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  • 2021-11-10 发布

2019浙江省衢州市中考数学试卷

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浙江省衢州市2019年中考数学试卷(解析版)‎ 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.在 ,0,1,-9四个数中,负数是(    ) ‎ A.                                           B. 0                                          C. 1                                          D. -9‎ ‎【答案】 D ‎ ‎【考点】正数和负数的认识及应用 ‎ ‎【解析】【解答】解:∵-9<0< <1, ‎ ‎∴负数是-9.‎ 故答案为:D.‎ ‎【分析】负数:任何正数前加上负号都等于负数;负数比零、正数小, 在数轴线上,负数都在0的左侧.‎ ‎2.浙江省陆域面积为101800平方千米,其中数据101800用科学记数法表示为(   ) ‎ A. 0.1018×105                          B. 1.018×105                     C. 0.1018×105                     D. 1.018×106‎ ‎【答案】 B ‎ ‎【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 ‎ ‎【解析】【解答】解:∵101800=1.018×105. ‎ 故答案为:B.‎ ‎【分析】科学记数法:将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,由此即可得出答案.‎ ‎3.如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是(   ) [来源:学|科|网]‎ ‎ ‎ ‎                                                                  ‎ A B C D ‎【答案】 A ‎ ‎【考点】简单组合体的三视图 ‎ ‎【解析】【解答】解:从物体正面观察可得, ‎ 左边第一列有2个小正方体,第二列有1个小正方体.‎ 故答案为:A.‎ ‎【分析】主视图:从物体正面观察所得到的图形,由此观察即可得出答案.‎ ‎4.下列计算正确的是(    ) ‎ A. a6+a6=a12                       B. a6×a2=a8                       C. a6÷a2=a3                       D. (a6)2=a8‎ ‎【答案】 B ‎ ‎【考点】同底数幂的乘法,同底数幂的除法,合并同类项法则及应用,幂的乘方 ‎ ‎【解析】【解答】解:A.∵a6+a6=2a6 , 故错误,A不符合题意; ‎ B.∵a6×a2=a6+2=a8 , 故正确,B符合题意;‎ C.∵a6÷a2=a6-2=a4 , 故错误,C不符合题意;‎ D.∵(a6)2=a2×6=a12 , 故错误,D不符合题意;‎ 故答案为:B.‎ ‎【分析】A.根据合并同类项法则计算即可判断错误;B.根据同底数幂的乘法:底数不变,指数相加,依此计算即可判断正确;C.根据同底数幂的除法:底数不变,指数相减,依此计算即可判断错误;D.根据幂的乘方:底数不变,指数相乘,依此计算即可判断错误.‎ ‎5.在一个箱子里放有1个自球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里任意摸出1个球,摸到白球的概率是(    ) ‎ A. 1                                         B.                                          C.                                          D. ‎ ‎【答案】 C ‎ ‎【考点】等可能事件的概率 ‎ ‎【解析】【解答】解:依题可得, ‎ 箱子中一共有球:1+2=3(个),‎ ‎∴从箱子中任意摸出一个球,是白球的概率P= .‎ 故答案为:C.‎ ‎【分析】结合题意求得箱子中球的总个数,再根据概率公式即可求得答案.‎ ‎6.二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是(    ) ‎ A. (1,3)                           B. (1,-3)                           C. (-1,3)                           D. (-1,-3)‎ ‎【答案】 A ‎ ‎【考点】二次函数y=a(x-h)^2+k的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解:∵y=(x-1)2+3, ‎ ‎∴二次函数图像顶点坐标为:(1,3).‎ 故答案为:A.‎ ‎【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.