2021年中考数学专题复习 专题10 分式方程及其应用（教师版含解析） 18页

专题 10 分式方程及其应用 1．的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。 (1)去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); (2)按解整式方程的步骤求出未知数的值; (3)验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程 的根。 【例题 1】(2020•哈尔滨)方程 香䁕 香 的解为( ) A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9 【答案】D 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解析】方程的两边同乘(x+5)(x﹣2)得： 2(x﹣2)＝x﹣5， 解得 x＝9， 经检验，x＝9是原方程的解． 【对点练习】(2019▪黑龙江哈尔滨)方程 ＝ 的解为( ) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【答案】C 【解析】将分式方程化为 ，即可求解 x＝ ；同时要进行验根即可求解。 ＝ ， ， ∴2x＝9x﹣3， ∴x＝ ； 将检验 x＝ 是方程的根， ∴方程的解为 x＝ 【点拨】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键． 【例题 2】(2020•齐齐哈尔)若关于 x 的分式方程 香 香 香5 的解为正数，则 m的取值范围为( ) A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10 且 m≠﹣6 D．m＞﹣10 且 m≠﹣6 【答案】D 【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出 m 的范围即可． 【解析】去分母得：3x＝﹣m+5(x﹣2)， 解得：x 香㘠 ， 由方程的解为正数，得到 m+10＞0，且 m+10≠4， 则 m 的范围为 m＞﹣10 且 m≠﹣6， 【对点练习】(2019•江苏宿迁)关于 x 的分式方程 + ＝1的解为正数，则 a的取值范围是 ． 【答案】a＜5且 a≠3． 【解析】去分母得：1﹣a+2＝x﹣2， 解得：x＝5﹣a， 5﹣a＞0， 解得：a＜5， 当 x＝5﹣a＝2 时，a＝3 不合题意， 故 a＜5 且 a≠3． 【点拨】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出 a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的 条件分析得出答案． 【例题 3】(2020•长沙)随着 5G 网络技术的发展，市场对 5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大 型 5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产 30 万件产品，现在 生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产 x 万件 产品，依题意得( ) A． 㘠㘠 香㘠 䁕㘠㘠 B． 㘠㘠 䁕㘠㘠 香㘠 C． 㘠㘠 䁕㘠㘠 香㘠 D． 㘠㘠 香㘠 䁕㘠㘠 【答案】B 【分析】设更新技术前每天生产 x 万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，根据工作时间＝工 作总量÷工作效率结合现在生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同，即 可得出关于 x 的分式方程，此题得解． 【解析】设更新技术前每天生产 x 万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品， 依题意，得： 㘠㘠 䁕㘠㘠 香㘠 ． 【对点练习】(2019 吉林长春)为建国 70 周年献礼，某灯具厂计划加工 9000 套彩灯，为尽快完成任务，实 际每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯 的数量. 【答案】300 套． 【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，则实际每天加工彩灯的数量为 1.2x 套， 由题意得： 9000 9000 5 1.2x x   ， 解得：x=300， 经检验，x=300 是原方程的解，且符合题意。 【点拨】这样考虑理解容易一些：原计划 m 天完成，有 mx=9000，实际(m-5)天完成，有(m-5)2x=9000. 【例题 4】(2020 贵州黔西南)“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也 给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元．今年该型自行车每辆售价 预计比去年降低 200 元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 10%，求： (1)A 型自行车去年每辆售价多少元； (2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已 知，A型车和 B型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B型车销售价格为 2400 元，应如何组织进 货才能使这批自行车销售获利最多． 【答案】(1) 2000 元；(2) A 型车 20 辆，B 型车 40 辆． 【解析】(1)设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为(x﹣200)元，由卖出的数量相同列出方程求解 即可； (2)设今年新进 A 型车 a辆，则 B型车(60﹣a)辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系式，由 a 的 取值范围就可以求出 y 的最大值． 