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- 2021-11-06 发布
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2010年全国各地中考数学选择题、填空题
答案及参考解答
第一部分 选择题
O
B
x
y
A
C
D
图1
E
1.C
解:设抛物线的对称轴与x轴交于点E
如图1,当∠CAD=60°时,则DE=1,BE=
∴B(1+,0),C(1,-1)
将B(1+,0),C(1,-1)代入y=a(x-1)2+k,解得k=-1,a=
∴y=(x-1)2-1
O
B
x
y
A
C
D
图2
E
如图2,当∠ACB=60°时,由菱形性质知A(0,0),C(1,)
将A(0,0),C(1,)代入y=a(x-1)2+k,解得k=-,a=
∴y=(x-1)2-
同理可得:y=-(x-1)2+1,y=-(x-1)2+
所以符合条件的抛物线的解析式共4个
2.B
B
A
C
D
E
G
H
解:如图,过A作AG⊥BD于G,过E作EH⊥BD于H,则AG=BG=BD
∵AE∥DB,∴四边形AEHG为矩形,∴EH=AG=BD
又BE=BD,∴EH=BE,∴∠EBH=30°
∵BE=BD,∴∠BDE=∠BED=(180°-30°)=75°
∴∠AED=105°
3.D
解:设DE=x,则EC=,BD=,BC=x+
由△AGF∽△ABC得:=,∴x 4=16,x=2,∴正方形DEFG的面积为4
∴S△ABC=1+1+3+4=9
4.C
解:如图,过A作BC的垂线交CB的延长线于H,则HD=AH,HC=AH
∴HC-HD=(-1)AH=3,∴AH=(+1),HB=(+1)-3=(-1)
B
A
D
C
H
∴AB==
5.B
6.D
∠ACD、∠BAD、∠ODA、∠ODE、∠OED
r
a
r
7.D
解:如图,则有
D
A
B
C
S1
S2
解得:a=,r=
8.A
解:如图,连结BD
S1=π×32-S△ABD-S弓形=,S2=AB·BC-S△ABD-S弓形
S1-S2=π×32-AB·BC=,AB·BC=8π,BC=
9.B
解:由已知得:AB+AC+BC=2CD+AC+BC=2+AC+BC=,∴AC+BC=
A
B
C
D
E
∴(AC+BC)2=AC 2+BC 2+2AC·BC=5
又AC 2+BC 2=AB2=(2CD)2=4,∴2AC·BC=1
∴S△ABC=AC·BC=
10.C
解:如图,延长AD至E,使DE=AD,连结BE、CE,则四边形ABEC是平行四边形
∴BE=AC=13,∴AB 2+AE 2=52+122=169=132=BE 2
∴△ABD是直角三角形
D
B
C
A
M
N
E
∴BD===,∴BC=
11.A
解:如图,延长MN交BC的延长线于点E
∵∠AMB=∠NMB,∠AMB=∠MBC,∠NMB=∠MBC,∴BE=ME
易知△NDM≌△NCE,∴CE=MD,MN=NE,∴ME=2MN
设正方形边长为2,MD=x,则AM=2- x,DN=1,BE=x+2
在直角三角形DMN中,由勾股定理得:MN=,∴ME=
∴x+2=,解得:x=0(不合题意,舍去),或x=
∴AM=2-=,AM : AB=
12.A
解:设正方形DEFG的边长为x,△ABC的BC边上的高为h
由△AGF∽△ABC得:=,∴x=,∴S2=
又S1=,∴==·≥·=1
∴S1≥2S2
13.B
A
C
D
E
F
G
O
B
解:由△BEM∽△AED得:==,∴BM边上的高=AB=
∴S阴影=2(-)=
14.C
解:如图,连结OE、OF、OC、OD、OG
∵AE、BF为半圆的切线,∴OE⊥AE,OF⊥BF,又AE=BF,OE=OF
∴△AOE≌△BOF,∴∠AOE=∠BOF
∵CD切半圆于G,∴CF=CG.仿上可得∠COF=∠COG,同理∠DOE=DOG
∵∠AOE+∠DOE+∠DOG+∠COG+∠COF+∠BOF=180°,∴∠AOE+∠DOE+∠COF=90°
∴∠BCO=90°-∠COF=∠AOE+∠DOE=∠AOD
同理∠BOC=∠ADO,∴△BCO∽△AOD,∴BC/AO=BO/AD
设AO=BO=a,则y=
15.B
解:用排除法:从函数图象可以看出:①的支出费用减少,反映了建议(1);③的支出费用没改变,提高了车票价格,反映了建议(2);②、④不符合题意。
故正确答案是B。
16.D
分析:仅从题设所给的条件看,无法直接确定m,n,a,b的大小关系,故本题宜采用排除法。
解:将a、b带入原方程得:3-(a-m)(a-n)=0,3-(b-m)(b-n)=0
故(a-m)(a-n)=(b-m)(b-n)=3>0
根据A、B、C、D四个选项判断(a-m)(a-n)和(b-m)(b-n)的正负,只有D符合。
17.A
方法同上题
18.C
解:方法一
如图1,过C作CE⊥AB于E,过A作FA⊥AB交BC的延长线于F,连结CA、CD
∵AD=5,BD=7,∴AB=12
B
A
C
D
O
E
F
m
图1
∵∠CDA=∠CBD+∠DCB===∠CAD
∴CA=CD,∴AE=AD=,∴BE=12-=
设BC=x,∵CE⊥AB,FA⊥AB,∴CE∥FA,∴=
即=,∴CF=x,∴BF=x+x=x
由切割线定理得:AF 2=CF·BF=x·x=x 2
在Rt△ABF中,由勾股定理得:AF 2+AB 2=BF 2
即x 2+144=x 2,解得x=
方法二:
如图2,过D作DE⊥BC交⊙O于E,连结AC、AE、BE、DE,设AE与BC相交于F
B
A
C
D
O
E
F
图2
∵AD=5,BD=7,∴AB=12
由折叠的对称性可知BE=BD=7,∠ABC=∠EBC=∠ABE
∴==,∴EF=AE
∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°
∴AE===,∴EF=
∴BF==
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴△ABC∽△FBE,∴=
∴BC=·AB=×12=
19.A
方法同上题
A
D
B
C
50
15
20
65
70
y
z
x
20.B
解:如图,设未知的三块面积分别为x,y,z
则
经消元得:y=85
21.B
分析:这是一道生活中的物流资源调配问题,是对生活中最优化模型的研究,需要用函数的最值加以解决。
解:设A→B的件数为x1(规定:当x1<0时,则B调整了|x1|件给A,下同),B→C的件数为x2,C→D的件数为x3,D→A的件数为x4
由题意得:x4+50-x1=40,x1+50-x2=45,x2+50-x3=54,x3+50-x4=61
从而x2=x1+5,x3=x1+1,x4=x1-10,故调动件次f(x1)=|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1-10|
画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16
22.A
解:如图,AC边从开始到结束所扫过的图形的面积为图中阴影部分的面积S
C
B
A
S阴影=××()2+S△ABC-××12+××22-××12-S△ABC=
23.D
解:由题意知AC=2AB=6,AB=AD=CD=3
如图,易知S△ABM=S△ADM=S△CDM=S△ABC=××3×6=3
M
B
C
A
D
所以点M到AC的距离(即△ADM的AD边上的高)===2
24.C
解:易知三种地砖的内角分别是,,
由题意可得:++=360°,从而=
25.D
∵A1B1⊥A2C2,∴由对称性可知B1C1⊥A2B2,C1A1⊥B2C2
∴Rt△A1AF,Rt△A2AB,Rt△B1CB,Rt△B2CD,Rt△C1ED,Rt△C2EF全等
设A1B1=a(a为正整数),AA1=x,则AF=x,A1F=2x,有x+x+2x=a,解得x=a
故S△A1AF=x 2=(a)2=(-)a 2
则S=a 2-3S△A1AF=a 2-3(-)a 2=a 2-a 2
由已知S=-及a为正整数,m、n为有理数,得m=,n=
B
D
P
C
A
E
∴=
26.B
解:如图,连结AP、AC、AE
∵菱形ABCD,∠DAB=120°,∴△ADC为等边三角形
∵E为DC中点,∴AE⊥DC
由对称性可知PA=PC,∴PE+PC=PE+PA≥AE=AD=AB
即AB≤1,∴AB≥
故边AB长的最大值是
27.A
解:把y=0代入y=x+n,得x=-n,A(-n,0)
把x=0代入y=x+n,得y=n,Q(0,n)
同理可求出点B的坐标为(,0)
因为点P是直线y=x+n与直线y=-2x+m的交点,所以点P的坐标是方程组
联立 解得 ∴P(,)
如图,连结PO,则有:
S△POB=··=,S△POQ=·n·=
由已知S四边形PQOB=S△POB+S△POQ=及AB=AO+OB=2
得 解得n=±1,∵n>0,∴n=1,∴m=2
∴P(,)
28.C
解:如图,2环相扣时,铁链的总长度为:(64+18×2)×2-2×18,即100×2-36×1
3环相扣时,铁链的总长度为(64+18×2)×3-2×18×2,即100×3-36×2
……
n环相扣时,铁链的总长度为:100n-36(n-1)=64n+36
设长14.5米的铁链共有x个环,则:64x+36=14500,解得:x=226
所以共有226个环
