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- 2021-11-06 发布
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开放性问题
一.选择题
1.
二.填空题
1.
三.解答题
1.(2020•广东省•10分)如题25图,抛物线y=与x轴交于点A.B,点A.B分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C.D,BC=CD.
(1)求B.c的值;
(2)求直线BD的直线解析式;
(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当△ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.
【答案】
解:(1)由题意得A(-1,0),B(3,0),代入抛物线解析式得
,解得
(2)过点D作DE⊥x轴交于点E
∵OC∥OC,BC=CD,OB=3
∴
∴OE=
∴点D的横坐标为xD=-
∵点D是射线BC与抛物线的交点
∴把xD=-代入抛物线解析式得yD=+1
∴D(-,+1)
设直线BD解析式为y=kx+m,将B(3,0)、D(-,+1)代入
,解得
∴直线BD的直线解析式为y=
(3)由题意得tan∠ABD=,tan∠ADB=1
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1,设对称轴与x轴交点为M,P(1,n)且n<0,Q(x,0)且x<3
①当△PBQ∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ABD即=,解得-n=
tan∠PQB=tan∠ADB,即=1,解得x=
②当△PQB∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ADB即=1,解得-n=2
tan∠QPB=tan∠ABD,即=,解得x=
③当△PQB∽△DAB时,tan∠PBQ=tan∠ABD即=,解得-n=
tan∠PQM=tan∠DAE,即=,解得x=
④当△PQB∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ABD即=1,解得-n=2
tan∠PQM=tan∠DAE,即=,解得x=
综上所述,Q1(,0)、Q2(,0)、Q3(,0)、Q4(,0)
【解析】分类讨论不重不漏,计算能力要求高
【考点】一次函数、二次函数、平面直角坐标系、相似三角形、三角函数、分类讨论、二次根式计算
2.(2020•广西省玉林市•12分)如图,已知抛物线:y1=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)直接写出点A,B,C的坐标;
(2)将抛物线y1经过向右与向下平移,使得到的抛物线y2与x轴交于B,B'两点(B'在B的右侧),顶点D的对应点为点D',若∠BD'B'=90°,求点B'的坐标及抛物线y2的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点Q在x轴上,则在抛物线y1或y2上是否存在点P,使以B′,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【分析】(1)令x=0或y1=0,解方程可得结论.
(2)设平移后的抛物线的解析式为y2=﹣(x﹣a)2+b,如图1中,过点D′作D′H⊥OB′于H.,连接BD′,B′D′.构建方程组解决问题即可.
(3)观察图象可知,当点P的纵坐标为3或﹣3时,存在满足条件的平行四边形.分别令y1和y2等于3或﹣3,解方程即可解决问题.
【解答】解:(1)对于y1=﹣x2﹣2x+3,令y1=0,得到﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,
∴A(﹣3,0),B(1,0),
令x=0,得到y1=3,
∴C(0,3).
(2)设平移后的抛物线的解析式为y2=﹣(x﹣a)2+b,
如图1中,过点D′作D′H⊥OB′于H,连接BD′.
∵D′是抛物线的顶点,
∴D′B=D′B′,D′(a,b),
∵∠BD′B′=90°,D′H⊥BB′,
∴BH=HB′,
∴D′H=BH=HB′=b,
∴a=1+b,
又∵y2=﹣(x﹣a)2+b,经过B(1,0),
∴b=(1﹣a)2,
解得a=2或1(不合题意舍弃),b=1,
∴B′(3,0),y2=﹣(x﹣2)2+1=﹣x2+4x﹣3.
(3)如图2中,
观察图象可知,当点P的纵坐标为3或﹣3时,存在满足条件的平行四边形.
对于y1=﹣x2﹣2x+3,令y1=3,x2+2x=0,解得x=0或﹣2,可得P1(﹣2,3),
令y1=﹣3,则x2+2x﹣6=0,解得x=﹣1,可得P2(﹣1﹣,﹣3),P3(﹣1+,﹣3),
对于y2=﹣x2+4x﹣3,令y2=3,方程无解,
令y2=﹣3,则x2﹣4x=0,解得x=0或4,可得P4(0,﹣3),P5(4,﹣3),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(﹣2,3)或(﹣1﹣,﹣3)或(﹣1+,﹣3)或(0,﹣3)或(4,﹣3).
【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,平行四边形的判定和性质,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
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