2020-2021九年级数学上册旋转单元同步练习2（新人教版pdf格式） 29页

2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习：旋转（二） 一、单选题 1．如图，将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100°，得到△ AB1C1，若点 B1 在线段 BC 的延长线上，则∠BB1C1 的大小为( ) A．70° B．80° C．84° D．86° 【答案】B 【解析】【分析】 由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝ ∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°. 【详解】 由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°. ∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°， ∴∠B＝∠BB1A＝40°. ∴∠AB1C1＝40°. ∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°. 故选：B. 【点评】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ ABB1 为等腰三角形是解题的关键. 2．点 P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（ ） A．（﹣3，5） B．（ 3，﹣5） C．（ 5，3） D．（﹣3，﹣5） 【答案】D 【解析】【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，横纵坐标的坐标符号均相反，根据这一特征 求出对称点坐标． 【详解】 解：点 P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（-3，-5）， 故选 D． 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律． 3．观察下列四个图形．其中两个三角形的组合方式与另外三个不同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】 根据两三角形的位置关系确定几何变换类型，继而得出答案． 【详解】 A、图形通过旋转得到； B、图形通过旋转得到； C、图形通过平移得到； D、图形通过旋转得到； 故选：C． 【点评】本题考查了几何变换的类型，属于基础题，关键是掌握几种几何变换的特点． 4．正方形 A B C D 中的顶点 A 在平面坐标系中的坐标为 1,1 ，若将正方形 绕着原点 O 按逆时针旋 转 135 ．则旋转后的点 坐标为（ ） A．(-1, 1) B．(1, -1) C．(0, - 2 ) D．(- , 0) 【答案】D 【解析】【分析】 根据旋转中心为原点，旋转方向逆时针，旋转角度 135°，作出点 A 的对称图形 A′，求得 OA 的长度，也就 求得了 OA′的长度，可得所求点的坐标． 【详解】 如图： ∵OA= 2211 = 2 ， ∴OA′=OA= ， ∴A′（- ，0）． 故选：D． 【点评】本题考查了由图形旋转得到相应坐标，根据旋转中心，旋转方向及角度得到相应图形是解决本题 的关键． 5．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解． 【详解】 解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形； 第二、三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形， 第四个图形不是轴对称图形，不是中心对称图形； 故选：B． 【点评】此题考查中心对称图形，轴对称图形，解题关键在于对概念的掌握 6．如图，正方形 O A B C 的两边 OA 、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点  5 ,3D 在边 AB 上，以C 为中心，把 CDB△ 旋转 90 ，则旋转后点 D 的对应点 'D 的坐标是( ) A． 2,10 B． 2,0 C． 或 D． 10, 2 或 【答案】C 【解析】【分析】 先根据正方形的性质求出 BD、BC 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性 质求解即可得． 【详解】 四边形 OABC 是正方形， ( 5 ,3 )D 5,3,2,90BCOCABOAADBDABADB 由题意，分以下两种情况： （1）如图，把 CDB△ 逆时针旋转 90 ，此时旋转后点 B 的对应点 B  落在 y 轴上，旋转后点 D 的对应点 D¢ 落在第一象限 由旋转的性质得： 2,5,90B DBDB CBCCB DB    10OB OC B C     点 的坐标为(2,10) （2）如图，把 顺时针旋转 ，此时旋转后点 B 的对应点 B 与原点 O 重合，旋转后点 D 的对应点 D 落在 x 轴负半轴上 由旋转的性质得： 2,5,90B DBDB CBCCB DB    点 的坐标为(2,0) 综上，旋转后点 D 的对应点 的坐标为 或 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 7．下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是（ ） A．对应线段与对应角不变 B．图形的大小不变 C．图形的形状不变 D．对应线段平行 【答案】D 【解析】【分析】 根据三种变换得到的图形都与原图形全等，进行分析． 【详解】 解：根据平移、旋转和轴对称的基本性质，知 A. B. C 都是正确的；D. 在旋转中，对应线段不一定平行， 故错误. 故选 D. 