29.D
解:设一次函数的解析式为y=kx+b,则3=2k+b,得b=3-2k
令y=0得x=-,∴OA=-
令x=0得y=b,则OB=b
S△AOB=×(-)×b=×=×=×[()2+24]≥12
故△AOB面积的最小值为12
30.C
N
B
A
C
D
O
M
解:设BD中点为O,连结AO,则AO⊥BD,AO=OB=
MO==,∴MB=MO-OB=
又∠ABM=∠ADN=135°,
∠NAD=∠MAN-∠BAD-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB=∠AMB
所以△ADN∽△MBA,故=,从而DN=·BA=×1=
根据对称性可知,四边形AMCN的面积=2S△MAN=2××MN×AO
=2××(++)×=
A
C
B
D
E
P
31.A
解:过P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,设AD=x,DP=y
则 解得或
当x=1,y=2时,点P在△ABC外,不合题意,舍去,∴x=2,y=1
∴DB=5-2=3,∴PB===
32.D
解:∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC
∴DE 2 : FG 2 : BC 2=S1 : S2 : S3=S1 : 2S1 : 3S1=1 : 2 : 3
∴DE : FG : BC =1 ::
设DE=x,则FG=,BC =
∵BC=,∴=,∴x=
∴DE=,FG=2,∴FG -DE=2-
A
P
D
B
C
33.D
解:如图,以AB为一边向△ABC内作等边三角形ABD,连结PD、CD
则AD=BD=AB=AC,∠ABD=∠BAD=60°,∴∠ACD=∠ADC
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-60°=20°,∴∠ACD=∠ADC=80°
∵AB=AC,∠BAC=80°,∴∠ABC=∠ACB=50°
∴∠DBC=60°-50°=10°=∠PBC,∠DCB=80°-50°=30°=∠PCB
又BC=BC,∴△BDC≌△BPC,∴BD=PB,∴AB=PB
∴∠PAB=∠APB=70°
34.B
A
P
B
C
P′
解:如图,作点P关于AC的对称点P′,连结AP′、P′C、PP′,则P′C=PC,ACP′=∠ACP
∵AB=AC,∠BAC=80°,∴∠ABC=∠ACB=50°
又∠PBC=10°,∠PCB=20°,∴∠BPC=150°,∠ACP=30°,∠ACP′=30°
∴PCP′=60°,∴△PCP′是等边三角形,∴PP′=PC,∠P′AC=∠PAC,∠P′PC=60°
∴∠BPP′=360°-150°-60°=150°,∴∠BPP′=∠BPC
∴△PBP′≌△PBC,∴∠PBP′=∠PBC=10°,∴∠P′BC=20°,∠ABP′=30°
又∠ACP′=30°,∴∠ABP′=∠ACP′
∴A、B、C、P′ 四点共圆,∴∠PAC=∠P′AC=∠P′BC=20°
∴∠PAB=60°
35.C
解:纸片由五个边长为1的小正方形组成,所以纸片的面积为5
过A点剪一刀后,阴影部分面积是纸片面积的一半,故阴影部分面积为
A
B
C
D
E
如图,设EC=x,BE=y,则有xy=,∴xy=5
由△BDA∽△BEC得=,整理得x+y=xy
∴x+y=xy=5,∴x 2+y 2=(x+y)2-2xy=5 2-2×5=15
∴BC==
36.B
解:如图,过O作EF⊥AD于E,交BC于F;过O作GH⊥DC于G,交AB于H
设CF=m,FB=n,AH=x,HB=y,则OG=m,OH=n,DG=x,OF=y
由勾股定理得:OF 2=OC 2-CF 2=OB 2-BF 2,即4 2-m 2=3 2-n 2
A
O
F
B
C
D
E
G
H
∴m 2-n 2=4 2-3 2=7 ①
同理有OH 2=1 2-x 2=3 2-y 2
∴y 2-x 2=3 2-1 2=8 ②
又OH 2+HB 2=OB 2,即n 2+y 2=9
①-②得(m 2+x 2)-(n 2+y 2)=-1
∴OD 2=m 2+x 2=(n 2+y 2)-1=9-1=8
∴OD=
37.A
解:由a<0可知二次函数的图象开口向下,又当x=1时,y=a+b+c>0,所以函数图象与x轴有两个交点,故选A.
38.C
解:从题目所给的几个数据会发现:25、60、65是勾股数;39、52、65是勾股数,由此可知该圆内接四边形是由具有公共斜边为65的两个直角三角形构成,故选C.
39.A
解:∵ÐAEF=90°,∴∠CEF+∠AED=90°
又∠CEF+∠EFC=90°,∴∠EFC=∠AED
又∠C=∠D=90°,∴△EFC∽△AED
∴==,∴△AEF∽△BCE,∴∠GAE=∠GBF
又∠AGE=∠BGF,∴△AGE∽△BGF
∴=,又∠AGB=∠EGF,∴△ABG∽△EFG
∴==
设正方形的边长为2,则AE=BE=,EF=,AF=
∴===,解得GE=,∴BG=
∴BG : GE=
40.A
解:① ∵直角梯形ABCD,∴∠ABC=∠A=90°
A
M
B
C
D
E
F
N
G
又∠DEB=90°,∴四边形ABED是矩形
又AB=AD,∴四边形ABED是正方形
∴DE=AD,又∠A=∠DEC=90°,AF=EC,∴△ADF≌△EDC
∴DF=DC,∠ADF=∠EDC
又∠ADF+∠FDE=90°,∴∠EDC+∠FDE=90°
∴∠FDC=90°,∴△DFC是等腰直角三角形
设FC与BD相交于点G,则∠DFG=∠DCF=45°
∵∠CBG=45°,∴∠DFG=∠CBG
又∠FGD=∠BGC,∴△FDG∽△BCG,∠FDB=∠FCB,故①正确
∵∠FDN=45°+∠FDB,∠BCD=45°+∠FCB,∴∠FDN=∠BCD
又∠DFN=∠CBD=45°,∴△DFN∽△DBC,故②正确
连结DM,则DM⊥FC,∠FDM=∠CDM=45°
又∠FDB=45°-∠ADF,∠MDE=45°-∠EDC
∴∠FDB=∠MDE,又DF:DM=DB:DE=
∴△DFB∽△DME,∴FB=ME,故③正确
由△DFB∽△DME可知,∠MED=∠FBD=45°
∴MEE是正方形ABED的对角线,∴ME垂直平分BD,故④正确
综上所述,①②③④都正确,故选D.
41.B
解:正方形ABCD的边长为=
易证△BCE≌△CDF,∠EBC=∠FCD
∵∠BEC+∠EBC=90°,∴∠BEC+∠FCD=90°
∴∠EHC=90°,∴△EHC∽△ECB
∴S△EHC=·S△ECB=()2××240=12
易证△GBC∽△GDF,∴S△EHC=××240=80
∴S四边形DGHE=×240-12-80=28
42.C
解:过D作DF⊥BC于F
∵ABCD是等腰梯形,∴BE=CF,AD=EF
设AD=a,BE=b,则AE=4a,CF=b,EC=EF+CF=AD+BE=a+b
A
B
C
F
E
D
AC==,BC=BE+EC=a+2b
∵AC=BC,∴=a+2b
整理得:16a 2-2ab-3b 2=0,解得:a=b,∴BE=2a
则AB===a
又AB=4√5,∴a=2,b=4
∴AD=2,BC=2+2×4=10,AE=4×2=8
∴梯形ABCD的面积=(AD+BC)·AE=(2+10)×8=48
43.D
解:∵AD、BE、CF是△ABC的三条高,∴B、C、E、F四点共圆
∴△AEF∽△ABC,∴==,即cos∠BAC=,∴sin∠BAC=
在Rt△ABE中,BE=AB·sin∠BAC=6×=
44.C
解:∵∠BCE=15°,∴∠BEC=75°,∴∠AEC=105°
∴∠ADC=105°,∴∠BCD=75°,∴∠ECD=60°
又CE=CD,∴△CDE为等边三角形,故①正确
∵∠BEH=∠BEC+∠HEC=75°+60°=135°
A
B
H
C
D
E
F
而∠ADC=105°,∴△BEH与△ADC不相似,故②错
∵∠EBC=90°,∠EHC=90°,∴B、E、H、C四点共圆
∴∠BHE=∠BCE=15°,∴∠BHC=75°=∠BCD,故③正确
∵∠BEH=135°,∴∠AEH=45°
过H作HF⊥AB于F,则EH=FH
BE=BF-EF=FH-FH=(-1)FH
∴EH==BE,故④错
由折叠的对称性可知∠BAC=∠DAC=45°,又∠ABC=90°
∴AB=BC
又AB=AE+BE=2FH+(-1)FH=(+1)FH,∴BC=(+1)FH
而△BCE的面积=×BC×BE=×(+1)FH×(-1)FH=FH 2
△AHE的面积=×AE×FH=×2FH×FH=FH 2
∴△BCE的面积=△AHE的面积
又∵四边形BCHE的面积=△BCE的面积+△HCE的面积
=△AHE的面积+△HCE的面积
=△AEC的面积=△ADC的面积
故⑤正确
综上所述,①③⑤正确,②④错误,故选C.
E
B
C
G
A
O
D
45.B
解:如图,延长CB至点G,使BG=AC,连结OG
∵∠DBG=90°-∠ABC,∠BAC=90°-∠ABC,∴∠DBG=∠BAC
又∠OBG=45°+∠DBG,∠OAC=45°+∠BAC,∴∠OBG=∠OAC
又OB=OA,∴△OBG≌△OAC,∴∠BOG=∠AOC,OG=OC
∴∠COG=∠COB+∠BOG=∠COB+∠AOC=∠AOB=90°
∴△COG是等腰直角三角形,∴CG=OC=8
BC=CG-BG=8-3=5.
