2012年广西自治区柳州市中考数学试卷（含答案） 14页

2012 年广西柳州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题列出的四个选项中，只 有一个选项是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得零分） 1．李师傅做了一个零件，如图，请你告诉他这个零件的主视图是（ A ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【专题】推理填空题． 【分析】根据主视图的定义，从前面看即可得出答案． 【解答】解：根据主视图的定义，从前面看，得出的图形是一个正六边形和一个圆， 故选 A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图的应用，通过做此题培养了学生的理解能力和观 察图形的能力，同时也培养了学生的空间想象能力． 2．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段 AB 在乙图中的对应线段 是（ Ｄ ） A．FG B．FH C．EH D．EF 【考点】相似图形． 【分析】观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答． 【解答】解：由图可知，点 A、E 是对应顶点， 点 B、F 是对应顶点， 点 D、H 是对应顶点， 所以，甲图中的线段 AB 在乙图中的对应线段是 EF． 故选 D． 【点评】本题考查了相似图形，根据对应点确定对应线段，所以确定出对应点是解题的关 键． 3．如图，直线 a 与直线 c 相交于点 O，∠1 的度数是（ Ｄ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【考点】对顶角、邻补角． 【分析】根据邻补角的和等于 180°列式计算即可得解． 【解答】解：∠1=180°-150°=30°． 故选 D． 【点评】本题主要考查了邻补角的和等于 180°，是基础题，比较简单． 4．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M、N 的距离， 如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ Ｂ ） A．PO B．PQ C．MO D．MQ 【考点】全等三角形的应用． 【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得 MN 的长，只需 求得其对应边 PQ 的长，据此可以得到答案． 【解答】解：要想利用△PQO≌△NMO 求得 MN 的长，只需求得 线段 PQ 的长， 故选 B． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的 结合在一起． 5．娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（ Ｃ ） A．圆 B．等边三角形 C．矩形 D．等腰梯形 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可． 【解答】解：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误； B、等边三角形有 3 条对称轴，故本选项错误； C、矩形有 2 条对称轴，故本选项正确； D、等腰梯形有 1 条对称轴，故本选项错误． 故选 C． 【点评】本题考查轴对称图形的概念，解题关键是能够根据轴对称图形的概念正确找出各 个图形的对称轴的条数，属于基础题． 6．如图，给出了正方形 ABCD 的面积的四个表达式，其中错误的 是（ Ｃ ） A．（x+a）（x+a） B．x2+a2+2ax C．（x-a）（x-a） D．（x+a）a+（x+a）x 【考点】整式的混合运算． 【分析】根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积， 进而可排除错误的表达式． 【解答】解：根据图可知，S 正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2， 故选 C． 【点评】本题考查了整式的混合运算、正方形面积，解题的关键是注意完全平方公式的掌 握应用． 7．定圆 O 的半径是 4cm，动圆 P 的半径是 2cm，动圆在直线 l 上移动，当两圆相切时， OP 的值是（ Ａ ） A．2cm 或 6cm B．2cm C．4cm D．6cm 【考点】相切两圆的性质． 【专题】计算题． 【分析】定圆 O 与动圆 P 相切时，分两种情况考虑：内切与外切，当两圆内切时，圆心距 OP=R-r；当两圆外切时，圆心距 OP=R+r，求出即可． 【解答】解：设定圆 O 的半径为 R=4cm，动圆 P 的半径为 r=2cm， 分两种情况考虑： 当两圆外切时，圆心距 OP=R+r=4+2=6cm； 当两圆内切时，圆心距 OP=R-r=4-2=2cm， 综上，OP 的值为 2cm 或 6cm． 故选 A 【点评】此题考查了相切两圆的性质，两圆相切时有两种情况：内切与外切，当两圆内切 时，圆心距等于两半径相减；当两圆外切时，圆心距等于两半径相加． 8．你认为方程 x2+2x-3=0 的解应该是（ Ｄ ） A．1 B．-3 C．3 D．1 或-3 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】利用因式分解法，原方程可变为（x+3）（x-1）=0，即可得 x+3=0 或 x-1=0，继而 求得答案． 【解答】解：∵x2+2x-3=0， ∴（x+3）（x-1）=0， 即 x+3=0 或 x-1=0， 解得：x1=-3，x2=1． 故选 D． 【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程的知识．此题比较简单，注意掌握十字相 乘法分解因式的知识是解此题的关键． 9．如图，P1、P2、P3 这三个点中，在第二象限内的有（Ｄ） A．P1、P2、P3 B．P1、P2 C．