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- 2021-11-10 发布
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初三数学知识点整理
一、 《二次函数》
1、二次函数的定义:形如 y=ax 2 +bx+c (a≠0)形式叫二次函数。
2、解析式的形式:①一般式:y=ax 2 +bx+c (a≠0)
②顶点式:y=a(x-h) 2 +k
3、图像性质:
函数 顶点坐标 对称轴 极值
y=ax 2 (0,0) Y 轴(直线 x=0) Y=0
y=ax 2 +c (0,c) Y 轴(直线 x=0) Y=0
y=a(x-h) 2 (h, 0) 直线 x=h Y=h
y=a(x-h) 2 +k (h, k) 直线 x=h Y=h
y=ax 2 +bx+c (
a
b
2
,
a
bac
4
4 2 ) 直线 x= a
b
2 , Y= a
bac
4
4 2
【顶点的横坐标即图像的对称轴,纵坐标即函数的极值】
4 、 a、b、c 的作用
1 a 决定:图像的开口方向,a>0,开口向上,a<0,开口向下。
2 |a ︳决定:图像的开口大小 ,|a ︳越大,开口越小。
②a、b 共同决定:对称轴,当 a、b 同号时,对称轴在 y 轴的左侧。
当 a、b 异号时,对称轴在 y 轴的右侧。
③c 决定:图像与 Y 轴交点的纵坐标。
5、变换求解析式时,考虑两个方面:
1 a 的值
2 顶点的变化
6 二次函数与一元二次方程
对于二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0),当 Y=0 时,得一元二次方程 ax 2 +bx+c=0
当 b 2 -4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根,抛物线与 x 轴有两个交点,交
点横坐标为方程的实根。
当 b 2 -4ac=0 时,方程有两个相等的实数根,抛物线与 x 轴有且只有一个交点,
交点横坐标为方程的实根。
当 b 2 -4ac<0 时,方程没有实数根,抛物线与 x 轴没有交点。
7、对于二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0)
①如何求与 x 轴的交点坐标:令 y=0 代入函数关系式,解得方程的根即为交点的
横坐标。
②如何求与 y 轴的交点坐标: 令 x=0 代入函数关系式。交点坐标为(0,c)
③如何求两个函数图像的交点坐标:将两个函数解析式组成方程组求解。
8、对于二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0)
①当图像顶点在 x 轴上时, b 2 -4ac=0 对应解析式为 y=a(x-h) 2
②当图像顶点在 y 轴上时, b=0 对应解析式为 y=ax 2 +c
③当图像顶点在原点时, a=0, c=0 对应解析式为 y=ax 2
④当图像过原点时, c=0 对应解析式为 y=ax 2 +bx
9、①方程 ax 2 +bx+c=K 的解为函数 y=ax 2 +bx+c 与直线 Y=K 的交点的横坐标。
②抛物线的对称轴方程为
2
21 xx ,其中 x 1 ,x 2 为图像上两对称点的横坐标。
③抛物线上对称点的坐标特征是:纵坐标相同。
④对于函数 y=ax 2 +bx+c,当 x=1 时,y=a+b+c,
当 x=-1 时,y=a-b+c,
当 x=2 时,y=4a+2b+c,
当 x=-2 时,y=4a-2b+c,
∠A的邻边b
∠A的对边a
斜边c
C
B
A
二、《一函数、反比列函数》
函数 表达式 象 限 增减性
一次函数 Y=kx+b(k≠0) K>0,一、三
K<0,二、四
K>0,↑
K<0,↓
反比例函数 Y= x
k (k≠0,x≠0) K>0, 一、三
K<0,二、四
K>0, ↓
K<0, ↑
三、三角函数
∠A 的余弦,记作 cosA,即 cosA=
A 的邻边
斜边 = c
b
;
∠A 的正切,记作 tanA,即 tanA=
A
A
的对边
的邻边 =
a
b .
