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  • 2021-11-10 发布

中考数学第一轮复习导学案分式方程及其应用

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- 1 - 分式方程及其应用 ◆ 课前热身 1.方程 12 1xx 的解是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.请你给 x 选择一个合适的值,使方程 21 12xx 成立,你选择的 x ____________. 3.解方程 2 2 2 3 3 21 xx xx  时,若设 2 1 xy x  ,则方程可化为 . 4.某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计 划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设 计划每天加工x套,则根据题意可得方程为 ( ) A. 18%)201( 400160  xx B. 18%)201( 160400160   xx C. 18%20 160400160  xx D. 18%)201( 160400400   xx 【参考答案】 1. C 2.3 3.2 y- y 3 =2 4.B ◆考点聚焦 知识点: 分式方程及其应用 大纲要求: 1.了解分式方程的概念。 2. 会解分式方程,掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。 3. 能根据具体问题的实际意义,列分式方程解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查换元法解分式方程,有一部分只考查换元的能力,常出现在选择题中,另一部分习 题考查完整的解题能力,习题出现在解答题中。 ◆备考兵法 (1) 去分母时,不要漏乘没有分母的项. - 2 - (2) 解分式方程的重要步骤是检验,检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为 0 的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. (3) 如何由增根求参数的值:①将原方程化为整式方程;②将增根代入变形后的整式方程, 求出参数的值. ◆考点链接 1.分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2.解分式方程的一般步骤: (1)去分母,在方程的两边都乘以 ,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根,把整式方程的根代入 ,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是 原方程的增根,必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤: ① 设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;② 解所得 到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③ 把辅助未知数的值代入原设中, 求出原未知数的值;④ 检验作答. 4.分式方程的应用: 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验: (1)检验所求的解是否是所列 ;( 2)检验所求的解是否 . ◆典例精析 例 1(湖北孝感)关于 x 的方程 2 1 1 xa x    的解是正数,则 a 的取值范围是( ) A.a>-1 B.a>-1 且 a≠0 C.a<-1 D.a<-1 且 a≠-2 【分析】把分式方程化为整式方程,得 21x a x   ,解得 1xa   ,因关于 x 的方程 的解是正数,所以 0x  ,即 10a   ,∴ 1a  ,但 2a  时, 22211 x x   ,所以 2a  . 【答案】D 例2(陕西省)解方程: 4 312 2 2    xx x . 【分析】由分式方程的概念可知,此方程是分式方程,因此根据其特点应选择其方法是── - 3 - 去分母法,并且在解此方程时必须验根. 解:去分母得:(x-2)2-(x2-4)=3. -4x=-5. x= 4 5 . 经检验,x= 4 5 是原方程的解. 【点评】去分母法解分式方程的具体做法是:把方程的分母分解因式 后,找出分母的最简 公分母;然后将方程两边同乘以最简公分母,将分式方程化成整式方程.注意去分母时,不 要漏乘;最后还要注意解分式方程必须验根,并掌握验根的方法. 例 3(广西桂林)在我市某一城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标.经测算:甲 队单独完成这项工程需要 60 天;若由甲队先做 20 天,剩下的工程由甲、乙合做 24 天可完 成. (1)乙队单独完成这项工程需要多少天? (2)甲队施工一天,需付工程款 3.5 万元,乙队施工一天需付工程款 2 万元.