一元二次方程复习资料 9页

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  • 2021-11-10 发布

一元二次方程复习资料

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一元二次方程复习资料 一、知识结构:‎ 一元二次方程 二、考点精析 考点一、概念 ‎(1)定义:①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程。 ‎ ‎(2)一般表达式: ‎ ‎⑶难点:如何理解 “未知数的最高次数是‎2”‎:‎ ‎①该项系数不为“0”;‎ ‎②未知数指数为“2”;‎ ‎③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。‎ 典型例题:‎ 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )‎ ‎ A B ‎ ‎ C D ‎ 变式:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。‎ 例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为 。‎ 针对练习:‎ ‎★1、方程的一次项系数是 ,常数项是 。‎ ‎★2、若方程是关于x的一元一次方程,‎ ‎⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。‎ ‎★★3、若方程是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 。‎ ‎★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( )‎ A.m=n=2 B.m=2,n=‎1 ‎‎ C.n=2,m=1 D.m=n=1‎ 考点二、方程的解 ‎⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。‎ ‎⑵应用:利用根的概念求代数式的值; ‎ 典型例题:‎ 例1、已知的值为2,则的值为 。‎ 例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为 。‎ 例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程 必有一根为 。‎ 例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,‎ 则m的值为 。‎ 针对练习:‎ ‎★1、已知方程的一根是2,则k为 ,另一根是 。‎ ‎★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。‎ ‎⑴求k的值; ⑵方程的另一个解。‎ ‎★3、已知m是方程的一个根,则代数式 。‎ ‎★★4、已知是的根,则 。‎ ‎★★5、方程的一个根为( )‎ ‎ A B ‎1 C D ‎ ‎★★★6、若 。‎ 考点三、解法 ‎⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法 ‎⑵关键点:降次 类型一、直接开方法:‎ ‎※※对于,等形式均适用直接开方法 典型例题:‎ 例1、解方程: =0; ‎ 例2、若,则x的值为 。‎ 针对练习:下列方程无解的是( )‎ A. B. C. D.‎ 类型二、因式分解法:‎ ‎※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,‎ ‎※方程形式:如, ,‎ 典型例题:‎ 例1、的根为( )‎ ‎ A B C D ‎ 例2、若,则4x+y的值为 。‎ 变式1: 。‎ 变式2:若,则x+y的值为 。‎ 变式3:若,,则x+y的值为 。‎ 例3、方程的解为( )‎ A. B. C. D.‎ 例4、解方程: ‎ 例5、已知,则的值为 。‎ 变式:已知,且,则的值为 。‎ 针对练习:‎ ‎★1、下列说法中:‎ ‎①方程的二根为,,则 ‎② .‎ ‎③‎ ‎④ ‎ ‎⑤方程可变形为 正确的有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎★2、以与为根的一元二次方程是()‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎★★3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数: ‎ ‎⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数: ‎ ‎★★4、若实数x、y满足,则x+y的值为( )‎ A、-1或-2 B、-1或‎2 C、1或-2 D、1或2‎ ‎5、方程:的解是 。‎ ‎★★★6、已知,且,,求的值。‎ ‎★★★7、方程的较大根为r,方程的较小根为s,则s-r的值为 。‎ 类型三、配方法 ‎※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。‎ 典型例题:‎ 例1、 试用配方法说明的值恒大于0。‎ 例2、 已知x、y为实数,求代数式的最小值。‎ 例3、 已知为实数,求的值。‎ 例4、 分解因式:‎ 针对练习:‎ ‎★★1、试用配方法说明的值恒小于0。‎ ‎★★2、已知,则 .‎ ‎★★★3、若,则t的最大值为 ,最小值为 。‎ ‎★★★4、如果,那么的值为 。‎ 类型四、公式法 ‎⑴条件:‎ ‎⑵公式: ,‎ 典型例题:‎ 例1、选择适当方法解下列方程:‎ ‎⑴ ⑵ ⑶ ‎ ‎⑷ ⑸‎ 例2、在实数范围内分解因式:‎ ‎(1); (2). ⑶‎ 说明:①对于二次三项式的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,‎ 一般情况要用求根公式,这种方法首先令=0,求出两根,再写成 ‎=.‎ ‎②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.‎ 类型五、 “降次思想”的应用 ‎⑴求代数式的值; ⑵解二元二次方程组。‎ 典型例题:‎ 例1、 已知,求代数式的值。‎ 例2、如果,那么代数式的值。‎ 例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。‎ 例4、用两种不同的方法解方程组 说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:①先消元,再降次;②先降次,再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已 知的问题.‎ 考点四、根的判别式 根的判别式的作用:‎ ‎①定根的个数;‎ ‎②求待定系数的值;‎ ‎③应用于其它。‎ 典型例题:‎ 例1、若关于的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 。‎ 例2、关于x的方程有实数根,则m的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 例3、已知关于x的方程 ‎(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;‎ ‎(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。‎ 例4、已知二次三项式是一个完全平方式,试求的值.‎ 例5、为何值时,方程组有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?‎ 针对练习:‎ ‎★1、当k 时,关于x的二次三项式是完全平方式。‎ ‎★2、当取何值时,多项式是一个完全平方式?这个完全平方式是什么?‎ ‎★3、已知方程有两个不相等的实数根,则m的值是 .‎ ‎★★4、为何值时,方程组 ‎(1)有两组相等的实数解,并求此解;‎ ‎(2)有两组不相等的实数解;‎ ‎(3)没有实数解.‎ ★ ‎★★5、当取何值时,方程的根与均为有理数?‎ 考点五、方程类问题中的“分类讨论”‎ 典型例题:‎ 例1、关于x的方程 ‎⑴有两个实数根,则m为 ,‎ ‎⑵只有一个根,则m为 。 ‎ 例1、 不解方程,判断关于x的方程根的情况。‎ 例3、如果关于x的方程及方程均有实数根,问这两方程 是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。‎ 考点六、应用解答题 ‎⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题;‎ ‎⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题 典型例题:‎ ‎1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席?‎ ‎2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人?‎ ‎3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场,根据计划,第一年投入资金600万元,第二年比第一年减少,第三年比第二年减少,该产品第一年收入资金约400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回,还要盈利,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少?(结果精确到0.1,)‎ ‎4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:‎ ‎(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。‎ ‎(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,‎ 销售单价应定为多少?‎ ‎5、将一条长‎20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。‎ ‎(1)要使这两个正方形的面积之和等于‎17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?‎ ‎(2)两个正方形的面积之和可能等于‎12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不 能,请说明理由。‎ ‎(3)两个正方形的面积之和最小为多少?‎ ‎6、A、B两地间的路程为‎36千米.甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度.‎ 考点七、根与系数的关系 ‎⑴前提:对于而言,当满足①、②时,‎ 才能用韦达定理。‎ ‎⑵主要内容:‎ ‎⑶应用:整体代入求值。‎ 典型例题:‎ 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三 角形的斜边是( )‎ ‎ A. B‎.3 C.6 D.‎ 例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值;若不 存在,请说明理由。‎ 例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错 常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗?其正确解应该是多少?‎ 例4、已知,,,求 ‎ 变式:若,,则的值为 。‎ 例5、已知是方程的两个根,那么 .‎ 针对练习:‎ ‎1、解方程组 ‎2.已知,,求的值。‎ ‎3、已知是方程的两实数根,求的值。‎