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  • 2021-11-10 发布

中考数学解题指导专题13:数学思想方法之分类探讨

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1 【2013 年中考攻略】专题 13:数学思想方法之分类探讨 数学中的所谓分类,就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数 学思想。它既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学逻辑方法。有关分类讨论思想的数学问题具有 明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性。掌握好这类问题对提高综合学习能力 会有很大帮助,它既有利于培养学生的创新精神与探索精神,又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。 分类思想解题的过程(思维、动因和方法)我们把它归纳为 WHDI 四个方面: W 即为什么要进行分类。一般地说,当我们研究的问题是下列五种的情形时可以考虑使用分类的思想 方法来解决问题:( 1)涉及到分类定义的概念,有些概念是分类定义的,如有理数、实数、绝对值、平方 根、有理式、三角形的概念等,当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法;( 2)直接运用了 分类研究的定理、性质、公式、法则,如有理数的大小比较法则、一元二次方程根的判别式、直线与圆的 位置关系、函数的性质等,当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题 时,如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法;( 3) 问题中含有的参变量的不同取值(如分段函数)会导致不同结果而需要对其进行分类讨论;(4)几何问题 中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论;( 5)由数学运算引起的分类讨论。 H 即如何进行分类。首先,明确分类讨论思想的三个原则:(1)不遗漏原则;(2)不重复原则;(3) 同标准原则。其次,查找引起分类讨论的主要原因,即上述五个主要原因的哪一种。第三,掌握分类讨论 思想的常用方法。分类方法一般为分区间讨论法,即把参数的变化范围(或几何图形中动态的变化范围) 划分成若干个以参数特征为分界点(或几何图形中的端点)的小区间分别进行讨论,根据题设条件或数学 概念、定理、公式的限制条件确定参数(如零点,几何图形中的顶点)。 D 即正确进行逐类逐级分类讨论。 I 即归纳小结,总结出结论。 结合 2012 年全国各地中考的实例,我们从下面五方面探讨分类方法的应用:( 1)代数中涉及到分类 定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用;(2)几何中涉及到分类定义概念和直 接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用;(3)含有的参变量的不同取值的分类应用;(4)几 何问题中几何图形的不确定的分类应用;(5)由数学运算引起的分类应用。 一、代数中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应 用: 典型例题: 例 1. (2012 四川凉山 4 分)x 是 2 的相反数,︱y︱=3,则 x-y 的值是【 】 2 A. 5 B.1 C. 1 或 5 D.1 或 5 【答案】D。 【考点】代数式求值,相反数,绝对值。 【分析】根据相反数和绝对值的意义可求 x 和 y 的值,再代入计算: ∵x 是 2 的相反数,∴x=-2。 ∵︱y︱=3,∴y=±3。 当 x=-2,y=3 时,x-y=-2-3=-5;当 x=-2,y=-3 时,x-y=-2-(-3)=1。故选 D。 例 2. (2012 湖南衡阳 3 分)函数 2y= x+2 中自变量 x 的取值范围是【 】 A.x>﹣2 B.x≥2 C.x≠﹣2 D.x≥﹣2 【答案】A。 【考点】函数自变量的取值范围,二次根式和分式有意义的条件。 【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据二次根式被开方数必须是非负 数和分式分母不为 0 的条件,要使 2 x+2 在实数范围内有意义,必须 x+2 0 x 2 x > 2x+2 0 x 2        。故选 A。 例 3.(2012 湖北襄阳 3 分)如果关于 x 的一元二次方程 2kx 2k 1x 1 0    有两个不相等的实数根,那 么 k 的取值范围是【 】 A.k< 1 2 B.k< 且 k≠0 C.﹣ ≤k< D.﹣ ≤k< 且 k≠0 【答案】D。 【考点】一元二次方程定义和根的判别式,二次根式有意义的条件。 【分析】由题意,根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知: k≠0;根据二次根式被开方数非负数的条 件得:2k+1≥0;根据方程有两个不相等的实数根,得△=2k+1﹣4k>0。三者联立,解得﹣ 1 2 ≤k< 且 k≠0。 故选 D。 例 4. (2012 福建泉州 3 分)若 y kx 4的函数值 y 随着 x 的增大而增大,则 k 的值可能是下列的【 】. A . 4 B. 2 1 C.0 D.3 【答案】D。 