九年级数学上册 2321 中心对称教学 新版新人教版 24页

23.2 　中心对称 23.2.1 　中心对称 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 中心对称及相关概念 把一个图形绕着某一点旋转 180 ° , 如果它能够与另一个图形重合 , 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 , 这个点叫做对称中心 ( 简称中心 ) . 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点 . 名师解读 : 中心对称是针对两个图形之间的关系 , 是特殊的旋转 , 是旋转角等于 180 ° 的旋转 , 理解时可与轴对称对比 : 知识点一 知识点二 知识点三 例 1 　 下列图形中哪两个图形成中心对称 ( 　　 ) A.(1),(3) B.(2),(3) C.(1),(4) D.(1),(2) 解析 : 根据中心对称的概念判断即可 . 答案 : D 知识点一 知识点二 知识点三 判断两个图形是否成中心对称 , 关键看能否找到一个点 , 绕着该点旋转 180 ° 后 , 一个图形和另一个图形能重合 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点二 中心对称的性质 中心对称的性质 :(1) 中心对称的两个图形 , 对称点所连线段都经过对称中心 , 而且被对称中心所平分 . (2) 中心对称的两个图形是全等形 . 名师解读 : 由于成中心对称的两个图形是全等形 , 所以对应线段相等、对应角相等 . 对称中心是对应点连线的中点 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 2 　 如图 , 四边形 ABCD 与四边形 FGHE 关于点 O 成中心对称 , 下列说法中错误的是 ( 　　 ) A. AD ∥ EF , AB ∥ GF B. BO=GO C. CD=HE , BC=GH D. DO=HO 知识点一 知识点二 知识点三 解析 : 根据中心对称的定义和中心对称的性质分析 :A, ∵ AD 与 EF 关于点 O 成中心对称 , ∴ AD ∥ EF , 同理可得 AB ∥ GF , 所以说法正确 ;B, ∵ B 与 G 关于点 O 成中心对称 , ∴ BO=GO , 所以说法正确 ;C, ∵ CD 与 HE 关于点 O 成中心对称 , ∴ CD=HE , 同理可得 BC=GH , 所以说法正确 ;D, ∵ D 与 E 关于点 O 成中心对称 , ∴ DO=EO , 所以 DO=HO 错误 . 答案 : D 知识点一 知识点二 知识点三 解答这类问题 , 利用中心对称的性质直接得出部分正确结论 , 然后根据这些结论 “ 数形结合 ” 进行推理 , 看能否得出题目其他结论正确 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点三 中心对称的作图 作一个图形的中心对称图形的一般步骤 : (1) 确定对称中心 ; (2) 找出原图形的关键点 ( 图形的顶点、拐点等 , 如 : 作三角形的对称图形时 , 三角形的三个顶点 ), 分别作出这些关键点的对应点 ; (3) 按照原有次序连接 , 标注字母并且指明图形是对称图形 . 知识点一 知识点二 知识点三 名师解读 : 作中心对称图形的常见的两种方法 : 方法一 : 由于中心对称是特殊的旋转 , 所以可以利用旋转的作图方法 , 将原图旋转 180 ° 所得出的新图形即为所求作的对称图形 ; 方法二 : 由中心对称的性质知道对称中心是对称点连线的中点 , 所以可以利用这一特性找到已知图形上各个关键点的对称点 , 再按照原图的顺序依次连接即可得出所求作图形的对称图形 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 3 　 如图 , 请画出 ▱ ABCD 关于点 O 对称的图形 . ( 保留作图痕迹 ) 分析 : 连接 AO 并延长至 A' , 使 A'O=AO , 连接 BO 并延长至 B' , 使 B'O=BO , 连接 CO 并延长至 C' , 使 C'O=CO , 连接 DO 并延长至 D' , 使 D'O=DO , 然后顺次连接即可得解 . 知识点一 知识点二 知识点三 解 : 如图所示 , ▱ A'B'C'D' 即为所求作的 ▱ ABCD 关于点 O 对称的图形 . 知识点一 知识点二 知识点三 根据题目所给的对称中心 , 分别作出各关键点 ( 本题中四边形的四个顶点 ) 的对应点 , 然后按照原来顺序连接即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 中心对称性质的运用 例 1 　 如图所示 , 已知梯形 ABCD 中 , AD ∥ BC , 请你利用中心对称的性质 , 把梯形 ABCD 转化成与原梯形面积相等的三角形 , 并简要说明变换理由 . 