2021年中考数学专题复习 专题14 角平分线问题（学生版） 12页

专题 14 角平分线问题 1.角的平分线定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因 为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2= 1 2 ∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 2.作角平分线 角平分线的作法(尺规作图) ①以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D 两点； ②分别以 C、D 为圆心，大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P； ③过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求． 3.角平分线的性质 (1)定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：∵OP 平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP. (2)逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫 做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点 D 在 BC 上. 说明：AD 是ΔABC 的角平分线  ∠BAD＝∠DAC＝ 2 1 ∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . (1)三角形的角平分线是线段； (2)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； (3)三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； (4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 4.角平分线的综合应用 (1)为推导线段相等、角相等提供依据和思路； (2)在解决综合问题中的应用． 【例题 1】(2020•襄阳)如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，EG 平分∠BEF，若∠EFG＝64°， 则∠EGD 的大小是( ) A．132° B．128° C．122° D．112° 【对点练习】(2020 长春模拟 )如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为( ) A．44° B．40° C．39° D．38° 【例题 2】(2020•随州)如图，点 A，B，C 在⊙O 上，AD 是∠BAC 的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD 的 度数为 ． 【对点练习】(2019 四川自贡)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC 的平 分线 BD 交 AC 于点 E，DE＝ ． 【例题 3】(2020•金华)图 1 是一个闭合时的夹子，图 2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为 AC，BD(点 A 与点 B 重合)，点 O 是夹子转轴位置，OE⊥AC 于点 E，OF⊥BD 于点 F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF， CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 O 转动． (1)当 E，F 两点的距离最大时，以点 A，B，C，D 为顶点的四边形的周长是 cm． (2)当夹子的开口最大(即点 C 与点 D 重合)时，A，B 两点的距离为 cm． 【对点练习】已知：点 P 是∠MON 内一点，PA⊥OM 于 A，PB⊥ON 于 B，且 PA＝PB． 求证：点 P 在∠MON 的平分线上． 一、选择题 1．(2020•乐山)如图，E 是直线 CA 上一点，∠FEA＝40°，射线 EB 平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝( ) A．10° B．20° C．30° D．40° 2．(2020•福建)如图，AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BD＝5，则 CD 等于( ) A．10 B．5 C．4 D．3 3.如图，在∆ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，过点 D 作 DEAB 于点 E，测得 BC=9，BE=3，则∆BDE 的周长 是( ) A.15 B.12 C.9 D.6 4．如图，面积为 24 的▱ ABCD 中，对角线 BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE⊥BD 交 BC 的延长线于点 E，DE＝6， 则 sin∠DCE 的值为( ) A． B． C． D． 5.已知：如图，点 P 在线段 AB 外，且 PA=PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需 添加辅助线，则作法不正确的是( ) A．作∠APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C B．过点 P 作 PC⊥AB 于点 C 且 AC=BC C．取 AB 中点 C，连接 PC D．过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C 6．如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°， 则∠EAD+∠ACD=( ) A．75° B．80° C．85° D．90° 7．(2019 山东滨州)如图，在正方形 ABCD 中，对角线相交于点 O，BN 平分∠CBD，交边 CD 于点 N，交对角 线 AC 于点 M，若 OM＝1，则线段 DN 的长是多少( ) A．1.5 B．2 C． D．2 8.(2019 陕西)如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E。 若 DE=1，则 BC 的长为( ) A.2+ 2 B. 32  C.2+ 3 D.3 9．(2019 内蒙古)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB、AC 于 点 D，E，再分别以点 D、E 为圆心，大于 DE 为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 AF 交边 BC 于点 G，若 BG ＝1，AC＝4，则△ACG 的面积是( ) A．1 B． C．2 D． 二、填空题 10．(2020•扬州)如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB、BC 于点 D、E． ②分别以点 D、E 为圆心，大于 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F． ③作射线 BF 交 AC 于点 G． 如果 AB＝8，BC＝12，△ABG 的面积为 18，则△CBG 的面积为 ． 11．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC，若 AD=8cm，则 CD= ． 12.如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点 C 到射线 OA 的距离为 ． 13．如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度． 14．(2019 内蒙古通辽)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝8，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为点 E， 且 AE 平分∠BAC，则 AB 的长为 ． 15．(2019 宁夏)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB， BC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AC 于点 D．若 ∠A＝30°，则 ＝ ． 三、解答题 16．(2020•泸州)如图，AC 平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC． 17．(2020•武汉)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，AE 与过点 D 的切线 互相垂直，垂足为 E． (1)求证：AD 平分∠BAE； (2)若 CD＝DE，求 sin∠BAC 的值． 18.已知：OC 平分∠MON，P 是 OC 上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON， 垂足分别为点 A、点 B． 求证：PA＝PB． 19.已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 是 AC 上一点，DE⊥AB 于 E， 且 DE＝DC． (1)求证：BD 平分∠ABC； (2)若∠A＝36°，求∠DBC 的度数． 20.已知：如图，锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OB=OC. (1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)判断点 O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由. 21.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB 于 E，BD⊥OA 于 D，AE 与 BD 相交于点 C．求证：AC＝BC． 22.如图，已知点 D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E 为 AD 延长线上的一点，且 CE=CA. (1)求证：DE 平分∠BDC； (2)若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证：ME=BD. 23. 如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，DA 平分∠CAB 交 BC 于 D，问能否在 AB 上确定一点 E，使 △BDE 的周长等于 AB 的长？若能，请作出点 E，并给出证明；若不能，请说明理由． 24.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上一点，PDOA 交 OA 于点 D，PEOB 交 OB 于 点 E，F 是 OC 上的另一点，连接 DF，EF．求证：DF=EF． 25.如图，在四边形 ABDC 中，∠D=∠ABD=90°，点 O 为 BD 的中点，且 OA 平分∠BAC． 求证：(1)OC 平分∠ACD；(2)OAOC；(3)AB+CD=AC． 26.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E． (1)求∠CBE 的度数； (2)过点 D 作 DF∥BE，交 AC 的延长线于点 F，求∠F 的度数．