九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系作业课件新版北师大版 21页

第二章　一元二次方程 2.5　一元二次方程的根与系数的关系 1 ． (2019 · 泰州 ) 方程 2 x 2 ＋ 6 x － 1 ＝ 0 的两根为 x 1 ， x 2 ，则 x 1 ＋ x 2 等于 ( ) A ．－ 6 B ． 6 C ．－ 3 D ． 3 2 ． (2019 · 黄冈 ) 若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 x 2 － 4 x － 5 ＝ 0 的两根， 则 x 1 · x 2 的值为 ( ) A ．－ 5 B ． 5 C ．－ 4 D ． 4 C A 4 ．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和，两根之积． (1) x 2 ＋ 5 x ＝ 0 ； 解：由题意得 Δ>0 ，设两根为 x 1 ， x 2 ，∴ x 1 ＋ x 2 ＝－ 5 ； x 1 · x 2 ＝ 0 (2)4 x 2 － 3 x ＝ 6. 5 ． (2019 · 天门 ) 若方程 x 2 － 2 x － 4 ＝ 0 的两个实数根为 α ， β ， 则 α 2 ＋ β 2 的值为 ( ) A ． 12 B ． 10 C ． 4 D ．－ 4 6 ． (2019 · 玉林 ) 若一元二次方程 x 2 － x － 2 ＝ 0 的两根为 x 1 ， x 2 ， 则 (1 ＋ x 1 ) ＋ x 2 (1 － x 1 ) 的值是 ( ) A ． 4 B ． 2 C ． 1 D ．－ 2 A A 7 ． (2019 · 盐城 ) 设 x 1 、 x 2 是方程 x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0 的两个根， 则 x 1 ＋ x 2 － x 1 · x 2 ＝ ____ ． 1 B － 2 11 ． (2019 · 巴中 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m 2 － 1 ＝ 0 有两不相等的实数根． (1) 求 m 的取值范围； (2) 设 x 1 ， x 2 是方程的两根且 x 1 2 ＋ x 2 2 ＋ x 1 x 2 － 17 ＝ 0 ，求 m 的值． A 13 ． (2019 · 潍坊 ) 关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ 2 mx ＋ m 2 ＋ m ＝ 0 的 两个实数根的平方和为 12 ，则 m 的值为 ( ) A ． m ＝－ 2 B ． m ＝ 3 C ． m ＝ 3 或 m ＝－ 2 D ． m ＝－ 3 或 m ＝ 2 14 ．已知 m ， n 是关于 x 的一元二次方程 x 2 － 2 tx ＋ t 2 － 2 t ＋ 4 ＝ 0 的 两实数根，则 ( m ＋ 2)( n ＋ 2) 的最小值是 ( ) A ． 7 B ． 11 C ． 12 D ． 16 A D 15 ．在解方程 x 2 ＋ px ＋ q ＝ 0 时，甲同学看错了 p ， 解得方程的根为 x ＝ 1 与 x ＝－ 3 ；乙同学看错了 q ， 解得方程的根为 x ＝ 4 与 x ＝－ 2 ， 你认为方程中的 p ＝ ____ ， q ＝ ____ ． － 2 － 3 16 ． (2019 · 孝感 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 － 2( a － 1) x ＋ a 2 － a － 2 ＝ 0 有两个不相等的实数根 x 1 ， x 2 . (1) 若 a 为正整数，求 a 的值； (2) 若 x 1 ， x 2 满足 x 1 2 ＋ x 2 2 － x 1 x 2 ＝ 16 ，求 a 的值． 解： (1)∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 － 2( a － 1) x ＋ a 2 － a － 2 ＝ 0 有两个不相等的实数根，∴ Δ ＝ [ － 2( a － 1)] 2 － 4( a 2 － a － 2) ＞ 0 ， 解得 a ＜ 3 ，∵ a 为正整数，∴ a ＝ 1 ， 2 　 (2)∵ x 1 ＋ x 2 ＝ 2( a － 1) ， x 1 x 2 ＝ a 2 － a － 2 ，∵ x 1 2 ＋ x 2 2 － x 1 x 2 ＝ 16 ， ∴ ( x 1 ＋ x 2 ) 2 － 3 x 1 x 2 ＝ 16 ，∴ [2( a － 1)] 2 － 3( a 2 － a － 2) ＝ 16 ， 解得 a 1 ＝－ 1 ， a 2 ＝ 6 ，∵ a ＜ 3 ，∴ a ＝－ 1 解： (1) 当 k ＝ 1 时，原方程可化为 2 x ＋ 2 ＝ 0 ，解得 x ＝－ 1 ，此时该方程有实根；当 k ≠ 1 时，方程是一元二次方程，∵ Δ ＝ (2 k ) 2 － 4( k － 1) × 2 ＝ 4( k － 1) 2 ＋ 4 ＞ 0 ，∴无论 k ( k ≠ 1) 为何实数，方程总有实数根． 综上所述，无论 k 为何值，方程总有实数根 18 ．已知△ ABC 的一条边 BC 的长为 5 ，另两边 AB ， AC 的长是关于 x 的 一元二次方程 x 2 － (2 k ＋ 3) x ＋ k 2 ＋ 3 k ＋ 2 ＝ 0 的两个实数根， (1) 求证：无论 k 为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2) k 为何值时，△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形； (3) k 为何值时，△ ABC 是等腰三角形，并求△ ABC 的周长． 解： (1)∵Δ ＝ [ － (2 k ＋ 3)] 2 － 4( k 2 ＋ 3 k ＋ 2) ＝ 1 ＞ 0 ， ∴无论 k 为何值时，方程总有两个不相等的实数根　 (2) 根据根与系数的关系： AB ＋ AC ＝ 2 k ＋ 3 ， AB · AC ＝ k 2 ＋ 3 k ＋ 2 ， 则 AB 2 ＋ AC 2 ＝ ( AB ＋ AC ) 2 － 2 AB · AC ＝ 25 ， 即 (2 k ＋ 3) 2 － 2( k 2 ＋ 3 k ＋ 2) ＝ 25 ，解得 k ＝ 2 或 k ＝－ 5. 根据三角形的边长必须是正数， 因而两根的和 2 k ＋ 3 ＞ 0 且两根的积 k 2 ＋ 3 k ＋ 2 ＞ 0 ，∴ k ＝ 2 　 (3) 若 AB ＝ BC ＝ 5 时， 5 是方程 x 2 － (2 k ＋ 3) x ＋ k 2 ＋ 3 k ＋ 2 ＝ 0 的实数根，把 x ＝ 5 代入原方程，得 k ＝ 3 或 k ＝ 4. 由 (1) 知，无论 k 取何值， Δ ＞ 0 ，所以 AB ≠ AC ，故 k 只能取 3 或 4. 根据一元二次方程根与系数的关系可得： AB ＋ AC ＝ 2 k ＋ 3 ，当 k ＝ 3 时， AB ＋ AC ＝ 9 ，则周长是 9 ＋ 5 ＝ 14 ；当 k ＝ 4 时， AB ＋ AC ＝ 8 ＋ 3 ＝ 11. 则周长是 11 ＋ 5 ＝ 16