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- 2021-11-10 发布
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2020-2021学年安徽省合肥五十中天鹅湖校区九年级(上)开学数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)下列各式不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)一元二次方程x2=2x的根是( )
A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=2 D.无实数根
3.(3分)下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm)的平均数和方差,要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛,最合适的运动员是( )
甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.(3分)一个多边形的每个外角都等于45°,则这个多边形的边数是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
5.(3分)下列方程中,有两个相等实数根的是( )
A.x2+1=2x B.x2+1=0 C.x2﹣2x=3 D.x2﹣2x=0
6.(3分)如图,在行距、列距都是1的的4×4方格网中,将任意连接两个格点的线段称作“格点线”,则“格点线”的长度不可能等于( )
A. B. C. D.
7.(3分)平行四边形ABCD各边中点依次是E,F,G,H,关于四边形EFGH,下面结论一定成立的是( )
A.有一个内角等于90° B.有一组邻边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
8.(3分)已知a,b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则a2+a+3b的值是( )
A.7 B.﹣5 C.7 D.﹣2
9.(3分)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,边AB=8,E为边DA的中点,P为边CD上的一点,连接PE、PB,当PE=EB时,线段PE的长为( )
A.4 B.8 C.4 D.4
10.(3分)如图,在▱ABCD中,∠D=150°,BC=6,CD=6,E是AD边上的中点,F是AB边上的一动点,将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF,连接A′C,则A′C长度的最小值为( )
A.3 B.3 C.3﹣3 D.6
二、填空题(本大题共6小题,共18分)
11.(3分)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
12.(3分)若x1,x2是一元二次方程x2+10x﹣1=0的两个根,则(x1+1)(x2+1)的值是 .
13.(3分)如图,正方形ABCD的边长为2,MN∥BC分别交AB、CD于点M、N,在MN上任取两点P、Q,那么图中阴影部分的面积是 .
14.(3分)已知,如图是一个三角形点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有一个点,第二行有两个点,…,第n行有n
个点,容易发现,三角形点阵中前4行的点数和是10.若三角形点阵中前a行的点数之和为300,则a的值为 .
15.(3分)如图,在平行四边ABCD中,BC=13,AC=12,AE平分∠BAC,BA⊥AC,BE⊥AE,F是BC的中点,EF= .
16.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上,则a的值为 .
三、解答题(本大题共7小题,共52分)
17.(6分)计算(﹣)×+(﹣3)2÷.
18.(6分)用适当的方法解方程:2x2﹣4x﹣5=0.
19.(6分)在如图所示的4×3网格中,每个小正方形的边长均为1,正方形顶点叫格点,连接两个网格格点的线段叫网格线段,点A固定在格点上.
(1)若m是图中能用网格线段表示的最大无理数,则m= .
(2)请你画出顶点在格点上边长为的所有菱形ABCD(包含正方形),你画出的菱形面积为 .
20.(8分)某水果店将标价为10元/斤的某种水果.经过两次降价后,价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该水果每次降价的百分率;
(2)从第二次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信息如表所示,已知该水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)(1≤x<10)的利润为377(元),求x的值.
时间(天)
x
销量(斤)
120﹣x
储藏和损耗费用(元)
3x2﹣64x+400
21.(8分)如图,四边形ABCD是矩形∠EDC=∠CAB、∠DEC=90°.
(1)求证:AC∥DE.
(2)过点B作BF⊥AC于点F,连接EF,试判别四边形BCEF的形状,并说明理由.
(3)连接DF,若矩形ABCD的面积为S1,四边形CEDF的面积为S2,则= (直接写答案).
22.(8分)学校开展“书香校园”活动以来,受到同学们的广泛关注,学校为了解全校学生课外阅读的情况,随机调査了部分学生在一周内借阅图书的次数,并制成如图不完整的统计图表,请你根据统计图表中的信息,解答下列问题:
借阅图书次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
(1)a= b= ;
(2)该调查统计数据的中位数是 ,众数是 ;
(3)若该校共有2000名学生,根据调査结果,估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数.
23.(10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm.E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P、Q从点A同时出发,点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动,点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2).
(1)AE= cm,∠EAD= .
(2)当x=2时,求y的值;
(3)当PQ=cm时,直接写出x的值.
2020-2021学年安徽省合肥五十中天鹅湖校区九年级(上)开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)下列各式不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【分析】由于C选项的被开方数中含有开的劲方的数,因此C选项不是最简二次根式
【解答】解:=5,因此该选项不是最简二次根式.
故选:C.
2.(3分)一元二次方程x2=2x的根是( )
A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=2 D.无实数根
【分析】方程移项后,利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:方程整理得:x2﹣2x=0,即x(x﹣2)=0,
可得x=0或x﹣2=0,
解得:x1=0,x2=2,
故选:C.
