2020年福建省中考数学试卷【含答案】 10页

1 / 10 2020 年福建省中考数学试卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的． 1. − 1 5 的相反数是（ ） A.5 B.1 5 C.− 1 5 D.−5 2. 如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，面积为1的等边三角形퐴퐵퐶中，퐷，퐸，퐹分别是퐴퐵，퐵퐶，퐶퐴的中点，则△ 퐷퐸퐹的面积是（ ） A.1 B.1 2 C.1 3 D.1 4 4. 下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对 称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，퐴퐷是等腰三角形퐴퐵퐶的顶角平分线，퐵퐷＝5，则퐶퐷等于（ ） A.10 B.5 C.4 D.3 6. 如图，数轴上两点푀，푁所对应的实数分别为푚，푛，则푚 − 푛的结果可能是（ ） A.−1 B.1 C.2 D.3 7. 下列运算正确的是（ ） A.3푎2 − 푎2＝3 B.(푎 + 푏)2＝푎2 + 푏2 C.(−3푎푏2)2＝−6푎2푏4 D.푎 ⋅ 푎−1＝1(푎 ≠ 0) 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去 买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这 批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运 费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为푥株，则符 合题意的方程是（ ） A.3(푥 − 1) = 6210 푥 B.6210 푥−1 = 3 C.3푥 − 1 = 6210 푥 D.6210 푥 = 3 9. 如图，四边形퐴퐵퐶퐷内接于⊙ 푂，퐴퐵＝퐶퐷，퐴为퐵퐷̂ 中点，∠퐵퐷퐶＝60∘，则∠퐴퐷퐵 2 / 10 等于（ ） A.40∘ B.50∘ C.60∘ D.70∘ 10. 已知푃1(푥1, 푦1)，푃2(푥2, 푦2)是抛物线푦＝푎푥2 − 2푎푥上的点，下列命题正确的是 （ ） A.若|푥1 − 1| > |푥2 − 1|，则푦1 > 푦2 B.若|푥1 − 1| > |푥2 − 1|，则푦1 < 푦2 C.若|푥1 − 1|＝|푥2 − 1|，则푦1＝푦2 D.若푦1＝푦2，则푥1＝푥2 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分． 11. | − 8|＝________． 12. 若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则 甲被选到的概率为________． 13. 一个扇形的圆心角是90∘，半径为4，则这个扇形的面积为________．（结果保留 휋） 14. 2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新 了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在 海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的 高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度 可记为________米． 15. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠퐴퐵퐶＝________ 度． 16. 设퐴，퐵，퐶，퐷是反比例函数푦 = 푘 푥 图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形퐴퐵퐶퐷可以是平行四边形； ②四边形퐴퐵퐶퐷可以是菱形； ③四边形퐴퐵퐶퐷不可能是矩形； ④四边形퐴퐵퐶퐷不可能是正方形． 