【详解】解：(1)设去年 A 型车每辆售价 x元，则今年售价每辆为(x﹣200)元，由题意，得 80000 80000(1 10%) 200x x    ， 解得：x=2000． 经检验，x=2000 是原方程的根． 答：去年 A 型车每辆售价为 2000 元； (2)设今年新进 A 型车 a辆，则 B型车(60﹣a)辆，获利 y 元，由题意，得 y=a+(60﹣a)， y=﹣300a+36000． ∵B 型车的进货数量不超过 A型车数量的两倍， ∴60﹣a≤2a， ∴a≥20． ∵y=﹣300a+36000． ∴k=﹣300＜0， ∴y 随 a 的增大而减小． ∴a=20 时，y 最大=30000 元． ∴B 型车的数量为：60﹣20=40 辆． ∴当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大． 【点拨】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【对点练习】(2020•广东)某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面积比每个 B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用 60 平方米建 A类摊位的个数恰好是用同样面积建 B类摊位个数的 䁕 ． (1)求每个 A，B 类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)该社区拟建 A，B 两类摊位共 90 个，且 B 类摊位的数量不少于 A 类摊位数量的 3 倍．求建造这 90 个摊 位的最大费用． 【答案】见解析。 【分析】(1)设每个 B类摊位的占地面积为 x平方米，则每个 A 类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用 60 平方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊位个数的 䁕 这个等量关系列出方程即可． (2)设建 A摊位 a个，则建 B摊位(90﹣a)个，结合“B 类摊位的数量不少于 A 类摊位数量的 3 倍”列出不等 式并解答． 【解析】(1)设每个 B 类摊位的占地面积为 x 平方米，则每个 A 类摊位占地面积为(x+2)平方米， 根据题意得： 㘠 香 㘠 䁕 ， 解得：x＝3， 经检验 x＝3 是原方程的解， 所以 3+2＝5， 答：每个 A 类摊位占地面积为 5 平方米，每个 B 类摊位的占地面积为 3 平方米； (2)设建 A摊位 a 个，则建 B摊位(90﹣a)个， 由题意得：90﹣a≥3a， 解得 a≤22.5， ∵建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类摊位每平方米的费用为 30 元， ∴要想使建造这 90 个摊位有最大费用，所以要多建造 A类摊位，即 a取最大值 22 时，费用最大， 此时最大费用为：22×40×5+30×(90﹣22)×3＝10520， 答：建造这 90 个摊位的最大费用是 10520 元． 一、选择题 1．(2020•黑龙江)已知关于 x 的分式方程 香 香4 香 的解为正数，则 k的取值范围是( ) A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且 k≠﹣2 C．k＞﹣8 且 k≠2 D．k＜4且 k≠﹣2 【答案】B 【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出 k 的范围即可． 【解析】分式方程 香 香4 香 ， 去分母得：x﹣4(x﹣2)＝﹣k， 去括号得：x﹣4x+8＝﹣k， 解得：x 香䁣 ， 由分式方程的解为正数，得到 香䁣 ＞0，且 香䁣 2， 解得：k＞﹣8且 k≠﹣2． 2．(2020•泸州)已知关于 x 的分式方程 香 香2香 香 的解为非负数，则正整数 m 的所有个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得 答案． 【解析】去分母，得：m+2(x﹣1)＝3， 移项、合并，得：x 䁕香 ， ∵分式方程的解为非负数， ∴5﹣m≥0且 䁕香 1， 解得：m≤5 且 m≠3， ∴正整数解有 1，2，4，5 共 4 个. 3．(2020•成都)已知 x＝2 是分式方程 香 香 香 1 的解，那么实数 k的值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】把 x＝2 代入分式方程计算即可求出 k的值． 【解析】把 x＝2 代入分式方程得： 香1＝1， 解得：k＝4． 4.(2019•广东省广州市)甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8个，甲做 120 个所用的时间 与乙做 150 个所用的时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下列方程正确的是( ) A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ 【答案】 【解析】设甲每小时做 x 个零件，根据甲做 120 个所用的时间与乙做 150 个所用的时间相等得出方程解答 即可． 设甲每小时做 x 个零件，可得： 5.(2019 黑龙东地区)已知关于 x 的分式方程 2 1 3 x m x    的解是非正数，则 m 的取值范围是( ) A．m≤3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m≥－3 【答案】A 【解析】知识点是分式方程的增根。 由 2 1 3 x m x    得 x=m-3， ∵方程的解是非正数， ∴m-3≤0，∴m≤3. 当 x-3=0 即 x=3 时，3=m-3，m=6， ∵m=6 不在 m≤3 内，∴m≤3.故选 A. 6.(2019 山东淄博)解分式方程 ＝ ﹣2时，去分母变形正确的是( ) A．﹣1+x＝﹣1﹣2(x﹣2) B．1﹣x＝1﹣2(x﹣2) C．﹣1+x＝1+2(2﹣x)D．1﹣x＝﹣1﹣2(x﹣2) 【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果． 