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- 2021-11-10 发布
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福建省 2020 年中考数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合要求的.
1.有理数 1
5
的相反数为( )
A. 5 B. 1
5 C. 1
5
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数即得.
【详解】A 选项与 1
5
的符号和符号后的数值均不相同,不符合题意;
B 选项与 1
5
只有符号不同,符合题意,B 选项正确;
C 选项与 1
5
完全相同,不符合题意;
D 选项与 1
5
符号相同,不符合题意.
故选:B.
【点睛】本题考查相反数的定义,解题关键是熟知相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数.
2.如图所示的六角螺母,其俯视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图示确定几何体的三视图即可得到答案.
【详解】由几何体可知,该几何体的三视图依次为.
主视图为:
左视图为:
俯视图为:
故选:B.
【点睛】此题考查简单几何体的三视图,掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键.
3.如图,面积为 1 的等边三角形 ABC 中, , ,D E F 分别是 AB ,BC ,CA 的中点,则 DEF 的面积是( )
A. 1 B. 1
2 C. 1
3 D. 1
4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是 1
4
.
【详解】∵ , ,D E F 分别是 AB , BC ,CA 的中点,且△ABC 是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF 的面积是 1
4
.
故选 D.
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质.
4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选:C.
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部
分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合.
5.如图, AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线, 5BD ,则 CD 等于( )
A. 10 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质即可判断 CD 的长.
【详解】∵ AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线
∴CD=BD=5.
故选:B.
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一,关键在于熟练掌握基础知识.
6.如图,数轴上两点 ,M N 所对应的实数分别为 ,m n ,则 m n 的结果可能是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴确定 m 和 n 的范围,再根据有理数的加减法即可做出选择.
【详解】解:根据数轴可得 0 < m <1, 2 < n < 1 ,则 1< m n <3
故选:C
【点睛】本题考查的知识点为数轴,解决本题的关键是要根据数轴明确 m 和 n 的范围,然后再确定 m n 的
范围即可.
7.下列运算正确的是( )
A. 2 23 3a a B. 2 2 2( )a b a b
C. 22 2 43 6 ab a b D. 1 1( 0) a a a
【答案】D
【解析】
【分析】
根据整式的加减乘除、完全平方公式、 1 ( 0)p
pa aa
逐个分析即可求解.
【详解】解:选项 A: 2 2 23 2a a a ,故选项 A 错误;
选项 B: 2 2 2( ) 2a b a ab b ,故选项 B 错误;
选项 C: 22 2 43 9 ab a b ,故选项 C 错误;
选项 D: 1 1 1( 0) a a a aa
,故选项 D 正确.
故选:D.
【点睛】本题考查整式的加减乘除及完全平方公式、负整数指数幂等运算公式,熟练掌握公式及运算法则
是解决此类题的关键.
8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,
无钱准与一株椽.“其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为 6210 文.如果每件椽的运费是 3 文,
那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问 6210 文能买多少株椽?设这批椽的数量
为 x 株,则符合题意的方程是( )
A. 62103( 1) x x B. 6210 31
x C. 62103 1 x x D. 6210 3
x
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“这批椽的价钱为 6210 文”、“每件椽的运费为 3 文,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程
解答.
【详解】解:由题意得: 62103( 1) x x
,
故选 A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的
等量关系,列出方程,再求解,准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键.
9.如图,四边形 ABCD 内接于 O , AB CD , A 为 BD 中点, 60BDC ,则 ADB 等于( )
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
【答案】A
【解析】
【分析】
根 据 AB CD , A 为 BD 中 点 求 出 ∠CBD=∠ADB=∠ABD , 再 根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 得 到
∠ABC+∠ADC=180°,即可求出答案.
【详解】∵ A 为 BD 中点,
∴ AB AD ,
∴∠ADB=∠ABD,AB=AD,
∵ AB CD ,
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD,
∵四边形 ABCD 内接于 O ,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴3∠ADB+60°=180°,
∴ ADB =40°,
故选:A.
【点睛】此题考查圆周角定理:在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等,圆内接四
边形的性质:对角互补.
10.已知 1 1 1,P x y , 2 2 2,P x y 是抛物线 2 2y ax ax 上的点,下列命题正确的是( )
A. 若 1 2| 1| | 1| x x ,则 1 2y y B. 若 1 2| 1| | 1| x x ,则 1 2y y
C. 若 1 2| 1| | 1| x x ,则 1 2y y D. 若 1 2y y ,则 1 2x x
【答案】C
【解析】
【分析】
分别讨论 a>0 和 a<0 的情况,画出图象根据图象的增减性分析 x 与 y 的关系.