其中正确的是________． 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：{ 2푥 ≤ 6 − 푥, 3푥 + 1 > 2(푥 − 1). 3 / 10 18. 如图，点퐸，퐹分别在菱形퐴퐵퐶퐷的边퐵퐶，퐶퐷上，且퐵퐸＝퐷퐹．求证：∠퐵퐴퐸＝ ∠퐷퐴퐹． 19. 先化简，再求值：(1 − 1 푥+2) ÷ 푥2−1 푥+2 ，其中푥 = √2 + 1． 20. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万 元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每 月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销 售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 21. 如图，퐴퐵与⊙ 푂相切于点퐵，퐴푂交⊙ 푂于点퐶，퐴푂的延长线交⊙ 푂于点퐷，퐸是 퐵퐶퐷̂上不与퐵，퐷重合的点，sin퐴 = 1 2 ． 4 / 10 （1）求∠퐵퐸퐷的大小； （2）若⊙ 푂的半径为3，点퐹在퐴퐵的延长线上，且퐵퐹＝3√3，求证：퐷퐹与⊙ 푂相切． 22. 为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干 部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照 农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未 脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的 条形图． （1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于 2000元（不含2000元）的户数； （2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值； （3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均 月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫， 当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实 施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加 170元． 已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区 所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫． 5 / 10 23. 如图，퐶为线段퐴퐵外一点． （1）求作四边形퐴퐵퐶퐷，使得퐶퐷 // 퐴퐵，且퐶퐷＝2퐴퐵；（要求：尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐶，퐵퐷相交于点푃，퐴퐵，퐶퐷的中点分别为푀，푁， 求证：푀，푃，푁三点在同一条直线上． 24. 如图，△ 퐴퐷퐸由△ 퐴퐵퐶绕点퐴按逆时针方向旋转90∘得到，且点퐵的对应点퐷恰好 落在퐵퐶的延长线上，퐴퐷，퐸퐶相交于点푃． （1）求∠퐵퐷퐸的度数； （2）퐹是퐸퐶延长线上的点，且∠퐶퐷퐹＝∠퐷퐴퐶． ①判断퐷퐹和푃퐹的数量关系，并证明； ②求证：퐸푃 푃퐹 = 푃퐶 퐶퐹 ． 6 / 10 25. 已知直线푙1: 푦＝−2푥 + 10交푦轴于点퐴，交푥轴于点퐵，二次函数的图象过퐴，퐵两 点，交푥轴于另一点퐶，퐵퐶＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点푃1(푥1, 푦1)， 푃2(푥2, 푦2)，当푥1 > 푥2 ≥ 5时，总有푦1 > 푦2． