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- 2021-11-10 发布
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第二十二章 二次函数
人教版
九年级数学上册
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
导入新课
复习引入
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上 向下
(h ,k) (h ,k)
x=h x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0) y轴 0
(0,-5) y轴 -5
(-2,0) 直线x=-2 0
(-2,-4) 直线x=-2 -4
(4,3) 直线x=4 3
? ? ?
? ? ?
讲授新课
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些
知识来讨论 的图象和性质？21 6 212y x x
问题1 怎样将
化成y=a(x-h)2+k的形式？
21 6 212y x x
21 6 212y x x 配方可得
2 2 21 ( 12 6 6 42)2 x x
21 ( 12 42)2 x x
2 2 21 [( 12 6 ) 6 42]2 x x
21 [( 6) 6]2 x
21 ( 6) 3.2 x
想一想：配方的方法及
步骤是什么？
配
方
2162
1 2 xxy 你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的
表达式通常称为
配方式或顶点式.
3)6(2
1 2 xy
问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21 ( 6) 32y x
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数 可以看作是由
怎样平移得到的？
21 ( 6) 32y x 21
2y x
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何画二次函数 的图象？21 6 212y x x
…
…
…
…9876543x
先利用图形的对称性列表
21( 6) 32y x 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5
5 10 x
y
5
10
然后描点画图，
得到图象如右图.
O
问题5 结合二次函数 的图象，说出
其性质.
21 6 212y x x
5 10 x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
例1 画出函数 的图象，并说明这个
函数具有哪些性质.
21 5
2 2y x x
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···-6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5
解: 函数 通过配方可得 ，
先列表：
21 5
2 2y x x 21 ( 1) 22y x
典例精析
2 x
y
-2
0
4-2-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数
具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x
的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x
的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大
值，最大值y=-2.
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
22 8 7y x x
22( 4 4) 8 7x x
22( 4 ) 7x x
22( 2) 1.x
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直
线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
练一练
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)
化成顶点式y=a(x-h)2+k？
y=ax²+bx+c ca
b
a
bxa
bxa
22
2
22
2 2
2
2 2
b b ba x x ca a a
ca
b
a
bxa
42
22
归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成
y=a(x-h)2+k的形式，即 2
2 2 4( ) .2 4
b ac by ax bx c a x a a
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
24( , ).2 4
b ac b
a a
.2
bx a
(1) (2)
x
y
O x
y
O
如果a>0,当x< 时，y
随x的增大而减小；当
x> 时，y随x的增大
而增大.
如果a<0,当x< 时，y
随x的增大而增大；当
x> 时，y随x的增大
而减小.
2
bx a
2
bx a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值
随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直
线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，
即b≤1，故选择D .
2 ( 1)
bx b
D
填一填
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,3) x=1 最大值1
(0,-1) y轴 最大值-1
最小值-6( ,-6)1
3
直线x= 1
3
二次函数字母系数与图象的关系三
合作探究
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据
一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2y=k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＞
＞
＜
＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＜
＞
x
y
O
2
22
bx a
1
12
bx a
问题2 二次函数 的图象如下图所示，
请根据二次函数的性质填空：
2y ax bx c
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴
左侧，x＜0 对称轴在y轴
右侧，x＞0
1
1
02
bx a
＜
2
2
02
bx a
＞
x=0时，y=c.
x
y
O
4
42
bx a
3
32
bx a
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，
x=0 对称轴在y轴
右侧，x＞0
1
1
=02
bx a
2
2
02
bx a
＞
x=0时，
y=c.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下
列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；
④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限
可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－
1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在
y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )D
当堂练习
5
2
3
2
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1
是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；
③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上
两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）2
3
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④
x
y
O 2
x=-1
B
4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
2
2
(1) 2 12 13;
(2) 5 80 319;
1(3) 2 2 ;2
(4) 1 2 .
y x x
y x x
y x x
y x x
直线x=3 3, 5
直线x=8 8, 1
直线x=1.25
5 9, 4 8
直线x= 0.5 1 9, 2 4
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