九年级数学上册第二章一元二次方程阶段复习习题课件新版北师大版 40页

阶段复习课 第 二 章 主题 1 一元二次方程的相关概念与解法 【 主题训练 1】 (2013 · 盐城中考 ) 先化简 , 再求值 : (x-1)÷ 其中 x 为方程 x 2 +3x+2=0 的根 . 【 自主解答 】 原式 = 由 x 2 +3x+2=0, 得 x 1 =-1,x 2 =-2. 当 x=-1 时 , 原式无意义 , 所以 x=-1 舍去 , 当 x=-2 时 , 原式 =1. 【 主题升华 】 一元二次方程的有关概念 (1) 一元二次方程满足的四个条件 ① 整式方程 ② 只含有一个未知数 ③ 未知数的最高次数是 2 ④ 二次项系数不为 0 (2) 一元二次方程的项包括它前面的符号 , 一次项和常数项可以为 0. (3) 根能使方程左右两边相等 , 已知一个根 , 可代入确定方程中的字母系数 . 1.(2013 · 西双版纳州中考 ) 一元二次方程 x 2 -2x-3=0 的解是 　 ( 　　 ) A.x 1 =-1,x 2 =3 B.x 1 =1,x 2 =-3 C.x 1 =-1,x 2 =-3 D.x 1 =1,x 2 =3 【 解析 】 选 A.∵a=1,b=-2,c=-3,∴b 2 -4ac=16, ∴x= ∴x 1 =-1,x 2 =3. 2.(2014 · 长汀县一模 ) 方程 (2x+1)(3x-2)=0 的解是 　　　　　 . 【 解析 】 ∵(2x+1)(3x-2)=0, ∴2x+1=0,3x-2=0, 答案 : 3.(2013 · 常州中考 ) 已知 x=-1 是关于 x 的方程 2x 2 +ax-a 2 =0 的一个根 , 则 a= 　　　　　　 . 【 解析 】 根据题意得 :2-a-a 2 =0, 解得 a=-2 或 1. 答案 : -2 或 1 4.(2013 · 广州中考 ) 解方程 :x 2 -10x+9=0. 【 解析 】 将方程 x 2 -10x+9=0, 变形为 :x 2 -10x=-9, 配方 ,x 2 -10x+25=-9+25, 整理 , 得 (x-5) 2 =16, 解得 ,x 1 =1,x 2 =9. 【 一题多解 】 公式法 : 因为 a=1,b=-10,c=9, Δ=100-36=64>0, 由求根公式解得 ,x 1 =1,x 2 =9. 因式分解法 : 将方程 x 2 -10x+9=0, 变形为 :(x-1)(x-9)=0, 解得 ,x 1 =1,x 2 =9. 【 知识归纳 】 一元二次方程解法的理论依据及适用形式 方法名称 理论依据 适用方程的形式 直接开 平方法 平方根的意义 x 2 =p 或 (mx+n) 2 =p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程 公式法 配方法 所有的一元二次方程 分解 因式法 两个因式的积等于 0, 那么这两个因式至少有一个等于 0 一边是 0, 另一边是易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程 解读 : 配方法要先配方 , 再降次 ; 公式法是判断 b 2 -4ac>0 后直接利用求根公式 ; 分解因式法是把方程的一边化为两个一次因式的乘积 , 另一边为 0. 主题 2 一元二次方程的根与 b 2 -4ac 的关系 【 主题训练 2】 (2013 · 乐山中考 ) 已知一元二次方程 x 2 -(2k+1)x+k 2 +k=0. (1) 求证 : 方程有两个不相等的实数根 . (2) 若△ ABC 的两边 AB,AC 的长是这个方程的两个实数根 , 第三边 BC 的长为 5. 当△ ABC 是等腰三角形时 , 求 k 的值 . 【 自主解答 】 (1)∵ 一元二次方程为 x 2 -(2k+1)x+k 2 +k=0, ∴Δ=[-(2k+1)] 2 -4(k 2 +k)=1>0, ∴ 此方程有两个不相等的实数根 . (2)∵△ABC 的两边 AB,AC 的长是这个方程的两个实数根 , 由 (1) 知 ,AB≠AC,△ABC 的第三边 BC 的长为 5, 且△ ABC 是等腰三角形 , ∴ 必然有 AB=5 或 AC=5, 即 x=5 是原方程的一个解 . 将 x=5 代入方程 x 2 -(2k+1)x+k 2 +k=0, 即 25-5(2k+1)+k 2 +k=0, 解得 k=4 或 k=5. 