【点评】本题主要考查几何变换的类型，熟悉掌握是关键. 8．根据指令 ,(0,0360 )s A sA 机器人在平面上能完成如下动作：先在原地顺时针旋转角度 A ，再 朝其面对的方向沿直线行走距离 s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对 y 轴的负方向，为使其移 动到点 3,0 ，应下的指令是（ ） A． 3 ,90 ? B． 9 0 ,3 C． 3 ,9 0 D． 3 ,270 【答案】A 【解析】【分析】 若顺时针旋转 90°，则机器人面对 x 轴负方向，根据向 x 轴负半轴走 3 个单位可得相应坐标． 【详解】 解：根据点(0,0)到点(−3,0),即可知机器人先顺时针转动 90 ，再向左平移 3 个单位， 于是应下指令为[3, 90 ]. 故选 A. 【点评】本题主要考查坐标与图形变化-旋转，熟悉掌握是关键. 9．下列关于等腰三角形的叙述错误的是( ) A．等腰三角形两底角相等 B．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合 C．等腰三角形的三边相等 D．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】【分析】 直接利用等腰三角形的性质分别分析得出答案． 【详解】 A、等腰三角形两底角相等，正确，不合题意； B、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，正确，不合题意； C、等腰三角形的三边相等，错误，符合题意； D、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，正确，不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确掌握等腰三角形的性质是解题关键． 10．如图，Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°至 AB′．连接 B'C，则 △ AB'C 的面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】【分析】 过点 B'作 B'E⊥AC 于点 E，由题意可证△ ABC≌△B'AE，可得 AC＝B'E＝4，即可求△ AB'C 的面积． 【详解】 如图：过点 B'作 B'E⊥AC 于点 E ∵旋转 ∴AB＝AB'，∠BAB'＝90° ∴∠BAC+∠B'AC＝90°，且∠B'AC+∠AB'E＝90° ∴∠BAC＝∠AB'E，且∠AEB'＝∠ACB＝90°，AB＝AB' ∴△ABC≌△B'AE（AAS） ∴AC＝B'E＝4 ∴S△ AB'C＝ 1 2 ×AC×B'E＝ ×4×4＝8 故选 C． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是解决本题的关键． 11．如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ ABF 的位置，若四 边形 AECF 的面积为 25，DE=3，则 AE 的长为( ) A． 34 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【解析】【分析】 利用旋转的性质得出四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾 股定理得出答案． 【详解】 把 ADE 顺时针旋转 ABF 的位置，  四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 25， A D D C 5   ， D E 3 ， R t A D E 中， 2222AEADDE5334 ． 故选 A． 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 12．如图， R t A B C 中， C 90  ， A 60  ， A C 6 ，以斜边 AB 的中点 D 为旋转中心，把这个 三角形按逆时针方向旋转90 得到 R t A ' B ' C ' ，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（ ） A． 6 B． 9 C． 63 D． 93 【答案】B 【解析】【分析】 如图，先计算出 AB=2AC=12，根据中点定义则可得 BD=6，根据旋转的性质可得 B' D=BD=6，在 Rt△ BDM 中，可求得 DM、BM 的长，从而可求得 B′M 的长，然后在 Rt△ B′MN 中求出 MN 的长，继而求得 BN 的长， 在 Rt△ BNG 中求出 BN 的长，然后利用 S 阴影=S△ BNG-S△ BMD 进行计算即可得. 【详解】 如图，∵∠C=90°，∠A=60°，AC=6， ∴AB=2AC=12，∠B=30°， ∵点 D 为 AB 的中点， ∴BD=6， ∵△ABC 绕点 D 按逆时针方向旋转 90 得到 R t A ' B ' C ' ， ∴ B' D=BD=6， 在 Rt△ BDM 中，∠B=30°，∠BDM=90°， ∴BM=2DM，BD2+DM2=BM2， ∴DM= 23，BM=4 3 ， ∴B′M=B′D-DM=6- ， 在 Rt△ B′MN 中，∠B′=30°， ∴MN= 1 2 B′M=3- ， ∴BN=BM+MN=3+3 ， 在 Rt△ BNG 中，BG=2NG，BG2=NG2+BN2， ∴NG=3+ ， ∴S 阴影=S△ BNG-S△ BMD=    113 3 3 3 3 2 3 622       =9， 故选 B. 【点评】本题考查了旋转的性质、含 30 度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等，熟练掌握 旋转的性质是解题的关键. 二、填空题 13．如图，把一个直角三角尺 ACB 绕着 30°角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重 合连接 CD，则∠BDC 的度数为_____度． 