2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题20 三角形的边与角(命题的有关知识)(含解析) 16页

三角形的边与角(命题的有关知识) ‎ 一.选择题 ‎1. (2020•江苏省徐州市•3分)若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是(　　)‎ A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm ‎【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6－3＜x＜6+3，再解不等式即可．‎ ‎【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6－3＜x＜6+3，‎ 解得：3＜x＜9，故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．‎ ‎2. （2020年辽宁省辽阳市）6．（3分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．40°‎ ‎【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠3＝∠1＝20°，‎ ‎∵三角形是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．‎ ‎3 （2020•江苏省苏州市•3分）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则 的度数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．‎ ‎【详解】解：设=x°.‎ 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC， =AB.‎ ‎∴∠=∠B.‎ ‎∵，∴∠C=∠CA=x°.‎ ‎∴∠=∠C+∠CA=2x°.‎ ‎∴∠B=2x°.‎ ‎∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，‎ ‎∴x+2x+108=180.‎ 解得x=24.‎ ‎∴的度数为24°.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.‎ ‎4（2020•湖南省湘潭市·3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝（　　）‎ A．40° B．50° C．55° D．60°‎ ‎【分析】根据三角形的外角的性质进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，‎ ‎∴∠ACD＝∠B+∠A，‎ ‎∴∠A＝∠ACD﹣∠B，∠B＝50°，‎ ‎∴∠A＝60°，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键 ‎5. （2020年德州市）8．（4分）下列命题：‎ ‎①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定判断即可．‎ ‎【解答】解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．‎ ‎6. （2020年德州市）6．（4分）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）‎ A．80米 B．96米 C．64米 D．48米 ‎【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．‎ ‎【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，‎ 所以一共走了8×8＝64（米）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．‎ ‎7. （2020年内蒙古通辽市3分）4.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　)‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形，结合互余的定义判断即可．‎ ‎【详解】解：A.∠α与∠β互余，故本选项正确；‎ B.∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误；‎ C.∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误；‎ D.∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误；‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．8.‎ ‎（2020•广东省•3分）已知△ABC的周长为16，点D.E.F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF ‎ 的周长为 A．8   B．   C．16   D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】三角形的中位线等于第三边的一半．‎ ‎【考点】三角形中位线的性质．‎ www.czsx.com.cn ‎9（2020•广东省广州市•3分）中，点分别是的边，的中点，连接，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点分别是的边，的中点，得到DE是的中位线，根据中位线的性质解答.‎ ‎【详解】如图， ‎ ‎∵点分别是的边，的中点，‎ ‎∴DE是的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】此题考查三角形中位线的判定及性质，平行线的性质，熟记三角形的中位线的判定定理是解题的关键.‎ ‎10（2020•广西省玉林市•3分）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 ‎ C．直角三角形 D．等边三角形 ‎【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是等腰直角三角形．‎ ‎【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，‎ ‎∴∠DCA＝∠EAC＝35°，‎ ‎∵AE∥BF，‎ ‎∴CD∥BF，‎ ‎∴∠BCD＝∠CBF＝55°，‎ ‎∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ ‎∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣55°，＝35°，‎ ‎∵CD∥AE，‎ ‎∴∠EAC＝∠ACD＝35°，‎ ‎∴∠CAD＝∠EAD﹣∠CAE＝80°﹣35°＝45°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB﹣∠CAD＝45°，‎ ‎∴CA＝CB，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形、方向角，解决本题的关键是掌握方向角定义．‎ ‎11（2020•广西省玉林市•3分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　）‎ A．对顶角相等 ‎ B．两直线平行，同位角相等 ‎ C．全等三角形的对应角相等 ‎ D．正方形的四个角都相等 ‎【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．‎ ‎【解答】解：A，其逆命题是：两个相等的角是对顶角，故是假命题；‎ B，其逆命题是：同位角相等，两直线平行，故是真命题；‎ C，其逆命题是：对应角相等的两个三角形是全等三角形．大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等但不全等，故是假命题；‎ D，其逆命题是：四个角都相等的四边形是正方形，故是假命题；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．‎ 二.填空题 ‎ ‎. 1. （2020•江苏省南京市•2分）如图，线段AB.BC的垂直平分线11.l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　78°　．‎ ‎【分析】过O作射线BP，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO ‎＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．