【考点】一次函数图象与系数的关系。 3 【分析】一次函数 y=kx+b的图象有四种情况: ①当 k0> 时, y 的值随 x 的值增大而增大; ②当 k0< 时, y 的值随 x 的值增大而减小。 由题意得,函数 y kx 4函数值 y 随着 x 的增大而增大,,故 ,可取 3。故选 D。 练习题: 1. (2012 四川德阳 3 分)使代数式 x 2x 1 有意义的 x 的取值范围是【 】 A. x0 B. 1x 2 C. x0 且 1x 2 D.一切实数 2.(2012 山东东营 3 分)方程  2 1k 1 x 1 kx+ =04   有两个实数根,则 k 的取值范围是【 】. A. k≥1 B. k≤1 C. k>1 D. k<1 3. (2012 贵州贵阳 4 分)在正比例函数 y=﹣3mx 中,函数 y 的值随 x 值的增大而增大,则 P(m,5) 在 第 ▲ 象限. 一、几何中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应 用: 典型例题: 例 1. (2012 湖南长沙 3 分)现有 3cm,4cm,7cm,9cm 长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形, 那么可以组成的三角形的个数是【 】 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B。 【考点】构成三角形的三边的条件。 【分析】四条木棒的所有组合:3,4,7 和 3,4,9 和 3,7,9 和 4,7,9,根据三角形两边之和大于第 三边,两边之差小于第三边的构成条件,只有 3,7,9 和 4,7,9 能组成三角形。故选 B。 例 2. (2012 贵州贵阳 3 分)如图,已知点 A、D、C、F 在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF, 还需要添加一个条件是【 】 A.∠BCA=∠F B.∠B=∠E C.BC∥EF D.∠A=∠EDF 【答案】B。 【考点】全等三角形的判定。190187。 4 【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断: A、由 AB=DE,BC=EF 和∠BCA=∠F 构成 SSA,不符合全等的条件,不能推出△ABC≌△DEF, 故本选项错误; B、由 AB=DE,BC=EF 和∠B=∠E 构成 SAS,符合全等的条件,能推出△ABC≌△DEF,故本 选项正确; C、∵BC∥EF,∴∠F=∠BCA。 由 AB=DE,BC=EF 和∠F=∠BCA 构成 SSA,不符合全等的条件,不能推出△ABC≌△DEF, 故本选项错误; D、由 AB=DE,BC=EF 和∠A=∠EDF 构成 SSA,不符合全等的条件,不能推出△ABC≌△DEF, 故本选项错误。故选 B。 例 3. (2012 宁夏区 3 分)一个等腰三角形两边的长分别为 4 和 9,那么这个三角形的周长是【 】 A.13 B.17 C.22 D.17 或 22 【答案】C。 【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。 【分析】求等腰三角形的周长,即是确定等腰三角形的腰与底的长;题目给出等腰三角形有两条边长为 4 和 9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形: ①若 4 为腰长,9 为底边长,由于 4+4<9,则三角形不存在; ②9 为腰长,则符合三角形的两边之和大于第三边。 ∴这个三角形的周长为 9+9+4=22。故选 C。 例 4.(2012 福建三明 4 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A 在第一象限,点 P 在 x 轴上,若以 P,O, A 为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点 P 共有【 】 A. 2 个 B. 3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】C。 【考点】等腰三角形的判定。 【分析】如图,分 OP=AP(1 点),OA=AP(1 点),OA=OP(2 点) 5 三种情况讨论。 ∴以 P,O,A 为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点 P 共有 4 个。故选 C。 例 5. (2012 青海西宁 2 分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,AC=12,BD=16, E 为 AD 的中点,点 P 在 x 轴上移动.小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的 P 点坐标为(-5,0) 和(5,0).请你写出其余所有符合这个条件的 P 点的坐标 ▲ . 【答案】(8,0),( 25 8 ,0)。 【考点】菱形的性质,坐标与图形的性质,勾股定理,等腰三角形的判定。 【分析】∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,OA= 1 2 AC= ×12=6,OD= BD= ×16=8。 ∴在 Rt△AOD 中,AD= 22OA OD 10。 ∵E 为 AD 中点,∴OE= AD= ×10=5。 ①当 OP=OE 时,P 点坐标(-5,0)和(5,0)。 ②当 OE=PE 时,此时点 P 与 D 点重合,即 P 点坐标为(8,0)。 ③如图,当 OP=EP 时,过点 E 作 EK⊥BD 于 K,作 OE 的垂直平分线 PF,交 OE 于点 F,交 x 轴于点 P。 ∴EK∥OA。∴EK:OA=ED:AD=1:2。∴EK= OA=3。 ∴OK= 22OE EK 4。 ∵∠PFO=∠EKO=90°,∠POF=∠EOK,∴△POF∽△EOK。 ∴OP:OE=OF:OK,即 OP:5= 5 2 :4,解得:OP= 。 ∴P 点坐标为( ,0)。 ∴其余所有符合这个条件的 P 点坐标为:(8,0),( ,0)。 例 6. (2012 四川资阳 3 分)直角三角形的两边长分别为 16 和 12,则此三角形的外接圆半径是 ▲ . 【答案】8 或 10。 6 【考点】三角形的外接圆与外心,勾股定理。 【分析】由勾股定理可知: ①当直角三角形的斜边长为 16 时,这个三角形的外接圆半径为 1 16=2  8; ②当两条直角边长分别为 16 和 12,则直角三角形的斜边长= 2216 12 20,因此这个三角形 的外接圆半径为 10。 综上所述:这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10。 练习题: 1. (2012 山东潍坊 3 分)如图所示,AB=DB,∠ABD=∠CBE,请你添加一个适当的条件 ▲ , 使 ΔABC≌ΔDBE. (只需添加一个即可) 2. (2012 广东肇庆 3 分)等腰三角形两边长分别为 4 和 8,则这个等腰三角形的周长为【 】 A.16 B.18 C.20 D.16 或 20 (2012 湖北襄阳 3 分)在等腰△ABC 中,∠A=30°,AB=8,则 AB 边上的高 CD 的长是 ▲ . 3. (2012 广西来宾 3 分)已知等腰三角形的一个内角是 80°,则它的底角是 ▲ 0. 4. (2012 黑龙江牡丹江 3 分)矩形 ABCD 中,AB=10,BC=3,E 为 AB 边的中点,P 为 CD 边上的点, 且△AEP 是腰长为 5 的等腰三角形,则 DP= ▲ 5. (2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3 分)Rt△ABC 中,∠A=900,BC=4,有一个内角为 600, 点 P 是直线 AB 上不同于 A、B 的一点,且∠ACP=300,则PB 的长为 ▲ . 二、含有的参变量的不同取值的分类应用: 典型例题: 例 1. (2012 重庆市 4 分)2012 年“国际攀岩比赛”在重庆举行.小丽从家出发开车前去观看,途中发现忘 了带门票,于是打电话让妈妈马上从家里送来,同时小丽也往回开,遇到妈妈后聊了一会儿,接着继续开 车前往比赛现场.设小丽从家出发后所用时间为 t,小丽与比赛现场的距离为 S.下面能反映 S 与 t 的函数 关系的大致图象是【 】 7 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】函数的图象。 【分析】根据题意可得,S 与 t 的函数关系的大致图象分为四段: 第一段,小丽从出发到往回开,与比赛现场的距离在减小, 第二段,往回开到遇到妈妈,与比赛现场的距离在增大, 第三段与妈妈聊了一会,与比赛现场的距离不变, 第四段,接着开往比赛现场,与比赛现场的距离逐渐变小,直至为 0。 纵观各选项,只有 B 选项的图象符合。故选 B。 例 2. (2012 福建宁德 3 分)五一节某超市稿促销活动:①一次性购物不超过 150 元不享受优惠;②一次 性购物超过 150 元但不超过 500 元一律九折;③一次性购物超过 500 元一律八折.王宁两次购物分别付款 120 元、432 元,若王宁一次性购买与上两次相同的商品,则应付款 ▲ 元. 【答案】480 元或 528 元。 【考点】分段函数。 【分析】计算出两次购买应该付款的数额,然后根据优惠方案即可求解: 一次性购物超过 150 元,但不超过 500 元一律 9 折则在这个范围内最低付款 135 元,因而第一次 付款 120 元,没有优惠; 第二次购物时:若是第二种优惠,可得出原价是 432÷0.9=480(符合超过 150 不高于 500),则两 次共付款:120+480=600 元,超过 500 元,则一次性购买应付款:600×0.8=480 元。 当第二次付款是超过 500 元时:可得出原价是 432÷0.8=540(符合超过 500 元),则两次共应付 款:120+540=660 元,则一次性购买应付款:660×0.8=528 元。 ∴一次性购买应付款:480 元或 528 元。 例 3. (2012 江苏常州 2 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(3,0), ⊙P 是以点 P 为圆心,2 为半 径的圆。若一次函数 y=kx+b的图象过点 A(-1,0)且与⊙P 相切,则 k+b 的值为 ▲ 。 【答案】 23 3 或 23 3 。 【考点】一次函数综合题,直线与圆相切的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,一次函数的性质。 【分析】如图,设一次函数 y=kx+b与 y 轴交于点 C,与⊙P 相切于点 P。 8 则 OA=1,OC=∣b∣,OP=3,BP=2,AP=4。 ∴ 2 2 2 2AB AP BP 4 2 2 3     。 由△AOC∽△ABP,得 OC AO BP AB ,即 b 1 2 23  , 解得 3b 3 。 ∴ bOC 3k = =AO 1 3 。 由图和一次函数的性质可知,k,b 同号, ∴ 23k+b= 3 或 23k+b= 3 。 