' ' ' ' 'A B A C A B A C B C ,
当点 A 不在线段 'BC上时,则由三角形三边关系可得:
''L AB AC BC AB AC BC B C BC ,
当点 A 在线段 上时,即点 A 与 'A 重合,这时 ' ' ' 'L AB AC BC A B A C BC B C BC ,
因此当点 A 与 'A 重合时,△ABC 的周长最小;
这时由作法可知: ' 20BB ,∴ 22' 20 10 10 5BC ,∴ 10 5 10L ,
因此当 ABC 面积最大时,存在其周长最小的情形,最小周长为10 5 10 .
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