P1、P3 D．P1 【考点】点的坐标． 【分析】根据点的坐标的定义，确定出这三个点的位置，即 可选择答案． 【解答】解：由图可知，P1 在第二象限，点 P2 在 y 轴的正 半轴上，点 P3 在 x 轴的负半轴上，所以，在第二 象限内的有 P1． 故选 D． 【点评】本题考查了点的坐标，主要是对象限内的点与坐标轴上点的认识，是基础题． 10．如图，小红做了一个实验，将正六边形 ABCDEF 绕点 F 顺时 针旋转后到达 A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是 （ Ａ ） A．60° B．72° C．108° D．120° 【考点】旋转的性质；正多边形和圆． 【分析】由六边形 ABCDEF 是正六边形，即可求得∠AFE 的度数，又由邻补角的定义，求 得∠E′FE 的度数，由将正六边形 ABCDEF 绕点 F 顺时针旋转后到达 A′B′C′ D′E′F′的位置，可得∠EFE′是旋转角，继而求得答案． 【解答】解：∵六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴∠AFE=180°×(6-2) 1 6  =120°， ∴∠EFE′=180°-∠AFE=180°-120°=60°， ∵将正六边形 ABCDEF 绕点 F 顺时针旋转后到达 A′B′C′D′E′F′的位置， ∴∠EFE′是旋转角， ∴所转过的度数是 60°． 故选 A． 【点评】此题考查了正六边形的性质、旋转的性质以及旋转角的定义．此题难度不大，注 意找到旋转角是解此题的关键． 11．小芳给你一个如图所示的量角器，如果你用它来度量 角的度数，那么能精确地读出的最小度数是（ Ｂ ） A．1° B．5° C．10° D．180° 【考点】近似数和有效数字． 【分析】度量器角的最小的刻度就是所求． 【解答】解：度量器的最小的刻度是 5°，因而能精确地 读出的最小度数是 5°． 故选 B． 【点评】本题考查了量角器的使用，正确理解：度量器角的最小的刻度就是能精确地读出 的最小度数是关键． 12．小兰画了一个函数 1ay x   的图象如图，那么关 于 x 的分式方程 1 2a x   的解是（ Ａ ） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4 【考点】反比例函数的图象． 【分析】关于 x 的分式方程 ax -1=2 的解就是函数 y=a x -1 中，纵坐标 y=2 时的横坐标 x 的值，据 此即可求解． 【解答】解：关于 x 的分式方程 1 2a x   的解就是函 数 1ay x   中，纵坐标 y=2 时的横坐标 x 的值．根据图象可以得到：当 y=2 时， x=1． 故选 A． 【点评】本题考查了函数的图象，正确理解：关于 x 的分式方程 1 2a x   的解，就是函数 1ay x   中，纵坐标 y=2 时的横坐标 x 的值是关键． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案直接填写在答题卡中相 应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）． 13．如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC= 40°． 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC 进而得出∠DBC 的度数． 【解答】解：∵BD 是∠ABC 的角平分线，∠ABC=80°， ∴∠DBC=∠ABD= 1 2 ∠ABC= 1 2 ×80°=40°， 故答案为：40． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线性质得出∠ABD=∠DBC 是解题 关键． 14．如图，x 和 5 分别是天平上两边的砝码，请你用大于号“＞”或小于号“＜”填空： x ＜ 5． 【考点】不等式的性质． 【分析】托盘天平是支点在中间的等臂杠杆，天平平衡时砝码的质量等于被测物体的质量， 根据图示知被测物体 x 的质量小于砝码的质量． 【解答】解：根据图示知被测物体 x 的质量小于砝码的质量，即 x＜5； 故答案是：＜． 【点评】本题考查了不等式的相关知识，利用“天平”的不平衡来得出不等关系，体现了 “数形结合”的数学思想． 15．一元二次方程 3x2+2x-5=0 的一次项系数是 2 ． 【考点】一元二次方程的一般形式． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0），其中 a，b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可求解． 【解答】解：一元二次方程 3x2+2x-5=0 的一次项系数是：2． 故答案是：2． 【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a ≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项， bx 叫一次项，c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数 项． 16．一个圆锥形的漏斗，小李用三角板测得其高度的尺寸如 图所示，那么漏斗的斜壁 AB 的长度为 5 cm． 【考点】圆锥的计算． 【分析】根据题意及图形知本题是已知圆锥的底面半径及圆 锥的高求圆锥的母线长，利用勾股定理即可求得． 【解答】解：根据题意知：圆锥的底面半径为 3cm，高为 4cm，故圆锥的母线长 AB= 32+42 =5cm． 故答案为 5． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的 底面半径、高及圆锥的母线构成直角三角形． 17．某校篮球队在一次定点投篮训练中进球情况如图，那么 这个对的队员平均进球个数是 6 ． 【考点】加权平均数． 【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以 数据的总个数． 