2019年四川成都中考数学试题（解析版） 18页

‎{来源}2019年成都市中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}成都市二〇一九年初中学业水平考试 考试时间：120分钟 满分：150分 A卷(共100分)‎ ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分． ‎ ‎{题目}1．(2019年四川成都T1)比－3大5的数是(　　)‎ A．－15 B．－8 C．2 D．8‎ ‎{答案}C ‎{解析}∵－3＋5＝2，故比－3大5的数是2.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-3-1]有理数的加法}‎ ‎{考点:两个有理数相加}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．(2019年四川成都T2)如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是(　　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}如图，该几何体的三视图如下，故选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．(2019年四川成都T3)2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为(　　)‎ A．5500×104 B．55×106 C．5.5×107 D．5.5×108‎ ‎{答案}C ‎{解析}科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10.若用科学记数法表示绝对值较大的数，则n的值等于该数的整数位数减去1，则a＝5.5，n＝4＋4－1＝7，故5.5万＝5.5×107.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4．(2019年四川成都T4)在平面直角坐标系中，将点(－2，3)向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为(　　)‎ A．(2，3) B．(－6，3) C．(－2，7) D．(－2．－1)‎ ‎{答案}A ‎{解析}将点(－2，3)向右平移4个单位得到的点为(－2＋4，3)，即(2，3).‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-7-2]平面直角坐标系}‎ ‎{考点:平面直角坐标系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}5．(2019年四川成都T5)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为(　　)‎ A．10° B．15° C．20° D．30°‎ ‎{答案}B ‎{解析}如图，∵矩形纸片的对边平行，∴∠2＝45°－∠3＝45°－∠1＝15°.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:平行线的性质与判定}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．(2019年四川成都T6)下列计算正确的是(　　)‎ A．5ab－3a＝2b B．(－3a2b)2＝6a4b2 ‎ C．(a－1)2＝a2－1 D．2a2b÷b＝2a2‎ ‎{答案}D ‎{解析}逐项分析如下：‎ 选项 逐项分析 正误 A ‎5ab与－3a不是同类项，不能合并.‎ ‎×‎ B ‎(－3a2b)2＝9a4b2.‎ ‎×‎ C ‎(a－1)2＝a2－2a＋1.‎ ‎×‎ D ‎2a2b÷b＝2a2.‎ ‎√‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{考点:多项式除以单项式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．(2019年四川成都T7)分式方程＋＝1的解为(　　)‎ A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝－2‎ ‎{答案}A ‎{解析}去分母，得：x(x－5)＋2(x－1)＝x(x－1)，去括号、移项、合并同类项，得：－2x＝2，系数化为1，得：x＝－1.检验：当x＝－1时，x(x－1)＝－1×(－2)＝2≠0，故原分式方程的解为x＝－1.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{考点:解含两个分式的分式方程}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8．(2019年四川成都T8)某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量(单位：件)分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是(　　)‎ A．42件 B．45件 C．46件 D．50件 ‎{答案}C ‎{解析}将该数据从小到大排列，得：42，45，46，50，50，中间的数是46件，故中位数是46件.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}9．(2019年四川成都T9)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点(点P不与点D重命)，则∠CPD的度数为(　　)‎ A．30° B．36° C．60° D．72°‎ ‎{答案}B ‎{解析}连接OC、OD，则∠COD＝×360°＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:正多边形和圆}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10．(2019年四川成都T10)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，下列说法正确的是(　　)‎ A．c＜0 B．b2－4ac＜0 ‎ C．a－b＋c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3‎ ‎{答案}D ‎{解析}逐项分析如下：‎ 选项 逐项分析 正误 A ‎∵抛物线与y轴的交点在原点上方，则c＞0.‎ ‎×‎ B 抛物线与x轴有两个点交，则b2－4ac＞0.‎ ‎×‎ C 当x＝－1时，二次函数值是正数，故a－b＋c＞0.‎ ‎×‎ D 由点A、B的坐标可知该抛物线的对称轴为x＝＝3.‎ ‎√‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，合计16分．‎ ‎{题目}11．(2019年四川成都T11)若m＋1与－2互为相反数，则m的值为　　．‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}由题意可知：m＋1＋(－2)＝0，解得：m＝1.‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-2-3]相反数}‎ ‎{考点:××}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{考点:解一元一次方程(移项)}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12．(2019年四川成都T12)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为　 　．‎ ‎{答案}9‎ ‎{解析}∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE(ASA)，∴BD＝CE＝9.‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13．(2019年四川成都T13)已知一次函数y＝(k－3)x＋1的图象经过第一、二、四象限，‎ 则k的取值范围是　 　．‎ ‎{答案}k＜3‎ ‎{解析}∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴k－3＜0，解得：k＜3.‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．(2019年四川成都T14)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为　 　．‎ ‎{答案}4‎ ‎{解析}由尺规作图可知∠COE＝∠CAB，∴OE∥AB.由平行四边形的性质可知点O是AC中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB＝4.‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}‎ ‎{考点:三角形中位线}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共6小题，合计54分．‎ ‎{题目}15-(1)(2019年四川成都T15)计算：(π－2)0－2cos30°－＋|1－|．‎ ‎{解析}本题涉及零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎{答案}解：解：原式＝1－2×－4＋－1，‎ ‎＝1－－4＋－1，‎ ‎＝－4．‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-6-3]实数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{考点:算术平方根}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{考点:绝对值的性质}‎ ‎{题目}15-(2)(2019年四川成都T15)解不等式组：‎ ‎{解析}先求出两个不等式的解集，再求其公共解．‎ ‎{答案}解： 由①，得，x≥－1，‎ 由②，得，x＜2，‎ 故不等式组的解集是－1≤x＜2．‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{题目}16．(2019年四川成都T16)先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝＋1．‎ ‎{解析}先计算括号内的分式加减，同时将分式的除法转化为分式的乘法，因式分解分子、分母，约去公因式，最后代入x的值求解.‎ ‎{答案}解：原式＝(－)×‎ ‎＝×‎ ‎＝.‎ 当x＝＋1时，＝＝.‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{题目}17．(2019年四川成都T17)随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．‎ 根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎(1)求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；‎ ‎(2)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎(3)该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．‎ ‎{解析}(1)根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整；‎ ‎(2)根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎(3)根据统计图中的数据可以求得该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．‎ ‎{答案}解：(1)本次调查的学生总人数为：18÷20%＝90，‎ 在线听课的人数为：90－24－18－12＝36，‎ 补全的条形统计图如图所示；‎ ‎(2)扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝48°，‎ 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°；‎ ‎(3)2100×＝560(人)，‎ 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{题目}18．(2019年四川成都T18)2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．(结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)‎ ‎{解析}作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝AB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．‎ ‎{答案}解：作CE⊥AB于E，如图，则四边形CDBE为矩形，‎ ‎∴CE＝AB＝20，CD＝BE.‎ 在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，‎ 在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，‎ ‎∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，则CD＝BE＝AB－AE＝6，‎ 答：起点拱门CD的高度约为6米．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用－仰角}‎ ‎{题目}19．(2019年四川成都T19)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋5和y＝－2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．‎ ‎(1)求反比例函数的表达式；‎ ‎(2)设一次函数y＝x＋5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．‎ ‎{解析}(1)联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；‎ ‎(2)联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．‎ ‎{答案}解：(1)由得：故A(－2，4)，‎ ‎∵反比例函数y＝的图象经过点A，‎ ‎∴k＝－2×4＝－8，‎ ‎∴反比例函数的表达式是y＝－；‎ ‎(2)解方程组得：或故B(－8，1)，‎ 由直线AB的解析式为y＝x＋5得到直线与x轴的交点为(－10，0)，‎ ‎∴S△AOB＝×10×4－×10×1＝15．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{题目}20．(2019年四川成都T20)‎ 如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．‎ ‎(1)求证：＝；‎ ‎(2)若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；‎ ‎(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点(点F在线段PQ上)，求PQ的长．‎ ‎{解析}(1)由等腰三角形的性质和平行线的性质即可证明结论； ‎ ‎(2)通过证明△ACE∽△BCA，可求出AC，由勾股定理可求AB的长，即可求⊙O的半径；‎ ‎(3)过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，通过证明△APC∽△CPB，可求PA、PO的长，通过证明△PHO∽△BCA，可求PH，OH的长，由勾股定理可求HQ的长，即可求PQ的长．