2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷【含答案】 10页

1 / 10 2020 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将 超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4， 0，+5，−3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（ ） A.38个 B.36个 C.34个 D.30个 3. 下列运算正确的是（ ） A.√72 ⋅ √ 1 288 = √ 72 288 = ± 1 2 B.(푎푏2)3＝푎푏5 C.(푥 − 푦 + 4푥푦 푥−푦)(푥 + 푦 + 2푥푦−2푦2 푦−푥 )＝(푥 + 푦)2 D.3푐2 8푎푏 ÷ −15푎2푐 4푎푏 = − 2푐 5푎 4. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是0.5；则在一定时间 段内，由该元件组成的图示电路퐴、퐵之间，电流能够正常通过的概率是（ ） A.0.75 B.0.525 C.05 D.025 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程 为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一 半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ） A.102里 B.126里 C.192里 D.198里 6. 已知二次函数푦＝(푎 − 2)푥2 − (푎 + 2)푥 + 1，当푥取互为相反数的任意两个实数值 时，对应的函数值푦总相等，则关于푥的一元二次方程(푎 − 2)푥2 − (푎 + 2)푥 + 1＝0的 两根之积为（ ） A.0 B.−1 C.− 1 2 D.− 1 4 7. 关于二次函数푦 = 1 4 푥2 − 6푥 + 푎 + 27，下列说法错误的是（ ） A.若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4,  5)，则푎＝−5 B.当푥＝12时，푦有最小值푎 − 9 C.푥＝2对应的函数值比最小值大7 D.当푎 < 0时，图象与푥轴有两个不同的交点 8. 命题①设△ 퐴퐵퐶的三个内角为퐴、퐵、퐶且훼＝퐴 + 퐵，훽＝퐶 + 퐴，훾＝퐶 + 퐵，则훼、 훽、훾中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个 评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评 分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9. 在同一坐标系中，若正比例函数푦＝푘1푥与反比例函数푦 = 푘2 푥 的图象没有交点，则 푘1与푘2的关系，下面四种表述①푘1 + 푘2 ≤ 0；②|푘1 + 푘2| < |푘1|或|푘1 + 푘2| < |푘2|； ③|푘1 + 푘2| < |푘1 − 푘2|；④푘1푘2 < 0．正确的有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10. 如图，把某矩形纸片퐴퐵퐶퐷沿퐸퐹，퐺퐻折叠（点퐸、퐻在퐴퐷边上，点퐹，퐺在퐵퐶边 上），使点퐵和点퐶落在퐴퐷边上同一点푃处，퐴点的对称点为퐴′、퐷点的对称点为퐷′，若 ∠퐹푃퐺＝90∘，푆△퐴′퐸푃＝8，푆△퐷′푃퐻＝2，则矩形퐴퐵퐶퐷的长为（ ） 2 / 10 A.6√5 + 10 B.6√10 + 5√2 C.3√5 + 10 D.3√10 + 5√2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，本题要求把正确结果填在答 题纸规定的横线上，不需要解答过程） 11. 如图，△ 퐴퐵퐶中，퐷为퐵퐶的中点，以퐷为圆心，퐵퐷长为半径画一弧，交퐴퐶于点 퐸，若∠퐴＝60∘，∠퐴퐵퐶＝100∘，퐵퐶＝4，则扇形퐵퐷퐸的面积为________． 12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________． 13. 分式 2푥 푥−2 与 8 푥2−2푥 的最简公分母是________，方程 2푥 푥−2 − 8 푥2−2푥 = 1的解是________． 14. 