46.D
解:当k >0时,函数y=k|x|与y=x+k的图象如图1所示
若0<k≤1,则y=k|x|与y=x+k的图象只有一个交点;若k >1,则y=k|x|与y=x+k的图象有两个公共点
当k <0时,函数y=k|x|与y=x+k的图象如图2所示
若-1≤ k <0,则y=k|x|与y=x+k的图象只有一个交点;若k <-1,则y=k|x|与y=x+k的图象有两个公共点
综上所述,实数k的取值范围是k <-1和k >1,故选D.
O
x
y
y=x+k
y=-x
图2
y=k|x|
O
x
y
y=x
y=x+k
y=k|x|
图1
47.D
解:设AB=x,AB与CD间距离为y,由S△DCF =4知F到CD的距离为
则F到AB的距离为y-,∴S△BEF = BE(y - )=3
∴BE = ,AE = x - =
B
C
D
O
x
E
y
S△AED = AE×y= × ×y=5,得(xy)2-24xy+80=0
解得xy =20或4
∵SABCD =xy>S△AED =5,∴xy =4不合题意,舍去,∴xy =20
S△DEF =SABCD -S△AED -S△BEF -S△DC F =20-5-3-4=8
48.A
解:易求得抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为B(-2,0),C(4,0),则BC=6
∵y=-x 2+2x+8=-(x-1)2+9,∴抛物线顶点为E(1,9),对称轴为x=1
如图,以BC为直径作⊙D,则⊙D的半径为3
因为直径所对的圆周角为直角,圆外角为锐角,圆内角为钝角
又点A在x轴上方的的抛物线上,故当∠BAC为锐角时,3< AD ≤9.
49.C
解:正方形ABCD在绕点C旋转的过程中,A点的轨迹是以点C为圆心,AC为半径的圆(如图).
D
C
B
A
E
F
G
A1
A2
因为△AEG的边EG=,故当A点到EG的距离取得最大、最小值时,S取得最大、最小值.
当A1F⊥EG时,S取得最大值;
S最大=××(+b)=b 2+ab
当A2F⊥EG时,S 取得最小值.
S最小=××(b-)=b 2-ab
35
49
13
x
故b 2-ab≤ S ≤b 2+ab
50.A
解:如图,由于(35+x+49)+(13+y)=长方形面积的一半=x+S阴影+y
所以S阴影=35+49+13=97
51.B
y
x
A
B
C
D
O
F
E
G
H
解:∵AD、BE分别是△ABC的BC、AC边上的中线,∴AE=,BD=
设OD=x,OE=y
则由三角形中线的性质可知OA=2x,OB=2y
∵AD⊥BE,∴△AOB、△AOE和△BOD都是直角三角形
由勾股定理得:OA 2+OE 2=AE 2,OB 2+OD 2=BD 2
即4x 2+y 2=20,4y 2+x 2=,两式相加得:5x 2+5y 2=
∴x 2+y 2=,∴AB 2=OA 2+OB2=4x 2+4y 2=25,∴AB=5
52.C
解:考虑到如果求出该正方形在第一象限面积的精确值,则必须先利用相似三角形求出FH、EG的长度,再计算面积,这样的话,计算过程相当复杂,还容易出错。如果先粗略估算,然后用排除法,则简便得多。
如图,过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,设AD、BC分别交x轴于G、H,则AE=6,BF=3,EF=6+4=10
该正方形在第一象限的面积=梯形ABFE的面积-△BFH的面积+△AEG的面积
=×(3+6)×10-△BFH的面积+△AEG的面积
=45-△BFH的面积+△AEG的面积
显然△AEG的面积大于△BFH的面积,所以该正方形在第一象限的面积大于45,而A、B、C、D四个选项中只有C符合,故选C.
53.D
解:由勾股定理得AC===5,由三角形的面积可求得A1B=
∵所有的直角三角形都是相似三角形
∴Rt△A1B1B的面积 : Rt△A1AB的面积=A1B 2 : AB 2=()2 : 3 2=
从而Rt△A1B1B的面积 : 直角梯形A1ABB1的面积=
叠加得所有阴影三角形的面积之和 : Rt△ABC的面积=
故所有阴影三角形的面积之和=××3×4=
54.D
解:如图,过C作CG∥BD交AD的延长线于G,则△CDG≌△BDE,△AEF∽△AGC
A
B
F
C
D
E
G
∴BE=GC,DG=ED=2AE,∴AG=5AE
∵AE : ED=1 : 2,∴△CDG的面积=△BDE的面积==8
∴△AGC的面积=8+×24=20
∴△AEF的面积=×20=
55.A
A
B
C
G
D
E
解:延长AG交BC于D,延长GD至E,使DE=GD
∵点G是△ABC的重心,∴BD=DC,GA=2GD=GE=4,AD=GA=6
又∵DE=GD,∴四边形BECG是平行四边形
∴CE=GB=5,S△GEB=S△GEC
又∵GE=4,GC=3,∴△GEC是直角三角形,∴△AGC是直角三角形
x
y
y=
y=x
y=x 2
y=
O
∴S△ABC=2S△ADC=2×S△GAC=3S△GAC=3××4×3=18
56.A
解:方法一
∵0< x <1,∴x 2 <x <1,>1,∴x <<1,
∴x 2 <x <<
方法二
在同一坐标系中画出这四个函数的图象,如图
从函数图象可以看出:当0< x <1时,x 2<x<<
A
C
E
D
B
F
57.C
解:连结FC,则S△DCF =S△BDF ,S△CEF =S△AEF
∴S四边形DCEF =S△DCF +S△CEF =( S△BDF +S△AEF )=( S△BCE +S△ADC -2S四边形DCEF )
∴S四边形DCEF =( S△BCE +S△ADC )=×S△ABC =××6=1
58.B
解:若x+3=0,则x=-3;
若x 2+x-1=1,则x=-2或x=1;
若x 2+x-1=-1则x=0或x=-1,当x=0时,x+3=3,(-1)3=-1,不合题意,舍去;当x=-1时,x+3=2,(-1)2=1,符合题意
所以原方程的整数解是-3,-2,-1,1,共4个,故选B.
59.D
解:如图,过C作CG∥AD交BE的延长线于G,则△ECG≌△AOE,△BDO∽△BCG
∴AO=GC,EG=OE=BO,∴BG=3BO
A
C
E
D
B
F
O
G
∴S△ECG =S△AOE =S△ABE =S△ABC =
∴S△BCG =S△BCE +S△ECG=+=
∴S△BDO =×S△BCG =×=
同理可得S△BFO =
∴S四边形BDOF =S△BDO+S△BFO =+=
60.D
解:∵2x 2-5mx+2m 2=5,∴(2x-m)(x-2m )=5
∵x,m均为整数,∴2x-m与x-2m也为整数
∴或或或
解得或或或
所以整数的整数m的值共有4个.
61.C
解:
设⊙O1的半径为3x,⊙O2的半径3y,则O1B=5x,O2D=5y
BD=O1B+O1O2+O2D=8(x+y)=5,∴x+y=
∴O1O2=3(x+y)=
62.解:由函数图象可得a<0,b>0,c=0
∴p=|a-b|+|2a+b|,q=|a+b|+|2a-b|
又->1,∴-b<2a,∴ a-b<0,2a-b<0,2a+b>0,∴a+b>-a>0
A
B
C
D
E
H
F
∴p=b-a+2a+b=2b+a,q=a+b+b-2a=2b-a
∴p<q,故选C.