【详解】根据题意画出大致图象:
当 a>0 时,x=1 为对称轴,|x-1|表示为 x 到 1 的距离,
由图象可知抛物线上任意两点到 x=1 的距离相同时,对应的 y 值也相同,
当抛物线上的点到 x=1 的距离越大时,对应的 y 值也越大,由此可知 A、C 正确.
当 a<0 时, x=1 为对称轴,|x-1|表示为 x 到 1 的距离,
由图象可知抛物线上任意两点到 x=1 的距离相同时,对应的 y 值也相同,
当抛物线上的点到 x=1 的距离越大时,对应的 y 值也越小,由此可知 B、C 正确.
综上所述只有 C 正确.
故选 C.
【点睛】本题考查二次函数图象的性质,关键在于画出图象,结合图象增减性分类讨论.
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.
11.计算: 8 __________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质解答即可.
【详解】|﹣8|=8.
故答案为 8.
【点睛】本题考查了绝对值的性质,掌握绝对值的性质是解答本题的关键.
12.若从甲、乙、丙 3 位“爱心辅学”志愿者中随机选 1 位为学生在线辅导功课,则甲被选到的概率为________.
【答案】 1
3
【解析】
【分析】
利用概率公式即可求得答案.
【详解】解:从甲、乙、丙 3 位同学中随机选取 1 人进行在线辅导功课共有 3 种等可能结果,其中甲被选
中的只有 1 种可能,
故答案为: 1
3
.
【点睛】本题主要考查概率公式,解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P(A)=事件 A 可能出现的结果数
÷所有可能出现的结果数.
13.一个扇形的圆心角是 90 ,半径为 4,则这个扇形的面积为______.(结果保留 )
【答案】 4
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式
2
360
n rS 进行计算即可求解.
【详解】解:∵扇形的半径为 4,圆心角为 90°,
∴扇形的面积是:
290 4 4360
S .
故答案为: 4 .
【点睛】本题考查了扇形面积的计算.熟记扇形的面积公式是解题的关键.
14.2020 年 6 月 9 日,我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的
纪录,最大下潜深度达 10907 米.假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准,记为 0 米,高于马里亚
纳海沟所在海域的海平面 100 米的某地的高度记为 100 米,根据题意,“海斗一号”下潜至最大深度 10907
米处,该处的高度可记为_________米.
【答案】 10907
【解析】
【分析】
海平面以上的高度用正数表示,海平面以下的高度用负数表示.据此可求得答案.
【详解】解:∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面 100 米的某地的高度记为 100 米,
∴“海斗一号”下潜至最大深度 10907 米处,可记为-10907,
故答案为:-10907.
【点睛】本题考查了正数,负数的意义及其应用,解题的关键是掌握正数、负数的意义.
15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则 ABC 等于_______度.
【答案】30
【解析】
【分析】
先证出内部的图形是正六边形,求出内部小正六边形的内角,即可得到∠ACB 的度数,根据直角三角形的
两个锐角互余即可求解.
【详解】解:由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成,
可得 BD=AC,BC=AF,
∴CD=CF,
同理可证小六边形其他的边也相等,即里面的小六边形也是正六边形,
∴∠1= 1 6 2 180 1206
,
∴∠2=180°-120°=60°,
∴∠ABC=30°,
故答案为:30.
【点睛】本题考查正多边形的证明、多边形的内角和以及三角形的内角和,熟练掌握多边形内角和的计算
是解题的关键.
16.设 , , ,A B C D 是反比例函数 ky x
图象上的任意四点,现有以下结论:
①四边形 ABCD 可以是平行四边形;
②四边形 ABCD 可以是菱形;
③四边形 ABCD 不可能是矩形;
④四边形 ABCD 不可能是正方形.
其中正确的是_______.(写出所有正确结论的序号)
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用反比例函数的对称性,画好图形,结合平行四边形,矩形,菱形,正方形的判定可以得到结论,特别
是对②的判断可以利用反证法.
【详解】解:如图, 反比例函数 ky x
的图象关于原点成中心对称,
, ,OA OC OB OD
四边形 ABCD 是平行四边形,故①正确,
如图,若四边形 ABCD 是菱形,
则 ,AC BD
90 ,COD
显然: COD <90 ,
所以四边形 ABCD 不可能是菱形,故②错误,
如图, 反比例函数 ky x
的图象关于直线 y x 成轴对称,
当 CD 垂直于对称轴时,
, ,OC OD OA OB
,OA OC
,OA OB OC OD
,AC BD
四边形 ABCD 是矩形,故③错误,
四边形 ABCD 不可能是菱形,
四边形 ABCD 不可能是正方形,故④正确,
故答案为:①④.