去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2(x﹣2) 7.(2019•广西贵港)若分式 的值等于 0，则 x的值为( ) A．±1B．0C．﹣1D．1 【答案】D 【解析】化简分式 ＝ ＝x﹣1＝0即可求解。 ＝ ＝x﹣1＝0， ∴x＝1； 经检验：x＝1是原分式方程的解。 8.(2019•湖北十堰)十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有 6000 米的钢轨需要铺设，为 确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提前 15 天完成任务．设原计划每天铺设 钢轨 x 米，则根据题意所列的方程是( ) A． ﹣ ＝15 B． ﹣ ＝15 C． ﹣ ＝20 D． ﹣ ＝20 【答案】A 【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程． 设原计划每天铺设钢轨 x 米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提前 15 天完成任务可 列方程． 设原计划每天铺设钢轨 x 米，可得： 9. (2019•山东省济宁市)世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G 网络．5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比 4G 网络快 45 秒，求 这两种网络的峰值速率．设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x兆数据，依题意，可列方程是( ) A． ﹣ ＝45B． ﹣ ＝45 C． ﹣ ＝45D． ﹣ ＝45 【答案】A 【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用 5G 网络比 4G 网络快 45 秒得出等式进而得出答案． 设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是： ﹣ ＝45． 10.(2019•江苏苏州)小明 5 元买售价相同的软面笔记本，小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱 恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记 本每本售价为 x 元，根据题意可列出的方程为( ) A． 15 24 3x x   B． 15 24 3x x   C． 15 24 3x x   D． 15 24 3x x   【答案】A 【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量 15 24 3x x    二、填空题 11．(2020•徐州)方程 䁣 香 的解为 ． 【答案】x＝9． 【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可． 【解析】去分母得： 9(x﹣1)＝8x 9x﹣9＝8x x＝9 检验：把 x＝9代入 x(x﹣1)≠0， 所以 x＝9是原方程的解． 12．(2020•盐城)分式方程 香 0 的解为 x＝ ． 【答案】1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】分式方程 香 0， 去分母得：x﹣1＝0， 解得：x＝1， 经检验 x＝1 是分式方程的解． 13．(2020•广元)关于 x的分式方程 香 香2＝0 的解为正数，则 m 的取值范围是 ． 【答案】m＜2且 m≠0． 【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于 m 的不等式，从而求得 m 的 范围． 【解析】去分母得：m+4x﹣2＝0， 解得：x 香 ， ∵关于 x 的分式方程 香 香2＝0 的解是正数， ∴ 香 ＞0， ∴m＜2， ∵2x﹣1≠0， ∴2× 香 香1≠0， ∴m≠0， ∴m 的取值范围是 m＜2且 m≠0． 14.(2019•甘肃)分式方程 ＝ 的解为 ． 【答案】x＝ 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 去分母得：3x+6＝5x+5， 解得：x＝ ， 经检验 x＝ 是分式方程的解． 15.(2019•山东省滨州市)方程 +1＝ 的解是 ． 【答案】x＝1． 【解析】本题考查了解分式方程．(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程 求解，(2)解分式方程一定注意要验根． 去分母，得 x﹣3+x﹣2＝﹣3， 移项、合并，得 2x＝2， 解得 x＝1， 检验：当 x＝1时，x﹣2≠0， 所以，原方程的解为 x＝1 16.(2019▪湖北黄石)分式方程： ﹣ ＝1的解为 ． 【答案】x＝﹣1 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 去分母得：4﹣x＝x2 ﹣4x，即 x2 ﹣3x﹣4＝0， 解得：x＝4 或 x＝﹣1， 经检验 x＝4 是增根，分式方程的解为 x＝﹣1 17.(2019 四川巴中)若关于 x 的分式方程 + ＝2m 有增根，则 m 的值为 ． 【答案】1 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 x ﹣2＝0，得到 x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值． 方程两边都乘 x﹣2，得 x﹣2m＝2m(x﹣2) ∵原方程有增根， ∴最简公分母 x﹣2＝0， 解得 x＝2， 当 x＝2 时，m＝1 故 m 的值是 1 18.(2019•江苏宿迁)关于 x 的分式方程 + ＝1的解为正数，则 a的取值范围是 ． 【答案】a＜5且 a≠3． 【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出 a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的 条件分析得出答案． 