当 k=4 时 , 原方程为 x 2 -9x +20=0,x 1 =5,x 2 =4, 以 5,5,4 为边长能构成等腰三角形 ; 当 k=5 时 , 原方程为 x 2 -11x +30=0,x 1 =5,x 2 =6, 以 5,5,6 为边长能构成等腰三角形 . ∴k 的值为 4 或 5. 【 主题升华 】 一元二次方程的根与 b 2 -4ac 的关系 (1)b 2 -4ac>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根 . (2)b 2 -4ac=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根 . (3)b 2 -4ac<0 ⇔ 方程没有实数根 . 1.(2014 · 西岗区模拟 ) 下列一元二次方程中 , 有两个不相等的实数根的方程是　 ( 　　 ) A.x 2 -3x+1=0 B. x 2 +1=0 C.x 2 -2x+1=0 D.x 2 -2x+3=0 【 解析 】 选 A. 选项 A 中的 b 2 -4ac>0, 所以方程有两个不相等的实数根 ; 选项 B 中的 b 2 -4ac<0, 所以方程没有实数根 ; 选项 C 中的 b 2 -4ac=0, 所以方程有两个相等的实数根 ; 选项 D 中的 b 2 -4ac<0, 所以方程没有实数根 . 2.(2013 · 十堰中考 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +2x-a=0 有两个相等的实数根 , 则 a 的值是　 ( 　　 ) A.4 B.-4 C.1 D.-1 【 解析 】 选 D.∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 +2x-a=0 有两个相等的实数根 , ∴Δ=b 2 -4ac=0, 即 2 2 -4(-a)=0, 解得 :a=-1. 3.(2012 · 孝感中考 ) 已知关于 x 的方程 x 2 -2(k-1)x+k 2 =0 有两个实数根 , 求 k 的取值范围 . 【 解析 】 ∵ 方程 x 2 -2(k-1)x+k 2 =0 有两个实数根 , ∴b 2 -4ac≥0, 即 [-2(k-1)] 2 -4k 2 ≥0, ∴4k 2 -8k+4-4k 2 ≥0, 解得 k≤ . 主题 3 一元二次方程的根与系数的关系 【 主题训练 3】 (2013 · 仙桃中考 ) 已知 α,β 是一元二次方程 x 2 -5x-2=0 的两个实数根 , 则 α 2 +αβ+β 2 的值为　 ( 　　 ) A.-1 B.9 C.23 D.27 【 自主解答 】 选 D.∵α,β 是一元二次方程 x 2 -5x-2=0 的两个实数根∴ ∴ α 2 +αβ+β 2 =(α+β) 2 -αβ=5 2 -(-2)=27. 【 主题升华 】 一元二次方程的根与系数的关系的三个应用 1. 已知一个一元二次方程和它的一个根 , 不解方程 , 求另一个根或字母系数的值 . 2. 已知一个一元二次方程 , 不解方程 , 求关于它的两个根的某些代数式的值 . 3. 利用根与系数的关系求新的方程 . 1.(2013 · 泸州中考 ) 设 x 1 ,x 2 是方程 x 2 -3x-3=0 的两个实数根 , 则 的值为　 ( 　　 ) A.5 B.-5 C.1 D.-1 【 解题指南 】 本题涉及的三个知识点 (1) 一元二次方程根与系数的关系 . (2) 分式的运算 . (3) 完全平方公式的变形 . 【 解析 】 选 B. 由根与系数的关系可知 x 1 +x 2 =3,x 1 x 2 =-3, 2.(2013 · 遵义中考 ) 已知 x=-2 是方程 x 2 +mx-6=0 的一个根 , 则方程的另一个根是 　　　　 . 【 解析 】 设方程另一个根为 x 1 , 根据题意得 -2 · x 1 =-6, 所以 x 1 =3. 答案 : 3 【 互动探究 】 本题中 m 的值是多少 ? 【 解析 】 由题意求得方程的两个根分别是 -2 和 3, ∴-2+3=-m,∴m=-1. 3.(2013 · 黔东南中考 ) 若两个不等实数 m,n 满足条件 :m 2 -2m-1=0,n 2 -2n-1=0, 则 m 2 +n 2 的值是 　　　　 . 【 解析 】 ∵m 2 -2m-1=0,n 2 -2n-1=0,m≠n,∴m,n 是 x 2 -2x-1=0 的两根 , 由根与系数关系得 m+n=2,mn=-1, ∴m 2 +n 2 =(m+n) 2 -2mn=2 2 -2×(-1)=6. 答案 : 6 4.