‎ ‎【解答】解：过O作射线BP，‎ ‎∵线段AB.BC的垂直平分线11.l2相交于点O，‎ ‎∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，‎ ‎∴∠DOE+∠ABC＝180°，‎ ‎∵∠DOE+∠1＝180°，‎ ‎∴∠ABC＝∠1＝39°，‎ ‎∵OA＝OB＝OC，‎ ‎∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，‎ ‎∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，‎ ‎∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°，‎ 故答案为：78°．‎ ‎【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．‎ ‎2.（2020•湖北襄阳•3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝　40　°．‎ ‎【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，‎ ‎∴∠B＝＝＝80°，‎ ‎∵∠ADC是△ABD的外角，‎ ‎∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，‎ ‎∵AD＝DC，‎ ‎∴∠C＝＝＝40°．‎ ‎【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．‎ ‎3.（2020•湖北省黄冈市•3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝　30　度．‎ ‎【分析】根据邻补角的定义得到∠EDC＝180°﹣135°＝45°，根据平行线的性质得到∠1＝∠ABC＝75°，根据三角形外角的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵∠CDF＝135°，‎ ‎∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，‎ ‎∵AB∥EF，∠ABC＝75°，‎ ‎∴∠1＝∠ABC＝75°，‎ ‎∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，‎ 故答案为：30．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．‎ ‎4. （2020•江苏省连云港市•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x 轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D.E，则△CDE面积的最小值为　2　．‎ ‎【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．‎ ‎【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．‎ ‎∵AC＝CB，AM＝OM，‎ ‎∴MC＝OB＝1，‎ ‎∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．‎ ‎∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D.E，‎ ‎∴D（4，0），E（0，﹣3），‎ ‎∴OD＝4，OE＝3，‎ ‎∴DE＝＝5，‎ ‎∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，‎ ‎∴△DNM∽△DOE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴MN＝，‎ 当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值＝×5×（﹣1）＝2，‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎ 5. (2020•江苏省泰州市•3分)如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　140°　．‎ ‎【分析】求出∠ACD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，求出∠DFB，根据三角形的外角性质求出即可．‎ ‎【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，∴∠ACD＝∠ACB－∠ACD＝90°－65°＝25°，∵∠A＝60°，∴∠DFB＝∠AFC＝180°－∠ACD－∠A＝180°－25°－60°＝95°，∵∠D＝45°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．‎ ‎6.（2020•湖北襄阳•3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝　40　°．‎ ‎【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，‎ ‎∴∠B＝＝＝80°，‎ ‎∵∠ADC是△ABD的外角，‎ ‎∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，‎ ‎∵AD＝DC，‎ ‎∴∠C＝＝＝40°．‎ ‎【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．‎ 三.解答题 ‎1. （2020•江苏省淮安市•12分）[初步尝试]‎ ‎（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为　AM＝BM　；‎ ‎[思考说理]‎ ‎（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；‎ ‎[拓展延伸]‎ ‎（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．‎ ‎①求线段AC的长；‎ ‎②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用平行线的方向的定理解决问题即可．‎ ‎（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可．‎ ‎（3）①证明△BCM∽△BAC，推出＝＝，由此即可解决问题．‎ ‎②证明△PFA′∽△MFC，推出＝，因为CM＝5，推出＝即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图①中，‎ ‎∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，‎ ‎∴MN垂直平分线段BC，‎ ‎∴CN＝BN，‎ ‎∵∠MNB＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴MN∥AC，‎ ‎∵CN＝BN，‎ ‎∴AM＝BM．‎ 故答案为AM＝BM．‎ ‎（2）如图②中，‎ ‎∵CA＝CB＝6，‎ ‎∴∠A＝∠B，‎ 由题意MN垂直平分线段BC，‎ ‎∴BM＝CM，‎ ‎∴∠B＝∠MCB，‎ ‎∴∠BCM＝∠A，‎ ‎∵∠B＝∠B，‎ ‎∴△BCM∽△BAC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BM＝，‎ ‎∴AM＝AB﹣BM＝10﹣＝，‎ ‎∴＝＝．‎ ‎（3）①如图③中，‎ 由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，‎ ‎∵∠ACB＝2∠A，‎ ‎∴∠BCM＝∠A，‎ ‎∵∠B＝∠B，‎ ‎∴△BCM∽△BAC，‎ ‎∴＝＝‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BM＝4，‎ ‎∴AM＝CM＝5，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AC＝．‎ ‎②如图③﹣1中，‎ ‎∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，‎ ‎∴△PFA′∽△MFC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵CM＝5，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵点P在线段OB上运动，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，‎ ‎∴≤PA′≤，‎ ‎∴≤≤．‎ ‎【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．‎