分析 : 由于中心对称所得的图形是全等形 , 所以可以把梯形的一部分旋转 180 ° , 使之转变成全等的图形 , 根据中心对称的性质以及全等三角形的判定与性质得出即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解 : 如图所示 , 取 CD 的中点 M , 连接 AM 并延长交 BC 延长线于点 N , 得到 △ ABN 即为与原梯形面积相等的三角形 . 理由如下 : ∴ △ ADM ≌ △ NCM (ASA), △ NCM 可以看作是 △ ADM 关于点 M 的对称图形 , ∴ △ ABN 即为与原梯形面积相等的三角形 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题 , 注意利用中心对称图形的性质及全等三角形的判定与性质 , 正确根据中心对称的性质得出 △ ADM ≌ △ NCM 是解题关键 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二 坐标系或网格中的中心对称 例 2 　 如图 , 在由边长为 1 的小正方形组成的方格纸中 , 有两个全等的三角形 , 即 △ A 1 B 1 C 1 和 △ A 2 B 2 C 2 . (1) 请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换 , 将 △ A 1 B 1 C 1 重合到 △ A 2 B 2 C 2 上 ; (2) 在方格纸中将 △ A 1 B 1 C 1 经过怎样的变换后可以与 △ A 2 B 2 C 2 成中心对称 ? 画出变换后的三角形并标出对称中心 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 分析 : (1) 将 △ A 1 B 1 C 1 先向上平移 4 个单位 , 再向右平移 3 个单位后绕点 C 1 顺时针旋转 90 ° 即可得到 △ A 2 B 2 C 2 ; (2) 对称中心就是对称点连线的交点 , 据此即可作出 . 解 : (1) 将 △ A 1 B 1 C 1 先向上平移 4 个单位 , 再向右平移 3 个单位后绕点 C 1 顺时针旋转 90 ° 即可得到 △ A 2 B 2 C 2 . (2) 如图 , 把 △ A 1 B 1 C 1 绕点 C 1 逆时针旋转 90 ° 即可得到与 △ A 2 B 2 C 2 成中心对称的 △ DEC 1 , 对称中心为点 P. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 在网格中作对称图形时 , 根据网格的特点 , 一般 : ① 先确定一组对应点 ; ② 确定图形中的关键点 ; ③ 分别确定图中所有关键点的对应点 ; ④ 按原图形顺序依次连接对应点 , 所得到的图形即为所求作的图形 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三 与中心对称有关的综合题 例 3 　 某个图形分别关于两平行直线的轴对称图形 , 可以由原图形经过一次平移而得到 . 假如把这两条平行直线换成相交直线 , 又能得到什么结论呢 ? 如图 , 已知 △ ABC , 直线 a , b 相交于点 O , 作出 △ ABC 关于直线 a 对称的 △ A'B'C' , 然后作出 △ A'B'C' 关于直线 b 对称的 △ A ″ B ″ C ″ , 你能发现 △ ABC 和 △ A ″ B ″ C ″ 有什么关系吗 ? 猜想 : 在此图中 , 若再增加什么条件 , 能使得 △ ABC 与 △ A ″ B ″ C ″ 关于点 O 成中心对称呢 ? 拓展点一 拓展点二 拓展点三 分析 : 由轴对称的性质可得 OA=OA'=OA ″ , 再根据旋转的性质解答即可 ; 根据中心对称的性质可得 OA=OA ″ , 根据轴对称的性质可得 OA=OA'=OA ″ , 然后判断出 △ AA'A ″ 是直角三角形 , AA' ⊥ A'A ″ , 再根据轴对称的性质判断即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解 : 根据题意知 OA=OA'=OA ″ , ∴ △ ABC 绕两直线的交点旋转可得到 △ A ″ B ″ C ″ . 猜想 : 添加条件为 a ⊥ b. 理由如下 : ∵ △ ABC 与 △ A ″ B ″ C ″ 关于点 O 成中心对称 , ∴ OA=OA ″ . ∵ △ ABC 与 △ A'B'C' 关于直线 a 对称 , △ A'B'C' 与 △ A ″ B ″ C ″ 关于直线 b 对称 , ∴ OA=OA'=OA ″ , ∴ △ AA'A ″ 是直角三角形 , ∴ AA' ⊥ A'A ″ , 由轴对称的性质 , 知 AA' ⊥ a , A'A ″ ⊥ b , ∴ a ⊥ b. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 在理解中心对称的性质和轴对称的性质的基础上 , 判断出对应顶点构成的三角形是直角三角形是解题的关键 .