2020年河南省中考数学试卷【含答案】 10页

1 / 10 2020 年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正 确的． 1. 2的相反数是（ ） A.−2 B.− 1 2 C.1 2 D.2 2. 如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A.中央电视台《开学第一课》的收视率 B.某城市居民6月份人均网上购物的次数 C.即将发射的气象卫星的零部件质量 D.某品牌新能源汽车的最大续航里程 4. 如图，푙1 // 푙2，푙3 // 푙4，若∠1＝70∘，则∠2的度数为（ ） A.100∘ B.110∘ C.120∘ D.130∘ 5. 电子文件的大小常用퐵，퐾퐵，푀퐵，퐺퐵等作为单位，其中1퐺퐵＝210푀퐵，1푀퐵＝ 210퐾퐵，1퐾퐵＝210퐵．某视频文件的大小约为1퐺퐵，1퐺퐵等于（ ） A.230퐵 B.830퐵 C.8 × 1010퐵 D.2 × 1030퐵 6. 若点퐴(−1, 푦1)，퐵(2, 푦2)，퐶(3, 푦3)在反比例函数푦 = − 6 푥 的图象上，则푦1，푦2， 푦3的大小关系是（ ） A.푦1 > 푦2 > 푦3 B.푦2 > 푦3 > 푦1 C.푦1 > 푦3 > 푦2 D.푦3 > 푦2 > 푦1 7. 定义运算：푚☆푛＝푚푛2 − 푚푛 − 1．例如：4☆2＝4 × 22 − 4 × 2 − 1＝7．则方程 1☆푥＝0的根的情况为（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 8. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国 快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的 年平均增长率为푥，则可列方程为（ ） A.500(1 + 2푥)＝7500 B.5000 × 2(1 + 푥)＝7500 C.5000(1 + 푥)2＝7500 D.5000 + 5000(1 + 푥) + 5000(1 + 푥)2＝7500 9. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵＝90∘，边퐵퐶在푥轴上，顶点퐴，퐵的坐标分别为 (−2,  6)和(7,  0)．将正方形푂퐶퐷퐸沿푥轴向右平移，当点퐸落在퐴퐵边上时，点퐷的坐标 为（ ） A.(3 2 ,  2) B.(2,  2) C.(11 4 ,  2) D.(4,  2) 10. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝퐵퐶 = √3，∠퐵퐴퐶＝30∘，分别以点퐴，퐶为圆心，퐴퐶的 长为半径作弧，两弧交于点퐷，连接퐷퐴，퐷퐶，则四边形퐴퐵퐶퐷的面积为（ ） 2 / 10 A.6√3 B.9 C.6 D.3√3 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 写出一个大于1且小于2的无理数________． 12. 已知关于푥的不等式组{푥 > 푎, 푥 > 푏, 其中푎，푏在数轴上的对应点如图所示，则这个不 等式组的解集为________． 13. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种 颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区 域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是________． 14. 如图，在边长为2√2的正方形퐴퐵퐶퐷中，点퐸，퐹分别是边퐴퐵，퐵퐶的中点，连接 퐸퐶，퐹퐷，点퐺，퐻分别是퐸퐶，퐹퐷的中点，连接퐺퐻，则퐺퐻的长度为________． 15. 如图，在扇形퐵푂퐶中，∠퐵푂퐶＝60∘，푂퐷平分∠퐵푂퐶交퐵퐶̂ 于点퐷，点퐸为半径푂퐵 上一动点．若푂퐵＝2，则阴影部分周长的最小值为________． 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16. 先化简，再求值：(1 − 1 푎+1) ÷ 푎 푎2−1 ，其中푎 = √5 + 1． 17. 为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分 装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分 装的标准质量为每袋500푔，与之相差大于10푔为不合格．为检验分装效果，工厂对这 两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下： [收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位： 푔）如下： 甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量푥(푔)的频数分布表． 质 量 485 ≤ 푥 < 490 490 ≤ 푥 < 495 495 ≤ 푥 < 500 500 ≤ 푥 < 505 505 ≤ 푥 < 510 510 ≤ 푥 < 515 3 / 10 频 数 机 器 甲 2 2 4 7 4 1 乙 1 3 5 7 3 1 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量． 