63.A
解:如图,过E作EH⊥AB于H,交AC于F,则EH=,FH=AH=
∴EF=,S阴影=×EF×AB=
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=3,BC=5,将腰DC绕点D的逆时针方向旋转90°至DE,连结AE,则△ADE的面积是( ) C
A.1 B.2 C.3 D.4
64.D
解:连结OD、OE
Q
E
D
O
C
B
A
∵DE∥CB,∴S△QDE=S△ODE,∴S阴影=S扇形ODE
设圆的半径为r,由切割线定理,CD 2=CA·CB=CA·(CA+AB)
即()2=1×(1+2r),解得r=1
又CD=AB=r,∴∠COD=60°
∵DE∥CB,∴∠ODE=60°,∴△ODE是等边三角形
∴S阴影=×12×=
65.B
解:设半圆O的半径为r,S扇形AOC =××r2=r2=r2,S△COB =×r×r=r2
A
E
D
B
C
F
G
H
S弓形BmC =S扇形COB -S△COB =r2-r2=r2
∴S2<S1<S3
66.C
解:如图,过A作AG⊥DE于G,过D作DH⊥BC于H
则S△ADE =DE·AG=1,S△DBF =BF·DH=2
由△ADE∽△DBF得S△ADE : S△DBF =DE 2 : BF 2=AG 2 : DH 2=1 : 2
设DE=x,则AG=,DH=AG=
S四边形DECF =DE·DH=x·=
67.C
解:分别是△DPC、△BCQ、△ADQ、△DBP和△BQD
68.D
解:因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以底边相似比分别为3 : 4 : 8
设△1、△2、△3底边分别为3x,4x,8x,则BC=15x,所以△ABC的面积是225
69.A
解:∵AD∥BC,∴S△ABD =S△ACD ,∴S△AOB =S△COD
又∵S△AOB : S△AOD =OB : OD=S△AOB : 4,S△BOC : S△COD =OB : OD=16 : S△AOB
∴S△AOB : 4=16 : S△AOB ,∴S△AOB=S△COD=8
∴S梯形ABCD=4+8+16+8=36
A
C
B
D
F
E
O
70.C
解:①③④正确,②错
71.C
解:如图,连结OE、OF
易证△OBF是等边三角形,BC=6,BF=4,CD=,CE=
阴影部分的面积S=S梯形OBCE-S扇形OFE-S△OBF+S扇形OBF-S△OBF=S梯形OBCE-2S△OBF
=×(4+6)×-2××4 2=
72.B
M
A
N
D
B
C
E
解:如图,连结BD,取BD的中点E,连结EM、EN,则
EM+EN>MN,即AB+CD>MN,AB>MN
73.A
解:由题意,显然a >0,当a >0时,a值越大,抛物线开口越小
设正方形的四个顶点为A、B、C、D(如图),显然抛物线经过A(1,2)和C(2,1)时,分别得到a的最大值和最小值
把x=1,y=2代入y=ax 2,得a=2;把x=2,y=1代入y=ax 2,得a=,故≤ a ≤2
O
B
x
y
y=2
y=1
x=1
x=2
A
C
D
y=x 2
74.D
解:如图,作点N关于AC的对称点N ′,则PM+PN=PM+PN ′
当M、P、N ′三点在同一直线上时,PM+PN ′最小,即PM+PN最小
B
C
M
P
A
N
N ′
此时∠APM=∠CPN ′=∠CPN,又∠A=∠C,AM=CN,所以△APM≌△CPN
∴PM=PN,AP=CP,P是AC的中点
∴AB=2PN=PM+PN=2,△ABC的周长=4+
75.B
解:如图,延长BA至F,使BF=AC,连结OF
∵∠EBF=90°-∠ABC,∠BCA=90°-∠ABC,∴∠EBF=∠BCA
O
B
A
C
D
E
F
又∠FBO=45°-∠EBF,∠ACO=45°-∠BCA,∴∠FBO=∠ACO
又OB=OC,∴△FBO≌△ACO,∴∠BFO=∠CAO,OF=OA
∴∠BFO+∠FAO=∠CAO+∠FAO=90°,∴∠AOF=90°
∴△AOF是等腰直角三角形,∴AF=AO=4
AC=BF=AB+AF=4+4=8
76.A
⊙O从与AC边相切于C点滚动到与BC边相切于C点,转过120°,则⊙O在三个顶点共转过360°,即一圈,又因为在三边上各转过一圈,所以⊙O共转了4圈.
77.D
解:显然,要使△ABP、△APD、△CDP两两相似,∠APD必须为直角
所以点P在以AD为直径的圆上,即点P到AD的距离不大于AD的一半
∴b≤,故a ≥2b
78.B
解:由题意得:
解得a=-18,b=117,c=-210
∴y=x 3-18x 2+117x-210,把x=4代入,得y=34
79.B
解:设A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-,x1x2= ①
∵AQ⊥BQ,∴△ABC为直角三角形,且AB为斜边
∴AQ 2+BQ 2=AB 2,即(x1-n)2+4+(x2-n)2+4=(x1-x2)2
整理得x1x2-n(x1+x2)+n2+4=0
将①代入并整理得:an 2+bn+c+4a=0 ②
又∵点Q(n,2)在抛物线上,∴an 2+bn+c=2
∴2+4a=0,∴a=-
80.A
解:由已知意得a=(b+c)t,b=(c+a)t,c=(a+b)t,∴a+b+c=2(a+b+c)t
当a+b+c≠0时,t=,∴y=x+,其图象经过第一、二、三象限
当a+b+c=0时,t=-1,∴y=-x+1,其图象经过第一、二、四象限
D
B
A
C
A1
B1
C1
D1
综上所述,一次函数y=tx+t 2的图象必定经过的象限是第一、二象限.
81.D
解:如图,连结BD、BD1,则S△AA1D=2S△ABD1=2S△ABD
同理S△CC1B1=2S△CBD,∴S△AA1D+S△DD1C1=2S
S△BB1A1=2S△ABC,S△DD1C1=2S△ADC,∴S△BB1A1+S△DD1C1=2S
∴四边形A1B1C1D1的面积=S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S四边形ABCD=5S
82.A
解:由△CPE∽△CBA,得=,∴PE=·AB=
EF=2PE=
83.D
解:如图,过点A作AO∥DG交于BC于点O
1
1
3
A
B
C
E
D
F
G
O
则===
得S△AOB=S△ABC ,∴S△AOC =S△ABC
又= ①
===
即== ②
①+②得:=1
x
y2=x+2
y3=-x+12
y
O
y1=2x
A
B
C
解得S△ABC =9,故S□DEFG =9-(1+3+1)=4
84.C
解:∵|x-x 2|≥0,∴y=1-|x-x 2|≤1
当x-x 2=0,即x=0或x=1时,函数y=1-|x-x 2|有最大值1,
又当x≤0时,y=-x 2+x+1;
当0<x<1时,x 2<x,y=x 2-x+1;
当x≥1时,x 2>x,y=-x 2+x+1
故选C
85.A
解:同上题
86.B
解:分别联立y1、y2,y1、y3,y2、y3得交点A(2,4),B(,),C(4,6)
画出三个函数的图象,如图所示
当x≤2时,min{y1,y2,y3}=y1=2x≤4,最大值为4;
当2<x≤时,min{y1,y2,y3}=y2=x+2≤,最大值为;
当<x≤4时,min{y1,y2,y3}=y2=x+2≤6,最大值为6
当x>4时,min{y1,y2,y3}=y3=-x+12<6
综上,函数y的最大值为6
87.B
解:如图,连结OB,则OB=,∠AOD=75°,∴∠COD=15°,∴∠BOD=30°
O
B
x
y
A
C
D
∴点B的纵坐标为-,点B的横坐标为,∴B(,-)
把点B的坐标代入y=ax 2,解得a=-
故该抛物线的解析式为y=-x 2
88.C
3
4
2
6
O
B
A
C
D
解:设此圆的半径为r,圆心为O,连结OA、OB、OC、OD,则有:
r 2=(-2)2+()2或r 2=(-3)2+()2
∴r =
故此圆的直径D=2r =
89.B
解:如图,延长CP交OY于点D,易知BD=PB=OA,则OA+OB=OB+BD=OD=OC
B
A
C
O
X
Y
P
W
D
故OA+OB+OC=(+1)OC=1,∴OC=-1
90.D
解:点P在AD边上的运动时间为12/1=12(秒),点Q在BC边上的运动时间为12/4=3(秒)
所以点P从A运动到D时,点Q在BC边上共运动了4次,每一次都能使线段PQ平行于AB一次,故线段PQ有4次平行于AB
91.C
解:易证Rt△CDF≌Rt△CBE,则CF=CE
∵Rt△CEF的面积是200,即CE·CF=200,∴CE=20
又S正方形ABCD =BC 2=256,∴BC=16
由勾股定理得BE===12
92.B
解:设等腰直角三角形的直角边长为a,面积为S,则S1=S,S2=S
将图3拼成一个大的等腰直角三角形,如图所示,显然S3=S4
设图4中的内切圆的半径为r,由三角形的面积可求得r=
则S3=S4=π[]2=π=(3-)πS
∵<<(3-)π,∴S2最小
93.B
解:∵=,∴=
∵BD=c,∴=
又∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC,∴∠CAB=∠D
又BD=BA=c,∴∠BAD=∠D
∴∠CBA=2∠D,∴∠CBA=2∠CAB
94.B
解:∵f(p)<f(q),∴p 2+λp<q 2+λq,即( p+q )( p-q )+λ( p-q )<0
∴( p-q )( p+q +λ )<0
∵p < q,∴p+q +λ >0,即λ >-( p+q )
同理可得λ >-( q+r),λ >-( p+r)
∵p < q <r,∴-( q+r)<-( p+r)<-( p+q )
∴λ >-( p+q )
∵p、q均为正整数,∴p最小为1,q为2
∴λ >-3
95.B
解:设点D的坐标为(x1,y1),则S1=(-x1)y1=(-x1)=-
易知对于双曲线y=(k<0)上的任一点,S=-都成立
∵点P在双曲线的上方,点Q在双曲线的下方,∴S3<S1<S2
96.D
C1
A
H
C
O
B
H1
A1
O1
解:如图,连结HB,易求得HB=,OB=2
S阴影=××[()2-2 2]=π
97.A
解:由题意知抛物线开口向上,∠ACB=90°,当C点为抛物线的顶点时,BC边上的高取得最大值1
如图,由抛物线的对称性可知,此时AC=BC,△ABC为等腰直角三角形,所以AB=2
O
x
y
A
C
B
故△ABC面积的最大值为×2×1=1
98.B
解:如图,连结OB、OC,过O作OD⊥BC于D
则∠OBA=90°,OB=1,又OA=2,∴∠BOA=60°
A
C
O
B
D
∵BC∥OA,OD⊥BC,∴∠BOD=∠COD=30°,∴∠BOC=60°
∵△ABC与△BOC等底等高,∴S△ABC =S△BOC
∴S阴影=S扇形BOC =××1 2=
99.A
解:∵DE是中位线,∴折叠后B、C、A′ 三点在同一直线上
∵∠C=120°,∠A=26°,∴∠B=34°
1
2
3
A
C
