2014年1月徐汇中考数学一模试题 8页

2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 初三年级数学学科 2014.1 (满分 150 分，考试时间 100 分钟) 一、 选择题：(本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分) 1. 在比例尺为 1:2000 的地图上测得 A、B 两地间的图上距离为 5cm，则 A、B 两地间的实际 距离为( ) (A) 10m； (B) 25m； (C) 100m； (D) 10000m. 2. 在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则 sinA 的值是( ) (A) 5 13 (B) 12 13 (C) 5 12 (D) 13 5 3. 抛物线  21 232yx   的顶点坐标是( ) (A)  2,3 (B)  2, 3 (C)  2,3 (D)  2, 3 4. 已知抛物线  2 32y ax x a    ，a 是常数且 a<0，下列选项中可能是它大致图像的是 ( ) 5. 下列命题中是假命题的是( ) (A) 若 ,a b b c，则 ac . (B)  2 2 2a b a b   (C) 若 1 2ab ，则 ab∥ . (D) 若 ab ，则ab 6. 已知△ABC 和△DEF 相似，且△ABC 的三边长为 3、4、5，如果△DEF 的周长为 6，那 么下列不可能是△DEF 一边长的是( ) (A) 1.5； (B) 2； (C) 2.5； (D) 3. 二、 填空题：(本大题共 12 题，每题 4 分，满分48 分) 7. 已知 3 4 a b  ，则 2a ab 的值为__________. 8. 计算：    23m n m n   =___________. 9. 如图，△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，CD 平分∠ACB，DE∥BC，若 AC=10， AE=4，则 BC=________. 10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，联结 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F， 若 : 2:3DE EC  ，则 :DEF ABFSS=_________. 第9题 ED A B C 第10题 F D C A B E 11. 如图，已知抛物线 2y x bx c   的对称轴为直线 x=1，点 A，B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，若点 A 的坐标为 30, 2   ，则点 B 的坐标为___________.[来源:学*科*网] 12. 如果抛物线  231yx   经过点  11,Ay和点  23,By，那么 1y 与 2y 的大小关系是 ___ (填写“>”或“<”或“=”). 13. 如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，且 AD⊥BD，若 CD=1，BC=3，那么∠A 的正切值为________. 14. 在高为 100 米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为  ，那么楼底到这个十字路口的水 平距离是____________米(用含  的代数式表示). 第13题 CD A B 第18题 P A B C D 15. △ABC 中，AD 是中线，G 是重心， ,AB a AD b，那么 BG =_______(用ab、表示). 16. △ABC 中，AB=A C=5，BC=8，那么 sinB=__________. 17. 将二次函数 23yx 的图像向左平移 2 个单位再向下平移 4 个单位，所得函数表达式是  23 2 4yx   ，我们来解释一下其中的原因：不妨设平移前图像上任意一点 P 经过平 移后得到点 P’，且点 P’的坐标为 ,xy，那么 P’点反之向右平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位得到点  2, 4P x y，由于点 P 是二次函数 的图像上的点，于是把点 F CB A DE P(x+2,y+4)的坐标代入 23yx 再进行整理就得到  23 2 4yx   .类似的，我们对函数   1 1y xx  的图像进行平移：先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，所得图像的 函数表达式为_____. 18. 如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=9，点 P 在 BC 边上，CP=3，点 Q 为线段 AP 上的动 点，射线 BQ 与矩形 ABCD 的一边交于点 R，且 AP=BR，则 QR BQ =____________. 三、 解答题：(本大题共 7 分，满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 计算： 22 2 2sin 30 +tan60 tan30 +sin 60 cos 45 +cot60 cos30        20. (本题满分 10 分，其中第(1)小题 6 分，第(2)小题 4 分) 如图，点 D、E 分别在△ABC 的边 BA、CA 的延长线上，且 DE∥BC， 1 2AE AC ，F 为 AC 的中点. (1) 设 BF a ， AC b ，试用 xa yb 的形式表示 AB 、 ED ； (x、y 为实数) (2) 作出 BF 在 BA 、 BC 上的分向量. (保留作图痕迹，不写作法，写出结论) F E A CDB 21. (本题满分 10 分) 某商场为了方便顾客使用购物车，将滚动电梯由坡角 30°的坡面改为坡度为 1:2.4 的坡面。 如图，BD 表示水平面，AD 表示电梯的铅直高度，如果改动后电梯的坡面 AC 长为 13 米， 求改动后电梯水平宽度增加部分 BC 的长(结果保留根号). 22. (本题满分 10 分，其中第(1)小题 6 分，第(2)小题 4 分) 已知：如图，△ABC 中，点 D、E 是边 AB 上的点，CD 平分∠ECB，且 2BC BD BA. (1) 求证：△CED∽△ACD； (2) 求证： AB CE BC ED .