去分母得：1﹣a+2＝x﹣2， 解得：x＝5﹣a， 5﹣a＞0， 解得：a＜5， 当 x＝5﹣a＝2 时，a＝3 不合题意， 故 a＜5 且 a≠3． 19.(2019•贵州省安顺市)某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达 36 万千克，为了满足市场需 求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万千克， 种植亩数减少了 20 亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为 x 万千克， 则改良后平均每亩产量为 1.5x 万千克，根据题意列方程为 ． 【答案】 ﹣ ＝20． 【解析】设原计划平均亩产量为 x 万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x 万千克， 依题意，得： ﹣ ＝20． 故答案为： ﹣ ＝20． 20. (2019黑龙江绥化)甲乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200km的 B地,甲,乙两车的速度之比是4:5, 结果乙车比甲车早 30 分钟到达 B地,则甲车速度为______km/h. 【答案】80 【解析】分式方程的应用。 设甲车速度为 4x,乙车速度为 5x,根据题意得: 200 200 1 4 5 2x x   , 解之,得 x＝20,∴甲车速度为 4x＝80. 三、解答题 21．(2020•湘潭)解分式方程： 香 香2 香 ． 【答案】见解析。 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】 香 香 香 去分母得，3+2(x﹣1)＝x， 解得，x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1 是原方程的解． 所以，原方程的解为：x＝﹣1． 22．(2020•陕西)解分式方程： 香 香 香 1． 【答案】见解析。 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】方程 香 香 香 1， 去分母得：x2 ﹣4x+4﹣3x＝x2 ﹣2x， 解得：x 䁕 ， 经检验 x 䁕 是分式方程的解． 24．(2020•牡丹江)某商场准备购进 A，B 两种书包，每个 A 种书包比 B种书包的进价少 20 元，用 700 元购 进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍，A 种书包每个标价是 90 元，B 种书包每个标价是 130 元．请解答下列问题： (1)A，B 两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进 B 种书包的个数比 A 种书包的 2 倍还多 5 个，且 A种书包不少于 18 个，购进 A，B 两种书 包的总费用不超过 5450 元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全 部售出，其中两种书包共有 4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利 1370 元．请直接写出赠送的书包和 样品中，B种书包各有几个？ 【答案】见解析。 【分析】(1)设每个 A种书包的进价为 x 元，则每个 B种书包的进价为(x+20)元，根据数量＝总价÷单价结 合用 700 元购进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍，即可得出关于 x 的分式方程，解之 经检验后即可得出结论； (2)设该商场购进 m个 A 种书包，则购进(2m+5)个 B 种书包，根据购进 A，B两种书包的总费用不超过 5450 元且 A 种书包不少于 18 个，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，再结合 m 为正整数即可得出各进货方案； (3)设销售利润为 w元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出 w 关于 m 的函数关系式， 利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中 B 种书包有 a 个，样品中 B 种书包 有 b 个，则赠送的书包中 A种书包有(5﹣a)个，样品中 A 种书包有(4﹣b)个，根据利润＝销售收入﹣成本， 即可得出关于 a，b的二元一次方程，结合 a，b，(5﹣a)，(4﹣b)均为正整数，即可求出结论． 【解析】(1)设每个 A 种书包的进价为 x 元，则每个 B 种书包的进价为(x+20)元， 依题意，得： 㘠㘠 2× 䁕㘠 香㘠 ， 解得：x＝70， 经检验，x＝70 是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝90． 答：每个 A 种书包的进价为 70 元，每个 B种书包的进价为 90 元． (2)设该商场购进 m个 A种书包，则购进(2m+5)个 B 种书包， 依题意，得： 䁣 㘠香 㘠香 䁕ሺ 䁕䁕㘠， 解得：18≤m≤20． 又∵m为正整数， ∴m 可以为 18，19，20， ∴该商场有 3 种进货方案，方案 1：购买 18 个 A种书包，41 个 B 种书包；方案 2：购买 19 个 A 种书包，43 个 B 种书包；方案 3：购买 20 个 A 种书包，45 个 B种书包． (3)设销售利润为 w元，则 w＝(90﹣70)m+(130﹣90)(2m+5)＝100m+200． ∵k＝100＞0， ∴w 随 m 的增大而增大， ∴当 m＝20 时，w 取得最大值，此时 2m+5＝45． 设赠送的书包中 B 种书包有 a 个，样品中 B 种书包有 b 个，则赠送的书包中 A种书包有(5﹣a)个，样品中 A 种书包有(4﹣b)个， 依题意，得：90×[20﹣(5﹣a)﹣(4﹣b)]+0.5×90(4﹣b)+130(45﹣a﹣b)+0.5×130b﹣70×20﹣90×45＝ 1370， ∴b＝10﹣2a． ∵a，b，(5﹣a)，(4﹣b)均为正整数， ∴ ． 答：赠送的书包中 B 种书包有 4 个，样品中 B 种书包有 2 个．