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- 2021-11-10 发布
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2017 年广西百色市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)
1.(3 分)化简:|﹣15|等于( )
A.15 B.﹣15 C.±15 D.
2.(3 分)多边形的外角和等于( )
A.180°B.360°C.720°D.(n﹣2)•180°
3.(3 分)在以下一列数 3,3,5,6,7,8 中,中位数是( )
A.3 B.5 C.5.5 D.6
4.(3 分)下列计算正确的是( )
A.(﹣3x)3=﹣27x3 B.(x﹣2)2=x4 C.x2÷x﹣2=x2 D.x﹣1•x﹣2=x2
5.(3 分)如图,AM 为∠BAC 的平分线,下列等式错误的是( )
A. ∠BAC=∠BAM B.∠BAM=∠CAM C.∠BAM=2∠CAM D.2∠CAM=∠BAC
6.(3 分)5 月 14﹣15 日“一带一路”论坛峰会在北京隆重召开,促进了我国与世
界各国的互联互通互惠,“一带一路”地区覆盖总人数约为 44 亿人,44 亿这个数
用科学记数法表示为( )
A.4.4×108B.4.4×109C.4×109 D.44×108
7.(3 分)如图所示的正三棱柱,它的主视图、俯视图、左视图的顺序是( )
A.①②③ B.②①③ C.③①② D.①③②
8.(3 分)观察以下一列数的特点:0,1,﹣4,9,﹣16,25,…,则第 11 个
数是( )
A.﹣121 B.﹣100 C.100 D.121
9.(3 分)九年级(2)班同学根据兴趣分成五个小组,各小组人数分布如图所
示,则在扇形图中,第一小组对应的圆心角度数是( )
A.45° B.60° C.72° D.120°
10.(3 分)如图,在距离铁轨 200 米的 B 处,观察由南宁开往百色的“和谐号”
动车,当动车车头在 A 处时,恰好位于 B 处的北偏东 60°方向上;10 秒钟后,动
车车头到达 C 处,恰好位于 B 处的西北方向上,则这时段动车的平均速度是( )
米/秒.
A.20( +1) B.20( ﹣1) C.200 D.300
11.(3 分)以坐标原点 O 为圆心,作半径为 2 的圆,若直线 y=﹣x+b 与⊙O 相
交,则 b 的取值范围是( )
A.0≤b<2 B.﹣2 C.﹣2 2 D.﹣2 <b<2
12.(3 分)关于 x 的不等式组 的解集中至少有 5 个整数解,则正数 a
的最小值是( )
A.3 B.2 C.1 D.
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
13.(3 分)若分式 有意义,则 x 的取值范围为 .
14.(3 分)一个不透明的盒子里有 5 张完全相同的卡 片,它们的标号分别为 1,
2,3,4,5,随机抽取一张,抽中标号为奇数的卡片的概率是 .
15.(3 分)下列四个命题中:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形
的对应角相等;④两直线平行,同位角相等,其中假命题的有 (填序号)
16.(3 分)如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 C 在 y 轴正半轴上,
点 A 的坐标为(2,0),将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移 OB 个单位,则点 C
的对应点坐标为 .
17.(3 分)经过 A(4,0),B(﹣2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式
是 .
18.(3 分)阅读理解:用“十字相乘法”分解因式 2x2﹣x﹣3 的方法.
(1)二次项系数 2=1×2;
(2)常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3),验算:“交叉相乘之和”;
1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×
1+2×(﹣3)=﹣5
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果 1×(﹣3)+2×1=﹣1,等于一次项系
数﹣1.
即 : ( x+1 )( 2x﹣3 ) =2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3 , 则 2x2﹣x﹣3= ( x+1 )
(2x﹣3).
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘
法.仿照以上方法,分解因式:3x2+5x﹣12= .
三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分)
19.(6 分)计算: +( )﹣1﹣(3﹣π)0﹣|1﹣4cos30°|
20.(6 分)已知 a=b+2018,求代数式 • ÷ 的值.
21.(6 分)已知反比例函数 y= (k≠0)的图象经过点 B(3,2),点 B 与点 C
关于原点 O 对称,BA⊥x 轴于点 A,CD⊥x 轴于点 D.
(1)求这个反比函数的解析式;
(2)求△ACD 的面积.