∠A 的正弦,记作 sinA,即 sinA= 斜边
的对边
=
a
c ;
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
四、《圆》
1、几种位置关系
①点与圆的位置关系: 点在圆外 点在圆上 点在圆内
②直线与圆的位置关系:相离 相切 相交
③圆与圆的位置关系:外离 内含 外切 内切 相交
D
C
B
A
O
2、判断位置关系的方法:
点与圆:d 与 r 的大小(d:圆心到点的距离)
直线与圆:d 与 r 的大小(d:圆心到直线的距离)
圆与圆:
3、几个定理
①垂径定理:∵AB 过圆心,AB⊥CD
∴CE=DE,BC=BD,AC=AD
②等对等定理:在同圆或等圆中,两个圆心角,
两条弦,两条弧,有一组量等, 其余各组量都等。
③圆周角定理及推论
在⊙O 中,∵∠A,∠B 都对 DC,
∴∠A=∠B
在⊙O 中,∵∠A,∠O 都对 DC,
∴∠A= 2
1 ∠O
在⊙O 中,∵∠A=90°∴BC 为⊙O 直径
∵BC 为⊙O 直径∴∠A=90°
1 切线的性质定理:圆的切线垂直与过切点的直径(半径)
∵AB 切⊙O 于点 C,
∴OC⊥AB
【遇切线常用的辅助线是连接圆心和切点,得垂直,得半径】
2 切线的判定方法:
D
C
A
B
o
O
C
B
A
C
A
B
O
B
A
C
E
D
O
B
A
C
O
ⅰ当直线与圆无公共点时,过圆心向直线作垂线 d,
证 d 等于 r。
ⅱ当直线与圆有公共点时,连接圆心和公共点,证连
得的半径和直线垂直。
③切线长定理: ∵PA、PB⊙O 与点 A、B,
∴PA=PB,PO 平分∠APB
4、三角形内心:三角形内切圆圆心,是三个内角平分线的交点,到三角形三边
的距离相等。
三角形外心:三角形外接圆圆心,是三边垂直平分线的交点,到三角形三顶
点的距离相等。
5、公式
①直角三角形的外接圆半径 R= 2
c ,内切圆半径 r= 2
cba
3 O 是外心, ∠A 为锐角时,则∠BOC= 2
1 ∠A
∠A 为钝角时,则∠BOC=360°-2∠A
③O 是内心, ∠BOC=90°+
2
1 ∠A
④弧长 L= 180
rn
扇形面积 S= 360
2rn
或 S= 2
1 lR
⑤S 圆锥侧面 =πrl 母
⑥S 圆柱侧面 =2πrl 母
3 正多边形中的几个概念:
中心:正多边形的外接圆圆心,也是内切圆圆心。
半径: 正多边形的外接圆半径,即中心到顶点的距离。
边心距;中心到一边的垂线段,是内切圆半径。
中心角:正多边形一边所对的圆心角。
4 正 n 边形内角和=180°(n-2)
中心角=
n
0360
五、《一元二次方程》
n
R
B
O
A
D
j
r
L
r
h
O
B
A
P
j
D
r
R
B
A
O
1、一元二次方程的一般形式为:ax 2 +bx+c=0 (a≠0),
二次项:ax 2 ,一次项:bx , 常数项:c
二次项系数:a ,一次项系数:b
2、解法
2x 2 -5x+2=0(配方法) 2x 2 -5x+2=0 ( 公式法)
六、《三角形 四边形》
1、中点四边形的形状和原四边形的对角线有关:
一般四边形的中点四边形是平行四边形。
原四边形的对角线相等.....,中点四边形为菱形..。
原四边形的对角线垂直.....,中点四边形为矩形..。
2、中点四边形的周长=原四边形对角线和
中点四边形的面积=原四边形面积的一半
3、梯形的中位线性质:平行上底下底,等于上下底和的一半。
4、①边长为 a 的等边三角形面积 S= 2
4
3 a
②梯形的面积 S= )(2
1 下上 ×高÷2 或 =中位线×高
③菱形面积 S=底×高 或 S=对角线乘积的一半
④对角线垂直的四边形面积 S=对角线乘积的一半
6、基本图形:
七、四边形的判定
1、平行四边形的判定: 两组对边分别平行的四边形
两组对边分别相等的四边形
一组对边平行且相等的四边形
对角线互相平分的四边形
2、矩形的判定:有一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三角是直角的四边形
3、菱形的判定:一组邻边相等的平行四边形
对角线垂直的平行四边形
四边相等的四边形
7、正方形的判定:一组邻边相等,有一个角为直角的平行四边形
有一个角是直角的菱形
一组邻边相等的矩形
8、等腰梯形的判定:两腰相等的梯形
同一底上的两角相等的梯形
八、《方差》等
方差 S 2 =
方差、极差、标准差越小,数据的波动越小,数据越稳定。
极差:最大数减最小数。
标准差:方差的算术平方根。
众数:一组数据中出现次数最多的那个数
中位数:将数据从小到大排序后,中间的那个数或中间两数的平均数
九、《二次根式》
1、代数式有意义的 x 的取值范围:
①
x
1 (x≠0) ② x (x≥0) ③
x
1 (x>0)
2、 2a = a = ( a )=a (a≥0)
3、最简二次根式:①被开方数中不含有开得尽方的因数或因式
②分母中不含根号,如
③根号中不含分母,如
十、分式:形如 B
A
分式有意义的条件:B≠0
分式无意义的条件:B≠0
分式值为 0 的条件:A=0,B≠0
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