B
E
D
F
∵DE是中位线,∴A′D=AD=BD,∴∠A′DB=180°-2×34°=112°
100.D
解:∠EDB=180°-82°=98°,∠B=[180°-(98°+30°)]=78°
101.B
解:如图,由已知,△ADE是等边三角形,作BF∥DE交AC于F,则BD=EF,DE=AD
从而EC=DB+DE=DB+AD=AB=BF,DE=FC
又∠1=∠2=120○,故△EDC≌△FCB,∴∠CDE=∠BCF=∠3+∠DCB
∵∠CDB=2∠CDE,∠BDE=120○,∴∠CDE=40○
∴∠3=180○-120○-40○=20○
∴∠DCB=∠BCF-∠3=40○-20○=20○
102.D
解:如图,∵扇形的弧长=圆形的周长,∴πR=2πr,∴R=4r
103.A
A
C
B
D
E
解:如图,作∠ACB的平分线CD交AB于D,延长CB至E,使BE=BD,连结DE
设∠A=x,则∠ABC=2x,∠ACD=∠BCD=2x
∴CD=BD=BE,∴∠BDE=∠E=x,∠ADC=∠EDC=4x
∴△ACD≌△ECD,∴AC=CE=b
由△ACD∽△ABC得=
∴+=+=+====1
即+=1,∴+=
104.A
解:如图,连结OP,则OP=OC=1,∴∠OPC=∠OCP
又OCP=∠PCD,∴∠OPC=∠PCD,∴OP∥CD
∵CD⊥AB,∴OP⊥AB,∴∠AOP=90°
∴△AOP是等腰直角三角形,∴AP=,即y=
易知0<x<1,故应选A
105.A
∵对于函数y=ax 2+bx+c,当y>0时,-<x <,∴a <0,c >0,其图象开口向下
并且其对称轴为x=-<0,∴b <0
∴函数y=cx 2-bx+a的图象开口向上,并且其对称轴为x=<0
故正确选项为A
106.D
解:∠AEP=∠AEB=[(180°-(∠A+∠ABE)]=90°-(∠A+∠ABE)
同理∠AFP=90°-(∠A+∠ADF)
∴∠EPF=∠A+∠AEP+∠AFP=180°-(∠ABE+∠ADF)
=180°-[360°-(∠A+∠BCD)]=180°-[360°-(60°+124°)]=92°,故A对
∠ABC+∠ADC=360°-(∠A+∠BCD)=360°-(60°+124°)=176°,故B对
∠PEB+∠PFD+∠EPF=∠A+∠AEB+∠AFD
A
C
B
D
=180°-∠ABE+180°-(∠A+∠ADF)=360°-(∠A+∠ABE++∠ADF)
=∠BCD=124°,故C对
∠PEB+∠PFD=124°-∠EPF=124°-92°=32°,故D对
107.C
解:如图,延长BA至D,使AD=AC,连结DC
则∠ACD=∠D,∴∠BAC=2∠D
又∠BAC=2∠ACB,∴∠D=∠ACB
又∠B=∠B,∴△CBD∽△ABC
∴=,即=
∴BC=
108.B
解:如图,设△ABC的最大角是∠A,最小角是∠C,延长BA至D,使AD=AC,连结DC
A
C
B
D
则∠ACD=∠D,∴∠BAC=2∠D
又∠BAC=2∠ACB,∴∠D=∠ACB
又∠B=∠B,∴△CBD∽△ABC
∴=,即=
∴BC 2=AB(AB+AC)
∵AB、AC、BC是三个连续的自然数
∴设AB=n-1,AC=n,BC=n+1(n为大于1的正整数)
则(n+1)2=(n-1)(2n-1)
整理得:n 2-5n=0,解得n=0(舍去)或n=5
∴AB=5-1=4
故△ABC的最小边长等于4
109.A
O
y
x
2
-2
1
-1
解:由已知条件可得函数图象如图所示
1)当x=-2时,y=0,∴4a-2b+c=0,故①正确
2)图象的对称轴为x=-<0,∴a,b同号,而a <0,∴b <0
对称轴为x==-1+,∵1<x1<2,∴<<1
∴-<-1+<0,即-<-<0
∴a <b<0,故②正确
3)∵-2与x1是方程ax 2+bx+c=0的两个根,∴-2x1=
而-4<-2x1<-2,∴-4<<-2
∴2a+c>0,故③正确
4)∵4a-2b+c=0,∴2(2a-b)+c=0,得2a-b=-
∵函数图象与y轴正半轴的交点在(0,2)的下方,∴0<c<2
∴-1<-<0,即-1<2a-b<0
∴2a-b+1>0,故④正确
综上所述,①、②、③、④都正确,故选A
110.C
解:由函数图象可得a>0,c<0
又0<-<1,∴b<0,-2a <b<0,∴2a+b>0,2a-b>0,且|2a+b|<|2a-b|
由函数图象可得:当x=1时,y=a+b+c<0;当x=-1时,y=a-b+c>0
且|a+b+c|<|a-b+c|
∴M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|<0
故选C.
111.B
解:点F是△ABC的重心,∴AF=AD
∴S△AEF =S△AED =×S△ABD =××S△ABC =S△ABC =10
112.D
解:由题意得x1+x2=-1,则x2=-1-x1,且x 12+x1=3
∴x13-4x22+19=x13-4(-1-x1)2+19
=x13-4x 12-8x 1+15
=x 1(x 12+x1)-5x 12-8x 1+15
=-5x 12-5x 1+15
=-5(x 12+x1)+15
=-5×3+15
=0
A
C
D
O
B
F
M
E
P
N
113.D
解:∵AF平分∠BAC,∴====,即y=z=
又△AEM的角分线与高重合,所以△AEM为等腰三角形,AE=AM
如图,过O作OP∥AB,交DE于P,则OP为△DBE的中位线
△OPM∽△AEM,∴x===2,所以x>y=z
114.C
∵a>h>0,b>h>0,∴ab>h 2,a 2+b 2>h 2+h 2=2h 2,故A、D不正确
设斜边为c,则有a+b>c,(a+b)h >ch=ab
∴>,故B不正确
由h=ab化简整理后,得=,故C正确
115.C
解:1)∵∠PAE+∠BAQ=180°-90°=90°,∠PAE+∠PEA=90°,∴∠PEA=∠BAQ
又∵∠APE=∠BQA=90°,∴△PAE∽△QBA,∴=
∵AQ=PA,∴=
又∵∠APE=∠BAE=90°,∴△PAE∽△ABE,故①正确
2)∵△PAE∽△QBA,△PAE∽△ABE,∴△QBA∽△ABE
∴∠QBA=∠ABE,∴3∠ABE=90°
∴∠ABE=30°,故②正确
3)∵∠ABE=30°,∴∠QBA=30°
∴BQ=AB,又∵PA=PQ=AB
∴S△PAE : S△QBA : S△ABE =PA 2 : BQ 2 : AB 2=(AB) 2 : (AB) 2 : AB 2 =1 : 3 : 4,故③正确
4)∵△PAE∽△ABE,∴∠PEA=∠BEA
∴若沿直线EA折叠纸片,点B落在直线ED上,但不一定与点D重合,只有当BE=DE时,点B才与点D重合,故④错
综上所述,①、②、③选项正确,故选C
116.D
H
B
C
D
O
E
A
解:如图,过A作AH⊥BE于H,交BC于O,连结EC
则∠BEC=90°,∴AO∥EC
由切线长定理可知AB=AE,∴BH=HE
∴BO=OC=1
∵∠ABH+∠CBE=90°,∠ABH+∠BAO=90°,∴∠CBE=∠BAO
∴sin∠CBE=sin∠BAO===
117.C
解:如图,过B作BG∥AC交CD的延长线于G,则△BDG≌△ADC,△BFG∽△EFC
B
C
D
E
A
F
G
∴BG=AC=3EC,GD=CD,∴BF=3EF,GF=3CF
∴CD+DF=3(CD-DF),∴DF=CD
∴S△CEF =S△BCF =,S△BDF =S△BCF =1
连结AF,则S△ABF =2S△BDF =2,S△ACF =3S△CEF =1
∴S△ABC =S△ABF +S△BCF +S△ACF =2+1+1=4
B
C
D
E
A
118.B
解:如图,连接BE,∵△ABC为锐角三角形,∴∠BAC,∠ABE均为锐角
又∵⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,且DE为两圆的公共弦
∴∠BAC=∠ABE,∴∠BEC=2∠BAC
若△ABC的外心为⊙O1,则∠BO1C=2∠BAC,∴⊙O一定经过△ABC的外心
A
C
E
D
B
O
119.D
解:如图,分别作△AOB的OB边上的高,△BOC的OB边上的高,△AOB的
OA边上的高,△AOC的OA边上的高
则S△BOC : S△AOB=CE : AE=1 : 2=3 : 6,S△AOC : S△AOB=CD : BD=2 : 3=4 : 6
∴S△BOC : S△AOC : S△AOB=3 : 4 : 6
120.C
解:把原方程变形为2[x]=x 2-3
∵x≥[x],∴2x≥x 2-3
解此不等式得:-1≤x≤3
1)当-1≤x<0时,[x]=-1
原方程化为x 2-1=0,解得x=-1(x=1不合题意,舍去)
2)当0≤x<1时,则[x]=0
原方程化为x 2-3=0,解得x=±(不合题意,舍去)
3)当1≤x<2时,[x]=1
原方程化为x 2-5=0,解得x=±(不合题意,舍去)
B
C
A
O
m
4)当2≤x<3时,[x]=2
原方程化为x 2-7=0,解得x=(x=-不合题意,舍去)
5)当x≥3时,[x]=3
原方程化为x 2-9=0,解得x=3(x=-3不合题意,舍去)
综上所述,方程x 2-2[x]-3=0的解为-1,-,3,共3个
121.A
解:易知,小圆的圆心O必在两圆的重叠区域内,连结OA、OB,并延长AO交大圆于点C
则AC+BC=OA+OC+BC >OA+OB=d
又 >AC+BC,∴ >d
122.C
解:把(2,1)代入y=,得k=2,∴y=
当x=-2时,y=-1;当x=1时,y=2
把(-2,-1)(1,2)分别代入y=ax 2,解得a=-和a=2
对于二次函数y=ax 2,当a <0时,a越大,抛物线开口越大;当a >0时,a越小,抛物线开口越大
∵二次函数y=ax 2与上述图象有公共点,∴-≤ a ≤2且a≠0
第二部分 填空题
1.2 -5
解:如图1,当点F与点C重合时,B′D====4
AB′=5-4=1
如图2,当点E与点A重合时,AB′=AB=3
所以B′ 在AD上可移动的最大距离为3-1=2
如图3,当B′ 在对角线AC上时,AB′ 最小(连结AC、AB′ 、B′C,则AB′ ≥AC-B′C,当且仅当点B′ 在线段AC上时取等号,所以AB′ 的最小值为AC-B′C,即AC-BC)
AB′=-5=-5
A
D
B
CF
B′
EF
(F)
图3
A
D
B
CF
B′
EF
(F)
图1
A
D
B
CF
B′
FF
图2
(E)
2.40(-1)
解:设AC=x,则AB=x=x=80,x=40(-1)
3.≤ a ≤3
解:当a >0时,a值越大,抛物线开口越小
设正方形的四个顶点为A、B、C、D(如图),显然抛物线经过A(2,2)和C(3,1)时,分别得到a的最大值和最小值
把A(2,2)和C(3,1)分别代入y=ax 2-2ax-1+a,得a=和a=3,∴≤ a ≤3
O
B
x
y
y=2
y=1
x=2
x=3
A
C
D
x=1,y=2代入y=ax 2,得a=2;把x=2,y=1代入y=ax 2,得a=,故
4.