22.(8 分)矩形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,CE、AF 分别交 BD 于
G、H 两点.
求证:(1)四边形 AFCE 是平行四边形;
(2)EG=FH.
23.(8 分)甲、乙两运动员的射击成绩(靶心为 10 环)统计如下表(不完
全):
运动员
环数
1 2 3 4 5
次数
甲 10 8 9 10 8
乙 10 9 9 a b
某同学计算出了甲的成绩平均数是 9,方差是
S 甲 2= [(10﹣9)2+(8﹣9)2+(9﹣9)2+(10﹣9)2+(8﹣9)2]=0.8,请作答:
(1)在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来;
(2)若甲、乙射击成绩平均数都一样,则 a+b= ;
(3)在(2)的条件下,当甲比乙的成绩较稳定时,请列举出 a、b 的所有可能
取值,并说明理由.
24.(10 分)某校九年级 10 个班级师生举行毕业文艺汇演,每班 2 个节目,有
歌唱与舞蹈两类节目,年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的 2 倍少 4
个.
(1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个?
(2)该校七、八年级师生有小品节目参与,在歌唱、舞蹈、小品三类节目中,
每个节目的演出平均用时分别是 5 分钟、6 分钟、8 分钟,预计所有演出节目交
接用时共花 15 分钟,若从 20:00 开始,22:30 之前演出结束,问参与的小品
类节目最多能有多少个?
25.(10 分)已知△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分别相切于点 D、E、F,
若 = ,如图 1,.
(1)判断△ABC 的形状,并证明你的结论;
(2)设 AE 与 DF 相交于点 M,如图 2,AF=2FC=4,求 AM 的长.
26.(12 分)以菱形 ABCD 的对角线交点 O 为坐标原点,AC 所在的直线为 x 轴,
已知 A(﹣4,0),B(0,﹣2),M(0,4),P 为折线 BCD 上一动点,作 PE⊥y
轴于点 E,设点 P 的纵坐标为 a.
(1)求 BC 边所在直线的解析式;
(2)设 y=MP2+OP2,求 y 关于 a 的函数关系式;
(3)当△OPM 为直角三角形时,求点 P 的坐标.
2017 年广西百色市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)
1.(3 分)(2017•百色)化简:|﹣15|等于( )
A.15 B.﹣15 C.±15 D.
【分析】根据绝对值的定义即可解题.
【解答】解:∵负数的绝对值是它的相反数,
∴|﹣15|等于 15,
故选 A.
【点评】本题考查了绝对值的定义,熟练运用是解题的关键.
2.(3 分)(2017•百色)多边形的外角和等于( )
A.180°B.360°C.720°D.(n﹣2)•180°
【分析】根据多边形的外角和,可得答案.
【解答】解:多边形的外角和是 360°,
故选:B.
【点评】本题考查了多边形的内角与外角,熟记多边形的外角和是解题关键.
3.(3 分)(2017•百色)在以下一列数 3,3,5,6,7,8 中,中位数是( )
A.3 B.5 C.5.5 D.6
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两
个数的平均数)为中位数.
【解答】解:从小到大排列此数据为:3,3,5,6,7,8,
第 3 个与第 4 个数据分别是 5,6,所以这组数据的中位数是(5+6)÷2=5.5.
故选 C.
【点评】本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数
的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有
奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
4.(3 分)(2017•百色)下列计算正确的是( )
A.(﹣3x)3=﹣27x3 B.(x﹣2)2=x4 C.x2÷x﹣2=x2 D.x﹣1•x﹣2=x2
【分析】根据积的乘方等于乘方的积,幂的乘方底数不变指数相乘,同底数幂的
除法底数不变指数相减,同底数幂的乘法底数不变指数相加,可得答案.
【解答】解:A、积的乘方等于乘方的积,故 A 符合题意;
B、幂的乘方底数不变指数相乘,故 B 不符合题意;
C、同底数幂的除法底数不变指数相减,故 C 不符合题意;
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故 D 不符合题意;
故选:A.
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方,熟记法则并根据
法则计算是解题关键.
5.(3 分)(2017•百色)如图,AM 为∠BAC 的平分线,下列等式错误的是( )
A. ∠BAC=∠BAM B.∠BAM=∠CAM C.∠BAM=2∠CAM D.2∠CAM=∠BAC
【分析】根据角平分线定义即可求解.