[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 23. (本题满分 12 分，其中第(1)小题 4 分，第(2)小题 8 分) 在△ABC 中，D 是 BC 的中点，且 AD=AC，DE⊥BC，与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相 交于点 F. (1) 求证：△ABC∽△FCD； (2) 若 DE=3，BC=8，求△FCD 的面积. C BDEA 24. (本题满分 12 分，每小题各 6 分) 如图，直线 3yx与 x 轴、y 轴分别交于点 A、C，经过 A、C 两点的抛物线 2y ax bx c   与 x 轴的负半轴上另一交点为 B，且 tan∠CBO=3. (1) 求该抛物线的解析式及抛物线的顶点 D 的坐标； (2) 若点 P 是射线 BD 上一点，且以点 P、A、B 为顶点 的三角形与△ABC 相似，求点 P 的坐标. 25. (本题满分 14 分，其中第(1)小题 3 分，第(2)小题 6 分，第(3)小题 5 分) 如图，△ABC 中，AB=5，BC=11， 3cos 5B  ，点 P 是 BC 边上的一个动点，联结 AP，取 AP 的中点 M，将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90°得到线段 PN，联结 AN，NC. (1) 当点 N 恰好落在 BC 边上时，求 NC 的长； (2) 若点 N 在△ABC 内部(不含边界)，设 BP=x，CN=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 出函数的定义域； (3) 若△PNC 是等腰三角形，求 BP 的长. [来源:学科网 ZXXK] N M F CB A DE H F E A CDB 2013 年第一学期徐汇区初三数学答案（2014.1） 1、C 2、A 3、B 4、B 5、D 6、D 7、 6 7 8、5mn 9、15 10、 4: 25 11、 32, 2   12、< 13、1 3 14、 100 tan  15、 2 3 ba 16、 3 5 17、   1 31y xx 18、1 或 4 19 8  19、原式= 131 924 11 4 22    20、(1) 1 2AB AF FB b a    ； 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4ED BC a b a b     (2) 向量 BM 、 BN 为所求分向量。 21、解：∵斜坡 AC 的坡度为 1:2.4 ∴ 5tan 12C  ，易知 5sin 13C  [来源:Z§xx§k.Com] ∵AC=13，∴AD=5，CD=12 ∵∠B=30°，∴BD=53 ∴BC=12 5 3 答句略。 22、(1)证明：∵ 2BC BD BA ∴ BA BC BC BD ∵∠B=∠B ∴△BCD∽△BAC ∴∠BCD=∠A ∵CD 平分∠ECB ∴∠BCD=∠ECD ∴∠A=∠ECD ∴∠EDC=∠CDA ∴△CED∽△ACD (2)证明：∵△BCD∽△BAC ∴ AB BC BC BD ∵CD 平分∠ECB ∴ BCD CED SBC BD CE S DE ∴ BC CE BD DE ∴ AB CE BC DE 23、(1)证明：∵AD=AC ∴∠ADC=∠ACD ∵DE⊥BC，BD=CD ∴BE=CE ∴∠EBC=∠ECB ∴△ABC ∽△FCD (2)解：过 A 作 AH⊥BC，垂足 H。 ∵△ABC∽△FCD ∴ 2 4ABC FCD S BC S CD  M NPB C A G M C A HB P N G M C A HB P N ∵BD=CD 且 BC=8, ∴BD=CD=4, ∵AD=AC，AH⊥CD ∴DH=2 ∴ 2 3 DE BD AH BH ∵DE=3 ∴AH=4.5 ∴ 1 8 4.5 182ABCS     ∴ 9 2FCDS  24、(1)∵直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴交于点 A、C ∴    3,0 , 0,3 , 3A C CO ∵ tan 3CBO ∴BO=1，  1,0B  将 A、B、C 三点代入抛物线，可得： 2 43y x x   ，顶点  2, 1D  (2)由 B、D 坐标，得直线 BD 解析式为 1yx ∵BD∥AC ∴∠CAB=∠ABD=45° 若△ACB∽△BAP，则 AB AC BP AB ，AB=2， 32AC  ， 2 23BP  ， 1 52,33P  若△ACB∽△BPA，则 AB AC AB BP ，AB=2， ， 32BP  ，  2 4, 3P  25、(1) ∵∠APN=90° ∴AP⊥BN ∴ 3cos 5 BPB AB ∵AB=5, ∴BP=3， 224AP AB BP   ∵ 1 2PN MP AP ∴PN=2 ∴NC=11-3-2=6 (2) 过 A、N 作 BC 的垂线，垂足分别为 H、G。 易知：PH=x-3，AH=4， 通过“一线三直角”模型，可知△APH∽△PGN 相似比 2AP AH PH PN PG NG   ， ∴PG=2，NG= 3 2 x  ，CG=11-x-2=9-x 在 Rt△NCG 中，由勾股定理，得：   2 2 23 5 78 333922 x x xyx      定义域为36x (极限情况见右图) [来源:学科网] G M C A HB P N G M C A HB P N G M C A HB P N (3) 第一种情况：当 PN=NC 时： 此时 PG=CG，即 9-x=2，x=7 第二种情况：PN=PC 时：  2113 1622PN AP x    ，PC=11-x    223 16 4 11xx    ,整理得 23 82 459 0xx   1216 ， 1 41 4 19 113x (舍) 2 41 4 19 3x  第三种情况：当 NC=PC 时：   2 2 23 5 78 333922 x x xNC x      ，PC=11-x 25 78 333 112 xx x ，整理得： 2 10 151 0xx   704 ， 1 5 4 11x    (舍去) 2 5 4 11x    综上，BP=7 或 41 4 19 3  或 时，△PNC 等腰。