‎ ‎7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是(    ) ‎ ‎ ‎ A. 60°                                       B. 65°                                       C. 75°                                       D. 80°‎ ‎【答案】 D ‎ ‎【考点】三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解:∵OC=CD=DE, ‎ ‎∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,‎ 设∠O=∠ODC=x,‎ ‎∴∠DCE=∠DEC=2x,‎ ‎∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x,‎ ‎∵∠BDE=75°,‎ ‎∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°,‎ 即x+180°-4x+75°=180°,‎ 解得:x=25°,‎ ‎∠CDE=180°-4x=80°.‎ 故答案为:D.‎ ‎【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,设∠O=∠ODC=x,由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x,∠CDE=180°-4x,根据平角性质列出方程,解之即可的求得x值,再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.‎ ‎8.一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在⊙O上,CD垂直平分AB于点D,现测得AB=8dm,DC=2dm,则圆形标志牌的半径为(    ) ‎ ‎ ‎ A. 6dm                                    B. 5dm                                    C. 4dm                                    D. 3dm ‎【答案】 B ‎ ‎【考点】垂径定理的应用 ‎ ‎【解析】解:连结OD,OA,如图,设半径为r, ‎ ‎∵AB=8,CD⊥AB,‎ ‎∴AD=4,点O、D、C三点共线,‎ ‎∵CD=2,‎ ‎∴OD=r-2,‎ 在Rt△ADO中,‎ ‎∵AO2=AD2+OD2 , ,‎ 即r2=42+(r-2)2 , ‎ 解得:r=5,‎ 故答案为:B.‎ ‎【分析】连结OD,OA,设半径为r,根据垂径定理得AD=4,OD=r-2,在Rt△ADO中,由勾股定理建立方程,解之即可求得答案.‎ ‎9.如图,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为(    ) ‎ ‎ ‎ A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 2‎ ‎【答案】 C ‎ ‎【考点】等边三角形的性质 ‎ ‎【解析】解:如图,作BG⊥AC, ‎ 依题可得:△ABC是边长为2的等边三角形,‎ 在Rt△BGA中,‎ ‎∵AB=2,AG=1,‎ ‎∴BG= ,‎ 即原来的纸宽为 .‎ 故答案为:C.‎ ‎【分析】结合题意标上字母,作BG⊥AC,根据题意可得:△ABC是边长为2的等边三角形,在Rt△BGA中,根据勾股定理即可求得答案.‎ ‎10.如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C移动至终点C,设P点经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是(   ) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A      B      C     D ‎【答案】 C ‎ ‎【考点】动点问题的函数图象 ‎ ‎【解析】【解答】解:①当点P在AE上时, ‎ ‎∵正方形边长为4,E为AB中点,‎ ‎∴AE=2,‎ ‎∵P点经过的路径长为x,‎ ‎∴PE=x,‎ ‎∴y=S△CPE= ·PE·BC= ×x×4=2x,‎ ‎②当点P在AD上时,‎ ‎∵正方形边长为4,E为AB中点,‎ ‎∴AE=2,‎ ‎∵P点经过的路径长为x,‎ ‎∴AP=x-2,DP=6-x,‎ ‎∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC , ‎ ‎=4×4- ×2×4- ×2×(x-2)- ×4×(6-x),‎ ‎=16-4-x+2-12+2x,‎ ‎=x+2,‎ ‎③当点P在DC上时,‎ ‎∵正方形边长为4,E为AB中点,‎ ‎∴AE=2,‎ ‎∵P点经过的路径长为x,‎ ‎∴PD=x-6,PC=10-x,‎ ‎∴y=S△CPE= ·PC·BC= ×(10-x)×4=-2x+20,‎ 综上所述:y与x的函数表达式为:‎ y= .‎ 故答案为:C.‎ ‎【分析】结合题意分情况讨论:①当点P在AE上时,②当点P在AD上时,③当点P在DC上时,根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.‎ 二、填空题(本题共有6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11.计算: =________。 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】分式的加减法 ‎ ‎【解析】【解答】解:∵原式= . ‎ 故答案为: .‎ ‎【分析】根据分式加减法法则:同分母相加,分母不变,分子相加减,依此计算即可得出答案.‎ ‎12.数据2,7,5,7,9的众数是________ 。 ‎ ‎【答案】 7 ‎ ‎【考点】众数 ‎ ‎【解析】【解答】解:将这组数据从小到大排列为:2,5,7,7,9, ‎ ‎∴这组数据的众数为:7.‎ 故答案为:7.