公司以3元/푘푔的成本价购进10000푘푔柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得 12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计， 再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率” 统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为________（精确到0.1）；从而可大约 每千克柑橘的实际售价为________元时（精确到0.1），可获得12000元利润法利润． 柑橘总质量푛/푘푔 损坏柑橘质量푚/푘푔 柑橘损坏的频率푚 푛 （精确到0.001） … … … 250 24.75 0.099 300 30.93 0.103 350 35.12 0.100 450 44.54 0.099 500 50.62 0.101 15. “书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几 张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5 月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日 到5月28日他共用宣纸张数为________，并可推断出5月30日应该是星期几________． 16. 已知퐴퐵为⊙ 푂的直径且长为2푟，퐶为⊙ 푂上异于퐴，퐵的点，若퐴퐷与过点퐶的⊙ 푂的切线互相垂直，垂足为퐷．①若等腰三角形퐴푂퐶的顶角为120度，则퐶퐷 = 1 2 푟，② 若△ 퐴푂퐶为正三角形，则퐶퐷 = √3 2 푟，③若等腰三角形퐴푂퐶的对称轴经过点퐷，则퐶퐷＝ 푟，④无论点퐶在何处，将△ 퐴퐷퐶沿퐴퐶折叠，点퐷一定落在直径퐴퐵上，其中正确结论 的序号为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤） 17. （1）计算：|1 − √3| − √2 × √6 + 1 2−√3 − (2 3)−2； 3 / 10 （2）已知푚是小于0的常数，解关于푥的不等式组：{ 4푥 − 1 > 푥 − 7 − 1 4 푥 < 3 2 푚 − 1 ． 18. 如图，正方形퐴퐵퐶퐷，퐺是퐵퐶边上任意一点（不与퐵、퐶重合），퐷퐸 ⊥ 퐴퐺于点퐸， 퐵퐹 // 퐷퐸，且交퐴퐺于点퐹． （1）求证：퐴퐹 − 퐵퐹＝퐸퐹； （2）四边形퐵퐹퐷퐸是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点퐺的位置，如不可 能请说明理由． 19. 如图，一艘船由퐴港沿北偏东65∘方向航行38푘푚到퐵港，然后再沿北偏西42∘方向 航行至퐶港，已知퐶港在퐴港北偏东20∘方向． （1）直接写出∠퐶的度数； （2）求퐴、퐶两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可） 4 / 10 20. 已知自变量푥与因变量푦1的对应关系如表呈现的规律． 푥 … −2 −1 0 1 2 … 푦1 … 12 11 10 9 8 … （1）直接写出函数解析式及其图象与푥轴和푦轴的交点푀，푁的坐标； （2）设反比列函数푦1 = 푘 푥 (푘 > 0)的图象与（1）求得的函数的图象交于퐴，퐵两点，푂 为坐标原点且푆△퐴푂퐵＝30，求反比例函数解析式；已知푎 ≠ 0，点(푎, 푦2)与(푎, 푦1)分别 在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出푦2与푦1的大小关系． 21. 为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼， 注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩， 通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表． 跳绳的次数 频数 60 ≤ 푥 < 80 4 80 ≤ 푥 < 100 6 100 ≤ 푥 < 120 11 120 ≤ 푥 < 140 22 140 ≤ 푥 < 160 10 160 ≤ 푥 < 180 4 180 ≤ 푥 < 200 （1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组 数据补充完整； （2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数； （3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众 数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论． 5 / 10 22. “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基 本思维方式，例如：解方程푥 − √푥 = 0，就可以利用该思维方式，设√푥 = 푦，将原方 程转化为：푦2 − 푦＝0这个熟悉的关于푦的一元二次方程，解出푦，再求푥，这种方法又 叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题． 