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线푙2: 푦＝푚푥 + 푛(푛 ≠ 10)，求证：当푚＝−2时，푙2 // 푙1； （3）퐸为线段퐵퐶上不与端点重合的点，直线푙3: 푦＝−2푥 + 푞过点퐶且交直线퐴퐸于点퐹， 求△ 퐴퐵퐸与△ 퐶퐸퐹面积之和的最小值． 7 / 10 参考答案与试题解析 2020 年福建省中考数学试卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的． 1.B 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.D 8.A 9.A 10.C 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分． 11.8 12.1 3 13.4휋 14.−10907 15.30 16.①④ 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.解不等式①，得：푥 ≤ 2， 解不等式②，得：푥 > −3， 则不等式组的解集为−3 < 푥 ≤ 2． 18.证明：四边形퐴퐵퐶퐷是菱形， ∴ ∠퐵＝∠퐷，퐴퐵＝퐴퐷， 在△ 퐴퐵퐸和△ 퐴퐷퐹中， { 퐴퐵 = 퐴퐷 ∠퐵 = ∠퐷 퐵퐸 = 퐷퐹 ， ∴ △ 퐴퐵퐸 ≅△ 퐴퐷퐹(푆퐴푆)， ∴ ∠퐵퐴퐸＝∠퐷퐴퐹． 19.原式= 푥+2−1 푥+2 ⋅ 푥+2 (푥+1)(푥−1) = 1 푥−1 ， 当푥 = √2 + 1时，原式= 1 √2+1−1 = √2 2 ． 20.这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨； 该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元 21.连接푂퐵，如图1， ∵ 퐴퐵与⊙ 푂相切于点퐵， ∴ ∠퐴퐵푂＝90∘， ∵ sin퐴 = 1 2 ， ∴ ∠퐴＝30∘， ∴ ∠퐵푂퐷＝∠퐴퐵푂 + ∠퐴＝120∘， ∴ ∠퐵퐸퐷 = 1 2 ∠퐵푂퐷＝60∘； 8 / 10 连接푂퐹，푂퐵，如图2， ∵ 퐴퐵是切线， ∴ ∠푂퐵퐹＝90∘， ∵ 퐵퐹＝3√3，푂퐵＝3， ∴ tan∠퐵푂퐹 = 퐵퐹 푂퐵 = √3， ∴ ∠퐵푂퐹＝60∘， ∵ ∠퐵푂퐷＝120∘， ∴ ∠퐵푂퐹＝∠퐷푂퐹＝60∘， 在△ 퐵푂퐹和△ 퐷푂퐹中， { 푂퐵 = 푂퐷 ∠퐵푂퐹 = ∠퐷푂퐹 푂퐹 = 푂퐹 ， ∴ △ 퐵푂퐹 ≅△ 퐷푂퐹(푆퐴푆)， ∴ ∠푂퐵퐹＝∠푂퐷퐹＝90∘， ∴ 퐷퐹与⊙ 푂相切． 22.根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000 元（不含2000元）的户数为： 1000 × 6 50 = 120； 根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为： 1 50 × (1.5 × 6 + 2.0 × 8 + 2.2 × 10 + 2.5 × 12 + 3.0 × 9 + 3.2 × 5) ＝2.4（千元）； 根据题意，得， 2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下： 由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于： 500 + 300 + 150 + 200 + 300 + 450 + 620 + 790 + 960 + 1130 + 1300 + 1470 > 960 + 1130 + 1300 + 1470 > 4000． 所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫． 