练习题: 1. (2012 湖北武汉 3 分)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500m,先到终点 的人原地休息.已知甲先出发 2s.在跑步过程中,甲、乙两人的距离 y(m)与乙出发的时间 t(s)之间的关系 如图所示,给出以下结论:①a=8;②b=92;③c=123.其中正确的是【 】 A.①②③ B.仅有①② C.仅有①③ D.仅有②③ 三、几何问题中几何图形的不确定的分类应用: 典型例题: 例 1. (2012 北京市 4 分) 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步,他从点 A 出发,沿箭头所示方向经过 点 B 跑到点 C,共用时 30 秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为 t(单 位:秒),他与教练的距离为 y(单位:米),表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示,则这个固定 位置可能是图 1 中的【 】 9 A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q 例 2. (2012 北京市 4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知 点 A(0,4),点 B 是 x 轴正半轴上的整点,记△AOB 内部(不包括边界)的整点个数为 m.当 m=3 时, 点 B 的横坐标的所有可能值是 ▲ ;当点 B 的横坐标为 4n(n 为正整数)时,m= (用含 n 的代数式表示.) 【答案】3 或 4;6n-3。 10 【考点】分类归纳(图形的变化类),点的坐标,矩形的性质。 【分析】根据题意画出图形,再找出点 B 的横坐标与△AOB 内部(不包括边界)的整点 m 之间的关系即 可求出答案: 如图:当点 B 在(3,0)点或(4,0)点时,△AOB 内部(不包括边界)的整点为(1,1), (1,2),( 2,1),共三个点,∴当 m=3 时,点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4。 当点 B 的横坐标为 4n(n 为正整数)时, ∵以 OB 为长 OA 为宽的矩形内(不包括边界)的整点个数为(4n-1)×3=12 n-3,对角线 AB 上的整点个数总为 3, ∴△AOB 内部(不包括边界)的整点个数 m=(12 n-3-3)÷2=6n-3。 例 3. (2012 重庆市 12 分)已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E 为 BC 边上一点,以 BE 为边作正方形 BEFG,使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧. (1)当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时,求 BE 的长; (2)将(1)问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移,记平移中的正方形 BEFC 为正方形 B′EFG,当点 E 与 点 C 重合时停止平移.设平移的距离为 t,正方形 B′EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M,连接 B′D,B′M,DM, 是否存在这样的 t,使△B′DM 是直角三角形?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (3)在(2)问的平移过程中,设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S,请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围. 【答案】解:(1)如图①,设正方形 BEFG 的边长为 x, 则 BE=FG=BG=x。 11 ∵AB=3,BC=6,∴AG=AB﹣BG=3﹣x。 ∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC。 ∴ AG GF=AB BC ,即 3 x x=36  。 解得:x=2,即 BE=2。 (2)存在满足条件的 t,理由如下: 如图②,过点 D 作 DH⊥BC 于 H, 则 BH=AD=2,DH=AB=3, 由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t﹣2|,EC=4﹣t, ∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC。 ∴ ME EC=AB BC ,即 ME 4 t=36  。∴ME=2﹣ 1 2 t。 在 Rt△B′ME 中,B′M2=ME2+B′E2=22+(2﹣ t)2= 1 4 t2 ﹣2t+8。 在 Rt△DHB′中,B′D2=DH2+B′H2=32+(t﹣2)2=t2﹣4t+13。 过点 M 作 MN⊥DH 于 N,则 MN=HE=t,NH=ME=2﹣ t, ∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣ t)= t+1。 在 Rt△DMN 中,DM2=DN2+MN2=( t+1)2+ t 2= 5 4 t2+t+1。 (Ⅰ)若∠DB′M=90°,则 DM2=B′M2+B′D2, 即 t2+t+1=( t2﹣2t+8)+(t2﹣4t+13),解得:t= 20 7 。 (Ⅱ)若∠B′MD=90°,则 B′D2=B′M2+DM2, 即 t2﹣4t+13=( t2﹣2t+8)+( t2+t+1),解得:t1=﹣3+ 17 ,t2=﹣3﹣ (舍去)。 ∴t=﹣3+ 。 (Ⅲ)若∠B′DM=90°,则 B′M2=B′D2+DM2, 即 t2﹣2t+8=(t2﹣4t+13)+( t2+t+1),此方程无解。 综上所述,当 t= 或﹣3+ 时,△B′DM 是直角三角形; 12 (3) 2 2 2 14t 0 t43 1 2 4t t t 28 3 3S 3 5 10t 2t 2 t8 3 3 1 5 10t t 42 2 3                      < < < 。 【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理和逆定理,正方形的性质,直角梯形的性质,平移的性质。 【分析】(1)首先设正方形 BEFG 的边长为 x,易得△AGF∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例, 即可求得 BE 的长。 (2)首先由△MEC∽△ABC 与勾股定理,求得 B′M,DM 与 B′D 的平方,然后分别从若∠DB′M、 ∠DB′M 和∠B′DM 分别是直角,列方程求解即可。 (3)分别从 40t3 , 4 t23 < , 102t 3< 和10 t43 < 时去分析求解即可求得答案: ①如图③,当 F 在 CD 上时,EF:DH=CE:CH, 即 2:3=CE:4,∴CE= 8 3 。 ∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣ 84=33 。 ∵ME=2﹣ 1 2 t,∴FM= t, ∴当 时,S=S△FMN= ×t× t= 1 4 t2。 ②如图④,当 G 在 AC 上时,t=2, ∵EK=EC•tan∠DCB=  DH 3 3EC 4 t =3 tCH 4 4    , ∴FK=2﹣EK= 3 t4 ﹣1。 ∵NL= 24AD=33 ,∴FL=t﹣ 4 3 , ∴当 时,S=S△FMN﹣S△FKL= t2﹣ (t﹣ ) ( ﹣1)= 212tt83   。 ③如图⑤,当 G 在 CD 上时,B′C:CH=B′G:DH, 即 B′C:4=2:3,解得:B′C= , 13 ∴EC=4﹣t=B′C﹣2= 2 3 。∴t=10 3 。 ∵B′N= 1 2 B′C= (6﹣t)=3﹣ t, ∴GN=GB′﹣B′N= t﹣1。 ∴当 102t 3< 时,S=S 梯形 GNMF﹣S△FKL= ×2×( t﹣1+ t)﹣ (t﹣ 4 3 )( 3 t4 ﹣1) = 235t 2t83   。 ④如图⑥,当10 t43 < 时, ∵B′L= 3 4 B′C= 3 4 (6﹣t), EK= 3 4 EC= 3 4 (4﹣t), B′N= B′C= (6﹣t)EM= EC= (4﹣t), ∴S=S 梯形 MNLK=S 梯形 B′EKL﹣S 梯形 B′EMN= 15t22。 综上所述: 2 2 2 14t 0 t43 1 2 4t t t 28 3 3S 3 5 10t 2t 2 t8 3 3 1 5 10t t 42 2 3                      < < < 。 例 4.(2012 黑龙江牡丹江 3 分)如图,A( 3 ,1),B(1, 3 ).将△AOB 绕点 O 旋转 l500 得到△A′OB′,, 则此时点 A 的对应点 A′的坐标为【 】. A.(- ,-l) B.(-2,0) C.(-l,- )或(-2,0) D.(- ,-1)或(-2,0) 【答案】C。 【考点】坐标和图形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,关于原点对称的点的坐标特征。 14 【分析】如图,过点 A 作 AC⊥x轴于点 C, 过点 B 作 BD⊥y轴于点 D。 由锐角三角函数定义, AC 3tan AOC OC 3   ,∴ 0AOC 30。 同理, 0BOD 30。∴ 0AOB 30。 若将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 l500,则点 A′与点 B 关于坐标原点对称, ∴A′(-l,- 3 )。 若将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 l500,则点 A′在x轴反方向上, ∴A′(-2,0)。 综上所述,点 A 的对应点 A′的坐标为(-l,- )或(-2,0)。故选 C。 例 56. (2012 甘肃兰州 4 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BC=2cm,F 是弦 BC的中点,∠ABC=60°.若 动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 方向运动,设运动时间为 t(s)(0≤t<3),连接 EF,当 △BEF 是直角三角形时,t(s)的值为【 】 A. 7 4 B.1 C. 或 1 D. 或 1 或 9 4 【答案】D。 【考点】动点问题,圆周角定理,含 30 度角的直角三角形的性质,三角形中 位线定理。 【分析】若△BEF 是直角三角形,则有两种情况:①∠BFE=90°,②∠BEF =90°,分别讨论如下: ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°。 Rt△ABC 中,BC=2,∠ABC=60°,∴AB=2BC=4cm。 ①当∠BFE=90°时; Rt△BEF 中,∠ABC=60°,则 BE=2BF=2cm。 ∴此时 AE=AB-BE=2cm。 ∵E 点沿着 A→B→A 方向运动,∴E 点运动的距离为:2cm 或 6cm。 ∵点 E 以 2cm/s 的速度运动,∴t=1s 或 3s。 15 ∵0≤t<3,∴t=3s 不合题意,舍去。 ∴当∠BFE=90°时,t=1s。 ②当∠BEF=90°时, 同①可求得 BE= 1 2 cm,此时 AE=AB-BE= 7 2 cm。 ∵E 点沿着 A→B→A 方向运动,∴E 点运动的距离为:3.5cm 或 4.5cm。 ∵点 E 以 2cm/s 的速度运动,∴t= 7 4 s 或 9 4 s(二者均在 0≤t<3 内)。 综上所述,当 t 的值为 1、 或 s 时,△BEF 是直角三角形。故选 D。 例 6. (2012 广东梅州 11 分)如图,矩形 OABC 中,A(6,0)、 C(0,2 )、 D(0,3 ),射线 l 过 点 D 且与 x 轴平行,点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°. (1)①点 B 的坐标是 ;②∠CAO= 度;③当点 Q 与点 A 重合时,点 P 的坐标为 ;(直接写 出答案) (2)设 OA 的中心为 N,PQ 与线段 AC 相交于点 M,是否存在点 P,使△AMN 为等腰三角形?若存在, 请直接写出点 P 的横坐标为 m;若不存在,请说明理由. (3)设点 P 的横坐标为 x,△OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S,试求 S 与 x 的函数关系式和相 应的自变量 x 的取值范围. 【答案】解:(1)①(6,2 3 )。 ②30。③(3,3 )。 (2)存在。m=0 或 m=3﹣ 或 m=2。 (3)当 0≤x≤3 时, 如图 1,OI=x,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x; 由题意可知直线 l∥BC∥OA, 可得 EF PE DC 3 1==OQ PO DO 333 ,∴EF= 1 3 (3+x), 16 此时重叠部分是梯形,其面积为: EFQO 1 4 3 4 3S S EF OQ OC 3 x x 4 32 3 3      梯形 ( ) ( )= 当 3<x≤5 时,如图 2,   HAQEFQO EFQO 2 2 1S S S S AH AQ2 4 3 3 3 13 3 3x 4 3 x 3 x x3 2 2 3 2              = 梯形 梯形 。 当 5<x≤9 时,如图 3, 12S BE OA OC 3 12 x23 23= x 12 33       ( ) ( ) 。 当 x>9 时,如图 4, 1 1 18 3 54 3S OA AH 6 =2 2 x x     。 综上所述,S 与 x 的函数关系式为:         2 43x 4 3 0 x 33 3 13 3 3x x 3 x 52 3 2S 23x 12 3 5 x 93 54 3 x9x < < >                  。 【考点】矩形的性质,梯形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,相似三角形的判定和性质,解 直角三角形。 【分析】(1)①由四边形 OABC 是矩形,根据矩形的性质,即可求得点 B 的坐标: ∵四边形 OABC 是矩形,∴AB=OC,OA=BC, ∵A(6,0)、 C(0,2 3 ), ∴点 B 的坐标为:(6,2 )。 ②由正切函数,即可求得∠CAO的度数: ∵ OC 2 3 3tan CAO = =OA 6 3 ,∴∠CAO=30°。 ③由三角函数的性质,即可求得点 P 的坐标;如图:当点 Q 与点 A 重合时,过点 P 作 PE⊥OA 于 E, 17 ∵∠PQO=60°,D(0,3 3 ), ∴PE=3 。 ∴ 0 PEAE 3 tan60 。 ∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3,∴点 P 的坐标为(3,3 )。 (2)分别从 MN=AN,AM=AN 与 AM=MN 去分析求解即可求得答案: 情况①:MN=AN=3,则∠AMN=∠MAN=30°, ∴∠MNO=60°。 ∵∠PQO=60°,即∠MQO=60°,∴点 N 与 Q 重合。 ∴点 P 与 D 重合。∴此时 m=0。 情况②,如图 AM=AN,作 MJ⊥x 轴、PI⊥x 轴。 MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600 3OA IQ OI sin60 3 m2      ( ) ( ) 又 1 1 3MJ AM= AN=2 2 2 , ∴ 333m22( )= ,解得:m=3﹣ 。 情况③AM=NM,此时 M 的横坐标是 4.5, 过点 P 作 PK⊥OA 于 K,过点 M 作 MG⊥OA 于 G, ∴MG= 3 2 。 ∴ 00 PK 3 3 MG 1QK 3 GQ 2tan60 3 tan60     , 。 ∴KG=3﹣0.5=2.5,AG= 1 2 AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 综上所述,点 P 的横坐标为 m=0 或 m=3﹣ 或 m=2。 (3)分别从当 0≤x≤3 时,当 3<x≤5 时,当 5<x≤9 时,当 x>9 时去分析求解即可求得答案。 