【解答】解:∵AM 为∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAC=∠BAM,∠BAM=∠CAM,∠BAM=∠CAM,2∠CAM=∠BAC.
故选:C.
【点评】此题考查了角平分线定义,熟练掌握角平分线定义是解本题的关键.
6.(3 分)(2017•百色)5 月 14﹣15 日“一带一路”论坛峰会在北京隆重召开,促
进了我国与世界各国的互联互通互惠,“一带一路”地区覆盖总人数约为 44 亿人,
44 亿这个数用科学记数法表示为( )
A.4.4×108B.4.4×109C.4×109 D.44×108
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整
数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与
小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1
时,n 是负数.
【解答】解:44 亿这个数用科学记数法表示为 4.4×109,
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的
形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的
值.
7.(3 分)(2017•百色)如图所示的正三棱柱,它的主视图、俯视图、左视图的
顺序是( )
A.①②③ B.②①③ C.③①② D.①③②
【分析】根据简单几何体的三视图,可得答案.
【解答】解:主视图是三角形,俯视图是两个矩形,左视图是一个矩形,
故选:D.
【点评】本题考查了简单几何体的三视图,利用三视图的定义是解题关键.
8.(3 分)(2017•百色)观察以下一列数的特点:0,1,﹣4,9,﹣16,25,…,
则第 11 个数是( )
A.﹣121 B.﹣100 C.100 D.121
【分析】根据已知数据得出规律,再求出即可.
【解答】解:0=﹣(1﹣1)2,1=(2﹣1)2,﹣4=﹣(3﹣1)2,9=(4﹣1)2,﹣16=﹣
(5﹣1)2,
∴第 11 个数是﹣(11﹣1)2=﹣100,
故选 B.
【点评】本题考查了数字的变化类,能根据已知数据得出规律是解此题的关
键.
9.(3 分)(2017•百色)九年级(2)班同学根据兴趣分成五个小组,各小组人
数分布如图所示,则在扇形图中,第一小组对应的圆心角度数是( )
A.45° B.60° C.72° D.120°
【分析】根据条形统计图可以得到第一小组在五个小组中所占的比重,然后再乘
以 360°,即可解答本题.
【解答】解:由题意可得,
第一小组对应的圆心角度数是: ×360°=72°,
故选 C.
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图,解答本题的关键是明确题意,找出
所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
10.(3 分)(2017•百色)如图,在距离铁轨 200 米的 B 处,观察由南宁开往百
色的“和谐号”动车,当动车车头在 A 处时,恰好位于 B 处的北偏东 60°方向上;10
秒钟后,动车车头到达 C 处,恰好位于 B 处的西北方向上,则这时段动车的平均
速度是( )米/秒.
A.20( +1) B.20( ﹣1) C.200 D.300
【分析】作 BD⊥AC 于点 D,在 Rt△ABD 中利用三角函数求得 AD 的长,在 Rt△
BCD 中,利用三角函数求得 CD 的长,则 AC 即可求得,进而求得速度.
【解答】解:作 BD⊥AC 于点 D.
∵在 Rt△ABD 中,∠ABD=60°,
∴AD=BD•tan∠ABD=200 (米),
同理,CD=BD=200(米).
则 AC=200+200 (米).
则平均速度是 =20( +1)米/秒.
故选 A.
【点评】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用,用到的知识点是方向角,
关键是根据题意画出图形,作出辅助线,构造直角三角形,“化斜为直”是解三角
形的基本思路,常需作垂线(高),原则上不破坏特殊角.
11.(3 分)(2017•百色)以坐标原点 O 为圆心,作半径为 2 的圆,若直线
y=﹣x+b 与⊙O 相交,则 b 的取值范围是( )
A.0≤b<2 B.﹣2 C.﹣2 2 D.﹣2 <b<2
【分析】求出直线 y=﹣x+b 与圆相切,且函数经过一、二、四象限,和当直线
y=﹣x+b 与圆相切,且函数经过二、三、四象限时 b 的值,则相交时 b 的值在相
切时的两个 b 的值之间.
【解答】解:当直线 y=﹣x+b 与圆相切,且函数经过一、二、四象限时,如
图.
