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  • 2021-11-10 发布

第章第节垂直于弦的直径导学案

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‎《圆》第一节 垂直于弦的直径导学案1‎ 主编人: 主审人:‎ 班级: 学号: 姓名: ‎ 学习目标:‎ ‎【知识与技能】‎ ‎1理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及其他结论 ‎2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题 ‎3了解拱高、弦心距等概念 ‎【过程与方法】‎ 经历探索发现圆的对称性,证明垂径定理及其他结论的过程,锻炼思维品质,学习证明的方法 ‎【情感、态度与价值观】‎ 在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后,还要求对发现的性质进行证明,培养学生的 新意识,良好的运用数学 ‎【重点】‎ 垂径定理及其推论 ‎【难点】‎ 垂径定理及其推论 学习过程:‎ 一、自主学习 ‎(一)复习巩固 ‎ 判断:‎ ‎1、直径是弦,弦是直径。 ( ) 2、半圆是弧,弧是半圆。 ( )‎ ‎3、周长相等的两个圆是等圆。 ( ) 4、长度相等的两条弧是等弧。 ( )‎ ‎5、同一条弦所对的两条弧是等弧。( ) 6、在同圆中,优弧一定比劣弧长。( )‎ ‎7、请在图上画出弦CD,直径AB.并说明___________________________叫做弦;‎ ‎_________________________________ 叫做直径.‎ ‎8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧:___ _ ‎ 半圆:_________________________ 优弧:________________ _ 表示方法:__ ‎ 劣弧:______________________________ _,表示方法:______ ‎ ‎9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _. ‎ ‎10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________ ‎ ‎(二)自主探究 请同学按下面要求完成下题:‎ 如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.‎ ‎(1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?‎ 4‎ 圆是 对称图形,其对称轴是任意一条过 的直线. ‎ ‎(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?‎ ‎ 相等的线段: ‎ ‎ ‎ 相等的弧: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 这样,我们就得到垂径定理:‎ 垂直于 的直径平分弦,并且平分弦所对的两条 .‎ 表达式: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 下面我们用逻辑思维给它证明一下:‎ ‎ 已知:直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M ‎ 求证:AM=BM,弧AC=BC,弧AD=BD.‎ ‎ 分析:要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此,只要连结OA、OB或AC、BC即可.‎ 证明:如图,连结OA、OB,则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴Rt△OAM≌Rt△OBM( )‎ ‎ ∴AM= ‎ D ‎ ∴点 和点 关于CD对称 ‎ ∵⊙O关于CD对称 ‎ ∴当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,弧AC与BC重合,AD与CD重合.‎ ‎∴ , , ‎ ‎ 进一步,我们还可以得到结论:‎ 平分弦( )的直径垂直于 ,并且平分弦所对的两条 .‎ 表达式: ‎ ‎ ‎ ‎(三)、归纳总结:‎ ‎ 1.圆是 图形,任何一条 所在直线都是它的对称轴.‎ ‎2.垂径定理 ‎ 推论 .‎ ‎(四)自我尝试:‎ ‎1、辨析题:下列各图,能否得到AE=BE的结论?为什么?‎ C O O O E E B O A A B E B A D D A E B D R E D B A C ‎2、赵州桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为‎37.4m 4‎ ‎,拱高(弧的中点到弦的距离)为‎7.2m,你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗?‎ 注:在半径r,弦a,弦心距d,拱高h四个量中,任意知道其中的 个量中,‎ 利用 定理,就可以求出其余的量。‎ ‎3、如图,两圆都以点O为圆心,求证AC=BD 二、教师点拔 ‎1、圆是轴对称图形,经过圆心的 都是它的对称轴。由此可得出垂径定理:垂直于弦的直径 弦,并且 弦所对的两条弧。平分弦(不是直径)的直径 于弦,并且 弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个,那么也就具备其他三个及其推论,可以概括如下,对于一个圆和一条直线来说,如果一条直线具备① 经过圆心,② 垂直于弦, ③平分弦(不是直径),④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧,五个条件中的任何两个,那么也就具备了其他三个。在圆的有关计算和证明中,常作圆心到 的垂线段,这样不仅为利用垂径定理创造条件,而且为构造直角三角形利用勾股定理,沟通已知与未知量之间的关系创造条件。‎ ‎ 2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。‎ 三、课堂检测 O A B E ‎1、如图,在⊙O中,弦AB的长为‎8cm,圆心O到AB的距离为‎3cm,求⊙O的半径。‎ 4‎ ‎2、如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形。‎ O B A C E D 四、课外训练 ‎1.P为⊙O内一点,OP=‎3cm,⊙O半径为‎5cm,则经过P点的最短弦长为________;最长弦长为_______.‎ ‎2.如图5,OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距,如果OE=OF,那么_______(只需写一个正确的结论)‎ ‎ ‎ ‎ (5) (6)‎ ‎3.如图6,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,则弦CD长 ‎ ‎4.如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中CD,点O是CD弧所在圆的圆心,其中CD=‎300m,E为CD弧上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=‎45m,求这段弯路的半径.‎ ‎ ‎ M M O A B C D ‎5.AB和CD分别是⊙O上的两条弦,圆心O到它们的距离分别是OM和ON,如果AB>CD,OM和ON的大小有什么关系?为什么?‎ 4‎