【答案】15 【解析】【分析】 根据△ EBD 由△ ABC 旋转而成，得到△ ABC≌△EBD，则 BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，则有∠BDC ＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝150°，化简计算即可得出 15BDC . 【详解】 解：∵△EBD 由△ ABC 旋转而成， ∴△ABC≌△EBD， ∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°， ∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝150°， ∴  1 180 150 152BDC BCD         ； 故答案为：15． 【点评】此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等． 14．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 3 ，1），将 OA 绕原点逆时针方向旋转 90°得 OB，则点 B 的坐标为_____． 【答案】（﹣1， 3 ） 【解析】【分析】 根据旋转的性质可知△ OCA≌△ODB,进而得 OD= 3 ,BD=1,即可解题. 【详解】 解：如下图,由旋转的性质可知, △ OCA≌△ODB, ∵A 的坐标为（ ，1）， ∴OC= ,AC=1, ∴OD= ,BD=1, ∴B 的坐标为（﹣1， ） 【点评】本题考查了图形的旋转,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 15．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子 A，O，B 的位置如图所示，它们的坐标分别是 （﹣1，1），（0，0）和（1，0），在其他点位置添加一颗棋子 P，使 A，O，B，P 四颗棋子成为一个中心 对称图形，请写出棋子 P 的位置坐标_____（写出 1 个即可）． 【答案】（0，1）． 【解析】【分析】 直接利用中心对称图形的性质得出答案． 【详解】 如图所示： 点 P（0，1）答案不唯一． 故答案为：（0，1）． 【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握定义是解题关键． 16．如图，在△ BDE 中，∠BDE=90°，BD=4 2 ，点 D 的坐标是(5，0)，∠BDO=15°，将 △ BDE 旋转到△ ABC 的位置，点 C 在 BD 上，则旋转中心的坐标为_______ . 【答案】(3，2 3 ) 【解析】【分析】 根据旋转的性质，AB 与 BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心 P，连接 PD，过 P 作 PF⊥x 轴于 F，再根据 点 C 在 BD 上确定出∠PDB=45°并求出 PD 的长，然后求出∠PDO=60°，根据直角三角形两锐角互余求出 ∠DPF=30°，根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半可得 DF= 1 2 PD，利用勾股定理列式求出 PF，再求出 OF，即可得到点 P，即旋转中心的坐标． 【详解】 如图，AB 与 BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心 P， 连接 PD，过 P 作 PF⊥x 轴于 F， ∵点 C 在 BD 上， ∴点 P 到 AB、BD 的距离相等，都是 BD，即 ×4 2 =2 ， ∴∠PDB=45°， PD= ×2 =4， ∵∠BDO=15°， ∴∠PDO=45°+15°=60°， ∴∠DPF=30°， ∴DF= 1 2 PD= ×4=2， ∵点 D 的坐标是（5，0）， ∴OF=OD-DF=5-2=3， 由勾股定理得，PF= 2222 =42=23PDDF， ∴旋转中心的坐标为（3，2 3 ）． 故答案为：（3，2 ）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含有 30°角 的直角三角形是解题的关键． 三、解答题 17．如图， P 是正 A B C 内的一点，若将 P A C 绕点 A 逆时针旋转到 P' AB ， （1）求 PAP' 的度数． （2）若 AP 3 ， BP4 ， PC 5 ，求 PAB 的度数． 【答案】（1） PAP' 60  ；（ 2） APB 150  . 【解析】【分析】 （1）根据旋转的性质，找出∠PAP′=∠BAC，根据等边三角形的性质，即可解答； （2）连接 PP′，根据旋转的性质及已知可得到△ APP′是等边三角形，△ BPP′是直角三角形，从而求得答案． 【详解】  1 如图， 根据旋转的性质得， PAP'BAC ， ∵ A B C 是等边三角形， ∴ BAC60  ， ∴ PAP' 60  ；  2 如图， 连接 PP  ，由旋转可知： P ABPAC ， 所以 CAP BAP ， APAP3   ，CPBP5   又∵ CAPPAB60， ∴ P AP BAP BAP 60     ， ∴ P AP 是等边三角形， ∴ APAPPP3  ， ∴ A P P 6 0   ， ∵ 2223 4 5， ∴ 222PPPBPB   ， ∴ P PB 是直角三角形， ∴ P P B 9 0   ∴ APBP PBAPP150  ． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中 心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 18．如图， A B C 的顶点坐标分别为  A2,2  ，  B 4 ,4 ，  C 1 ,2 ．