在 y=﹣x+b 中,令 x=0 时,y=b,则与 y 轴的交点是(0,b),
当 y=0 时,x=b,则 A 的交点是(b,0),
则 OA=OB,即△OAB 是等腰直角三角形.
连接圆心 O 和切点 C.则 OC=2.
则 OB= OC=2 .即 b=2 ;
同理,当直线 y=﹣x+b 与圆相切,且函数经过二、三、四象限时,b=﹣2 .
则若直线 y=﹣x+b 与⊙O 相交,则 b 的取值范围是﹣2 <b<2 .
故选 D.
【点评】本题考查了切线的性质,正确证得直线 y=﹣x+b 与圆相切时,可得△OAB
是等腰直角三角形是关键.
12.(3 分)(2017•百色)关于 x 的不等式组 的解集中至少有 5 个整
数解,则正数 a 的最小值是( )
A.3 B.2 C.1 D.
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集,然后根据不等式组的整数解的个
数从而确定 a 的范围,进而求得最小值.
【解答】解: ,
解①得 x≤a,
解②得 x>﹣ a.
则不等式组的解集是﹣ a<x≤a.
∵不等式至少有 5 个整数解,则 a 的范围是 a≥2.
a 的最小值是 2.
故选 B.
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解,确定 a 的范围是本题的关键.
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
13.(3 分)(2017•百色)若分式 有意义,则 x 的取值范围为 x≠2 .
【分析】根据分母不为零分式有意义,可得答案.
【解答】解:由题意,得
x﹣2≠0.
解得 x≠2,
故答案为:x≠2.
【点评】本题考查了分式有意义的条件,利用分母不为零得出不等式是解题关键.
14.(3 分)(2017•百色)一个不透明的盒子里有 5 张完全相同的卡片,它们的
标号分别为 1,2,3,4,5,随机抽取一张,抽中标号为奇数的卡片的概率是
.
【分析】根据一个不透明的盒子里有 5 张完全相同的卡片,它们的标号分别为
1,2,3,4,5,其中奇数有 1,3,5,共 3 个,再根据概率公式即可得出答
案.
【解答】解:∵共有 5 个数字,奇数有 3 个,
∴随机抽取一张,抽中标号为奇数的卡片的概率是 .
故答案是 .
【点评】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为:概率=所求情况数
与总情况数之比.
15.(3 分)(2017•百色)下列四个命题中:①对顶角相等;②同旁内角互补;③
全等三角形的对应角相等;④两直线平行,同位角相等,其中假命题的有 ②
(填序号)
【分析】要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假
命题,只需举出一个反例即可.
【解答】解:①对顶角相等是真命题;
②同旁内角互补是假命题;
③全等三角形的对应角相等是真命题;
④两直线平行,同位角相等是真命题;
故假命题有②,
故答案为:②.
【点评】本题主要考查了命题与定理的运用,解题时注意:命题的“真”“假”是就
命题的内容而言,任何一个命题非真即假.
16.(3 分)(2017•百色)如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 C 在 y 轴
正半轴上,点 A 的坐标为(2,0),将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移 OB 个单
位,则点 C 的对应点坐标为 (1,3) .
【分析】将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移 OB 个单位,即将正方形 OABC 沿先
向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,根据平移规律即可求出点 C 的对应点
坐标.
【解答】解:∵在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 C 在 y 轴正半轴上,点 A
的坐标为(2,0),
∴OC=OA=2,C(0,2),
∵将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移 OB 个单位,即将正方形 OABC 沿先向右平
移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,
∴点 C 的对应点坐标是(1,3).
故答案为(1,3).
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,在平面直角坐标系中,图形的平移
与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵
坐标上移加,下移减.理解将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移 OB 个单位,即将
正方形 OABC 沿先向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位是解题的关键.
17.(3 分)(2017•百色)经过 A(4,0),B(﹣2,0),C(0,3)三点的抛物
线解析式是 y=﹣ x2+ x+3 .
【分析】根据 A 与 B 坐标特点设出抛物线解析式为 y=a(x﹣2)(x﹣4),把 C 坐
标代入求出 a 的值,即可确定出解析式.
【解答】解:根据题意设抛物线解析式为 y=a(x+2)(x﹣4),
把 C(0,3)代入得:﹣8a=3,即 a=﹣ ,
则抛物线解析式为 y=﹣ (x+2)(x﹣4)=﹣ x2+ x+3,
故答案为 y=﹣ x2+ x+3.