‎ ‎{答案}解：(1)连接OD，如图1.‎ 图1‎ ‎∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC.‎ ‎∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，‎ ‎∴∠OBC＝∠DBC， ∴∠AOC＝∠COD，‎ ‎∴＝.‎ ‎(2)连接AC，如图1.‎ ‎∵＝，∴∠CBA＝∠CAD.‎ ‎∵∠BCA＝∠ACE，‎ ‎∴△CBA∽△CAE，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴CA2＝CE·CB＝CE·(CE＋EB)＝1×(1＋3)＝4，解得：CA＝2.‎ 又∵AB为⊙O的直径，则∠ACB＝90°.‎ 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝＝＝2.‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ ‎(3)如图2，设AD与CO相交于点N.‎ 图2‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.‎ ‎∵OC∥BD，∴∠ANO＝∠ADB＝90°.‎ ‎∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，‎ ‎∴∠ANO＝∠PCO.‎ ‎∴PC∥AE.‎ ‎∴＝＝，则PA＝AB＝×2＝.‎ ‎∴PO＝PA＋AO＝＋＝.‎ 过点O作OH⊥PQ于点H，则∠OHP＝90°＝∠ACB.‎ ‎∵PQ∥CB，‎ ‎∴∠BPQ＝∠ABC，‎ ‎∴△OHP∽△ACB，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴OH＝＝＝,PH＝＝＝.‎ 连接PQ.‎ 在Rt△OHQ中，由勾定理，得：HQ＝＝＝.‎ ‎∴PQ＝PH＋HQ＝.‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ B卷(共50分)‎ ‎{题型:2-填空题}一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，合计20分．‎ ‎{题目}21．(2019年四川成都T21)估算：≈　　(结果精确到1)‎ ‎{解析}∵36＜37.7＜49，∴＜＜，即6＜＜7，又∵37.7更靠近36，故≈6.‎ ‎{答案}6‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-6-3]实数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:实数的大小比较}‎ ‎{题目}22．(2019年四川成都T22)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根，且x12＋x22－x1x2＝13，则k的值为　 　．‎ ‎{解析}由一元 二次方程的根与系数之间的关系，得：x1＋x2＝－2，x1x2＝k－1，∴x12＋x22－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(－2)2－3(k－1)＝13，解得：k＝－2.‎ ‎{答案}－2‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:根与系数关系}‎ ‎{题目}23．(2019年四川成都T23)一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为　 　．‎ ‎{解析}设盒子中原有的白球为x个，根据题意，得：＝，解得：x＝20，经检验该根有意义，故盒子中原有的白球为20个.‎ ‎{答案}20‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:概率的意义}‎ ‎{题目}24．(2019年四川成都T24)如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C＋B'C的最小值为　 　．‎ ‎{解析}过点C作直线l∥BD，以直线l为对称轴作点B’的对称点E，连接CE，A’E，则B’C＝CE，∠EB’D＝90°，B’E＝AC＝1.由菱形的性质可知∠ABD＝∠A’B’D’＝30°，∴∠A’B’E＝30°＋90°＝120°，又由A’B’＝B’E＝1，易求得A’E＝.在△A’EC中，由三角形的三边关系可得：AC’＋CE≥A’E，∴ AC’＋CE的最小值是，即AC’＋B’C的最小值是.‎ ‎{答案}‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:菱形的性质}‎ ‎{考点:最短路线问题}‎ ‎{题目}25．(2019年四川成都T25)如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为(5，0)，点B在x轴的上方，△OAB的面积为，则△OAB内部(不含边界)的整点的个数为　 　．‎ ‎{解析}在△OAB中，易求得OA边上的高线长为3.如图，点B的横坐标位于2~3之间时，△OAB内的整数点最多，有6个点；将点B沿着直线y＝3无限向左右移动，△OAB内始终至少有4个点.综上所述，整数点个数有4个或5个或6个.‎ ‎{答案}4或5或6‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-7-2]平面直角坐标系}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:点的坐标}‎ ‎{考点:三角形的面积}‎ ‎{考点:平行线之间的距离}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共3小题，合计30分．‎ ‎{题目}26．(2019年四川成都T26)随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．‎ ‎(1)求y与x之间的关系式；‎ ‎(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台)，p与x的关系可以用p＝x＋来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？‎ ‎{解析}(1)根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可；‎ ‎(2)设销售收入为w万元，根据销售收入＝销售单价×销售数量和p＝x＋，列出w与x的函数关系式，再根据函数性质求得结果．‎ ‎{答案} (1)设函数的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，由图象可得，‎ 解得：‎ ‎∴y与x之间的关系式：y＝－500x＋7500；‎ ‎(2)设销售收入为w万元，根据题意得，‎ w＝yp＝(－500x＋7500)(x＋)，‎ 即w＝－250(x－7)2＋16000，‎ ‎∴当x＝7时，w有最大值为16000，‎ 此时y＝－500×7＋7500＝4000(元).‎ 答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:商品利润问题}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{题目}27．(2019年四川成都T27)如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合)．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．‎ ‎(1)求证：△ABD∽△DCE；‎ ‎(2)当DE∥AB时(如图2)，求AE的长；‎ ‎(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．