人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）7射影定理与内接矩形类相似问题 7页

1 模块一（斜）射影定理类相似问题 射影定理常见及扩展模型： 图 1 有： 2AB BD BC  图 2 有： 2 2 2, ,AB BD BC AD BD DC AC DC BC      【例 1】 如 图 ， 直 角 ABC△ 中 ， AB AC ， AD BC ， 证 明 ： 2AB BD BC  ， 2AC CD BC  ， 2AD BD CD  ． 内容 基本要求 略高要求 较高要求 相似 了解比例的基本性质，了解线段 的比、成比例线段，会判断四条 线段是否成比例，会利用线段的 比例关系求未知线段；了解黄金 分割；知道相似多边形及其性质； 认识现实生活中物体的相似；了 解图形的位似关系 会用比例的基本性质解决有关 问题；会用相似多边形的性质解 决简单的问题；能利用位似变换 将一个图形放大或缩小 相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判 定进行简单的推理和计算；会利 用三角形的相似解决实际问题 相似多边形 知道相似多边形及其性质；认识 现实生活中物体的相似 会用相似多边形的性质解决简 单问题 射影定理和内接矩形 2 【巩固】如图，在直角梯形 ABCD 中， AB CD AB BC∥ ， ，对角线 AC BD ，垂足为 E ， AD BD ， 过 E 的直线 EF AB∥ 交 AD 于 F ． ⑴ AF BE ， ⑵ 2AF AE EC  ． F E D C B A 【巩固】如图，矩形 ABCD 中， BE AC 于 F ， E 恰是 CD 的中点，下列式子成立的是（ ） A ． 2 21 2BF AF B ． 2 21 3BF AF C ． 2 21 2BF AF D ． 2 21 3BF AF 【例 2】 如图， ABC△ 中， AD BC 于 D ， BE AC 于 E ， DF AB 于 F ，交 BE 于 G ， FD 、 AC 的 延长线交于点 H ，求证： 2DF FG FH  ． 3 【巩固】已知：如图， 90ACB CDA AEB       ,求证： AEC ACF   ． 【巩固】如图， Rt ABC△ 中 90C   ，点 D 在 AC 上， BD AD ， M 是 AB 的中点， ME AC 于 E ，点 P 是 ME 的中点，连接 DP ．求证： BE DP ． 【拓展】如上图，在 ABC 中， 2FD FB FC  ， AD 的垂直平分线交 AD 于 E ，交 BC 的延长线于 F ， 求证： AD 平分 BAC ． E F D C B A 模块二 内接矩形类相似问题 内接矩形类的模型及结论： 4 其中 AI DG AH BC  ，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题． 【例 3】 ABC△ 中，正方形 EFGH 的两个顶点 E 、 F 在 BC 上，另两个顶点 G 、 H 分别在 AC 、 AB 上， 15BC  , BC 边上的高 10AD  ,求 EFGHS . 【巩固】如图，已知 ABC△ 中， 5 11 4 5AC AB BC  ， ， ，四边形 DEGF 为正方形，其中 D E， 在边 AC BC， 上， F G， 在 AB 上，求正方形的边长． 【巩固】如图，有一块三角形土地，它的底边 48BC  米，高 16AH  米，某单位要沿着底边 BC 修一座底 面是矩形 DEFG 的大楼。当这个大楼地基面积为192 平方米时，这个矩形的长和宽各是多少？ 5 【拓展】如图，已知 ABC△ 中，四边形 DEGF 为正方形， D E， 在线段 AC BC， 上， F G， 在 AB 上，如 果 1ADF CDES S △ △ ， 3BEGS  ，求 ABC 的面积． 课堂检测 1. 如图，在 ABC△ 中， AD 平分 BAC ， AD 的垂直平分线交 AD 于 E ，交 BC 的延长线于 F ，求证： 2FD FB FC  ． E F D C B A 2. 如图，正方形 MNPQ 的顶点在三角形 ABC 的边上，当边 BC a 与高 AD h 满足什么条件时，正方形 MNPQ 的面积是三角形 ABC 面积的一半？ 6 总结复习 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． 课后作业 1． 如图，等腰 ABC△ 中， AB AC ， AD BC 于 D ，CF AB∥ ，延长 BP 交 AC 于 E ，交CF 于 F ，求 证： 2BP PE PF  ． F P E D C B A 2． 如图，已知 ABC△ 中， 3 4 90AC BC C    ， ， ，四边形 DEGF 为正方形，其中 D E， 在边 AC BC， 上， F G， 在 AB 上，求正方形的边长． 7