2019年广东省中考数学模拟试卷（二）（解析版） 22页

‎2019年广东省中考数学模拟试卷（二）‎ 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）‎ ‎1.7的相反数是( )‎ A. 7 B. －7 C. D. －‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．‎ ‎【详解】7的相反数是−7，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义.‎ ‎2.在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 详解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.‎ ‎3.2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日点，它距离地球约.数1500000用科学记数法表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将1500000用科学记数法表示为： .‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎4.已知是关于x一元二次方程的一个根，则k的值为　　‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把代入方程得，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定k的值．‎ ‎【详解】解：把代入方程得，‎ 整理得，解得，，‎ 而，‎ 所以k的值为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了一元二次方程的定义．‎ ‎5.如图所示的几何体的左视图是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【详解】从左边看是两个圆环， 故选D．‎ ‎【点睛】考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．‎ ‎6.如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）‎ A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．‎ ‎【详解】‎ ‎∵∠1=50°，‎ ‎∴∠3=∠1=50°，‎ ‎∴∠2=90°−50°=40°.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.‎ ‎7.某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：‎ 鞋的尺码/cm ‎23‎ ‎23.5‎ ‎24‎ ‎24.5‎ ‎25‎ 销售量/双 ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ 则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（　　）‎ A. 24.5，24.5 B. 24.5，24 C. 24，24 D. 23.5，24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得．‎ ‎【详解】这组数据中，24.5出现了6次，出现的次数最多，所以众数为24.5，‎ 这组数据一共有15个数，按从小到大排序后第8个数是24.5，所以中位数为24.5，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了众数、中位数，熟练掌握中位数、众数的定义以及求解方法是解题的关键.‎ ‎8.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）‎ A. （﹣2，1） B. （﹣8，4）‎ C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．‎ ‎【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O位似中心，相似比为，把△ABO缩小，‎ ‎∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．‎ ‎9.‎ 小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可．‎ ‎【详解】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图象，认真分析，理解题意，确定出函数图象是解题的关键.‎ ‎10.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：‎ ‎①四边形AECF为平行四边形；‎ ‎②∠PBA=∠APQ；‎ ‎③△FPC为等腰三角形；‎ ‎④△APB≌△EPC；‎ 其中正确结论的个数为（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；‎ ‎②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°‎ ‎，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；‎ ‎③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；‎ ‎④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．‎ 详解：①如图，EC，BP交于点G；‎ ‎∵点P是点B关于直线EC的对称点，‎ ‎∴EC垂直平分BP，‎ ‎∴EP=EB，‎ ‎∴∠EBP=∠EPB，‎ ‎∵点E为AB中点，‎ ‎∴AE=EB，‎ ‎∴AE=EP，‎ ‎∴∠PAB=∠PBA，‎ ‎∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，‎ ‎∴∠PAB+∠PBA=90°，‎ ‎∴AP⊥BP，‎ ‎∴AF∥EC；‎ ‎∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ 故①正确；‎ ‎②∵∠APB=90°，‎ ‎∴∠APQ+∠BPC=90°，‎ 由折叠得：BC=PC，‎ ‎∴∠BPC=∠PBC，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，‎ ‎∴∠ABP=∠APQ，‎ 故②正确；‎ ‎③∵AF∥EC，‎ ‎∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，‎ ‎∵∠PFC是钝角，‎ 当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，‎ 如右图，△PCF不一定是等腰三角形，‎ 故③不正确；‎ ‎④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，‎ ‎∴Rt△EPC≌△FDA（HL），‎ ‎∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，‎ 当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，‎ ‎∴△APB≌△EPC，‎ 故④不正确；‎ 其中正确结论有①②，2个，‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）‎ ‎11.分解因式：2a2﹣2=_____．‎ ‎【答案】2（a+1）（a﹣1）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【详解】解：2a2﹣2，‎ ‎=2（a2﹣1），‎ ‎=2（a+1）（a﹣1）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎12.把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为_____．‎ ‎【答案】y=-x ‎【解析】‎ 由题意得，平移后的解析式为：‎ y＝－(x-1)－1=-x+1-1=-x.‎ 故答案为y=-x.‎ 点睛：本题考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．‎ ‎13.