【点睛】本题考查的是平行四边形,矩形,菱形,正方形的判定,反比例函数的对称性,掌握以上知识是
解题的关键.
三、解答题:本题共 9 小题,共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解不等式组: 2 6
3 1 2( 1)
x x
x x
①
②
【答案】 3 2x .
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集,再找到其公共解集即可求解.
【详解】解:由①得 2 6 x x ,
3 6x ,
2x .
由②得3 1 2 2 x x ,
3 2 2 1 x x ,
3x .
∴原不等式组的解集是 3 2x .
【点睛】本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识,解题的关键是熟知不等式的性质.
18.如图,点 ,E F 分别在菱形 ABCD 的边 BC , CD 上,且 BE DF .
求证: BAE DAF .
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可知 AB=AD,∠B=∠D,再结合已知条件 BE=DF 即可证明 ABE ADF ≌ 后即可求解.
【详解】解:证明:∵四边形 ABCD 是菱形,
∴ B D , AB AD .
在 ABE 和 ADF 中,
AB AD
B D
BE DF
ì =ïïïïÐ = Ðíïïï =ïî
∴ ( )≌ ABE ADF SAS ,
∴ BAE DAF .
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识,熟练掌握其性质是解决此类题的关
键.
19.先化简,再求值:
21 1(1 )2 2
x
x x
,其中 2 1x .
【答案】 1
1x , 2
2
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案.
【详解】原式
2 1 2
2 1 1
x x
x x x
1
1x
;
当 2 1x 时,原式 1 2
22
.
【点睛】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
20.某公司经营甲、乙两种特产,其中甲特产每吨成本价为 10 万元,销售价为 10.5 万元;乙特产每吨成本
价为 1 万元,销售价为 1.2 万元.由于受有关条件限制,该公司每月这两种特产的销售量之和都是 100 吨,
且甲特产的销售量都不超过 20 吨.
(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为 235 万元,问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各
多少吨?
(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.
【答案】(1)甲特产 15 吨,乙特产 85 吨;(2)26 万元.
【解析】
【分析】
(1)设这个月该公司销售甲特产 x 吨,则销售乙特产 100 x 吨,根据题意列方程解答;
(2)设一个月销售甲特产 m 吨,则销售乙特产 100 m 吨,且 0 20 m ,根据题意列函数关系式
(10.5 10) (1.2 1)(100 ) 0.3 20 w m m m ,再根据函数的性质解答.
【详解】解:(1)设这个月该公司销售甲特产 x 吨,则销售乙特产 100 x 吨,
依题意,得 10 100 235 x x ,
解得 15x ,则100 85 x ,
经检验 15x 符合题意,
所以,这个月该公司销售甲特产 15 吨,乙特产 85 吨;
(2)设一个月销售甲特产 m 吨,则销售乙特产 100 m 吨,且 0 20 m ,
公司获得的总利润 (10.5 10) (1.2 1)(100 ) 0.3 20 w m m m ,
因为 0.3 0 ,所以 w 随着 m 的增大而增大,
又因为 0 20 m ,
所以当 20m 时,公司获得的总利润的最大值为 26 万元,
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为 26 万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识,考查运算能力、应用意识,考
查函数与方程思想,正确理解题意,根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
21.如图,AB 与 O 相切于点 B ,AO 交 O 于点C ,AO 的延长线交 O 于点 D ,E 是 BCD 上不与 ,B D
重合的点, 1sin 2A .
(1)求 BED 的大小;
(2)若 O 的半径为 3,点 F 在 AB 的延长线上,且 3 3BF ,求证: DF 与 O 相切.
【答案】(1)60°;(2)详见解析
【解析】
【分析】
(1)连接 OB,在 Rt△AOB 中由 1sin 2A 求出∠A=30°,进而求出∠AOB=60°,∠BOD=120°,再由同弧所
对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED 的值;
(2)连接 OF,在 Rt△OBF 中,由 tan 3 BFBOF OB
可以求出∠BOF=60°,进而得到∠FOD=60°,再证
明△FOB≌△FOD,得到∠ODF=∠OBF=90°.
【详解】解:(1)连接 OB ,
∵ AB 与 O 相切于点 B ,
∴OB AB ,
∵ 1sin 2A ,∴ 30A ,
∴ 60AOB ,则 120BOD .
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知:
1 602
BED BOD .
故答案为: 60 .
(2)连接 OF ,
由(1)得OB AB , 120BOD ,
∵ 3OB , 3 3BF ,∴ tan 3 BFBOF OB
,
∴ 60BOF ,∴ 60DOF .