统计量 机器 平均数 中位数 方差 不合格率 甲 499.7 501.5 42.01 푏 乙 499.7 푎 31.81 10% 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的푎＝________，푏＝________； （2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由． 18. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化 遗产之一． 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们 在地面一条水平步道푀푃上架设测角仪，先在点푀处测得观星台最高点퐴的仰角为22∘， 然后沿푀푃方向前进16푚到达点푁处，测得点퐴的仰角为45∘．测角仪的高度为1.6푚． （1）求观星台最高点퐴距离地面的高度（结果精确到0.1푚．参考数据：sin22∘ ≈ 0.37，cos22∘ ≈ 0.93，tan22∘ ≈ 0.40，√2 ≈ 1.41）； （2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6푚．请计算本次测量结果的误差，并提 出一条减小误差的合理化建议． 4 / 10 19. 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身푥（次），按照方案一所需费用为푦1（元），且푦1＝푘1푥 + 푏；按照方 案二所需费用为푦2（元），且푦2＝푘2푥．其函数图象如图所示． （1）求푘1和푏的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和푘2的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？ 说明理由． 20. 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意 角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要， 发明了一种简易操作工具--三分角器．图1是它的示意图，其中퐴퐵与半圆푂的直径퐵퐶 在同一直线上，且퐴퐵的长度与半圆的半径相等；퐷퐵与퐴퐶垂直于点퐵，퐷퐵足够长． 使用方法如图2所示，若要把∠푀퐸푁三等分，只需适当放置三分角器，使퐷퐵经过 ∠푀퐸푁的顶点퐸，点퐴落在边퐸푀上，半圆푂与另一边퐸푁恰好相切，切点为퐹，则퐸퐵， 퐸푂就把∠푀퐸푁三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和 “求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点퐴，퐵，푂，퐶在同一直线上，퐸퐵 ⊥ 퐴퐶，垂足为点퐵，________． 求证：________． 5 / 10 21. 如图，抛物线푦＝−푥2 + 2푥 + 푐与푥轴正半轴，푦轴正半轴分别交于点퐴，퐵，且푂퐴 ＝푂퐵，点퐺为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点퐺的坐标； （2）点푀，푁为抛物线上两点（点푀在点푁的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单 位长度和5个单位长度，点푄为抛物线上点푀，푁之间（含点푀，푁）的一个动点，求 点푄的纵坐标푦푄的取值范围． 22. 小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点퐷是퐵퐶̂ 上一动点，线段퐵퐶＝8푐푚，点퐴是线段퐵퐶的中点，过点퐶作퐶퐹 // 퐵퐷， 交퐷퐴的延长线于点퐹．当△ 퐷퐶퐹为等腰三角形时，求线段퐵퐷的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的 经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点퐷在퐵퐶̂ 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段퐵퐷，퐶퐷，퐹퐷的长度， 得到下表的几组对应值． 퐵퐷/푐푚 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 퐶퐷/푐푚 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 푎 3.9 2.4 0 6 / 10 퐹퐷/푐푚 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点퐷为퐵퐶̂ 的中点时，퐵퐷＝5.0푐푚”．则上表中푎的值是________； ②“线段퐶퐹的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由． （2）将线段퐵퐷的长度作为自变量푥，퐶퐷和퐹퐷的长度都是푥的函数，分别记为푦퐶퐷和 푦퐹퐷，并在平面直角坐标系푥푂푦中画出了函数푦퐹퐷的图象，如图所示．请在同一坐标系 中画出函数푦퐶퐷的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△ 퐷퐶퐹为 等腰三角形时，线段퐵퐷长度的近似值（结果保留一位小数）． 7 / 10 23. 