已知实数푥，푦满足{ 5푥2푦2 + 2푥 + 2푦 = 133 푥+푦 4 + 2푥2푦2 = 51 ，求푥2 + 푦2的值． 23. 某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现 多处出现著名的黄金分割比√5−1 2 ≈ 0.618．如图，圆内接正五边形퐴퐵퐶퐷퐸，圆心为푂， 푂퐴与퐵퐸交于点퐻，퐴퐶、퐴퐷与퐵퐸分别交于点푀、푁．根据圆与正五边形的对称性，只 对部分图形进行研究．（其它可同理得出） （1）求证：△ 퐴퐵푀是等腰三角形且底角等于36∘，并直接说出△ 퐵퐴푁的形状； （2）求证：퐵푀 퐵푁 = 퐵푁 퐵퐸 ，且其比值푘 = √5−1 2 ； （3）由对称性知퐴푂 ⊥ 퐵퐸，由（1）（ 2）可知푀푁 퐵푀 也是一个黄金分割数，据此求sin18∘ 的值． 6 / 10 24. 已知某厂以푡小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1 < 푡 ≤ 1），且 每小时可获得利润60(−3푡 + 5 푡 + 1)元． （1）某人将每小时获得的利润设为푦元，发现푡＝1时，푦＝180，所以得出结论：每小 时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他 进行分析说明； （2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算） 可生产该产品多少千克； （3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并 求此最大利润． 7 / 10 参考答案与试题解析 2020 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B 10.D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，本题要求把正确结果填在答 题纸规定的横线上，不需要解答过程） 11.4휋 9 12.3휋 + 4 13.푥(푥 − 2),푥＝−4 14.0.9,14 3 15.112,五、六、日 16.②③④ 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤） 17.原式= √3 − 1 − 2√3 + 2 + √3 − 9 4 = − 5 4 ； { 4푥 − 1 > 푥 − 7 − 1 4 푥 < 3 2 푚 − 1 ， 解不等式①得：푥 > −2， 解不等式②得：푥 > 4 − 6푚， ∵ 푚是小于0的常数， ∴ 4 − 6푚 > 0 > −2， ∴ 不等式组的解集为：푥 > 4 − 6푚． 18.证明：∵ 正方形， ∴ 퐴퐵＝퐴퐷，∠퐵퐴퐹 + ∠퐷퐴퐸＝90∘， ∵ 퐷퐸 ⊥ 퐴퐺， ∴ ∠퐷퐴퐸 + ∠퐴퐷퐸＝90∘， ∴ ∠퐴퐷퐸＝∠퐵퐴퐹， 又∵ 퐵퐹 // 퐷퐸， ∴ ∠퐵퐹퐴＝90∘＝∠퐴퐸퐷， ∴ △ 퐴퐵퐹 ≅△ 퐷퐴퐸(퐴퐴푆)， ∴ 퐴퐹＝퐷퐸，퐴퐸＝퐵퐹， ∴ 퐴퐹 − 퐵퐹＝퐴퐹 − 퐴퐸＝퐸퐹； 不可能，理由是： 如图，若要四边形是平行四边形， 已知퐷퐸 // 퐵퐹，则当퐷퐸＝퐵퐹时，四边形퐵퐹퐷퐸为平行四边形， ∵ 퐷퐸＝퐴퐹， ∴ 퐵퐹＝퐴퐹，即此时∠퐵퐴퐹＝45∘， 而点퐺不与퐵和퐶重合， ∴ ∠퐵퐴퐹 ≠ 45∘，矛盾， ∴ 四边形不能是平行四边形． 8 / 10 19.如图，由题意得： ∠퐴퐶퐵＝20∘ + 42∘＝62∘； 由题意得，∠퐶퐴퐵＝65∘ − 20∘＝45∘，∠퐴퐶퐵＝42∘ + 20∘＝62∘，퐴퐵＝， 过퐵作퐵퐸 ⊥ 퐴퐶于퐸， 20.根据表格中数据发现： 푦1和푥的和为10， ∴ 푦1＝10 − 푥， 且当푥＝0时，푦1＝10， 令푦1＝0，푥＝10， ∴ 푀(10, 0)，푁(0,  10)； 设퐴(푚,  10 − 푚)，퐵(푛,  10 − 푛)， 分别过퐴和퐵作푥轴的垂线，垂足为퐶和퐷， ∵ 点퐴和点퐵都在反比例函数图象上， ∴ 푆△퐴푂퐵＝푆△퐴푂푀 − 푆△푂퐵푀 = 1 2 × 10 × (10 − 푚) − 1 2 × 10 × (10 − 푛) ＝30， 化简得：푛 − 푚＝6， 联立{ 푦 = 10 − 푥 푦 = 푘 푥 ，得：푥2 − 10푥 + 푘＝0， ∴ 푚 + 푛＝10，푚푛＝푘， ∴ 푛 − 푚 = √(푚 + 푛)2 − 4푚푛 = 6， 则√102 − 4푘 = 6，解得：푘＝16， ∴ 反比例函数解析式为：푦2 = 16 푥 ， 解푥2 − 10푥 + 16＝0，得：푥＝2或8， ∴ 퐴(2,  8)，퐵(8,  2)， ∵ (푎, 푦2)在反比例函数푦2 = 16 푥 上，(푎, 푦1)在一次函数푦＝10 − 푥上，∴ 当푎 < 0 或2 < 푎 < 8时，푦2 < 푦1； 当0 < 푎 < 2或푎 > 8时，푦2 > 푦1； 当푎＝2或8时，푦2＝푦1． 