23.如图，四边形퐴퐵퐶퐷即为所求； 如图， 9 / 10 ∵ 퐶퐷 // 퐴퐵， ∴ ∠퐴퐵푃＝∠퐶퐷푃，∠퐵퐴푃＝∠퐷퐶푃， ∴ △ 퐴퐵푃 ∽△ 퐶퐷푃， ∴ 퐴퐵 퐶퐷 = 퐴푃 푃퐶 ， ∵ 퐴퐵，퐶퐷的中点分别为푀，푁， ∴ 퐴퐵＝2퐴푀，퐶퐷＝2퐶푁， ∴ 퐴푀 퐶푁 = 퐴푃 푃퐶 ， 连接푀푃，푁푃， ∵ ∠퐵퐴푃＝∠퐷퐶푃， ∴ △ 퐴푃푀 ∽△ 퐶푃푁， ∴ ∠퐴푃푀＝∠퐶푃푁， ∵ 点푃在퐴퐶上， ∴ ∠퐴푃푀 + ∠퐶푃푀＝180∘， ∴ ∠퐶푃푁 + ∠퐶푃푀＝180∘， ∴ 푀，푃，푁三点在同一条直线上． 24.∵ △ 퐴퐷퐸由△ 퐴퐵퐶绕点퐴按逆时针方向旋转90∘得到， ∴ 퐴퐵＝퐴퐷，∠퐵퐴퐷＝90∘，△ 퐴퐵퐶 ≅△ 퐴퐷퐸， 在푅푡 △ 퐴퐵퐷中，∠퐵＝∠퐴퐷퐵＝45∘， ∴ ∠퐴퐷퐸＝∠퐵＝45∘， ∴ ∠퐵퐷퐸＝∠퐴퐷퐵 + ∠퐴퐷퐸＝90∘． ①퐷퐹＝푃퐹． 证明：由旋转的性质可知，퐴퐶＝퐴퐸，∠퐶퐴퐸＝90∘， 在푅푡 △ 퐴퐶퐸中，∠퐴퐶퐸＝∠퐴퐸퐶＝45∘， ∵ ∠퐶퐷퐹＝∠퐶퐴퐷，∠퐴퐶퐸＝∠퐴퐷퐵＝45∘， ∴ ∠퐴퐷퐵 + ∠퐶퐷퐹＝∠퐴퐶퐸 + ∠퐶퐴퐷， 即∠퐹푃퐷＝∠퐹퐷푃， ∴ 퐷퐹＝푃퐹． ②证明：过点푃作푃퐻 // 퐸퐷交퐷퐹于点퐻， ∴ ∠퐻푃퐹＝∠퐷퐸푃，퐸푃 푃퐹 = 퐷퐻 퐻퐹 ， ∵ ∠퐷푃퐹＝∠퐴퐷퐸 + ∠퐷퐸푃＝45∘ + ∠퐷퐸푃， ∠퐷푃퐹＝∠퐴퐶퐸 + ∠퐷퐴퐶＝45∘ + ∠퐷퐴퐶， ∴ ∠퐷퐸푃＝∠퐷퐴퐶， 又∵ ∠퐶퐷퐹＝∠퐷퐴퐶， ∴ ∠퐷퐸푃＝∠퐶퐷퐹， ∴ ∠퐻푃퐹＝∠퐶퐷퐹， 又∵ 퐹퐷＝퐹푃，∠퐹＝∠퐹， ∴ △ 퐻푃퐹 ≅△ 퐶퐷퐹(퐴푆퐴)， ∴ 퐻퐹＝퐶퐹， ∴ 퐷퐻＝푃퐶， 又∵ 퐸푃 푃퐹 = 퐷퐻 퐻퐹 ， 10 / 10 ∴ 퐸푃 푃퐹 = 푃퐶 퐶퐹 ． 25.∵ 直线푙1: 푦＝−2푥 + 10交푦轴于点퐴，交푥轴于点퐵， ∴ 点퐴(0,  10)，点퐵(5,  0)， ∵ 퐵퐶＝4， ∴ 点퐶(9,  0)或点퐶(1,  0)， ∵ 点푃1(푥1, 푦1)，푃2(푥2, 푦2)，当푥1 > 푥2 ≥ 5时，总有푦1 > 푦2． ∴ 当푥 ≥ 5时，푦随푥的增大而增大， 当抛物线过点퐶(9,  0)时，则当5 < 푥 < 7时，푦随푥的增大而减少，不合题意舍去， 当抛物线过点퐶(1,  0)时，则当푥 > 3时，푦随푥的增大而增大，符合题意， ∴ 设抛物线解析式为：푦＝푎(푥 − 1)(푥 − 5)，过点퐴(0,  10)， ∴ 10＝5푎， ∴ 푎＝2， ∴ 抛物线解析式为：푦＝2(푥 − 1)(푥 − 5)＝2푥2 − 12푥 + 10； 当푚＝−2时，直线푙2: 푦＝−2푥 + 푛(푛 ≠ 10)， ∴ 直线푙2: 푦＝−2푥 + 푛(푛 ≠ 10)与直线푙1: 푦＝−2푥 + 10不重合， 假设푙1与푙2不平行，则푙1与푙2必相交，设交点为푃(푥푃, 푦푃)， ∴ { 푦푃 = −2푥푃 + 푛 푦푃 = −2푥푃 + 10 解得：푛＝10， ∵ 푛＝10与已知푛 ≠ 10矛盾， ∴ 푙1与푙2不相交， ∴ 푙2 // 푙1； 如图， 、 ∵ 直线푙3: 푦＝−2푥 + 푞过点퐶， ∴ 0＝−2 × 1 + 푞， ∴ 푞＝2， ∴ 直线푙3，解析式为퐿: 푦＝−2푥 + 2， ∴ 푙3 // 푙1， ∴ 퐶퐹 // 퐴퐵， ∴ ∠퐸퐶퐹＝∠퐴퐵퐸，∠퐶퐹퐸＝∠퐵퐴퐸， ∴ △ 퐶퐸퐹 ∽△ 퐵퐸퐴， ∴ 푆△퐶퐸퐹 푆△퐴퐵퐸 = (퐶퐸 퐵퐸)2， 设퐵퐸＝푡(0 < 푡 < 4)，则퐶퐸＝4 − 푡， ∴ 푆△퐴퐵퐸 = 1 2 × 푡 × 10＝5푡， ∴ 푆△퐶퐸퐹＝(퐶퐸 퐵퐸)2 × 푆△퐴퐵퐸＝(4−푡 푡 )2 × 5푡 = 5(4−푡)2 푡 ， ∴ 푆△퐴퐵퐸 + 푆△퐶퐸퐹＝5푡 + 5(4−푡)2 푡 = 10푡 + 80 푡 − 40＝10(√푡 − 2√2 √푡 )2 + 40√2 − 40， ∴ 当푡＝2√2时，푆△퐴퐵퐸 + 푆△퐶퐸퐹的最小值为40√2 − 40．