【解答】解：根据题意得：           1 4 4 5 1 8 4 7 61 4 1 4 ， 故答案是：6． 【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求 4，5，7，8 这四个数的 平均数，对平均数的理解不正确． 18．已知：在△ABC 中，AC=a，AB 与 BC 所在直线成 45°角，AC 与 BC 所在直线形成 的夹角的余弦值为 2 55 （即 cosC= 2 55 ），则 AC 边上的中线长是 85 10 a 或 5 10 a ． 【考点】解直角三角形． 【分析】分两种情况：①△ABC 为锐角三角形；②△ABC 为钝角三角形．这两种情况，都 可以首先作△ABC 的高 AD，解直角△ACD 与直角△ABD，得到 BC 的长，再利 用余弦定理求解． 【解答】解：分两种情况： ①△ABC 为锐角三角形时，如图 1． 作△ABC 的高 AD，BE 为 AC 边的中线． ∵在直角△ACD 中，AC=a，cosC= 2 55 ， ∴CD= 2 55 a，AD= 5 5 a． ∵在直角△ABD 中，∠ABD=45°， ∴BD=AD= 5 5 a， ∴BC=BD+CD= 3 5 5 a． 在△BCE 中，由余弦定理，得 BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC 2 2 29 1 3 5 1 2 5 1725 4 5 2 5 20a a a a a       ∴BE= 85 10 a ； ②△ABC 为钝角三角形时，如图 2． 作△ABC 的高 AD，BE 为 AC 边的中线． ∵在直角△ACD 中，AC=a，cosC= 2 55 ， ∴CD= 2 55 a，AD= 5 5 a． ∵在直角△ABD 中，∠ABD=45°， ∴BD=AD= 5 5 a， ∴BC=BD+CD= 3 5 5 a． 在△BCE 中，由余弦定理，得 BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC 2 2 21 1 5 1 2 5 125 4 5 2 5 20a a a a a       ∴BE= 5 10 a ． 综上可知 AC 边上的中线长是 85 10 a 或 5 10 a ． 故答案为 85 10 a 或 5 10 a ． 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定难度，进行分类讨论是 解题的关键． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．请 将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必需 使用黑色字迹的签字笔描黑．在草稿纸、试卷上答题无效） 19．计算： 2( 2 3) 6  【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】先去括号得到原式 2 2 2 3 6     ，再根据二次根式的性质和乘法法 则得到原式 2 6 6   ．然后合并即可． 【解答】解：原式= 2 2 2 3 6     2 6 6   =2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式 的加减运算；运用二次根式的性质和乘法法则进行运算． 20．列方程解应用题： 今年“六•一”儿童节，张红用 8.8 元钱购买了甲、乙两种礼物，甲礼物每件 1.2 元，乙礼 物每件 0.8 元，其中甲礼物比乙礼物少 1 件，问甲、乙两种礼物各买了多少件？ 解：设张红购买甲礼物 x 件，则购买乙礼物 x+1 件，依题意，得． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设张红购买甲种礼物 x 件，则购买乙礼物 x+1 件，根据“两种礼物共用 8.8 元”列出 方程求解即可． 【解答】解：设张红购买甲种礼物 x 件，则购买乙礼物 x+1 件， 根据题意得：1.2x+0.8（x+1）=8.8， 解得：x=4． 答：甲种礼物 4 件，一种礼物 5 件． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到题目中的相等关系是解决本题的关键． 21．右表反映了 x 与 y 之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式： y=x+7，y=x-5， 6y x  ， 1 13y x  x … -6 -5 3 4 … y … 1 1.2 -2 -1.5 … （1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表要求的函数表达式： y= - 6 x ； （2）请说明你选择这个函数表达式的理由． 【考点】反比例函数的性质；函数关系式；一次函数的性质． 【专题】探究型． 【分析】（1）根据表中列出的 x 与 y 的对应关系判断出各点所在的象限，再根据所给的几 个函数关系式即可得出结论； （2）根据（1）中的判断写出理由即可． 【解答】解：（1）∵由表中所给的 x、y 的对应值的符号均相反， ∴所给出的几个式子中只有 y=-6 x 符合条件， 故答案为：y=-6 x ； （2）∵由表中所给的 x、y 的对应值的符号均相反， ∴此函数图象在二、四象限， ∵xy=（-6）×1=（-5）×1.2=-6， ∴所给出的几个式子中只有 y=-6 x 符合条件． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质及一次函数的性质，先根据表中 xy 的对应值判断 出函数图象所在的象限是解答此题的关键． 22．在甲、乙两个袋子中分别装有如图点数的牌，假设随 机从袋子中抽牌时，每张牌被抽到的机会是均等的．那 么分别从两个袋子各抽取 1 张牌时，它们的点数之和 大于 10 的概率是多少？ 【考点】列表法与树状图法． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们的点数之 和大于 10 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 24 种等可能的结果，它们的点数之和大于 10 的有 6 种情况， ∴它们的点数之和大于 10 的概率是： 6 1 24 4  ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两 步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 23．如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形 ABCD 是一个特殊的四 边形． （1）这个特殊的四边形应该叫做 菱形 ； （2）请证明你的结论． 【考点】菱形的判定与性质． 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等 积转换可得邻边相等，则重叠部分为菱形． 【解答】解：（1）菱形； 故答案是：菱形； （2）∵四边形 ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； 过点 D 分别作 AB，BC 边上的高为 DE，DF．则 DE=DF（两纸条相同，纸条宽度相同）； ∵平行四边形的面积为 AB×DE=BC×DF， ∴AB=BC． ∴平行四边形 ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻 边相等的四边形是菱形”． 24．已知：抛物线 23 ( 1) 34y x   ． （1）写出抛物线的开口方向、对称轴； （2）函数 y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值； （3）设抛物线与 y 轴的交点为 P，与 x 轴的交点为 Q，求直线 PQ 的函数解析式． 【考点】二次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；抛物线与 x 轴的交点． 【分析】（1）根据二次函数的性质，写出开口方向与对称轴即可； （2）根据 a 是正数确定有最小值，再根据函数解析式写出最小值； （3）分别求出点 P、Q 的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解答． 【解答】解：（1）抛物线 23 ( 1) 34y x   ， ∵a= 3 4  ＞0， ∴抛物线的开口向上， 对称轴为 x=1； （2）∵a= 3 4  ＞0， ∴函数 y 有最小值，最小值为－3； （3）令 x=0，则 23 9(0 1) 34 4y      ， 所以，点 P 的坐标为（0， 9 4  ）， 令 y=0，则 23 ( 1) 3 04 x    ， 解得 x1=-1，x2=3， 所以，点 Q 的坐标为（-1，0）或（3，0）， 当点 P（0， 9 4  ），Q（-1，0）时，设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b， 则 9 4 0 b k b       ，解得 k= 9 4  ， b= 9 4  ， 所以直线 PQ 的解析式为 9 9 4 4y x   ， 当 P（0， 9 4  ），Q（3，0）时，设直线 PQ 的解析式为 y=mx+n， 则 9 4 3 0 n m n       ，解得 m= 3 4 ， n=- 9 4  ， 所以，直线 PQ 的解析式为 3 9 4 4y x  ， 综上所述，直线 PQ 的解析式为 y=-9 4 x-9 4 或 y=3 4 x-9 4 ． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析 式，以及抛物线与 x 轴的交点问题，是基础题，熟记二次函数的开口方向，对称 轴解析式与二次函数的系数的关系是解题的关键． 25．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦． （1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹 的签字笔描黑）； 第一步，过点 A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点 D； 第二步，过点 D 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E． 第三步，连接 BD． （2）求证：AD2=AE•AB； （3）连接 EO，交 AD 于点 F，若 5AC=3AB，求 EO FO 的值． 【考点】圆的综合题． 【专题】综合题． 【分析】（1）根据基本作图作出∠BAC 的角平分线 AD 交⊙O 于点 D；点 D 作 AC 的垂线， 垂足为点 E； （2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，则∠AED=90°， 又由 AD 平分∠CAB 得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到 Rt△ADE ∽Rt△ABD，根据相似的性质得到 AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到 AD2=AE•AB； （3）连 OD、BC，它们交于点 G，由 5AC=3AB，则不妨设 AC=3x，AB=5x，根 据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB 得到  DC DB ， 根据垂径定理的推论得到 OD 垂直平分 BC，则有 OD∥AE，OG= 1 2 AC= 3 2 x，并 且 得 到 四 边 形 ECGD 为 矩 形 ， 则 CE=DG=OD-OG= 5 2 x- 3 2 x=x ， 可 计 算 出 AE=AC+CE=3x+x=4x，利用 AE∥OD 可得到△AEF∽△DOF，则 AE：OD=EF： OF，即 EF：OF=4x： 5 2 x=8：5，然后根据比例的性质即可得到 EO FO 的值． 