例 7. (2012 广东汕头 12 分)如图,抛物线 213y= x x 922与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C, 连接 BC、AC. (1)求 AB 和 OC 的长; (2)点 E 从点 A 出发,沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合),过点 E 作直线 l 平行 BC,交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m,△ADE 的面积为 s,求 s 关于 m 的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围; 18 (3)在(2)的条件下,连接 CE,求△CDE 面积的最大值;此时,求出以点 E 为圆心,与 BC 相切的圆 的面积(结果保留 π). 【答案】解:(1)在 213y= x x 922中, 令 x=0,得 y=-9,∴C(0,﹣9); 令 y=0,即 213x x 9=022 ,解得:x1=﹣3,x2=6,∴A(﹣3,0)、 B(6,0)。 ∴AB=9,OC=9。 (2)∵ED∥BC,∴△AED∽△ABC,∴ 2 AED ABC S AE S AB     ,即: 2sm 1 9992   。 ∴s= 1 2 m2(0<m<9)。 (3)∵S△AEC= AE•OC= 9 2 m,S△AED=s= m2, ∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED =﹣ m2+ m=﹣ (m﹣ )2+ 81 8 。 ∴△CDE 的最大面积为 , 此时,AE=m= ,BE=AB﹣AE= 。 又 22BC 6 +9 =3 13 , 过 E 作 EF⊥BC 于 F,则 Rt△BEF∽Rt△BCO,得: EF BE OC BC ,即: 9 EF 2 9 3 13  。 ∴ 27EF 1326 。 ∴以 E 点为圆心,与 BC 相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2= 729 52  。 19 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值, 勾股定理,直线与圆相切的性质。 【分析】(1)已知抛物线的解析式,当 x=0,可确定 C 点坐标;当 y=0 时,可确定 A、B 点的坐标,从而 确定 AB、OC 的长。 (2)直线 l∥BC,可得出△AED∽△ABC,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于 s、m 的函数关系式;根据题目条件:点 E 与点 A、B 不重合,可确定 m 的取值范围。 (3)①首先用 m 列出△AEC 的面积表达式,△AEC、△AED 的面积差即为△CDE 的面积,由此可 得关于 S△CDE 关于 m 的函数关系式,根据函数的性质可得到 S△CDE 的最大面积以及此时 m 的值。 ②过 E 做 BC 的垂线 EF,这个垂线段的长即为与 BC 相切的⊙E 的半径,可根据相似三角形△BEF、 △BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值,由此得解。 练习题: 1. (2012 浙江嘉兴、舟山 4 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 a,动点 P 从点 A 出发,沿折线 A→B→D→C→A 的路径运动,回到点 A 时运动停止.设点 P 运动的路程长为长为 x,AP 长为 y,则 y 关于 x 的函数图象大 致是【 】 A. B. C. D. 2. (2012 广东深圳 9 分)如图,在平面直角坐标系中,直线l :y=-2x+b (b≥0)的位置随 b 的不同取值而 变化. (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4,2),半径为 2. 当 b= 时,直线l :y=-2x+b (b≥0)经过圆心 M: 当 b= 时,直线 :y=-2x+b(b≥0)与 OM 相切: (2)若把⊙M 换成矩形 ABCD,其三个顶点坐标分别为:A(2,0)、B(6,0)、C(6,2). 设直线 扫过矩形 ABCD 的面积为 S,当 b 由小到大变化时,请求出 S 与 b 的函数关系式, 20 3. (2012 广西钦州 3 分)如图,直线 3y x 32﹣ 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,把△AOB 绕点 A 旋 转 90°后得到△AO′B′,则点 B′的坐标是 ▲ . 4. (2012 广东湛江 12 分)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形 AOB 的顶点 A、B 分别落在坐标轴 上.O 为原点,点 A 的坐标为(6,0),点 B 的坐标为(0,8).动点 M 从点 O 出发.沿 OA 向终点 A 以 每秒 1 个单位的速度运动,同时动点 N 从点 A 出发,沿 AB 向终点 B 以每秒 个单位的速度运动.当一个 动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点 M、N 运动的时间为 t 秒(t>0). (1)当 t=3 秒时.直接写出点 N 的坐标,并求出经过 O、A、N 三点的抛物线的解析式; (2)在此运动的过程中,△MNA 的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理 由; (3)当 t 为何值时,△MNA 是一个等腰三角形? 