将正方形퐴퐵퐶퐷的边퐴퐵绕点퐴逆时针旋转至퐴퐵′，记旋转角为훼，连接퐵퐵′，过点퐷 作퐷퐸垂直于直线퐵퐵′，垂足为点퐸，连接퐷퐵′，퐶퐸． （1）如图1，当훼＝60∘时，△ 퐷퐸퐵′的形状为________，连接퐵퐷，可求出퐵퐵′ 퐶퐸 的值为 ________； （2）当0∘ < 훼 < 360∘且훼 ≠ 90∘时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不 成立，请说明理由； ②当以点퐵′，퐸，퐶，퐷为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 퐵퐸 퐵′퐸 的值． 8 / 10 参考答案与试题解析 2020 年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正 确的． 1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.C 9.B 10.D 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11.√3 12.푥 > 푎 13.1 4 14.1 15.6√2+휋 3 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16.(1 − 1 푎+1) ÷ 푎 푎2−1 = 푎 + 1 − 1 푎 + 1 × (푎 − 1)(푎 + 1) 푎 ＝푎 − 1， 把푎 = √5 + 1代入푎 − 1 = √5 + 1 − 1 = √5． 17.501,15% 选择乙机器，理由：乙的不合格率较小， 18.过퐴作퐴퐷 ⊥ 푃푀于퐷，延长퐵퐶交퐴퐷于퐸， 则四边形퐵푀푁퐶，四边形퐵푀퐷퐸是矩形， ∴ 퐵퐶＝푀푁＝16푚，퐷퐸＝퐶푁＝퐵푀＝1.6푚， ∵ ∠퐴퐸퐶＝90∘，∠퐴퐶퐸＝45∘， ∴ △ 퐴퐶퐸是等腰直角三角形， ∴ 퐶퐸＝퐴퐸， 设퐴퐸＝퐶퐸＝푥， ∴ 퐵퐸＝16 + 푥， ∵ ∠퐴퐵퐸＝22∘， ∴ tan22∘ = 퐴퐸 퐵퐸 = 푥 16+푥 = 0.40， ∴ 푥 ≈ 10.7(푚)， ∴ 퐴퐷＝10.7 + 1.6＝12.3(푚)， 答：观星台最高点퐴距离地面的高度约为12.3푚； ∵ “景点简介”显示，观星台的高度为12.6푚， ∴ 本次测量结果的误差为12.6 − 12.3＝0.3푚， 减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法． 19.∵ 푦1＝푘1푥 + 푏过点(0,  30)，(10,  180)， ∴ { 푏 = 30 10푘1 + 푏 = 180 ，解得{푘1 = 15 푏 = 30 ， 푘1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， 9 / 10 푏＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； 由题意可得，打折前的每次健身费用为15 ÷ 0.6＝25（元）， 则푘2＝25 × 0.8＝20； 选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，푦1＝15푥 + 30，푦2＝20푥． 当健身8次时， 选择方案一所需费用：푦1＝15 × 8 + 30＝150（元）， 选择方案二所需费用：푦2＝20 × 8＝160（元）， ∵ 150 < 160， ∴ 选择方案一所需费用更少． 20.퐴퐵＝푂퐵，퐸푁切半圆푂于퐹,퐸퐵，퐸푂就把∠푀퐸푁三等分 21.∵ 抛物线푦＝−푥2 + 2푥 + 푐与푦轴正半轴分别交于点퐵， ∴ 点퐵(0,  푐)， ∵ 푂퐴＝푂퐵＝푐， ∴ 点퐴(푐,  0)， ∴ 0＝−푐2 + 2푐 + 푐， ∴ 푐＝3或0（舍去）， ∴ 抛物线解析式为：푦＝−푥2 + 2푥 + 3， ∵ 푦＝−푥2 + 2푥 + 3＝−(푥 − 1)2 + 4， ∴ 顶点퐺为(1,  4)； ∵ 푦＝−푥2 + 2푥 + 3＝−(푥 − 1)2 + 4， ∴ 对称轴为直线푥＝1， ∵ 点푀，푁为抛物线上两点（点푀在点푁的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单 位长度和5个单位长度， ∴ 点푀的横坐标为−2或4，点푁的横坐标为6， ∴ 点푀坐标为(−2, −5)或(4, −5)，点푁坐标(6, −21)， ∵ 点푄为抛物线上点푀，푁之间（含点푀，푁）的一个动点， ∴ −21 ≤ 푦푄 ≤ 4或−21 ≤ 푦푄 ≤ −5． 22.5.0 ∵ 点퐴是线段퐵퐶的中点， ∴ 퐴퐵＝퐴퐶， ∵ 퐶퐹 // 퐵퐷， ∴ ∠퐹＝∠퐵퐷퐴， 又∵ ∠퐵퐴퐷＝∠퐶퐴퐹， ∴ △ 퐵퐴퐷 ≅△ 퐶퐴퐹(퐴퐴푆)， ∴ 퐵퐷＝퐶퐹， ∴ 线段퐶퐹的长度无需测量即可得到； 由题意可得： (1)由题意画出函数푦퐶퐹的图象； 10 / 10 由图象可得：퐵퐷＝3.8푐푚或5.0푐푚或6.2푐푚时，△ 퐷퐶퐹为等腰三角形． 23.等腰直角三角形,√2 可知△ 퐵′퐸퐷是等腰直角三角形， ∴ 퐵′퐷 = √2퐵′퐸， 由（1）①可知△ 퐵퐷퐵′ ∽△ 퐶퐷퐸，且퐵퐵′ = √2퐶퐸． ∴ 퐵퐸 퐵′퐸 = 퐵′퐵+퐵′퐸 퐵′퐸 = 퐵퐵′ 퐵′퐸 + 1 = √2퐶퐸 퐵′퐸 + 1 = √2퐵′퐷 퐵′퐸 + 1 = √2 × √2 + 1＝3． 若퐶퐷为平行四边形的一边，如图3， 点퐸与点퐴重合， ∴ 퐵퐸 퐵′퐸 = 1． 综合以上可得 퐵퐸 퐵′퐸 = 3或1