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本
题的关键.
18.(3 分)(2017•百色)阅读理解:用“十字相乘法”分解因式 2x 2﹣x﹣3 的方
法.
(1)二次项系数 2=1×2;
(2)常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3),验算:“交叉相乘之和”;
1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×
1+2×(﹣3)=﹣5
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果 1×(﹣3)+2×1=﹣1,等于一次项系
数﹣1.
即 : ( x+1 )( 2x﹣3 ) =2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3 , 则 2x2﹣x﹣3= ( x+1 )
(2x﹣3).
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘
法.仿照以上方法,分解因式:3x2+5x﹣12= (x+3)(3x﹣4) .
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出 3x2+5x﹣12=(x+3)(3x﹣4)即可.
【解答】解:3x2+5x﹣12=(x+3)(3x﹣4).
故答案为:(x+3)(3x﹣4)
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等,解此题的关键是熟练掌握“十字
相乘法”分解因式,题目比较好,难度也不大.
三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分)
19.(6 分)(2017•百色)计算: +( )﹣1﹣(3﹣π)0﹣|1﹣4cos30°|
【分析】原式利用二次根式性质,零指数幂、负整数指数幂法则,以及绝对值的
代数意义化简,计算即可得到结果.
【解答】解:原式=2 +2﹣1﹣2 +1=2.
【点评】此题考查了实数的运算,零指数幂、负整数指数幂,熟练掌握运算法则
是解本题的关键.
20.(6 分)(2017•百色)已知 a=b+2018,求代数式 • ÷
的值.
【分析】先化简代数式,然后将 a=b+2018 代入即可求出答案.
【解答】解:原式= × ×(a﹣b)(a+b)
=2(a﹣b)
∵a=b+2018,
∴原式=2×2018=4036
【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属
于基础题型.
21.(6 分)(2017•百色)已知反比例函数 y= (k≠0)的图象经过点 B(3,2),
点 B 与点 C 关于原点 O 对称,BA⊥x 轴于点 A,CD⊥x 轴于点 D.
(1)求这个反比函数的解析式;
(2)求△ACD 的面积.
【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据三角形的面积公式,可得答案.
【解答】解:(1)将 B 点坐标代入函数解析式,得
=2,
解得 k=6,
反比例函数的解析式为 y= ;
(2)由 B(3,2),点 B 与点 C 关于原点 O 对称,得
C(﹣3,﹣2).
由 BA⊥x 轴于点 A,CD⊥x 轴于点 D,
得 A(3,0),D(﹣3,0).
S△ACD= AD•CD= [3﹣(﹣3)]×|﹣2|=6.
【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的意义,利用待定系数法求函数解析式,
利用关于原点对称的点的坐标得出 C 点坐标是解题关键.
22.(8 分)(2017•百色)矩形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,CE、AF
分别交 BD 于 G、H 两点.
求证:(1)四边形 AFCE 是平行四边形;
(2)EG=FH.
[来源:学科网 ZXXK]
【分析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)可证明 EG 和 FH 所在的△DEG、△BFH 全等即可.
【解答】解:
(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,[来源:学*科*网]
∴AD∥BC,AD=BC,
∵E、F 分别是 AD、BC 的中点,
∴AE= AD,CF= BC,
∴AE=CF,
∴四边形 AFCE 是平行四边形;
(2)∵四边形 AFCE 是平行四边形,
∴CE∥AF,
∴∠DGE=∠AHD=∠BHF,
∵AB∥CD,
∴∠EDG=∠FBH,
在△DEG 和△BFH 中[来源:学科网 ZXXK]
,
∴△DEG≌△BFH(AAS),
∴EG=FH.
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判断和性质以及全等三角形的判
断和性质,熟记矩形的各种性质是解题的关键.
23.(8 分)(2017•百色)甲、乙两运动员的射击成绩(靶心为 10 环)统计如下
表(不完全):
运动员
环数
次数
1 2 3 4 5
甲 10 8 9 10 8
乙 10 9 9 a b
某同学计算出了甲的成绩平均数是 9,方差是
S 甲 2= [(10﹣9)2+(8﹣9)2+(9﹣9)2+(10﹣9)2+(8﹣9)2]=0.8,请作答:
(1)在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来;
(2)若甲、乙射击成绩平均数都一样,则 a+b= 17 ;
(3)在(2)的条件下,当甲比乙的成绩较稳定时,请列举出 a、b 的所有可能
取值,并说明理由.