解:添加辅助线如图
5.(503,-503)
解:通过观察,不难发现以下规律:
A1、A5、A9、…An在同一直线上,其通式为4n-3(n为正整数)
A2、A6、A10、…An在同一直线上,其通式为4n-2(n为正整数)
A3、A7、A11、…An在同一直线上,其通式为4n-1(n为正整数)
A4、A8、A12、…An在同一直线上,其通式为4n(n为正整数)
当An为A2010时,只有4n-2=2010的解为整数,n=503
故点A2010的坐标是(503,-503)
6.r=或3<r≤4
解:过C作CD⊥AB于D,则CD=
当r=CD=时,圆与斜边AB只有一个公共点D;
当<r≤AC=3时,圆与斜边AB有两个公共点;
1
y
O
x
F1
F2
当3<r≤BC=4时,圆与斜边AB也只有一个公共点
当r>4时,圆与斜边AB没有公共点
综上所述,r=或3<r≤4
7.解:当⊙A和⊙B外切时,r=3;当⊙A和⊙B内切时,r=13,故3<r<13
8.解:F1:y=x 2-4x-1=(x-2)2-5
∵F2与F1关于点(1,0)中心对称,∴F2:y=-x 2+5
联立 解得x=-1或x=3
∴当-1≤ x ≤3时,F1和F2围成的一个封闭图形,如图所示
封闭图形上,平行于y轴的线段的长度就是对应于同一个横坐标,两抛物线上的点的纵坐标的差
当-1≤ x ≤3时,设F1上的点P1(x1,y1),F2上的点P1(x2,y2)
则y2-y1=(-x 2+5)-(x 2-4x-1)=-2x 2+4x+6=-2(x-1)2+8
∵-2<0,∴y2-y1有最大值
当x=1时,y2-y1的最大值为8,即线段长度的最大值是8
9.1<x<13
解:考虑图1和图2的两种极端情形
A
D
B
C
7
4
2
图1
x
A
D
B
C
7
4
2
图2
x
10.9<a 2+b 2<41
解:∵a 2+c 2=16,∴c 2=16-a 2,∴0<c 2<16
同理,由b 2+c 2=25得,0<c 2<25,∴0<c 2<16
两式相加,得a 2+b 2+2c 2=41,a 2+b 2=41-2c 2
由0<c 2<16得9<41-2c 2<41,即9<a 2+b 2<41
11.60°<∠A<90°
解:∵BD=AB=AC,∴∠ADB=∠A,∠C=(180°-∠A)
∵∠ADB>∠C,∴∠A>(180°-∠A),∴∠A>60°
由∠A+∠ADB<180°,得2∠A<180°,A<90°
故60°<∠A<90°
x
y
O
12.-1
(x≥0)
(x≤0)
解:y=2x 2+4|x|-1=2(|x|+1)2-3=
其图象如图,由图象可知,当x=0时,y最小为-1
13.<
解:由题意得:y1=ax 12+2ax1+4,y2=ax 22+2ax2+4
y1-y2=a(x 12-x 22)+2a(x 1-x 2)=a(x 1-x 2)(x 1+x 2+2)=a(x 1-x 2)(3-a)
∵x1<x2,0< a <3,∴y1-y2<0,∴y1<y2
14.
解:过C作CE⊥AB于E,过D作DF⊥AB于F,DG⊥AC于G
A
D
B
C
E
F
G
∵S△ABC =AB·CE=AB·AC·sin60°
S△ABC =S△ABD+S△ADC =AB·DF+AC·DG=AB·AD·sin30°+AC·AD·sin30°
∴AB·AC·sin60°=AB·AD·sin30°+AC·AD·sin30°
解得AD=
15.y=-x 2+x-,<x<10
解:AB2=AC 2+BC 2=6 2+8 2=100,AB=10
由△ADE∽△ABC得DE=x,AE=x,CE=6-x
由△BFD∽△ABC得BF=-x,CF=8-(-x)=x-
y=(CF+DE)·CE=(x-+x)(6-x)=-x 2+x-
当点F与点C重合时,由△ACD∽△ABC得AD=
故<x<10
16.①②④
17.12
解:设FG=x,则AK=6-x
∵HG∥BC,∴△AHG∽△ABC
∴=,HG=(6-x)
S矩形EFGH=(6-x)x=-(x-3)2+12
当x=3时,矩形EFGH的面积取得最大值12
18.
解:设An(x1,0),Bn(x2,0),则x1,x2是方程y=a(a+1)x 2-(2a+1)x+1的两个不相等的实数根
故x1+x2=,x1x2=
|AnBn|=|x1-x2|===
∵a为正整数,∴|AnBn|=
当a依次取1,2,…,2010时,所截得的线段长分别为|A1B1|=,|A2B2|=,…,
|A2010B2010|=
∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2010B2010|=++…+
=(1-)+(-)+…+(-)=1-=
19.34
解:方法一:易知四边形PQRS是平行四边形.
由△QBR≌△SDP及△SDP∽△SCR,得=,∴DS=
SP==,PQ==4×
因而小球所走的路径长为:2(SP+PQ)=10×=34
方法二:利用轴对称可发现SP+PQ=DB==17
所以2(SP+PQ)=34
A
B
C
G
H
D
E
F
20.
解:如图,延长EF交CD的延长线于H
∵AB∥CD,∴==,∴DH=3AE,
∴====,∴=
21.8
解:由题意得m+n=2a,mn=a+6
△=4a 2-4(a+6)≥0,即a 2-a -6≥0,解得a ≤-2或a ≥3
(m-1)2+(n-1)2=m 2+n 2-2(m+n)+2=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a 2-6a-10=4(a-)2-
∴a=3时,(m-1)2+(n-1)2有最小值,最小值为4(3-)2-=8
A
C
B
F
D
E
G
22.1 :: 1
解:如图,连结BD、BF.
∵∠ABG+∠GBD=∠DBF+∠GBD=45°,∴∠ABG=∠DBF.
又∵==,∴△ABG∽△DBF.
∵AB=BC,∠ABG=90°-∠GBC=∠CBG,BG=BE
∴△ABG≌△CBE,∴AG=CE.
∴AG : DF : CE=1::1.
23.
解:∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°,∠APB=∠BPC=∠CPA
∴∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,∴∠PCB+∠PBC=60°
又∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°,∴∠PCB=∠ABP
∴△PAB∽△PBC,∴=
即=,∴PB=
24.108°
解:设∠AOB=x,则∠C=∠D=180°-x
∠COD=180°-2∠C=2x-180°
∠A=∠B=(180°-x)
∵∠COD=∠A
∴2x-180°=(180°-x)
解得x=108°
O1
C
A
B
O2
25.2
解:如图,连结O1O2、AB,则有O1O2⊥AB于点C
在Rt△AO1C和Rt△ACO2中,AC 2=AO1 2-O1C 2=AO2 2-O2C 2
∴2 2-(±O2C)2=()2-O2C 2,∴O2C =0
即点O2在AB上且与点C重合,易知AB是圆O2的直径,△AO1B是等腰直角三角形
所以S阴影=×π×()2-(×π×2 2-×2 2)=2
26.