(2012 · 鄂州中考 ) 关于 x 的一元二次方程 x 2 -(m-3)x-m 2 =0. (1) 证明 : 方程总有两个不相等的实数根 . (2) 设这个方程的两个实数根为 x 1 ,x 2 , 且 |x 1 |=|x 2 |-2, 求 m 的值及方程的根 . 【 解析 】 (1) 一元二次方程 x 2 -(m-3)x-m 2 =0, ∵a=1,b=-(m-3)=3-m,c=-m 2 , ∴Δ=b 2 -4ac=(3-m) 2 -4×1×(-m 2 )=(3-m) 2 +4m 2 >0, ∴ 方程总有两个不相等的实数根 . (2) 由根与系数的关系得 x 1 · x 2 = =-m 2 ≤0,x 1 +x 2 =m-3, ∴x 1 ,x 2 异号 , 又 |x 1 |=|x 2 |-2, 即 |x 1 |-|x 2 |=-2, 若 x 1 >0,x 2 <0, 上式化简得 :x 1 +x 2 =-2, ∴m-3=-2, 即 m=1, 方程化为 x 2 +2x-1=0, 解得 :x 1 =-1+ ,x 2 =-1- . 若 x 1 <0,x 2 >0, 上式化简得 :-(x 1 +x 2 )=-2, ∴x 1 +x 2 =m-3=2, 即 m=5, 方程化为 x 2 -2x-25=0, 解得 :x 1 =1- ,x 2 =1+ . 主题 4 一元二次方程的应用 【 主题训练 4】 (2013 · 重庆中考 ) “ 4 · 20 ” 雅安地震后 , 某商家为支援灾区人民 , 计划捐赠帐篷 16800 顶 , 该商家备有 2 辆大货车、 8 辆小货车运送 , 计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷 200 顶 , 大、小货车每天均运送一次 , 两天恰好运完 . (1) 求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶 ? (2) 因地震导致路基受损 , 实际运送过程中 , 每辆大货车每次比 原计划少运 200m 顶 , 每辆小货车每次比原计划少运 300 顶 . 为了 尽快将帐篷运送到灾区 , 大货车每天比原计划多跑 m 次 , 小货车 每天比原计划多跑 m 次 , 一天刚好运送了帐篷 14400 顶 , 求 m 的 值 . 【 解析 】 (1) 设小货车原计划每辆每次运送帐篷 x 顶 , 则大货车 原计划每辆每次运送帐篷 (x+200) 顶 , 根据题意 , 得 2[8x+2(x+200)]=16800, 解得 x=800, x+200=800+200=1000. 答 : 大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷 1000 顶 ,800 顶 . (2) 根据题意 , 得 2(1000-200m)+8(800-300)(1+ m)=14400, 化简为 m 2 -23m+42=0, 解得 m 1 =2,m 2 =21. ∵1000-200m 不能为负数 , 且 m 为整数 , ∴m=21 不符合实际 , 舍去 , ∴m 的值为 2. 【 主题升华 】 列一元二次方程解应用题的三点注意 1. 审题 : 准确找出已知量与未知量之间的关系 . 2. 设元 : 分为直接设未知数和间接设未知数两种 , 对于直接设未知数列方程比较困难或列出的方程比较复杂时 , 要考虑采用间接设未知数 . 3. 检验 : 求出方程的解后 , 必须检验所求的解是否符合题目要求或客观实际 , 不符合的解需要舍去 . 1.(2013 · 白银中考 ) 某超市一月份的营业额为 36 万元 , 三月 份的营业额为 48 万元 . 设每月的平均增长率为 x, 则可列方程 为　 ( 　　 ) A.48(1-x) 2 =36 B.48(1+x) 2 =36 C.36(1-x) 2 =48 D.36(1+x) 2 =48 【 解析 】 选 D. 二月份的营业额为 36(1+x), 三月份的营业额为 36(1+x)(1+x)=36(1+x) 2 , 即所列的方程为 36(1+x) 2 =48. 2.(2013 · 广元中考 ) 三角形的两边长分别为 3 和 6, 第三边是方程 x 2 -6x+8=0 的解 , 这个三角形的周长是　 ( 　　 ) A.11 　　　　 B.13 　　　 C.11 或 13 　　　 D.11 和 13 【 解析 】 选 B. 解方程 x 2 -6x+8=0, 得 x 1 =2,x 2 =4.∵2+3<6,∴ 第三边不能为 2, 当第三边为 4 时 , 周长为 3+6+4=13.