若该工程计 划在 70 天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱?还 是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱? 解:(1)设乙队单独完成需 x 天 根据题意,得 1 1 120 ( ) 24 160 60x     解这个方程,得 x =90 经检验, =90 是原方程的解 ∴乙队单独完成需 90 天 (2)设甲、乙合作完成需 y 天,则有 11( ) 160 90 y 解得 36y  (天) 甲单独完成需付工程款为 60×3.5=210(万元) 乙单独完成超过计划天数不符题意. 甲、乙合作完成需付工程款为 36(3.5+2)=198(万元) 答:在不超过计划天数的前提下,由甲、乙合作完成最省钱. 【点评】分式方程的应用,解题时要检验,先检验所求 x•的值是否是方程的解,再检验是 否符合题意. - 4 - ◆迎考精炼 一、选择题 1.(湖北襄樊)分式方程 1 31 xx xx  的解为( ) A.1 B.-1 C.-2 D.-3 2.(上海)用换元法解分式方程 13 101 xx xx     时,如果设 1x yx   ,将原方程化为关于 y 的整式方程,那么这个整式方程是( ) A. 2 30yy   B. 2 3 1 0yy   C. 23 1 0yy   D. 23 1 0yy   3.(浙江嘉兴)解方程 xx   2 2 4 8 2 的结果是( ) A. 2x B. 2x C. 4x D.无解 4.(安徽)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿 者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前 3 天完成任务,则甲志愿者计划完成此 项工作的天数是( ) A.8 B.7 C.6 D.5 5.(广西柳州)分式方程 3 2 2 1  xx 的解是( ) A. 0x B. 1x C. 2x D. 3x 二、填空题 1.(四川宜宾)方程 xx 5 2 7  的解是 . 2.(浙江杭州)已知关于 x 的方程 32 2   x mx 的解是正数,则 m 的取值范围为______. 3.(浙江台州)在课外活动跳绳时,相同时间内小林跳了 90 下,小群跳了 120 下.已知小 群每分钟比小林多跳 20 下,设小林每分钟跳 x 下,则可列关于 x 的方程为 . 4.(山西太原)方程 25 12xx 的解是 . 5.(黑龙江牡丹江)若关于 x 的分式方程 3 11 xa xx   无解,则 a  . 三、解答题 1.(广东清远)解分式方程: 13 2xx - 5 - 2.(北京)解分式方程: 6 122 x xx 3.(广东省)解方程 2 21 11xx . 4.(湖北十堰)某工厂准备加工 600 个零件,在加工了 100 个零件后,采取了新技术,使每 天的工作效率是原来的 2 倍,结果共用 7 天完成了任务,求该厂原来每天加工多少个零件? 5.(山东青岛市)北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用 32000 元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用 68000 元购进第二批这种运动 服,所购数量是第一批购进数量的 2 倍,但每套进价多了 10 元. (1)该商场两次共购进这种运动服多少套? (2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于 20%,那么每套售 价至少是多少元?(利润率 100%利润 成本 ) 【参考答案】 - 6 - 一、选择题 1. D 分析:方程两边同乘  31xx,得     1 1 3x x x x    ,解得 3x  ,经检验 是原分式方程的解,故选 D。 2. A 3.D 4.B 5.B 二、填空题 1.5 2. 46  mm 或 3. xx 90 20 120  4. 5x  解析:本题考查分式方程的解法,方程两边同乘  21xx ,得 4 5 5xx,解得 5.1 或-2 三、解答题 1.解:去分母,得 36xx 解得: 3x  检验:把 3x  代入原方程得:左边=右边 所以 3x  是原方程的解 2.解:去分母,得 ( 2) 6( 2) ( 2)( 2)x x x x x      解得 1x  经检验 是原方程的解 所以原方程的解是 . 3.方程两边同时乘以  11xx, 2=  1x, 3x  , 经检验: 是方程的解. 4.解:设该厂原来每天加工 x 个零件, 由题意得: 72 500100  xx 解得 x=50 经检验:x=50 是原分式方程的解 答:该厂原来每天加工 50 个零件。 - 7 - 5.解:(1)设商场第一次购进 x 套运动服,由题意得: 68000 32000 102xx, 解这个方程,得 200x  . 经检验, 是所列方程的根. 2 2 200 200 600xx     . 所以商场两次共购进这种运动服 600 套. (2)设每套运动服的售价为 y 元,由题意得: 600 32000 68000 20%32000 68000 y   ≥ , 解这个不等式,得 200y≥ , 所以每套运动服的售价至少是 200 元.