解:由已知条件得AB=4,BC=,CD=
∵所有的直角三角形都是相似三角形
∴RtCDC1的面积 : Rt△△ACD的面积=CD 2 : AC 2=()2 : 2 2=
从而Rt△tCDC1的面积 : 直角梯形ACC1D的面积=
叠加得所有阴影三角形的面积之和 : Rt△ABC的面积=
故所有阴影三角形的面积之和=××2×=
27.-
解:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x 2-(2m+4)x+m 2-10=0的两个不相等的实数根
故x1+x2=2m+4,x1x2=m 2-10
∴AB=|x1-x2|===
判别式△=(2m+4) 2-4(m 2-10)>0,解得m>-
∵y=x 2-(2m+4)x+m 2-10,∴-=m+2,==-4m-14
∴A(m+2,-4m-14)
由抛物线的对称性可知,AC=BC,若△ABC为直角三角形,则△ABC为等腰直角三角形
∴AB=2(4m+14),即=2(4m+14)
整理得8m 2+54m+91=0,即(2m+7)(4m+13)=0,解得m=-或m=-
∵m>-,∴m=-不合题意,舍去;而m=->-,符合题意
∴m=-
28.y=x 2+x-
解:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x 2-(2m+4)x+m 2-10=0的两个不相等的实数根
故x1+x2=2m+4,x1x2=m 2-10
∴AB=|x1-x2|===
判别式△=(2m+4) 2-4(m 2-10)>0,解得m>-
∵y=x 2-(2m+4)x+m 2-10,∴-=m+2,==-4m-14
∴A(m+2,-4m-14)
若△ABC为等边三角形,则4m+14=AB
∴4m+14=×,即4m+14=
整理得8m 2+50m+77=0,即(2m+7)(4m+11)=0,解得m=-或m=-
∵m>-,∴m=-不合题意,舍去;而m=->-,符合题意,∴m=-
把m=-代入y=x 2-(2m+4)x+m 2-10并整理得:y=x 2+x-
29.-
解:令x=0,得y=4,∴C(0,4)
设A(x1,0),B(x2,0),令y=ax 2+(+3a)x+4=0,解得x1=-3,x2=-
∴A(-3,0),B(-,0)
∴AB=|-+3|,AC===5,BC==
∴AB 2=|-+3|2=-+9,AC 2=25,BC 2=+16
①若∠ACB=90°,则AB 2=AC 2+BC 2,得-+9=25++16,解得a=-
当a=-时,点B的坐标为(,0),AB 2=,AC 2=25,BC 2=
于是AB 2=AC 2+BC 2
∴当a=-时,△ABC为直角三角形
②若∠ABC=90°,则AC 2=AB 2+BC 2,得25=-+9++16,解得a=
当a=时,-=-=-3,点B(-3,0)与点A重合,不合题意
③若∠BAC=90°,则BC 2=AB 2+AC 2,得+16=-+9+25,解得a=,不合题意
综上所述,当a=-时,△ABC为直角三角形.
B
A
D
E
F
C
G
30.
解:如图,将△BDE绕点D顺时针旋转90°,得到直角三角形GDC
故阴影部分的面积=×5×9=
31.2
解:由(-1,2),(0,-1),(1,2)可知该二次函数的图象的对称轴为y轴
因为(-2,11),所以由抛物线的对称性可知当x=2时,y=11,故算错的y值所对应的x=2
32.(0,-)
解:如图,过C点作CH⊥AB于点H,则CH与y轴的交点即为所求的G点,理由如下:
O
A
B
x
y
C
H
G
假设电子虫在y轴上运动的速度与它在GC上运动的速度相同,那么,要使电子虫在y轴上运动的时间不变,在y轴上所走的路程应该是原来的一半。因为∠BAO=30°,所以当CG⊥AB时,电子虫在y轴上所走的路程是原来的一半,即HG=AG
∵△ABC为等边三角形,AC=6,∴OC=3,∠BCH=30°
在Rt△OCG中,OG=OC·tan∠BCH=3tan30°=
∴G点的坐标为(0,-)
33.①②⑤
解:如图,过D作DG∥AC交BC的延长线于点G,连结BD,交EF于点H,则BH=DH
∵AD∥BC,DG∥AC,∴四边形ACGD是平行四边形
A
C
D
B
E
F
H
G
K
M
∴CG=AD=3,DG=AC
∵AB=DC,∴DB=AC=DG
∵DF⊥BC,∴BF=FG
∴FH是△BGD的中位线,∴FH∥DG
∴EF∥AC,故①对
BG=BC+CG=7+3=10
∵BF=DF,BF=FG,∴BF=DF=FG=5
∴S梯形ABCD =×(3+7)×5=25,故②对
∵DF⊥BC,∴△DBG、△DBF、△DFG都是等腰直角三角形,∴∠DBF=∠G=45°
FC=BC-BF=7-5=2,∴DC===,∴AB=
∵EF∥AC,∴==,∴AE=AB=
∴=,而==,∴≠
∴△AED与△DAC不相似,故③错
∵∠DBF=45°,∴∠DAC=∠D
∵△AED与△DAC不相似,∴∠AED≠∠DAC
又∠DAC=∠ACB=∠DBF=45°,∴∠AED≠45°
∵∠EBD=∠EDB,∠AED=∠EBD+∠EDB,∴∠EBD=∠AED
∴∠EBD≠22.5°,∴∠B≠67.5°,故④错
设AC与BD相交于点K,AC与DE相交于点M,则∠DKM=90°
∴∠DMC+∠EDB=90°,又∠DCM=∠EBD=∠EDB
∴∠DMC+∠DCM=90°,∴DE⊥DC,故⑤对
∵DBG是等腰直角三角形,∴DB==AC
∵EF∥AC,∴==,∴EF=AC=,故⑥错
综上所述,正确的结论是①②⑤
34.108°
解:∠EFG=∠DEF=24°,∠FGD=∠BGE=2∠DEF=48°
∠GFC=180°-48°=132°,∠CFE=132°-24°=108°
35.
解:如图,设盒子底面等边三角形的边长为x,盒子的高为y,则有:
x+y=10,∴x=10-y
由题意得:3xy=x 2,即3y=x,
∴3y=(10-y),解得:y=,代入得x=
盒子的容积V=×()2×=(cm3)
36.5
解:如图,过O分别作OE⊥AC于E,OF⊥BD于F,则四边形MEOF为矩形
O
A
C
B
D
E
F
M
∴OE 2+OF 2=MF 2+OF 2=OM 2=3
S四边形ABCD=AC·BM+AC·DM=AC·BD
≤×( AC 2+BD 2)=( 4AE 2+4BF 2)
=AE 2+BF 2=OA 2-OE 2+OB 2-OF 2
=2OA 2-(OE 2+OF 2)=2×2 2-3=5
故四边形ABCD的面积最大值为5
37.
解:如图,过O2作O2H⊥AB于H,连结O2A、O2O1
设AC=3k,则CD=4k,DB=2k,∴r1=2k,AO1=5k,O1B=4k,AB=9k,O2O1=r2-r1=r2-2k
∴HO1=5k-k=k
在Rt△O2AH中,O2H 2=O2A 2-AH 2=r22-(k)2在Rt△O2HO1中,∵O2H 2+HO12=O2O12
C
A
B
D
O2
O1
H
∴r22-(k)2+(k)2=(r2-2k)2,解得r2=6k
∴==
38.13
解:由x 3+y 3=19得(x+y)[(x+y)2-3xy]=19,把x+y=1代入,得xy=-6
所以x 2+y 2=(x+y)2-2xy=13
39.-1
解:易知C点坐标为(0,c),若△ABC是直角三角形,则∠C=90°
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程ax 2+bx+c=0的两个不相等的实数根
故x1+x2=-,x1x2=
∴AB 2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-4×=
AC 2=x12+c 2,BC 2=x22+c 2
由AC 2+BC 2=AB 2得x12+c 2+x22+c 2=,即(x1+x2)2-2x1x2+2c 2=
C
A
B
D
E
F
∴(-)2-2×+2c 2=
整理得ac=-1
40.4
解:如图,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADF,则AE=4
图1
O
B
A
C
图2
O
B
A
C
41.15°或75°
解:如图1,当AB、AC在OA的同侧时,∠BAC=15°;
如图2,当AB、AC在OA的异侧时,∠BAC=75°
42.
解:如图,设B(x1,0),C(x2,0)
令a(a+1)x 2-(2a+1)x+1=0,即(ax-1 )[(a+1)x-1]=0
O
B
x
y
A
C
D
∵a>0,∴x1=,x2=
∴BC=x2-x1=-=,BD=
又∵顶点A(,),∴AD=
A
B
N
M
O
P
A′
故tan∠ABC=tan∠ABD===
43.(-,-)
44.
解:如图,作点A关于MN的对称点A′,连结A′B,交MN于点P,连结OB、OA′,则PA+PB最小
易证∠A′OB=90°,所以△A′OB是等腰直角三角形
故PA+PB=PA′+PB=A′B=OB=MN=
45.E(,-)、F(,0),点P运动的总路径的长为
解:联立 解得
∵点A在点B的左侧,∴A(,-),B(1,-1)
抛物线的对称轴为x=,如图,作点A关于对称轴的对称点A′,点B关于x轴的对称点B′
则A′(0,-),B′(1,1)
设直线A′B′ 的解析式为y=kx+b,则:
解得
∴直线A′B′ 的解析式为y=x-,令y=0,得x=,∴直线A′B′ 与x轴的交点为F(,0)
把x=代入y=x-,得y=-,∴直线A′B′ 与直线x=的交点为E(,-)
O
B
x
y
A
C
F
E
A′
B′
H
故点E(,-)、F(,0)为所求
过点B 作BH ⊥ AA′ 的延长线于点H ,则A′ H=1,B′ H=
在Rt△A′B′ H中,A′B′==
∴点P运动的总路径的长为AE+EF+FB=A′B′=
46.