‎ ‎【分析】众数:一组数据中出现次数最多的数,由此即可得出答案.‎ ‎13.已知实数m,n满足 ,则代数式m2-n2的值为________ 。 ‎ ‎【答案】 3 ‎ ‎【考点】代数式求值 ‎ ‎【解析】【解答】解:∵m-n=1,m+n=3, ‎ ‎∴m2-n2=(m+n)(m-n)=3×1=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎【分析】先利用平方差公式因式分解,再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.‎ ‎14.如图,人字梯AB,AC的长都为2米。当a=50°时,人字梯顶端高地面的高度AD是________米(结果精确到0.1m。参考依据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19) ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 1.5 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解:在Rt△ADC中, ‎ ‎∵AC=2,∠ACD=50°,‎ ‎∴sin50°= ,‎ ‎∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5.‎ 故答案为:1.5.‎ ‎【分析】在Rt△ADC中,根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.‎ ‎15.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点, ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,点B恰好为OE的中点,DE与BC交于点F。若y= (k≠0)图象经过点C,且S△BEF=1,则k的值为________ 。 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 24 ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质,反比例函数图象上点的坐标特征 ‎ ‎【解析】解:作FG⊥BE,作FH⊥CD,如图,设A(-2a,0),D(0,4b), ‎ 依题可得:△ADO≌△EDO,‎ ‎∴OA=OE,‎ ‎∴E(2a,0),‎ ‎∵B为OE中点,‎ ‎∴B(a,0),‎ ‎∴BE=a,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AE∥CD,AB=CD=3a,C(3a,4b),‎ ‎∴△BEF∽△CDF,‎ ‎∴ ,‎ 又∵D(0,4b),‎ ‎∴OD=4b,‎ ‎∴FG=b,‎ 又∵S△BEF= ·BE·FG=1,‎ ‎∴即 ab=1,‎ ‎∴ab=2,‎ ‎∵C(3a,4b)在反比例函数y= 上,‎ ‎∴k=3a×4b=12ab=12×2=24.‎ 故答案为:24.‎ ‎【分析】作FG⊥BE,作FH⊥CD,设A(-2a,0),D(0,4b),由翻折的性质得:△ADO≌△EDO,根据全等三角形性质得OA=OE,结合题意可得E(2a,0),B(a,0),由平行四边形性质得AE∥CD,AB=CD=3a,C(3a,4b),根据相似三角形判定和性质得 ,从而得FG=b,由三角形面积公式得 ab=1,即ab=2,将点C坐标代入反比例函数解析式即可求得k值.‎ ‎16.如图,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形。 ‎ ‎ ‎ ‎(1)将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上,顶点B,D位于y轴上,O为坐标原点,则 的值为________ . ‎ ‎(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1 , 摆放第三个“7”字图形得顶点F2 , 依此类推,…,摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1 , …,则顶点F2019的坐标为________ . ‎ ‎【答案】 (1) (2)( , ) ‎ ‎【考点】探索图形规律 ‎ ‎【解析】(1)依题可得,CD=1,CB=2, ‎ ‎∵∠BDC+∠DBC=90°,∠OBA+∠DBC=90°,‎ ‎∴∠BDC=∠OBA,‎ 又∵∠DCB=∠BOA=90°,‎ ‎∴△DCB∽△BOA,‎ ‎∴ ;‎ ‎( 2 )根据题意标好字母,如图,‎ 依题可得:‎ CD=1,CB=2,BA=1,‎ ‎∴BD= ,‎ 由(1)知 ,‎ ‎∴OB= ,OA= ,‎ 易得:‎ ‎△OAB∽△GFA∽△HCB,‎ ‎∴BH= ,CH= ,AG= ,FG= ,‎ ‎∴OH= + = ,OG= + = ,‎ ‎∴C( , ),F( , ),‎ ‎∴由点C到点F横坐标增加了 ,纵坐标增加了 ,‎ ‎……‎ ‎∴Fn的坐标为:( + n, + n),‎ ‎∴F2019的坐标为:( + ×2019, + ×2019)=( ,405 ),‎ 故答案为: ,( ,405 ).‎ ‎【分析】(1)根据题意可得CD=1,CB=2,由同角的余角相等得∠BDC=∠OBA,根据相似三角形判定得△DCB∽△BOA,由相似三角形性质即可求得答案.(2)根据题意标好字母,根据题意可得CD=1,CB=2,BA=1,在Rt△DCB中,由勾股定理求得 BD= ,由(1)知 ,从而可得OB= ,OA= ,结合题意易得:△OAB∽△GFA∽△HCB,根据相似三角形性质可得BH= ,CH= ,AG= ,FG= ,从而可得 C( , ),F( , ),观察这两点坐标知由点C到点F横坐标增加了 ,纵坐标增加了 ,依此可得出规律:Fn的坐标为:( + n, + n),将n=2019代入即可求得答案.