‎ 图1 图2‎ ‎{解析}(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．‎ ‎(2)解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出＝，可求得DB，由DE∥AB，推出＝，求出AE即可．‎ ‎(2)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△AFN∽△ADM可求出tan∠ADF和AN，CH，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．‎ ‎{答案}(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.‎ ‎∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B，‎ ‎∴∠BAD＝∠CDE.‎ ‎∴△ABD∽△DCE.‎ ‎(2)过点A作AM⊥BC于点M.‎ 在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM·tanB＝4k·＝3k.‎ 由勾股定理，得：AB2＝AM2＋BM2，得：‎ ‎202＝(3k)2＋(4k)2，解得：k＝4.‎ ‎∵AB＝AC，AM⊥BC，‎ ‎∴BC＝2BM＝8k＝32.‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠BAD＝∠ADE.‎ 又∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，‎ ‎∴∠BAD＝∠ACB.‎ ‎∵∠ABD＝∠CBA，‎ ‎∴△ABD∽△CBA，‎ ‎∴＝，则DB＝＝＝.‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AE＝＝＝.‎ ‎(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF.‎ 过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHA＝∠AMH＝∠ANH＝90°.‎ ‎∴四边形AMHN为矩形.‎ ‎∴∠MAN＝90°，MH＝AN.‎ ‎∵AB＝AC，AM⊥BC，‎ ‎∴BM＝CM＝BC＝×32＝16.‎ 在Rt△ABM中，由勾股定理，得：AM＝＝＝12.‎ ‎∵AN⊥FH，AM⊥BC，‎ ‎∴∠ANF＝90°＝∠AMD.‎ ‎∵∠DAF＝90°＝∠AMN，‎ ‎∴∠NAF＝∠MAD，‎ ‎∴△AFN∽△ADM.‎ ‎∴＝＝tan∠ADF＝tanB＝.‎ ‎∴AN＝AM＝×12＝9.‎ ‎∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.‎ 当DF＝CF时，由点D不与点C重合时，可知△DFC为等腰三角形.‎ 又∵FH⊥DC，‎ ‎∴CD＝2CH＝14.‎ ‎∴BD＝BC－CD＝32－14＝18.‎ ‎∴点D在BC边上运动 的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18.‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{题目}28．(2019年四川成都T28)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，5)，与x轴相交于B(－1，0)，C(3，0)两点．‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式；‎ ‎(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；‎ ‎(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．‎ ‎{解析}(1)运用待定系数法列方程组求a、b、c即可；‎ ‎(2)根据抛物线的解析式和勾股定理可求出点C’到x轴的距离；利用∠BC’D和∠DBC的三角函数值求出点D到x轴的距离.由此可求出点C’和点D的坐标；‎ ‎(3)分两种情况讨论：点Q可能在x轴上方也可能在x轴下方，根据等边三角形的性质，利用全等三角形求出∠CBP的度数，由此可找出直线BP上的两个特殊点的坐标，运用待定系数法即可求出直线BP的函数表达式.‎ ‎{答案}解：(1)由题意得：解得：‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3．‎ ‎(2)∵抛物线与x轴交于B(－1，0)，C(3，0)，‎ ‎∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，‎ 如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为(1，0)，BH＝2，‎ 由翻折得C′B＝CB＝4，‎ 在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2， ‎ ‎∴点C′的坐标为(1，2)，tan∠C’BH＝＝＝，∴∠C′BH＝60°.‎ 由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，‎ 在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，‎ ‎∴点D的坐标为(1，)．‎ ‎(3)取(2)中的点C′，D，连接CC′，‎ ‎∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，‎ ‎∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：‎ ‎①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．‎ ‎∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，‎ ‎∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，‎ ‎∴∠BCQ＝∠C′CP，‎ ‎∴△BCQ≌△C′CP(SAS)，‎ ‎∴BQ＝C′P．‎ ‎∵点Q在抛物线的对称轴上，‎ ‎∴BQ＝CQ，‎ ‎∴C′P＝CQ＝CP，‎ 又∵BC′＝BC，‎ ‎∴BP垂直平分CC′，‎ 由翻折可知BD垂直平分CC′，‎ ‎∴点D在直线BP上，‎ 设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b，则 解得：，‎ ‎∴直线BP的函数表达式为y＝x＋．‎ ‎②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．‎ ‎∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，‎ ‎∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．‎ ‎∴∠BCP＝∠C′CQ，‎ ‎∴△BCP≌△C′CQ(SAS)，‎ ‎∴∠CBP＝∠CC′Q，‎ ‎∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，‎ ‎∴∠CC’Q＝∠CC’B＝30°，则∠CBP＝30°.‎ 设BP与y轴相交于点E，‎ 在Rt△BOE中，OE＝OB·tan∠CBP＝OB·tan30°＝1×＝，‎ ‎∴点E的坐标为(0，－)．‎ 设直线BP的函数表达式为y＝mx＋n，则 ‎，解得：‎ ‎∴直线BP的函数表达式为y＝－x－．‎ 综上所述，直线BP的函数表达式为y＝x＋或y＝－x－．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{考点:二次函数中讨论等腰三角形}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:等边三角形的判定与性质}‎