若m+=3，则m2+=_____．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．‎ 详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9，‎ 则m2+=7，‎ 故答案为7‎ 点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．‎ ‎14.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可．‎ ‎【详解】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，‎ ‎∴∠OBC=30°，‎ ‎∴OC=OB=1‎ 则边BC扫过区域的面积为：‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键.‎ ‎15.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .‎ ‎【答案】（10，3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．‎ ‎【详解】∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),‎ ‎∴AD=BC=10，DC=AB=8，‎ ‎∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，‎ ‎∴AD=AF=10，DE=EF，‎ 在Rt△AOF中,OF= =6，‎ ‎∴FC=10−6=4，‎ 设EC=x，则DE=EF=8−x，‎ 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，‎ 即(8−x)2=x2+42，‎ 解得x=3，即EC的长为3.‎ ‎∴点E的坐标为(10,3).‎ ‎16.如图抛物线y=x2+‎ ‎2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可.‎ ‎【详解】连接AC,与对称轴交于点P,‎ 此时DE+DF最小，‎ 点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，‎ ‎ ‎ 在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时， ‎ 当时，或 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点P是抛物线对称轴上任意一点，‎ 则PA=PB,‎ PA+PC=AC,‎ PB+PC=‎ DE+DF的最小值为： ‎ 故答案为 ‎【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.‎ 三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）‎ ‎17.计算：‎ ‎【答案】2019‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式第一项利用绝对值的性质化简，第二项依据零指数幂运算，第三项和第四项利用特殊角的三角函数计算，最后一项依据负整数指数幂运算，即可求解.‎ ‎【详解】原式＝==2019‎ ‎【点睛】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，掌握实数混合运算的顺序和相应法则是解答此题的关键.‎ ‎18.先化简，再求值：，其中a＝－1．‎ ‎【答案】；．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分化简，最后将a的值代入化简后的式子进行计算，得出答案．‎ ‎【详解】解：原式=‎ 当a=－1时，原式=‎ ‎【点睛】本题考查分式的化简；二次根式的计算．‎ 四、解答题（本大题共7小题，共54.0分）‎ ‎19.尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．‎ ‎【答案】作图见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．‎ ‎【详解】如图所示，‎ ‎△ABC为所求作.‎ ‎【点睛】本题考查了尺规作图——基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角、过直线外一点作已知直线的垂线的方法是解题的关键.‎ ‎20.如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．‎ ‎（1）计算古树BH的高；‎ ‎（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈14，≈1.7）‎ ‎【答案】（1）BH =8.5米；（2）CG= 18.0米．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 此题涉及的知识点是直角三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质，正切值得计算的综合应用，难度偏大，解题时先由直角三角形的性质求出边的长度，再作辅助线构建条件，通过设未知数列出正切值得方程，解出未知数，从而根据对应关系求得解．‎ ‎【详解】（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE=AB=7米．‎ 在Rt△DEH中，∵∠EDH=45°，‎ ‎∴HE=DE=7米，‎ ‎∴BH=EH+BE=8.5米.‎ ‎（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x．‎ 在中，，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 米．‎ ‎【点睛】此题重点考察学生对直角三角形的性质，矩形的性质，三角形正切值的综合应用能力，抓住直角三角形的性质，角与边之间的关系，三角形正切值的计算方法是解题的关键．‎ ‎21.‎ 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：‎ ‎（1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“　 　”；‎ ‎（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．‎ ‎【答案】（1）200、81°；（2）补图见解析；（3） ‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；‎ ‎（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；‎ ‎（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ 详解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，‎ 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°，‎ 故答案为200、81°；‎ ‎（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，‎ 补全图形如下：‎ 由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，‎ 故答案为微信；‎ ‎（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，‎ 画树状图如下：‎ 画树状图得：‎ ‎∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，‎ ‎∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=．‎ 点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎22.已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．