5. (2012 浙江绍兴 14 分)如图,矩形 OABC 的两边在坐标轴上,连接 AC,抛物线 2y x 4x 2   经过 A,B 两点。 21 (1)求 A 点坐标及线段 AB 的长; (2)若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动,1 秒后点 Q 也由点 A 出发以每秒 7 个单位的速度沿 AO,OC,CB 边向点 B 移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点 P 的移 动时间为 t 秒。 ①当 PQ⊥AC 时,求 t 的值; ②当 PQ∥AC 时,对于抛物线对称轴上一点 H,∠HOQ>∠POQ,求点 H 的纵坐标的取值范围。 四、由数学运算引起的分类应用: 典型例题: 例 1. (2012 广东湛江 12 分)先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题: 例题:解一元二次不等式 x2﹣4>0 解:∵x2﹣4=(x+2)( x﹣2) ∴x2﹣4>0 可化为 (x+2)( x﹣2)>0 由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得 解不等式组①,得 x>2, 解不等式组②,得 x<﹣2, ∴(x+2)( x﹣2)>0 的解集为 x>2 或 x<﹣2, 即一元二次不等式 x2﹣4>0 的解集为 x>2 或 x<﹣2. (1)一元二次不等式 x2﹣16>0 的解集为 ; (2)分式不等式 的解集为 ; (3)解一元二次不等式 2x2﹣3x<0. 22 例 2. (2012 山东淄博 9 分)一元二次方程 2 5x 2x 04   的某个根,也是一元二次方程 2 9x (k 2)x 04    的根,求 k 的值. 【答案】解:解 2 5x 2x 04   得 12 15x = x =22, 。 把 1x= 2 代入 2 9x (k 2)x 04    得 21 1 9(k 2) 02 2 4     ,解得 k=8。 把 5x= 2 代入 得 25 5 9(k 2) 02 2 4      ,解得 k= 27 5 。 ∴k 的值为 8 或 。 【考点】解一元二次方程和一元二次方程的根。 【分析】求出一元二次方程 的两个根,分别代入 求 k 即可。 例 3. (2012 广西北海 8 分)某班有学生 55 人,其中男生与女生的人数之比为 6:5。 (1)求出该班男生与女生的人数; 23 (2)学校要从该班选出 20 人参加学校的合唱团,要求:①男生人数不少于 7 人;②女生人数超过男生人 数 2 人以上。请问男、女生人数有几种选择方案? 例 4. (2012 湖北黄石 3 分)有一根长 40mm 的金属棒,欲将其截成 x 根7mm 长的小段和 y 根9mm长 的小段,剩余部分作废料处理,若使废料最少,则正整数 , 应分别为【 】 A. x1 , y3 B. x3 , y2 C. x4 , y1 D. x2 , 【答案】B。 【考点】网格问题,一次函数的应用。 【分析】根据金属棒的长度是 40mm,则可以得到 7x+9y≤40,即 7 40y x+99 。 如图,在网格中作  7 40y= x+ x 0 y 099>> , 。 则当线段 AB 上有整数点时,是废料为 0,该点即为所求。但从 图中可见,线段 AB 上没有整数点,故在△ABC 区域内离线段 AB 最近的 整数点即为所求,图中可见,点(3,2)离线段 AB 最近。 ∴使废料最少的正整数 x,y 分别为 x=3,y=2。 24 故选 B。 别解:∵ 7 40y x+99 且 x 为正整数,∴x 的值可以是: 1 或 2 或 3 或 4。 当 y 的值最大时,废料最少, ∴当 x=1 时, 33y 9 ,则 y 最大 4,此时,所剩的废料是:40-1×7-3×9=6mm ; 当 x=2 时, 26y 9 ,则 y 最大 2,此时,所剩的废料是:40-2×7-2×9=8mm; 当 x=3 时, 19y 9 ,则 y 最大 2,此时,所剩的废料是:40-3×7-2×9=1mm; 当 x=4 时, 12y 9 ,则 y 最大 1,此时,所剩的废料是:40-4×7-1×9=3mm。 ∴使废料最少的正整数 x,y 分别为 x=3,y=2。 练习题: 1. (2012 广西河池 10 分)随着人们环保意识的不断增强,我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统 计,某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆,2011 年底家庭电动自行车的拥有量达到 180 辆. (1)若该 小区 2009 年底到 2012 年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到 2012 年 底电动自行车将达到多少辆? (2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资 3 万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车 位 1000 元/个,露天车位 200 元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍,但不超 过室内车位的 2.5 倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案.