将 绕坐标原点 O 逆时针旋转90 ， 得到 A B C   （ A  、 B  、 C 分别为 A 、 B 、 C 的对应点），在坐标系中画出 ，并写出 、 、 三点的坐标． 【答案】  A2, 2 ，  B4,4  ，  C2,1  ，画图见解析. 【解析】【分析】 根据点的坐标的特点可知，点 A 在第四象限的平分线上，所以绕点 O 逆时针旋转 90°在第一象限的平分线 上，点 B 在第一象限的平分线上，所以绕点 O 逆时针旋转 90°后在第二象限的平分线上，分别求出点 A′，B′ 的坐标，然后再找出点 C 旋转后的点 C′，顺次连接即可． 【详解】 ∵  A 2 , 2  ，  B 4 ,4 ，  C 1,2 ， ∴  A 2, 2 ，  B 4,4  ，  C 2,1  ． 画图 【点评】本题考查旋转变换作图，做这类题的关键是按要求旋转后找对应点，然后顺次连接． 19．如图 1 ， A B C 中， C90  ， BC 3 ， A C 4 ， AB 5 ，将 绕着点 B 旋转一定的角度， 得到 DEB . （1）若点 F 为 AB 边上中点，连接 EF ，则线段 的范围为________. （2）如图 2 ，当 直角顶点 E 在 边上时，延长 DE ，交 AC 边于点 G ，请问线段 、EG 、AG 具有怎样的数量关系，请写出探索过程． 【答案】（1）0.5 EF 5.5；（ 2）AG+EG=DE，理由见解析. 【解析】【分析】 （1）图 1 中，利用旋转的性质得 BE=BC=3，再根据三角形三边的关系得 BE-BF≤EF≤BE+BF（当且仅当 B、 E、F 共线时取等号），从而得到线段 EF 的范围；（2）图 2 中，利用旋转的性质得 BE=BC=3，BD=BA=5， DE=AC=4，∠A=∠D，再判断△ AGE∽△DEB，然后利用相似比计算出 AG、EG，从而可得到线段 DE、 EG、AG 的数量关系． 【详解】 （1）∵点 F 为 AB 边上中点， ∴BF=2.5， ∵△ABC 绕着点 B 旋转一定的角度得到△ DEB， ∴BE=BC=3， ∵BE-BF≤EF≤BE+BF（当且仅当 B、E、F 共线时取等号）， ∴0.5≤EF≤5.5， 故答案为 0.5≤EF≤5.5； （2） AGEGDE． 理由如下： ∵ A B C 绕着点 B 旋转一定的角度得到 DE ， ∴ BEBC3， BDBA5， DEAC4， AD ， ∴ AE AB BE 2   ， ∵ ， AEGBED ， ∴ AGEDEB∽ ， ∴ AG EG AE BD BE DE，即 AGEG2 534， ∴ AG2.5 ， EG 1.5 ， ∴ AG EG 4， ∴ A G E G D E． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质． 20．如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ADF 绕着点 A 顺时旋转 90°得到△ ABE，若 AF＝4，AB＝7． （1）求 DE 的长度； （2）指出 BE 与 DF 的关系如何？并说明由． 【答案】（1）3；（ 2）BE＝DF，BE⊥DF． 【解析】【分析】 （1）根据旋转的性质可得 AE＝AF，AD＝AB，然后根据 DE＝AD﹣AE 计算即可得解； （2）根据旋转可得△ ABE 和△ ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BE＝DF，全等三角形对应角相 等可得∠ABE＝∠ADF，然后求出∠ABE+∠F＝90°，判断出 BE⊥DF． 【详解】 解：（1）∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ ABE， ∴AE＝AF＝4，AD＝AB＝7， ∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3； （2）BE、DF 的关系为：BE＝DF，BE⊥DF．理由如下： ∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ ABE， ∴△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF， ∵∠ADF+∠F＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE+∠F＝90°， ∴BE⊥DF， ∴BE、DF 的关系为：BE＝DF，BE⊥DF． 【点评】考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形 状与大小是解题的关键． 21．如图，已知点 A，B 的坐标分别为（4，0），（ 3，2）． （1）画出△ AOB 关于原点 O 对称的图形△ COD； （2）将△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得到△ EOF，画出△ EOF； （3）点 D 的坐标是 ，点 F 的坐标是 ，此图中线段 BF 和 DF 的关系是 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）D（﹣3，﹣2）， F（﹣2，3），垂直且相等 【解析】【分析】 （1）分别延长 BO，AO 到占 D,C，使 DO=BO，CO=AO，再顺次连接成△ COD 即可； （2）将 A，B 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得到对应点 E，F，再顺次连接即可得出△ EOF； （3）利用图象即可得出点的坐标，以及线段 BF 和 DF 的关系． 【详解】 （1）如图所示： （2）如图所示： （3）结合图象即可得出：D（﹣3，﹣2）， F（﹣2，3）， 线段 BF 和 DF 的关系是：垂直且相等． 【点评】此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质，难度不大，注意掌握解答此类题目的关键步骤． 22．