‎ ‎（1）求证：AB=AF；‎ ‎（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；‎ ‎（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；‎ ‎【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BE∥CD，AB=CD，‎ ‎∴∠AFC=∠DCG，‎ ‎∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，‎ ‎∴△AGF≌△DGC，‎ ‎∴AF=CD，‎ ‎∴AB=CF．‎ ‎（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．‎ 理由：∵AF=CD，AF∥CD，‎ ‎∴四边形ACDF是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAD=∠BCD=120°，‎ ‎∴∠FAG=60°，‎ ‎∵AB=AG=AF，‎ ‎∴△AFG是等边三角形，‎ ‎∴AG=GF，‎ ‎∵△AGF≌△DGC，‎ ‎∴FG=CG，∵AG=GD，‎ ‎∴AD=CF，‎ ‎∴四边形ACDF是矩形．‎ ‎【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.‎ ‎23.如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．‎ ‎（1）求反比例函数y=的表达式；‎ ‎（2）求点B的坐标；‎ ‎（3）求△OAP的面积．‎ ‎【答案】（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=5．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；‎ ‎（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x轴即可得点B的坐标；‎ ‎（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．‎ ‎【详解】（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，‎ 则反比例函数解析式为y=；‎ ‎（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，‎ 则OC=4、AC=3，‎ ‎∴OA==5，‎ ‎∵AB∥x轴，且AB=OA=5，‎ ‎∴点B的坐标为（9，3）；‎ ‎（3）∵点B坐标为（9，3），‎ ‎∴OB所在直线解析式为y=x，‎ 由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），‎ 过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，‎ 则点E坐标为（6，3），‎ ‎∴AE=2、PE=1、PD=2，‎ 则△OAP面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.‎ ‎24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．‎ ‎（1）求证：AB是⊙O的切线． ‎ ‎（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值． ‎ ‎（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2） （3） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上点到角两边的距离相等即可得证；（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得= tanD＝；（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△B0F∽△BAC，得，设BO="y" ，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题．‎ 试题解析：（1）证明：作OF⊥AB于F ‎∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º ‎∴OC=OF ‎ ‎∴AB是⊙O的切线 ‎ ‎（2）连接CE ‎ ‎∵AO是∠BAC的角平分线，‎ ‎∴∠CAE=∠CAD ‎∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧 ‎∴∠ACE=∠CDE ‎∴△ACE∽△ADC ‎∴= tanD＝‎ ‎（3）先在△ACO中，设AE=x, ‎ 由勾股定理得 ‎(x＋3)²="(2x)" ²＋3² ，解得x="2," ‎ ‎∵∠BFO=90°=∠ACO 易证Rt△B0F∽Rt△BAC 得，‎ 设BO=y BF=z ‎ 即4z=9＋3y，4y=12＋3z 解得z=y=‎ ‎∴AB=＋4=‎ 考点：圆的综合题．‎ ‎25.如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． ‎ ‎（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．‎ ‎（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．‎ ‎（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）①B（1,0）②（2）4,P（－2，3）;（3）存在M1（0，2）,M2（－3,2）, M3（2，－3）,M4（5，－18）, 使得以点 A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；‎ ‎（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；‎ ‎（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．‎ 试题解析：（1）①y=x+2‎ 当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，‎ ‎∴C（0，2），A（﹣4，0），‎ 由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，‎ ‎∴点B的坐标为（1，0）．‎ ‎②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），‎ 又∵抛物线过点C（0，2），‎ ‎∴2=﹣4a ‎∴a=-‎ ‎∴y=-x2-x+2．‎ ‎（2）设P（m，-m2-m+2）．‎ 过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，‎ ‎∴Q（m，m+2），‎ ‎∴PQ=-m2-m+2﹣（m+2）‎ ‎=-m2﹣2m，‎ ‎∵S△PAC=×PQ×4，‎ ‎=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，‎ ‎∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，‎ 此时P（﹣2，3）．‎ ‎（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，‎ ‎∴∠CAO=∠BCO，‎ ‎∵∠BCO+∠OBC=90°，‎ ‎∴∠CAO+∠OBC=90°，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴△ABC∽△ACO∽△CBO，‎ 如下图：‎ ‎①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；‎ ‎③ 根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；‎ ‎④ 当点M在第四象限时，设M（n，-n2-n+2），则N（n，0）‎ ‎∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4‎ 当时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）‎ 整理得：n2+2n﹣8=0‎ 解得：n1=﹣4（舍），n2=2‎ ‎∴M（2，﹣3）；‎ 当时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），‎ 整理得：n2﹣n﹣20=0‎ 解得：n1=﹣4（舍），n2=5，‎ ‎∴M（5，﹣18）．‎ 综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．‎ 考点：二次函数综合题 ‎ ‎