2020九年级数学下册 二次函数的图象与性质 5页

‎27.3　圆中的计算问题 第1课时　弧长和扇形的面积 知|识|目|标 ‎1．通过计算特殊角度的圆心角所对的弧长，能推导并理解弧长公式．‎ ‎2．通过计算特殊角度的圆心角所对的扇形面积，能由特殊到一般地推导理解扇形面积公式．‎ 目标一　能推导并理解弧长的计算公式 例1 教材练习第1题针对训练 ‎ ‎(1)如图27－3－1，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为(　　)‎ 图27－3－1‎ A. 　　 B. ‎ C. 　　 D. ‎(2)教材补充例题若一个扇形的圆心角为60°，它的弧长为2π cm，则这个扇形的半径为(　　)‎ A．‎6 cm B．‎12 cm ‎ C．‎2 cm D. cm ‎【归纳总结】利用弧长公式进行计算的一般步骤：‎ 第一步：从问题中找出公式所涉及的三个量(弧长 l、弧所对的圆心角n°、半径r)中的两个；‎ 第二步：把已知的两个量代入弧长公式；‎ 第三步：求出公式中的未知量．‎ 5‎ 目标二　能归纳并掌握扇形面积公式 例2 (1)教材例1针对训练 在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是(　　)‎ A．6π cm2 B．8π cm2‎ C．12π cm2 D．24π cm2‎ ‎(2)教材补充例题已知扇形的半径为‎6 cm，面积为10π cm2，求该扇形的弧长．‎ ‎【归纳总结】扇形面积公式的选择：‎ ‎(1)当已知半径r和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S＝；‎ ‎(2)当已知半径r和弧长l求扇形的面积时，选用公式S＝lr.‎ 例3 教材补充例题 如图27－3－2所示，在⊙O中，＝，弦AB与弦AC相交于点A，弦CD与弦AB相交于点F，连结BC.‎ ‎(1)求证：AC2＝AB·AF；‎ ‎(2)若⊙O的半径为‎2 cm，∠B＝60°，求阴影部分的面积．‎ 图27－3－2‎ ‎【归纳总结】两类弓形面积的求法：‎ ‎(1)小于半圆的弧与弦组成的弓形，如图27－3－3①，计算弓形的面积时，用扇形的面积减去三角形的面积；‎ 5‎ 图27－3－3‎ ‎(2)大于半圆的弧与弦组成的弓形，如图②，计算弓形的面积时，用扇形的面积加上三角形的面积．‎ 知识点一　弧长的计算 ‎(1)圆的周长公式：半径为r的圆的周长C的计算公式为__________．‎ ‎(2)弧长公式：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为__________．‎ ‎[点拨] 弧、弧长、弧的度数间的关系：‎ ‎①弧相等表示弧长、弧的度数都相等；‎ ‎②度数相等的弧，弧长不一定相等；‎ ‎③弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．‎ 知识点二　扇形面积的计算 ‎(1)扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．‎ ‎(2)圆的面积：S＝πr2(其中r是圆的半径)．‎ ‎(3)扇形的面积：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S扇形的计算公式是____________．‎ 因为扇形的弧长l＝，扇形的面积S扇形＝，则S＝··r，所以又可以得到扇形面积的另一个计算公式：S扇形＝lr.‎ ‎[点拨] 已知S扇形，l，n，r四个量中的任意两个量，便可以求出另外两个量．‎ 已知所对的圆周角为30°，所在圆的直径为20 cm，求的长．‎ 解：l＝＝＝(cm)，‎ ‎∴的长为 cm.‎ 以上解答过程正确吗？若不正确，请你指出其中的错误，并改正．‎ 5‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　(1)[解析] B　∵OA＝OC＝AB＝2，∴∠OAC＝∠OCA＝50°，∴∠BOC＝2∠OAC＝100°，∴的长＝＝.‎ ‎(2)[解析] A　由弧长公式得＝2π，解得r＝6(cm)．‎ 例2　(1)[解析] C　由扇形面积公式得S＝＝12π(cm2)．‎ ‎(2)解： ∵ l＝， S扇形＝＝··r＝lr＝10π，∴l＝＝ ＝(cm)．‎ 例3　解：(1)证明：∵＝，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACF.‎ 又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACF，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AC2＝AB·AF.‎ ‎(2)如图，连结OA，OC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，则AC＝2AE.‎ ‎∵∠B＝60°，‎ ‎∴∠AOC＝120°.‎ 又∵OA＝OC，‎ ‎∴∠OAC＝∠OCA＝30°.‎ ‎∵在Rt△AOE中，OA＝2 cm，‎ ‎∴OE＝1 cm，‎ ‎∴AE＝＝ cm，‎ ‎∴AC＝2AE＝2 cm，‎ ‎∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－×2 ×1＝cm2.‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点一　(1)C＝2πr　(2)l＝ 知识点二　(3)S扇形＝ ‎[反思] 不正确．弧长公式中的n°是圆心角的度数，而不是圆周角的度数；r 5‎ 是弧所在圆的半径，而不是直径．改正如下：‎ 依题意可知，n＝60，r＝10 cm，‎ ‎∴l＝＝(cm)，‎ ‎∴的长为 cm. ‎ 5‎