【分析】(1)根据表中数据描点、连线即可得;
(2)根据平均数的定义列出算式,整理即可得;
(3)由 a+b=17 得 b=17﹣a,将其代入到 S 甲 2<S 乙 2,即 [(10﹣9)2+(9﹣9)
2+(9﹣9)2+(a﹣9)2+(b﹣9)2]>0.8,得到 a2﹣17a+71>0,求出 a 的范围,
根据 a、b 均为整数即可得出 答案.
【解答】解:(1)如图所示:
(2)由题意知, =9,
∴a+b=17,
故答案为:17;
(3)∵甲比乙的成绩较稳定,
∴S 甲 2<S 乙 2,即 [(10﹣9)2+(9﹣9)2+(9﹣9)2+(a﹣9)2+(b﹣9)2]>
0.8,
∵a+b=17,
∴b=17﹣a,
代入上式整理可得:a2﹣17a+71>0,
解得:a< 或 a> ,
∵a、b 均为整数,
∴a=7、b=10;a=10、b=7.
【点评】本题主要考查折线统计图、平均数、方差,熟练掌握平均数和方差的计
算公式及解一元二次不等式是解题的关键.
24.(10 分)(2017•百色)某校九年级 10 个班级师生举行毕业文艺汇演,每班 2
个节目,有歌唱与舞蹈两类节目,年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数
的 2 倍少 4 个.
(1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个?
(2)该校七、八年级师生有小品节目参与,在歌唱、舞蹈、小品三类节目中,
每个节目的演出平均用时分别是 5 分钟、6 分钟、8 分钟,预计所有演出节目交
接用时共花 15 分钟,若从 20:00 开始,22:30 之前演出结束,问参与的小品
类节目最多能有多少个?
【分析】(1)设九年级师生表演的歌唱类节目有 x 个,舞蹈类节目有 y 个,根据
“两类节目的总数为 20 个、唱歌类节目数比舞蹈类节目数的 2 倍少 4 个”列方程
组求解可得;
(2)设参与的小品类节目有 a 个,根据“三类节目的总时间+交接用时<150”列
不等式求解可得.
【解答】解:(1)设九年级师生表演的歌唱类节目有 x 个,舞蹈类节目有 y 个,
根据题意,得: ,
解得: ,
答:九年级师生表演的歌唱类节目有 12 个,舞蹈类节目有 8 个;
(2)设参与的小品类节目有 a 个,
根据题意,得:12×5+8×6+8a+15<150,
解得:a< ,
由于 a 为整数,
∴a 的最大值为 3,
答:参与的小品类节目最多能有 3 个.
【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用,理解题意找到
题目蕴含的相等关系和不等关系,列出方程组、不等式是解题的关键.
25.(10 分)(2017•百色)已知△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分别相切于
点 D、E、F,若 = ,如图 1,.
(1)判断△ABC 的形状,并证明你的结论;
(2)设 AE 与 DF 相交于点 M,如图 2,AF=2FC=4,求 AM 的长.
【分析】(1)易证∠EOF+∠C=180°,∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE,即可解题;
(2)连接 OB、OC、OD、OF,易证 AD=AF,BD=CF 可得 DF∥BC,再根据 AE 长
度即可解题.
【解答】解:(1)△ABC 为等腰三角形,[来源:学*科*网]
∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分别相切于点 D、E、F,[来源:Zxxk.Com]
∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°,
∵四边形内角和为 360°,
∴∠EOF+∠C=180°,∠DOE+∠B=180°,
∵ = ,
∴∠EOF=∠DOE,
∴∠B=∠C,AB=AC,
∴△ABC 为等腰三角形;
(2)连接 OB、OC、OD、OF,如图,
∵等腰三角形 ABC 中,AE⊥BC,
∴E 是 BC 中点,BE=CE,
∵在 Rt△AOF 和 Rt△AOD 中, ,
∴Rt△AOF≌Rt△AOD,
∴AF=AD,
同理 Rt△COF≌Rt△COE,CF=CE=2,
Rt△BOD≌Rt△BOE,BD=BE,
∴AD=AF,BD=CF,
∴DF∥BC,
∴ = ,
∵AE= =4 ,
∴AM=4 × = .