‎ 三、解答题(本题共有8小题,第17~19小题每小题6分,第20-21小题每小题8分,第22~23小题每小题10分,第24小题12分,共66分。请务必写出解答过程)‎ ‎17.计算:|-3|+(π-3)0- +tan45° ‎ ‎【答案】 解:原式=3+1-2+1 =3‎ ‎【考点】算术平方根,实数的运算,0指数幂的运算性质,特殊角的三角函数值,实数的绝对值 ‎ ‎【解析】【分析】根据有理数的绝对值,特殊角的三角函数值,负整数指数幂,二次根式一一计算即可得出答案.‎ ‎18.已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,连结AE,AF.求证:AE=AF. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 证明:∵四边形ABCD是菱形, ‎ ‎∴AB=AD,∠B=∠D,‎ ‎∵BE=DF ‎∴△ABE≌△ADF.‎ ‎∴AE=CF ‎【考点】菱形的性质 ‎ ‎【解析】【分析】由菱形性质得AB=AD,∠B=∠D,根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF,由全等三角形性质即可得证.‎ ‎19.如图,在4×4的方格子中,△ABC的三个顶点都在格点上, ‎ ‎ ‎ ‎(1)在图1中画出线段CD,使CD⊥CB,其中D是格点, ‎ ‎(2)在图2中画出平行四边形ABEC,其中E是格点. ‎ ‎【答案】 (1)解:如图, ‎ ‎ ‎ 线段CD就是所求作的图形.‎ ‎ (2)解:如图, ‎ ‎ ‎ ‎ ABEC就是所求作的图形 ‎【考点】作图—复杂作图 [来源:学科网ZXXK]‎ ‎【解析】【分析】(1)过点C作CD⊥CB,且点D是格点即可.(2)作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形.‎ ‎20.某校为积极响应“南孔圣地,衢州有礼”城市品牌建设,在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动。其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程,要求全校学生必须参与其中一门课程。为了解学生参与综合实践类课程活动情况,随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图。 ‎ ‎ ‎ ‎(1)请问被随机抽取的学生共有多少名?并补全条形统计图。 ‎ ‎(2)在扇形统计图中,求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数。 ‎ ‎(3)若该校共有学生1200人,估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人? ‎ ‎【答案】 (1)解:学生共有40人 ‎ 条形统计图如图所示.‎ ‎ (2)解:选“礼行”课程的学生所对应的扇形圆心角的度数为 ×360°=36° (3)解:参与“礼源”课程的学生约有1200× =240(人) ‎ ‎【考点】用样本估计总体,扇形统计图,条形统计图 ‎ ‎【解析】【分析】(1)根据统计表和扇形统计图中的数据,由总数=频数÷频率,频数=总数×频率即可得答案.(2)由条形统计图中可得“礼行”学生人数,由 ×360°,计算即可求得答案.(3)由条形统计图知“礼源”的学生人数,根据 ×全校总人数,计算即可求得答案.‎ ‎21.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E. ‎ ‎ ‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线. ‎ ‎(2)若DE= ,∠C=30°,求 的长。 ‎ ‎【答案】 (1)证明:如图,连结OD. [来源:学|科|网]‎ ‎ ‎ ‎∵OC=OD,AB=AC,‎ ‎∴∠1=∠C,∠C=∠B,‎ ‎∴∠1=∠B,‎ ‎∴DE⊥AB,‎ ‎∴∠2+∠B=90°,‎ ‎∴∠2+∠1=90°,‎ ‎∴∠ODE=90°,‎ ‎∴DE为⊙O的切线. (2)解:连结AD,∵AC为⊙O的直径. ‎ ‎∴∠ADC=90°.‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C=30°,BD=CD,‎ ‎∴∠AOD=60°.‎ ‎∵DE= ,‎ ‎∴BD=CD=2 ,‎ ‎∴OC=2,…6分 ‎∴AD= π×2= π ‎【考点】圆周角定理,切线的判定,弧长的计算 ‎ ‎【解析】【分析】(1)连结OD,根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B,由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°,等量代换得∠2+∠1=90°,由平角定义得∠DOE=90°,从而可得证.(2)连结AD,由圆周角定理得∠ADC=90°,根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中,由直角三角形性质得BD=CD=2 ,在Rt△ADC中,由直角三角形性质得OA=OC=2,再由弧长公式计算即可求得答案.‎ ‎22.某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,240元)浮动时,每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表: ‎ x(元)‎ ‎…‎ ‎190‎ ‎200‎ ‎210‎ ‎220‎ ‎…‎ y(间)‎ ‎…‎ ‎65‎ ‎60[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎55‎ ‎50[来源:Zxxk.Com]‎ ‎…‎ ‎ ‎ ‎(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象。 ‎ ‎(2)求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围. ‎ ‎(3)设客房的日营业额为w(元)。若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元? ‎ ‎【答案】 (1)解:如图所示: ‎ ‎ (2)解:设y=kx+b(k≠0), ‎ 把(200,60)和(220,50)代入,‎ 得 ,解得 ‎ ‎∴y= x+160(170≤x≤240) (3)解:w=x·y=x·( x+160)= x2+160x. ‎ ‎∴对称轴为直线x= =160,‎ ‎ ∵a= <0,‎ ‎∴在170≤x≤240范围内,w随x的增大而减小.‎ 故当x=170时,w有最大值,最大值为12750元 ‎【考点】二次函数与一次函数的综合应用 ‎ ‎【解析】【分析】(1)根据表中数据再平面直角坐标系中先描点、连线即可画出图像.(2)设y与x的函数表达式为y=kx+b,再从表中选两个点(200,60),(220,50)代入函数解析式,得到一个关于k、b的二元一次方程组,解之即可得出答案,由题意即可求得自变量取值范围.(3)设日营业额为w,由w=xy==- x2+160x,再由二次函数图像性质即可求得答案.‎ ‎23.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足x= ,y= ,那么称点T是点A,B的融合点。 ‎ 例如:A(-1,8),B(4,-2),当点T(x,y)满是x= =1,y= =2时,则点T(1,2)是点A,B的融合点,‎ ‎ ‎ ‎(1)已知点A(-1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点。 ‎ ‎(2)如图,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线l上任意一点,点T(x,y)是点D,E的融合点。 ‎ ‎①试确定y与x的关系式。‎ ‎②若直线ET交x轴于点H,当△DTH为直角三角形时,求点E的坐标。‎ ‎【答案】 (1)解: =2, =4 ‎ ‎∴点C(2,4)是点A,B的融合点 ‎ (2)解:①由融合点定义知x= ,得t=3x-3. ‎ 又∵y= ,得t= ‎ ‎∴3x-3= ,化简得y=2x-1.‎ ‎②要使△DTH为直角三角形,可分三种情况讨论:‎ ‎(i)当∠THD=90°时,如图1所示,‎ ‎ ‎ 设T(m,2m-1),则点E为(m,2m+3).‎ 由点T是点E,D的融合点,‎ 可得m= 或2m-1= ,‎ 解得m= ,∴点E1( ,6).‎ ‎(ii)当∠TDH=90°时,如图2所示,‎ ‎ ‎ 则点T为(3,5).‎ 由点T是点E,D的融合点,‎ 可得点E2(6,15).‎ ‎(iii)当∠HTD=90°时,该情况不存在.‎ 综上所述,符合题意的点为E1( ,6),E2(6,15)‎ ‎【考点】定义新运算 ‎ ‎【解析】【分析】(1)由题中融合点的定义即可求得答案. (2)①由题中融合点的定义可得y=2x-1,. ‎ ‎②结合题意分三种情况讨论:(ⅰ)∠THD=90°时,画出图形,由融合点的定义求得点E坐标;(ⅱ)∠TDH=90°时,画出图形,由融合点的定义求得点E坐标;(ⅲ)∠HTD=90°时,由题意知此种情况不存在.‎ ‎24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点,连结BM并延长分别交DE,AC于点F、G。 ‎ ‎ ‎ ‎(1)求CD的长。 ‎ ‎(2)若点M是线段AD的中点,求 的值。 ‎ ‎(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得∠CPG=60°? ‎ ‎【答案】 (1)解:∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°, ‎ ‎∴∠DAC= ∠BAC=30°.‎ 在Rt△ADC中,DC=AC·tan30°=2 (2)解:易得,BC=6 ,BD=4 . ‎ 由DE∥AC,得∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM.‎ ‎∵AM=DM,‎ ‎∴△DFM≌△AGM,‎ ‎∴AG=DF.‎ 由DE∥AC,得△BFE∽△BGA,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ (3)解:∵∠CPG=60°,过C,P,G作外接圆,圆心为Q, ‎ ‎∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。‎ ‎ ①    当⊙Q与DE相切时,如图1,‎ ‎ ‎ 过Q点作QH⊥AC,‎ 并延长HQ与DE交于点P,连结QC,QG 设⊙Q的半径QP=r则QH= r,r+ r=2 ,‎ 解得r= .‎ ‎∴CG= × =4,AG=2.‎ 易知△DFM∽△AGM,可得 ,则 ‎ ‎∴DM= .‎ ‎ ②    当⊙Q经过点E时,如图2,‎ ‎ ‎ 过C点作CK⊥AB,垂足为K.‎ 设⊙Q的半径QC=QE=r,则QK=3 -r.‎ 在Rt△EQK中,12+( -r)2=r2 , 解得r= ,‎ ‎∴CG= × = ‎ 易知△DFM∽△AGM,可得DM= ‎ ‎ ③    当⊙Q经过点D时,如图3,‎ ‎ ‎ 此时点M与点G重合,‎ 且恰好在点A处,可得DM=4 .‎ 综上所述,当DM= 或