如图①，在 RtABC 中， 90C ．将 ABC 绕点 C 逆时针旋转得到 ''A B C ，旋转角为  ，且 0180 ．在旋转过程中，点 'B 可以恰好落在 AB 的中点处，如图②．  1 求 A 的度数；  2 当点 到 'AA 的距离等于 AC 的一半时，求 的度数． 【答案】(1) 30A ；(2) 120  ． 【解析】【分析】 （1）利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△ CBB′是等边三角形，进而得出答案； （2）利用锐角三角函数关系得出 sin∠CAD= 1 2 CD AC  ，即可得出∠CAD=30°，进而得出 α 的度数． 【详解】  1 将 ABC 绕点 C 逆时针旋转得到 ''A B C ，旋转角为  ， ∴ 'C B C B ∵点 'B 可以恰好落在 AB 的中点处， ∴点 是 的中点． ∵ 90A C B， ∴ 1''2CBABBB， ∴ ''CBCBBB， 即 'C B B 是等边三角形． ∴ 60B ． ∵ ， ∴ 30A ；  2 如图，过点 作 'CD AA 于点 D ， 点 到 'AA 的距离等于 AC 的一半，即 1 2CD AC ． 在 Rt ADC 中， 90ADC， 1sin 2 CDCAD AC ， ∴ 30CAD， ∵ 'C A C A ， ∴ '30ACAD ． ∴ ' 1 2 0A C A，即 120  ． 【点评】考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，解题关键是正确掌握直角三角形的性质． 23．在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3 2 ，点 D 是斜边 AB 上一动点（点 D 与点 A、B 不重合）， 连接 CD，将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到 CE，连接 AE，DE． （1）求△ ADE 的周长的最小值； （2）若 CD=4，求 AE 的长度． 【答案】（1）6+ 32；（ 2）3﹣ 7 或 3+ 【解析】【分析】 （1）根据勾股定理得到 AB= AC=6，根据全等三角形的性质得到 AE=BD，当 DE 最小时，△ ADE 的周 长最小，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，于是得到结论； （2）当点 D 在 CF 的右侧，当点 D 在 CF 的左侧，根据勾股定理即可得到结论 【详解】 解：（1）∵在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3 2 ∴AB= AC=6， ∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ ACE 与△ BCD 中， = A C B C A C E B C D C E C E      ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD， ∴△ADE 的周长=AE+AD+DE=AB+DE， ∴当 DE 最小时，△ ADE 的周长最小， 过点 C 作 CF⊥AB 于点 F， 当 CD⊥AB 时，CD 最短，等于 3，此时 DE=3 ， ∴△ADE 的周长的最小值是 6+3 ； （2）当点 D 在 CF 的右侧， ∵CF= 1 2 AB=3，CD=4， ∴DF= 7 ， ∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣ ； 当点 D 在 CF 的左侧，同理可得 AE=BD=3+ 7 ， 综上所述：AE 的长度为 3﹣ 或 3+ ． 【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性 质以及全等三角形的判定与性质． 24．两块等腰直角三角形纸片 A O B 和 C O D 按图 1 所示放置，直角顶点重合在点 O 处， 25AB  ， 17CD  ．保持纸片 不动，将纸片 绕点 逆时针旋转 ( 0 9 0 ) 角度，如图 2 所示．  1 利用图 证明 A C B D 且 A C B D ；  2 当 BD 与 CD 在同一直线上（如图 3 ）时，求 AC 的长和  的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）7， 7 25 ． 【解析】【分析】 (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明 AOCBOD ，得出 AC=BD， 延长 BD 交 AC 于 E，证明∠AEB=90  ，从而得到 BDAC . (2) 如图 3 中，设 AC=x，在 Rt△ ABC 中，利用勾股定理求出 x，再根据 sinα=sin∠ABC= AC AB 即可解决问题 【详解】 证明：如图 中，延长 交OA 于G ，交 于 E ． ∵ 90AOBCOD ， ∴ A O C D O B   ， 在 A O C 和 B O D 中， OAOB AOCBOD OCOD      ， ∴ A O C B O D ， ∴ ACBD ， CAODBO  ， ∵ 90DBO GOB   ， ∵ OGBAGE  ， ∴ 90CAOAGE ， ∴ 90AEG， ∴ BDAC ．  2 解：如图3 中，设 AC x ， ∵ BD 、CD 在同一直线上， ， ∴ ABC 是直角三角形， ∴ 222ACBCAB， ∴ 222 (17)25xx ， 解得 7x  ， ∵ 45ODCDBO  ， 45ABCDBO  ， ∴ ABC   ， ∴ 7sinsin 25 ACABC AB  ． 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解 题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论 解决问题，属于中考常考题型.