【解答】（1）解：如图； （2）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， 而 DE⊥AC， ∴∠AED=90°， ∵AD 平分∠CAB， ∴∠CAD=∠DAB， ∴Rt△ADE∽Rt△ABD， ∴AD：AB=AE：AD， ∴AD2=AE•AB； （3）解：连 OD、BC，它们交于点 G，如图， ∵5AC=3AB，即 AC：AB=3：5， ∴不妨设 AC=3x，AB=5x， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵∠CAD=∠DAB， ∴  DC DB ， ∴OD 垂直平分 BC， ∴OD∥AE，OG=1 2 AC=3 2 x， ∴四边形 ECGD 为矩形， ∴CE=DG=OD-OG= 5 2 x- 3 2 x =x， ∴AE=AC+CE=3x+x=4x， ∵AE∥OD， ∴△AEF∽△DOF， ∴AE：OD=EF：OF， ∴EF：OF=4x： 5 2 x=8：5， ∴ 8 5 13 5 5  OE OF ． 【点评】本题考查了圆的综合题：平分弦所对的弧的直径垂直平分弦；在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧相等；直径所对的圆周角为直角；运用相似三角形的判定 与性质证明等积式和几何计算；掌握基本的几何作图． 26．如图，在△ABC 中，AB=2，AC=BC= 5 ． （1）以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系如图，请你分 别写出 A、B、C 三点的坐标； （2）求过 A、B、C 三点且以 C 为顶点的抛物线的解析式； （3）若 D 为抛物线上的一动点，当 D 点坐标为何值时，S△ABD= 1 2 S△ABC； （4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与 x 轴交于点 A′B′，与 y 轴交于点 C′，当 平移多少个单位时，点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时， 请参看阅读材料）． 附：阅读材料 一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换 元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y4-4y2+3=0． 解：令 y2=x（x≥0），则原方程变为 x2-4x+3=0，解得 x1=1，x2=3． 当 x1=1 时，即 y2=1，∴y1=1，y2=-1． 当 x2=3，即 y2=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ． 所以，原方程的解是 y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ． 再如 2 22 2x x   ，可设 2 2y x  ，用同样的方法也可求解． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据 y 轴是 AB 的垂直平分线，则可以求得 OA，OB 的长度，在直角△OAC 中，利用勾股定理求得 OC 的长度，则 A、B、C 的坐标即可求解； （2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （3）首先求得△ABC 的面积，根据 S△ABD= 1 2 S△ABC，以及三角形的面积公式， 即可求得 D 的纵坐标，把 D 的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标． （4）设抛物线向右平移 c 个单位长度，则 0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解 析式，当点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA•OB，据此即可 得到一个关于 c 的方程求得 c 的值． 【解答】解：（1）∵AB 的垂直平分线为 y 轴， ∴OA=OB= 1 2 AB= 1 2 ×2=1， ∴A 的坐标是（-1，0），B 的坐标是（1，0）． 在直角△OAC 中，   2 2OC BC OB 2 ， 则 C 的坐标是：（0，2）； （2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b， 根据题意得： 0 2 a b b     ，解得： 2 2 a b     ， 则抛物线的解析式是： 22 2y x   ； （3）∵S△ABC= 1 2 AB•OC= 1 2 ×2×2=2， ∴S△ABD= 1 2 S△ABC=1． 设 D 的纵坐标是 m，则 1 2 AB•|m|=1， 则 m=±1． 当 m=1 时，-2x2+2=1，解得：x=± 2 2 ， 当 m=-1 时，，-2x2+2=-1，解得：x=± 6 2 ， 则 D 的坐标是：（ 2 2 ，1）或（- 2 2 ，1）或（ 6 2 ，-1），或（- 6 2 ，-1）． （4）设抛物线向右平移 c 个单位长度，则 0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c． 平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c）2+b． 令 x=0，解得 y=-2c2+2．即 OC′= -2c2+2． 当点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′•OB′， 则（-2c2+2）2=（1-c）（1+c）， 即（4c2-3）（c2-1）=0， 解得：c= 3 2 ， 3 2  （舍去），1， 1 （舍去）． 故平移 3 2 或 1 个单位长度． 【点评】本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数的解析式，以及图象的平移，正确 理解：当点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA•OB，是解题的关键．