3.(3分)下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm)的平均数和方差,要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛,最合适的运动员是( )
甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【分析】首先比较平均数,平均数相同时选择方差较小的运动员参加.
【解答】解:∵乙和丁的平均数最小,
∴从甲和丙中选择一人参加比赛,
∵丙的方差最小,
∴选择丙参赛.
故选:C.
4.(3分)一个多边形的每个外角都等于45°,则这个多边形的边数是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【分析】根据多边形的外角和等于360°,用360除以一个多边形的每个外角的度数,求出这个多边形的边数是多少即可.
【解答】解:∵360÷45=8,
∴这个多边形的边数是8.
故选:A.
5.(3分)下列方程中,有两个相等实数根的是( )
A.x2+1=2x B.x2+1=0 C.x2﹣2x=3 D.x2﹣2x=0
【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程.
【解答】解:A、△=(﹣2)2﹣4×1×1=0,有两个相等实数根;
B、△=0﹣4=﹣4<0,没有实数根;
C、△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣3)=16>0,有两个不相等实数根;
D、△=(﹣2)2﹣4×1×0=4>0,有两个不相等实数根.
故选:A.
6.(3分)如图,在行距、列距都是1的的4×4方格网中,将任意连接两个格点的线段称作“格点线”,则“格点线”的长度不可能等于( )
A. B. C. D.
【分析】根据题意和各个选项中的数据,可以得到哪个数据不可能是“格点线”的长度,从而可以解答本题.
【解答】解:∵==,故可能是“格点线”的长度,故选项A不符合题意;
∵==,故可能是“格点线”的长度,故选项B不符合题意;
∵=3,故可能是“格点线”的长度,故选项C不符合题意;
∵=,故不可能是“格点线”的长度,故选项D符合题意;
故选:D.
7.(3分)平行四边形ABCD各边中点依次是E,F,G,H,关于四边形EFGH,下面结论一定成立的是( )
A.有一个内角等于90° B.有一组邻边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
【分析】由三角形中位线定理得出EF∥GH,EF=GH,证出四边形EFGH是平行四边形,即可得出结论.
【解答】解:连接AC,如图所示:
∵平行四边形ABCD各边中点依次是E,F,G,H,
∴EF是△ABC的中位线,GH是△ACD的中位线,
∴EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∴对角线互相平分;
故选:D.
8.(3分)已知a,b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则a2+a+3b的值是( )
A.7 B.﹣5 C.7 D.﹣2
【分析】欲求a2+a+3b的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可.
【解答】解:由题意知,ab=﹣1,a+b=2,x2=2x+1,即a2=2a+1
∴a2+a+3b=2a+1+a+3b=3(a+b)+1=3×2+1=7.
故选:A.
9.(3分)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,边AB=8,E为边DA的中点,P为边CD上的一点,连接PE、PB,当PE=EB时,线段PE的长为( )
A.4 B.8 C.4 D.4
【分析】由菱形的性质可得AB=AD=8,且∠A=60°,可证△ABD是等边三角形,即可求解.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=8,且∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形,且点E是AD的中点,
∴BE⊥AD,且∠A=60°,
∴AE=4,BE=AE=4,
∴PE=BE=4,
故选:D.
10.(3分)如图,在▱ABCD中,∠D=150°,BC=6,CD=6,E是AD边上的中点,F是AB边上的一动点,将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF,连接A′C,则A′C长度的最小值为( )
A.3 B.3 C.3﹣3 D.6
【分析】连接EC,过点E作EM⊥CD于M,先求出线段ME、DM的长度;运用勾股定理求出EC的长度,即可解决问题.
【解答】解:如图所示,过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M,
∵▱ABCD中,∠D=150°,
∴∠EDM=30°,
∵E是AD边上的中点,
∴DE=AD=BC=3,AE=A'E=3,
∴Rt△DEM中,EM=,DM=,
∵CD=6
∴CM=,
∴Rt△CEM中,CE==3,
∵A'E+A'C≥CE,
∴A'C≥CE﹣A'E,
∴当点A'在CE上时,A'C的最小值=CE﹣A'E=3﹣3,
故选:C.
二、填空题(本大题共6小题,共18分)
11.(3分)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x>3 .
【分析】主要考查代数式中字母的取值范围,代数式中主要有二次根式和分式两部分.
【解答】解:根据二次根式的意义,被开方数2x﹣6≥0,解得x≥3;
根据分式有意义的条件,2x﹣6≠0,解得x≠3.
∴x>3.
故答案为:x>3.
12.(3分)若x1,x2是一元二次方程x2+10x﹣1=0的两个根,则(x1+1)(x2+1)的值是 ﹣10 .