在 BOF 与 DOF 中,
OB OD
BOF DOF
OF OF
∴ ( )≌ BOF DOF SAS ,
∴ 90ODF OBF .
又点 D 在 O 上,故 DF 与 O 相切.
【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角
形的判定和性质,熟练掌握其性质是解决此类题的关键.
22.为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署,某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精
准扶贫”工作.经过多年的精心帮扶,截至 2019 年底,按照农民人均年纯收入 3218 元的脱贫标准,该地区
只剩少量家庭尚未脱贫.现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取 50 户,统计其 2019 年的家庭人均年纯收入,
得到如下图所示的条形图.
(1)如果该地区尚未脱贫的家庭共有 1000 户,试估计其中家庭人均年纯收入低于 2000 元(不含 2000 元)
的户数;
(2)估计 2019 年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值;
(3)2020 年初,由于新冠疫情,农民收入受到严重影响,上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化
情况如下面的折线图所示.为确保当地农民在 2020 年全面脱贫,当地政府积极筹集资金,引进某科研机构
的扶贫专项项目.据预测,随着该项目的实施,当地农民自 2020 年 6 月开始,以后每月家庭人均月纯收入
都将比上一个月增加 170 元.
已知 2020 年农村脱贫标准为农民人均年纯收入 4000 元,试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在
今年实现全面脱贫.
【答案】(1)120;(2)2.4 千元;(3)可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫,理由详见解
析
【解析】
【分析】
(1)用 2000 乘以样本中家庭人均年纯收入低于 2000 元(不含 2000 元)的频率即可;
(2)利用加权平均数进行计算;
(3)求出当地农民 2020 年家庭人均年纯收入与 4000 进行大小比较即可.
【详解】解:(1)依题意,可估计该地区尚未脱贫的 1000 户家庭中,家庭人均年纯收入低于 2000 元的户
数为 61000 12050
.
(2)依题意,可估计该地区尚未脱贫的家庭 2019 年家庭人均年纯收入的平均值为
1.5 6 2.0 8 2.2 10 2.5 12 3.0 9 3.2 5 2.41
50
(千元).
(3)依题意,2020 年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下:
月份 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入(元) 500 300 150 200 300 450
月份 7 8 9 10 11 12
人均月纯收入(元) 620 790 960 1130 1300 1470
由上表可知当地农民 2020 年家庭人均年纯收入不低于
500 300 150 200 300 450 620 790 960 1130 1300 1470
960 1130 1300 1470 4000 .
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫.
【点睛】本小题考查频数和频数分布的意义、加权平均数、条形图、折线图等基础知识,考查运算能力、
推理能力、数据分析观念、应用意识,考查统计与概率思想.
23.如图,C 为线段 AB 外一点.
(1)求作四边形 ABCD ,使得 / /CD AB ,且 2CD AB ;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的四边形 ABCD 中,AC ,BD 相交于点 P ,AB ,CD 的中点分别为 ,M N ,求证: , ,M P N
三点在同一条直线上.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析
【解析】
【分析】
(1)按要求进行尺规作图即可;
(2)通过证明角度之间的大小关系,得到 180 CPN CPM ,即可说明 , ,M P N 三点在同一条直线上.
【详解】解:(1)
则四边形 ABCD 就是所求作的四边形.
(2)∵ AB CD∥ ,∴ ABP CDP , BAP DCP ,
∴ ABP CDP ∽ ,∴ AB AP
CD CP
= .
∵ ,M N 分别为 AB , CD 的中点,
∴ 2AB AM , 2CD CN ,∴ AM AP
CN CP
.
连接 MP , NP ,又∵ BAP DCP ,
∴ ∽ APM CPN ,∴ APM CPN ,
∵点 P 在 AC 上∴ 180 APM CPM ,∴ 180 CPN CPM ,
∴ , ,M P N 三点在同一条直线上.
【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识,考查推理能力、
空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.
24.如图, ADE 由 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90 得到,且点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 的延长线
上, AD , EC 相交于点 P .
(1)求 BDE 的度数;
(2) F 是 EC 延长线上的点,且 CDF DAC .
①判断 DF 和 PF 的数量关系,并证明;
②求证: EP PC
PF CF
.
【答案】(1)90°;(2)① DF PF ,证明详见解析;②详见解析
【解析】
【分析】
(1)根据旋转的性质,得出 ABC ADE ≌ ,进而得出 =B ADE ADB ,求出结果;
(2)①由旋转的性质得出 AC AE , 90CAE ,进而得出 45 ACE AEC ,再根据已知条件
得出 ADB CDF ACE CAD ,最后得出结论即可;
②过点 P 作 //PH ED 交 DF 于点 H ,得出 ≌ HPF CDF ,由全等得出 HF CF , DH PC ,最后
得出结果.