A
B
N
M
C
D
G
E
F
H
解:如图,延长AM交BC于H,设BC=1,则AC=2,AB=,从而CD=
由EC=AC=1=BC,∠GCE=∠ABC,可证Rt△GCE≌Rt△ABC
得CG=AB=,∴DG=,∴=
由Rt△FGD∽Rt△BCD得FG=·BC=
由M为CD中点得MG=MD+DG=+=,∴MG=4CM
设EN=x,则CH=2x
由△MNG∽△MHC得NG=·CH=8x
又由Rt△GCE≌Rt△ABC得EG=AC=2
而EG=EN+NG=x+8x=9x
∴9x=2,x=,即EN=
∴==
47.30
解:∵7 2+6 2=85=9 2+2 2,即BC 2+CD 2=DA 2+AB 2
∴△BCD与△DAB都是直角三角形
故S四边形ABCD=S△BCD+S△DAB=(7×6+9×2)=30
48.132
解:若11为直角边,设另一条直角边为a,斜边为c,则a 2+11 2=c 2
即(c+a)(c-a)=11 2=121×1
∴c+a=121,c-a=1,解得a=60,c=61,
∴三角形的周长为11+60+61=132
若11为斜边,设两条直角边分别为a,b,则a 2+b 2=11 2=121,方程无正整数解,这种情况不存在
故三角形的周长等于132
49.15
解:如图,设⊙O与AC相切于E点,连接OE,则OE⊥AC
A
B
C
D
O
E
F
过D作DF⊥AC于F,连结OD,则OE∥DF
∵AB=AC,OB=OD,∴∠B=∠C=∠ODB
∴OD∥AC,∴四边形ODFE是平行四边形
又OD=OE,∠OEF=90°,∴四边形ODFE是正方形,∴DF=OE
在Rt△AOE中,sinA==,∴OA=OE
又AB=OA+OB=16,∴OE+OE=16
∴OE=6,∴DF=6
故D到AC的距离为6
50.
A
B
C
D
O
解:如图,连结CO并延长交⊙O于D,连结BD,则CBD=90°
∴∠ABD=90°+∠B=∠A,∴=
∴=,∴AC=BD
∴CD=
故⊙O的半径为
A
B
O
6
1
1
6
x
y
51.(2,4),(3,3),(4,2)
解:(1)由图象可知,函数y=(x>0)的图象经过点A(1,6),可得k=6
设直线AB的解析式为y=ax+b,把A(1,6),B(1,6)代入,解得a=-1,b=7
∴直线AB的解析式为y=-x+7
故图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标为(2,4),(3,3),(4,2)
52.6
解:如图,设AF与BG相交于点H,则∠AHG=∠A+∠D+∠GA
B
C
D
E
F
G
H
于是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠B+∠C+∠E+∠F+∠AHG
=∠B+∠C+∠E+∠F+∠BHF=540°=6×90°
故n=6
53.-4
解:如图,设该圆锥模型的底面半径为x,扇形的半径为y,则x+x+y=
又∵扇形的弧长=圆形的周长,∴πy=2πx,∴y=4x
∴5x+x=,解得x=-4(cm)
54.
解:如图,∵DE⊥BE,∴DB是△DBE外接圆的直径,DB的中点O是外接圆的圆心
A
B
C
D
O
E
连结OE,则OE=OB,∴∠OEB=∠OBE
又∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC,∴AE是△DBE外接圆的切线
∴AE 2=AD·AB,即()2=6AB
∴AB=12,∴OE=OD=(12-6)=3,AO=6+3=9
∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC
∴=,即=,∴BC=4
∵∠DBE=∠EBC,∠DEB=∠ECB=90°,∴△DBE∽△EBC
A
B
C
D
I1
I2
E
F
∴=,即=,∴BE=
55.
解:如图,作I1E⊥AB于E,I2F⊥AB于F
在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,∴AB=5
∴CD=
又CD⊥AB,由射影定理可得AD=
∴BD=5-=,
∵I1E为Rt△ACD的内切圆的半径,∴I1E=(AD+CD-AC)=
同理可求得I2F=
连接DI1、DI2,则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线
∴∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°,∴∠I1DI2=90°
又I1D=I1E=,I2D=I2F=
故I1I2==
56.4;12
O
B
x
y
A
C
D
图1
解:设A(x1,0),B(x2,0)
当△ABC为等腰直角三角形时,显然∠ACB=90°
如图1,过C作CD⊥AB于D,则AB=2CD
∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=b 2-4ac>0
AB=|x1-x2|====
CD=
O
B
x
y
A
C
D
图2
∵a≠0,∴=
∵b 2-4ac≠0,∴=2
∴b 2-4ac=4
当△ABC为等边三角形时,如图2,过C作CD⊥AB于D,则CD=AB
即=,∴=
∴b 2-4ac=12
57.下,2
解:由上题知,当∠ACB=90°时,b 2-4ac=4
即k 2-4=4,∴k =±
∴y=x 2±x+1
因为向左或向右平移抛物线时,∠ACB的度数不变,所以只需将抛物线y=x 2±x+1向上或向下平移即可
设向上或向下平移后抛物线的解析式为y=x 2±x+1+m
由上题知,当∠ACB=60°时,b 2-4ac=12
即(±)2-4(1+m)=12,∴m=-2
故应将抛物线向下平移2个单位
A
C
O
B
x
y
E
58.+1
解:如图,取AC的中点E,连结BE、OE,则BE=,OE=1
若点O、E、B不在一条直线上,则OB<BE+OE=+1
若点O、E、B在一条直线上,则OB=BE+OE=+1
所以,当O、E、B三点在一条直线上时,点B到原点的距离最大,为+1
59.
解:方法同上题
60.-23
解:∵a、b是关于x的方程(x+1)2+3(x+1)-3=0的两个根,整理此方程,得
x 2+5x+1=0,∵△=25-4>0,∴a+b=-5,ab=1,故a、b均为负数
∵ ,
∴====-23
61.9
A
C
D
B
E
F
G
解:过E作EG∥AB交AC于G
∵FE∥AD,EG∥AB,AD是∠BAC的平分线,∴∠GEF=∠GFE
∴FG=EG=AB=
∵E是BC的中点,EG∥AB,∴GC=AC=
∴FC=FG+GC=+=9
62.20
解:由题设知a 2-8b≥0,4b 2-4a≥0,∴a 4≥64b 2,64b 2≥64a
∴a 4≥64a,b 2≥a,
∵a,b均为正数,∴a 3≥64,∴a≥4,∴b≥2
又当a=4,b=2时,抛物线y=x 2+ax+2b和y=x 2+2bx+a都与x轴有公共点
故a 2+b 2的最小值为20
63.3 : 4 : 8
解:由切线长定理可知,AD=AF,BD=BE,CE=CF
∴AD+BE+CF=(AB+BC+CA)=(7+12+11)=15
又AD+BD=AB=7,BE+CE=BC=12,CF+AF=CA=11
∴AD=15-12=3,BE=15-11=4,CF=15-7=8
∴AD : BE : CF=3 : 4 : 8
64.
B
C
D
E
A
O
F
解:如图,过D作DF∥AC交BE于F,则DF=CE=AE
由△AOE∽△DOF得==4
∴S△AOB =S△ADB =×S△ABC =
65.3 : 3 : 1,
B
C
F
E
A
D
P
Q
R
G
H
解:如图,过D作DG∥AB交CF于G,则△DCG∽△BCF
∴==,∴DG=BF=×AB=AB
∵DG∥AB,∴△AFR∽△DGR
∴AR : RD=AF : DG=AB : AB=6 : 1
∴AR =AD,RD=AD
过D作DH∥BE交AC于H,则==2
∴EH=EC=×AC=AC
又AE=AC,∴AP : PD=AE : EH=AC : AC=3 : 4
∴AP=AD,∴PR=AD
∴AP : PR : RD=AD : AD : AD=3 : 3 : 1
连结PF、PC,同理QR=CF
∴S△PQR =S△PFC =×S△AFC =××S△ABC =
66.30,6-
解:∵CD=AC,A′C=AC,∴CD=A′C
又∵∠A′=∠A=60°,∴△A′CD是等边三角形
∴∠A′CD=60°,∴∠ACA′=30°
故△ABC至少旋转30°才能得到△A′B′C
∵A′F=A′C-FC=AC-AC=2-,∴FE=A′F=-3
∴S△A′FE =(2-)(-3)=-6
S△A′CD =×2××2=
∴重叠部分(即四边形CDEF)的面积=S△A′CD -S△A′FE =-(-6)=6-
67.(-4,0)
解:把A(-1,6)代入y=,解得m=2
∴y=- ①
设直线AC的解析式为y=kx+b,把(-1,6)代入,得b=k+6
∴y=kx+k+6 ②
联立①②,解得
∴B(-,k)
∵AB=2BC,∴6-k=2k,∴k=2,∴b=8
∴直线AC的解析式为y=2x+8,令y=0,得x=-4
∴点C的坐标为(-4,0)
O
y
x
68.224
解:易知23、43是关于t的方程=1的两根
化简得:t 2-(x+y-33-53)t-(53x+33y-33·53)=0
由根与系数的关系得:23+43=x+y-33-53
∴x+y=23+33+43+53=224
69.12
解:如图,易知符合条件的格点为(5,0),(4,3),(3,4),(0,5),(-3,4),(-4,3),
(-5,0),(-4,-3),(-3,-4),(0,-5),(3,-4),(4,-3),共12个.
70.解:∵A′N∥OM,∴∠OMA′=∠MA′N
又∵∠MAN=∠MA′N,∴∠OMA′=∠MAN
∴MA′∥AB,∴Rt△MOA′∽Rt△AOB
∴==2,∴OM=2OA′
设OA′=x,则OM=2x,MA′=AM=2-2x
在Rt△MOA′ 中,由勾股定理得:x 2+4x 2=(2-2x)2
整理得:x 2+8x-4=0,解得x=--4(舍去)或x=-4
∴点A′ 的坐标为(-4,0)
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