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:由根与系数的关系可知:x1+x2=﹣10,x1x2=﹣1,
∴(x1+1)(x2+1)=(x1+x2)+x1•x2+1=﹣10﹣1+1=﹣10,
故答案为:﹣10.
13.(3分)如图,正方形ABCD的边长为2,MN∥BC分别交AB、CD于点M、N,在MN上任取两点P、Q,那么图中阴影部分的面积是 2 .
【分析】阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积和.而两个三角形等底即为正方形的边长,它们的高的和等于正方形的边长,得出阴影部分的面积=正方形面积的一半即可.
【解答】解:由图知,阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积.
而点P到BC的距离与点Q到AD的距离的和等于正方形的边长,
即△AQD和△BCP的面积的和等于正方形的面积的一半,
故阴影部分的面积=×22=2.
故答案为:2.
14.(3分)已知,如图是一个三角形点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有一个点,第二行有两个点,…,第n行有n个点,容易发现,三角形点阵中前4行的点数和是10.若三角形点阵中前a行的点数之和为300,则a的值为 24 .
【分析】根据前a行的点数之和为300,即可得出关于a的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:依题意,得:1+2+3+…+a=300,
整理,得:a2+a﹣600=0,
解得:a1=24,a2=﹣25(不合题意,舍去).
故答案为:24.
15.(3分)如图,在平行四边ABCD中,BC=13,AC=12,AE平分∠BAC,BA⊥AC,BE⊥AE,F是BC的中点,EF= 3.5 .
【分析】延长BE交AC于H,根据勾股定理求出AB,证明△BAE≌△HAE,根据全等三角形的性质得到AH=AB=5,BE=EH,根据三角形中位线定理计算,得到答案.
【解答】解:延长BE交AC于H,
在Rt△ABC中,AB==5,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠HAE,
在△BAE和△HAE中,
,
∴△BAE≌△HAE(ASA),
∴AH=AB=5,BE=EH,
∴HC=AC﹣AH=7,
∵BE=EH,BF=FC,
∴EF=HC=3.5,
故答案为:3.5.
16.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上,则a的值为 或 .
【分析】分两种情况:①点B′落在AD边上,根据矩形与折叠的性质易得AB=BE,即可求出a的值;②点B′落在CD边上,证明△ADB′∽△B′CE,根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值.
【解答】解:分两种情况:
①当点B′落在AD边上时,如图1.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠B=90°,
∵将△ABE沿AE折叠,点B的对应点B′落在AD边上,
∴∠BAE=∠B′AE=∠BAD=45°,
∴AB=BE,
∴a=1,
∴a=;
②当点B′落在CD边上时,如图2.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a.
∵将△ABE沿AE折叠,点B的对应点B′落在CD边上,
∴∠B=∠AB′E=90°,AB=AB′=1,EB=EB′=a,
∴DB′==,EC=BC﹣BE=a﹣a=a.
在△ADB′与△B′CE中,
,
∴△ADB′∽△B′CE,
∴=,即=,
解得a1=,a2=﹣(舍去).
综上,所求a的值为或.
故答案为或.
三、解答题(本大题共7小题,共52分)
17.(6分)计算(﹣)×+(﹣3)2÷.
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案.
【解答】解:原式=2﹣+(3+9﹣6)÷
=+(12﹣6)÷
=+4﹣6
=5﹣6.
18.(6分)用适当的方法解方程:2x2﹣4x﹣5=0.
【分析】方程找出a,b,c的值,计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解.
【解答】解:这里a=2,b=﹣4,c=﹣5,
∵△=16+40=56,
∴x==.
19.(6分)在如图所示的4×3网格中,每个小正方形的边长均为1,正方形顶点叫格点,连接两个网格格点的线段叫网格线段,点A固定在格点上.
(1)若m是图中能用网格线段表示的最大无理数,则m= 2 .
(2)请你画出顶点在格点上边长为的所有菱形ABCD(包含正方形),你画出的菱形面积为 5或4 .
【分析】(1)借助网格得出最大的无理数,进而求出即可;
(2)利用菱形的性质结合网格得出答案即可.
【解答】解:(1)m=AB=2;
故答案为:2;
(2)如图所示,菱形ABEF面积为5,菱形ABCD面积为4.
故答案为:5或4.
20.(8分)某水果店将标价为10元/斤的某种水果.经过两次降价后,价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该水果每次降价的百分率;
(2)从第二次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信息如表所示,已知该水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)(1≤x<10)的利润为377(元),求x的值.
