一元二次方程复习资料 9页

一元二次方程复习资料 一、知识结构：‎ 一元二次方程 二、考点精析 考点一、概念 ‎(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 ‎ ‎(2)一般表达式： ‎ ‎⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是‎2”‎：‎ ‎①该项系数不为“0”；‎ ‎②未知数指数为“2”；‎ ‎③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。‎ 典型例题：‎ 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）‎ ‎ A B ‎ ‎ C D ‎ 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。‎ 例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。‎ 针对练习：‎ ‎★1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。‎ ‎★2、若方程是关于x的一元一次方程，‎ ‎⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。‎ ‎★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。‎ ‎★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）‎ A.m=n=2 B.m=2,n=‎1 ‎‎ C.n=2,m=1 D.m=n=1‎ 考点二、方程的解 ‎⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。‎ ‎⑵应用：利用根的概念求代数式的值； ‎ 典型例题：‎ 例1、已知的值为2，则的值为 。‎ 例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。‎ 例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程 必有一根为 。‎ 例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，‎ 则m的值为 。‎ 针对练习：‎ ‎★1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。‎ ‎★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。‎ ‎⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。‎ ‎★3、已知m是方程的一个根，则代数式 。‎ ‎★★4、已知是的根，则 。‎ ‎★★5、方程的一个根为（ ）‎ ‎ A B ‎1 C D ‎ ‎★★★6、若 。‎ 考点三、解法 ‎⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ‎⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：‎ ‎※※对于，等形式均适用直接开方法 典型例题：‎ 例1、解方程： =0; ‎ 例2、若，则x的值为 。‎ 针对练习：下列方程无解的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 类型二、因式分解法:‎ ‎※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，‎ ‎※方程形式：如， ，‎ 典型例题：‎ 例1、的根为（ ）‎ ‎ A B C D ‎ 例2、若，则4x+y的值为 。‎ 变式1： 。‎ 变式2：若，则x+y的值为 。‎ 变式3：若，，则x+y的值为 。‎ 例3、方程的解为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 例4、解方程： ‎ 例5、已知,则的值为 。‎ 变式：已知,且,则的值为 。‎ 针对练习：‎ ‎★1、下列说法中：‎ ‎①方程的二根为，，则 ‎② .‎ ‎③‎ ‎④ ‎ ‎⑤方程可变形为 正确的有（ ）‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎★2、以与为根的一元二次方程是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ‎ ‎⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ‎ ‎★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）‎ A、-1或-2 B、-1或‎2 C、1或-2 D、1或2‎ ‎5、方程：的解是 。‎ ‎★★★6、已知，且，，求的值。‎ ‎★★★7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为 。‎ 类型三、配方法 ‎※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。‎ 典型例题：‎ 例1、 试用配方法说明的值恒大于0。‎ 例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。‎ 例3、 已知为实数，求的值。‎ 例4、 分解因式：‎ 针对练习：‎ ‎★★1、试用配方法说明的值恒小于0。‎ ‎★★2、已知，则 .‎ ‎★★★3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。‎ ‎★★★4、如果,那么的值为 。‎ 类型四、公式法 ‎⑴条件：‎ ‎⑵公式： ,‎ 典型例题：‎ 例1、选择适当方法解下列方程：‎ ‎⑴ ⑵ ⑶ ‎ ‎⑷ ⑸‎ 例2、在实数范围内分解因式：‎ ‎（1）； （2）. ⑶‎ 说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，‎ 一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成 ‎=.‎ ‎②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.‎ 类型五、 “降次思想”的应用 ‎⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。‎ 典型例题：‎ 例1、 已知，求代数式的值。‎ 例2、如果，那么代数式的值。‎ 例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。‎ 例4、用两种不同的方法解方程组 说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.‎ 考点四、根的判别式 根的判别式的作用：‎ ‎①定根的个数；‎ ‎②求待定系数的值；‎ ‎③应用于其它。‎ 典型例题：‎ 例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。‎ 例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 例3、已知关于x的方程 ‎(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；‎ ‎(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。‎ 例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.‎ 例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？‎ 针对练习：‎ ‎★1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。‎ ‎★2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？‎ ‎★3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .‎ ‎★★4、为何值时，方程组 ‎（1）有两组相等的实数解，并求此解；‎ ‎（2）有两组不相等的实数解；‎ ‎（3）没有实数解.‎ ★ ‎★★5、当取何值时，方程的根与均为有理数？‎ 考点五、方程类问题中的“分类讨论”‎ 典型例题：‎ 例1、关于x的方程 ‎⑴有两个实数根，则m为 ,‎ ‎⑵只有一个根，则m为 。 ‎ 例1、 不解方程，判断关于x的方程根的情况。‎ 例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。‎ 考点六、应用解答题 ‎⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；‎ ‎⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题：‎ ‎1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？‎ ‎2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？‎ ‎3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）‎ ‎4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：‎ ‎（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。‎ ‎（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，‎ 销售单价应定为多少？‎ ‎5、将一条长‎20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。‎ ‎（1）要使这两个正方形的面积之和等于‎17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？‎ ‎（2）两个正方形的面积之和可能等于‎12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。‎ ‎（3）两个正方形的面积之和最小为多少？‎ ‎6、A、B两地间的路程为‎36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.‎ 考点七、根与系数的关系 ‎⑴前提：对于而言，当满足①、②时，‎ 才能用韦达定理。‎ ‎⑵主要内容：‎ ‎⑶应用：整体代入求值。‎ 典型例题：‎ 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ）‎ ‎ A. B‎.3 C.6 D.‎ 例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。‎ 例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错 常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？‎ 例4、已知，，，求 ‎ 变式：若，，则的值为 。‎ 例5、已知是方程的两个根，那么 .‎ 针对练习：‎ ‎1、解方程组 ‎2．已知，，求的值。‎ ‎3、已知是方程的两实数根，求的值。‎