【详解】解:(1)由旋转的性质可知, AB AD , 90BAD , ABC ADE ≌ ,
∴ B ADE ,
在 Rt ABD 中, 45 B ADB ,
∴ 45 ADE B ,
∴ 90 BDE ADB ADE .
(2)① DF PF .
证明:由旋转的性质可知, AC AE , 90CAE ,
在 Rt ACE 中, 45 ACE AEC ,
∵ CDF CAD , 45 ACE ADB ,
∴ ADB CDF ACE CAD ,
即 FPD FDP ,
∴ DF PF .
②过点 P 作 //PH ED 交 DF 于点 H ,
∴ HPF DEP , EP DH
PF HF
,
∵ 45 DPF ADE DEP DEP , 45 DPF ACE DAC DAC ,
∴ DEP DAC ,
又∵ CDF DAC ,
∴ DEP CDF ,
∴ HPF CDF .
又∵ FD FP , F F
∴ ≌ HPF CDF ,
∴ HF CF ,
∴ DH PC ,
又∵ EP DH
PF HF
,
∴ EP PC
PF CF
.
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性
质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识,解题的关键是熟练运用这些性质.
25.已知直线 1 : 2 10 l y x 交 y 轴于点 A ,交 x 轴于点 B ,二次函数的图象过 ,A B 两点,交 x 轴于另一点
C , 4BC ,且对于该二次函数图象上的任意两点 1 1 1,P x y , 2 2 2,P x y ,当 1 2 5 x x 时,总有 1 2y y .
(1)求二次函数的表达式;
(2)若直线 2 : ( 10) l y mx n n ,求证:当 2m 时, 2 1/ /l l ;
(3) E 为线段 BC 上不与端点重合的点,直线 3 : 2 l y x q 过点C 且交直线 AE 于点 F ,求 ABE 与
CEF 面积之和的最小值.
【答案】(1) 22 12 10y x x ;(2)详见解析;(3) ABE FCES S 的最小值为 40 2 40 .
【解析】
【分析】
(1)先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出 A,B 两点的坐标,再根据 BC=4,得出点 C
的坐标,最后利用待定系数法可求二次函数的表达式;
(2)利用反证法证明即可;
(3)先求出 q 的值,利用 //CF AB ,得出 ∽ FCE ABE ,设 0 4 BE t t ,然后用含 t 的式子表示
出 ABE FCES S 的面积,再利用二次函数的性质求解即可.
【详解】解:(1)对于 1 : 2 10 l y x ,
当 0x 时, 10y ,所以 0,10A ;
当 0y 时, 2 10 0x , 5x ,所以 5,0B ,
又因为 4BC ,所以 9,0C 或 1,0C ,
若抛物线过 9,0C ,则当5 7x 时, y 随 x 的增大而减少,不符合题意,舍去.
若抛物线过 1,0C ,则当 3x 时,必有 y 随 x 的增大而增大,符合题意.
故可设二次函数的表达式为 2 10 y ax bx ,
依题意,二次函数的图象过 5,0B , 1,0C 两点,
所以 25 5 10 0
10 0
a b
a b
,解得 2
12
a
b
所求二次函数的表达式为 22 12 10y x x .
(2)当 2m 时,直线 2 : 2 ( 10) l y x n n 与直线 1 : 2 10 l y x 不重合,
假设 1l 和 2l 不平行,则 1l 和 2l 必相交,设交点为 0 0,P x y ,
由 0 0
0 0
2 10
2
y x
y x n
得 0 02 10 2 x x n ,
解得 10n ,与已知 10n 矛盾,所以 1l 与 2l 不相交,
所以 2 1//l l .
(3)如图,
因为直线 3 : 2 l y x q 过 1,0C ,所以 2q = ,
又因为直线 1 : 2 10 l y x ,所以 3 1//l l ,即 //CF AB ,
所以 FCE ABE , CFE BAE ,
所以 ∽ FCE ABE ,所以
2
FCE
ABE
S CE
S BE
,
设 0 4 BE t t ,则 4CE t ,
1 1 10 52 2 ABES BE OA t t ,
所以
2 2 2
2
(4 ) 5(4 )5
FCE ABE
CE t tS S tBE t t
,
所以
25(4 ) 5
ABE FCE
tS S tt
8010 40 t t
2
2 210 40 2 40
t
t
所以当 2 2t 时, ABE FCES S 的最小值为 40 2 40 .
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知
识,注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用.
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