时间(天)
x
销量(斤)
120﹣x
储藏和损耗费用(元)
3x2﹣64x+400
【分析】(1)该水果每次降价的百分率为y,根据该水果的原价及经过两次降价后的价格,即可得出关于y的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;
(2)根据日销售利润=每千克的利润×日销售量﹣储藏和损耗费用,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【解答】解:(1)该水果每次降价的百分率为y,
依题意,得:10(1﹣y)2=8.1,
解得:y1=0.1=10%,y2=1.9(不合题意,舍去).
答:该水果每次降价的百分率为10%.
(2)依题意,得:(8.1﹣4.1)(120﹣x)﹣(3x2﹣64x+400)=377,
整理,得:x2﹣20x+99=0,
解得:x1=9,x2=11(不合题意,舍去).
答:x的值为9.
21.(8分)如图,四边形ABCD是矩形∠EDC=∠CAB、∠DEC=90°.
(1)求证:AC∥DE.
(2)过点B作BF⊥AC于点F,连接EF,试判别四边形BCEF的形状,并说明理由.
(3)连接DF,若矩形ABCD的面积为S1,四边形CEDF的面积为S2,则= 2 (直接写答案).
【分析】(1)要证AC∥DE,只要证明,∠EDC=∠ACD即可;
(2)要判断四边形BCEF的形状,可以先猜后证,利用三角形的全等,证明四边形的两组对边分别相等;
(3)题意可得S1=AB×BC,S2=CD×EF=AB×BC,即可求解.
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,
∵∠EDC=∠CAB,
∴∠EDC=∠ACD,
∴AC∥DE;
(2)四边形BCEF是平行四边形.
理由如下:∵BF⊥AC,四边形ABCD是矩形,
∴∠DEC=∠AFB=90°,DC=AB
在△CDE和△BAF中,
,
∴△CDE≌△BAF(AAS),
∴CE=BF,DE=AF,
∵AC∥DE,
即DE=AF,DE∥AF,
∴四边形ADEF是平行四边形,
∴AD=EF,
∵AD=BC,
∴EF=BC,
∵CE=BF,
∴四边形BCEF是平行四边形;
(3)如图,连接DF,
∵矩形ABCD的面积为S1=AB×BC,四边形CEDF的面积为S2=CD×EF=AB×BC,
∴=2,
故答案为2.
22.(8分)学校开展“书香校园”活动以来,受到同学们的广泛关注,学校为了解全校学生课外阅读的情况,随机调査了部分学生在一周内借阅图书的次数,并制成如图不完整的统计图表,请你根据统计图表中的信息,解答下列问题:
借阅图书次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
(1)a= 17 b= 20 ;
(2)该调查统计数据的中位数是 2次 ,众数是 2次 ;
(3)若该校共有2000名学生,根据调査结果,估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数.
【分析】(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数,总人数减去其他次数的人数求得a的值,用3次的人数除以总人数求得b的值;
(2)根据中位数和众数的定义求解;
(3)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得.
【解答】解:(1)∵被调查的总人数为13÷26%=50人,
∴a=50﹣(7+13+10+3)=17,b%=×100%=20%,即b=20,
故答案为:17、20;
(2)由于共有50个数据,其中位数为第25、26个数据的平均数,
而第25、26个数据均为2次,
所以中位数为2次,
出现次数最多的是2次,
所以众数为2次,
故答案为:2次、2次;
(3)估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×=120人.
23.(10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm.E为边BC上一点,BE=AB
,连接AE.动点P、Q从点A同时出发,点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动,点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2).
(1)AE= 3 cm,∠EAD= 45° .
(2)当x=2时,求y的值;
(3)当PQ=cm时,直接写出x的值.
【分析】(1)由勾股定理可求AE的长,由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数;
(2)由面积和差关系可求解;
(3)分三种情况讨论,由勾股定理可求解.
【解答】解:(1)∵AB=3cm,BE=AB=3cm,
∴AE==3cm,∠BAE=∠BEA=45°,
∵∠BAD=90°,
∴∠DAE=45°,
故答案为:3,45°;
(2)当0<x≤2时,如图,过点P作PF⊥AD,
∵AP=,∠DAE=45°,PF⊥AD,
∴PF=x=AF,
∵x=2,
∴y=S△PQA=AQ×PF=x2=22=4(cm2);
(3)当0<x≤2时
∵QF=AF=x,PF⊥AD
∴PQ=AP
∵PQ=cm
∴x=,
∴x=;
当2<x≤3时,过点P作PM⊥CD
∴四边形MPFD是矩形
∴PM=DF=4﹣x,MD=PF=x,
∴MQ=x﹣(2x﹣4)=4﹣x,
∵MP2+MQ2=PQ2,
∴(4﹣x)2+(4﹣x)2=,
∴x=4±>3(不合题意舍去);
当3<x≤时,
∵PQ2=CP2+CQ2,
∴=1+(7﹣2x)2,
∴x=,
综上所述:x=或.
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