21.由题意：最小的数是60，最大的数是198，组距是20，可得分组， 60 − (4 + 6 + 11 + 22 + 10 + 4)＝3， 补充表格如下： 9 / 10 ∵ 全校有2100名学生，样本中成绩能达到最好一组成绩的人数为3， ∴ 2100 × 3 60 = 105人， 故全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数为105人； 由题意可得： 70次的有4人，90次的有6人，110次的有11人，130次的有22人，150次的有10人， 170次的有4人，190次的有3人， 则样本平均数＝(4 × 70 + 6 × 90 + 11 × 110 + 22 × 130 + 10 × 150 + 4 × 170 + 3 × 190) ÷ 60 ≈ 127， 众数为130， 从样本平均数来看：全校学生60秒跳绳平均水平约为127个； 从众数来看：全校学生60秒跳绳成绩在120到140之间的人数较多． 22.令푥푦＝푎，푥 + 푦＝푏，则原方程组可化为： { 5푎2 + 2푏 = 133 푏 4 + 2푎2 = 51 ，整理得：{ 5푎2 + 2푏 = 133 16푎2 + 2푏 = 408 ， ②-①得：11푎2＝275， 解得：푎2＝25，代入②可得：푏＝4， ∴ 方程组的解为：{푎 = 5 푏 = 4 或{푎 = −5 푏 = 4 ， 푥2 + 푦2＝(푥 + 푦)2 − 2푥푦＝푏2 − 2푎， 当푎＝5时，푥2 + 푦2＝6， 当푎＝−5时，푥2 + 푦2＝26， 因此푥2 + 푦2的值为6或26． 23.连接圆心푂与正五边形各顶点， 在正五边形中， ∠퐴푂퐸＝360∘ ÷ 5＝72∘， ∴ ∠퐴퐵퐸 = 1 2 ∠퐴푂퐸＝36∘， 同理∠퐵퐴퐶 = 1 2 × 72∘＝36∘， ∴ 퐴푀＝퐵푀， ∴ △ 퐴퐵푀是等腰三角形且底角等于36∘， ∵ ∠퐵푂퐷＝∠퐵푂퐶 + ∠퐶푂퐷＝72∘ + 72∘＝144∘， ∴ ∠퐵퐴퐷 = 1 2 ∠퐵푂퐷＝72∘， ∴ ∠퐵푁퐴＝180∘ − ∠퐵퐴퐷 − ∠퐴퐵퐸＝72∘， ∴ 퐴퐵＝푁퐵，即△ 퐴퐵푁为等腰三角形； ∵ ∠퐴퐵푀＝∠퐴퐵퐸，∠퐴퐸퐵 = 1 2 ∠퐴푂퐵＝36∘＝∠퐵퐴푀， ∴ △ 퐵퐴푀 ∽△ 퐵퐸퐴， ∴ 퐵푀 퐴퐵 = 퐴퐵 퐵퐸 ，而퐴퐵＝퐵푁， 10 / 10 ∴ 퐵푀 퐵푁 = 퐵푁 퐵퐸 ， 设퐵푀＝푦，퐴퐵＝푥，则퐴푀＝퐴푁＝푦，퐴퐵＝퐴퐸＝퐵푁＝푥， ∵ ∠퐴푀푁＝∠푀퐴퐵 + ∠푀퐵퐴＝72∘＝∠퐵퐴푁，∠퐴푁푀＝∠퐴푁퐵， ∴ △ 퐴푀푁 ∽△ 퐵퐴푁， ∴ 퐴푀 퐴퐵 = 푀푁 퐴푁 ，即푦 푥 = 푥−푦 푦 ，则푦2＝푥2 − 푥푦， 两边同时除以푥2，得：(푦 푥)2 = 1 − 푦 푥 ，设푦 푥 = 푡， 则푡2 + 푡 − 1＝0，解得：푡 = √5−1 2 或−1−√5 2 （舍）， ∴ 퐵푀 퐵푁 = 퐵푁 퐵퐸 = 푦 푥 = √5−1 2 ； ∵ ∠푀퐴푁＝36∘，根据对称性可知：∠푀퐴퐻＝∠푁퐴퐻 = 1 2 ∠푀퐴푁＝18∘， 而퐴푂 ⊥ 퐵퐸， ∴ sin18∘＝sin∠푀퐴퐻 = 푀퐻 퐴푀 = 1 2푀푁 퐴푀 = 1 2(푥−푦) 푦 = 푥 − 푦 2푦 = 1 2 × 푥 푦 − 1 2 = 1 2 × 2 √5 − 1 − 1 2 = √5−1 4 ． 24.他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论； 令푦＝60(−3푡 + 5 푡 + 1)，当푡＝1时，푦＝180， ∵ 当0.1 < 푡 ≤ 1时，5 푡 随푡的增大而减小，−3푡也随푡的增大而减小， ∴ −3푡 + 5 푡 的值随푡的增大而减小， ∴ 푦＝60(−3푡 + 5 푡 + 1)随푡的增大而减小， ∴ 当푡＝1时，푦取最小， ∴ 他的结论正确． 由题意得：60(−3푡 + 5 푡 + 1) × 2＝1800， 整理得：−3푡2 − 14푡 + 5＝0， 解得：푡1 = 1 3 ，푡2＝−5（舍）， 即以1 3 小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8 ÷ 1 3 = 24千克． ∴ 1天（按8小时计算）可生产该产品24千克； 生产680千克该产品获得的利润为：푦＝680푡 × 60(−3푡 + 5 푡 + 1)， 整理得：푦＝40800(−3푡2 + 푡 + 5)， ∴ 当푡 = 1 6 时，푦最大，且最大值为207400元． ∴ 该厂应该选取1 6 小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．