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,考查了 等腰三角形的性质,考
查了圆的切线的性质,本题中求 DF∥BC 是解题的关键.
26.(12 分)(2017•百色)以菱形 ABCD 的对角线交点 O 为坐标原点,AC 所在
的直线为 x 轴,已知 A(﹣4,0),B(0,﹣2),M(0,4),P 为折线 BCD 上一
动点,作 PE⊥y 轴于点 E,设点 P 的纵坐标为 a.
(1)求 BC 边所在直线的解析式;
(2)设 y=MP2+OP2,求 y 关于 a 的函数关系式;
(3)当△OPM 为直角三角形时,求点 P 的坐标.
【分析】(1)先确定出 OA=4,OB=2,再利用菱形的性质得出 OC=4,OD=2,最
后用待定系数法即可确定出直线 BC 解析式;
(2)分两种情况,先表示出点 P 的坐标,利用两点间的距离公式即可得出函数
关系式;
(3)分两种情况,利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点 P 的坐标.
【解答】解:(1)∵A(﹣4,0),B(0,﹣2),
∴OA=4,OB=2,
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴OC=OA=4,OD=OB=2,
∴C(4,0),D(0,2),
设直线 BC 的解析式为 y=kx﹣2,
∴4k﹣2=0,
∴k= ,
∴直线 BC 的解析式为 y= x﹣2;
(2)由(1)知,C(4,0),D(0,2),
∴直线 CD 的解析式为 y=﹣ x+2,
由(1)知,直线 BC 的解析式为 y= x﹣2,
当点 P 在边 BC 上时,
设 P(2a+4,a)(﹣2≤a<0),
∵M(0,4),
∴ y=MP2+OP2= ( 2a+4 ) 2+ ( a﹣4 ) 2+ ( 2a+4 ) 2+a2=2 ( 2a+4 ) 2+ ( a﹣4 )
2+a2=10a2+24a+48
当点 P 在边 CD 上时,
∵点 P 的纵坐标为 a,
∴P(4﹣2a,a)(0≤a≤2),
∵M(0,4),
∴y=MP2+OP2=(4﹣2a)2+(a﹣4)2+(4﹣2a)2+a2=10a2﹣40a+48,
(3)①当点 P 在边 BC 上时,即:0≤a≤2,
由(2)知,P(2a+4,a),
∵M(0,4),
∴OP2=(2a+4)2+a2=5a2+16a+16,PM2=(2a+4)2+(a﹣4)2=5a2﹣8a+32,OM2=16,
∵△POM 是直角三角形,易知,PM 最大,
∴OP2+OM2=PM2,
∴5a2+16a+16+16=5a2﹣8a+32,
∴a=0(舍)
②当点 P 在边 CD 上时,即:0≤a≤2 时,
由(2)知,P(4﹣2a,a),
∵M(0,4),
∴OP2=(4﹣2a)2+a2=5a2﹣16a+16,PM2=(4﹣2a)2+(a﹣4)2=5a2﹣24a+32,
OM2=16,
∵△POM 是直角三角形,
Ⅰ、当∠POM=90°时,
∴OP2+OM2=PM2,
∴5a2﹣16a+16+16=5a2﹣24a+32,
∴a=0,
∴P(4,0),
Ⅱ、当∠MPO=90°时,OP2+PM2=5a2﹣16a+16+5a2﹣24a+32=10a2﹣40a+48=OM2=16,
∴a=2+ (舍)或 a=2﹣ ,
∴P( ,2﹣ ),
即:当△OPM 为直角三角形时,点 P 的坐标为( ,2﹣ ),(4,0).
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了菱形的性质,勾股定理逆定理,两点
间的距离公式,待定系数法,解(1)的关键是掌握待定系数法,解(2)的关键
是分类讨论的思想,解(3)的关键是分两种情况,利用勾股定理逆定理建立方
程求解,是一道中等难度的题目.
参与本试卷答题和审题的老师有:499807835;2300680618;HLing;HJJ;
zjx111;zgm666;zhjh;守拙;szl;sks;神龙杉;wd1899;三界无我;星月相随
(排名不分先后)
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2017 年 8 月 15 日
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