公式法数学教案 6页

‎21.2.3 公式法 ‎ 教学内容 ‎ 1．一元二次方程求根公式的推导过程；‎ ‎ 2．公式法的概念；‎ ‎ 3．利用公式法解一元二次方程．‎ ‎ 教学目标 ‎ 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．‎ ‎ 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．‎ ‎ 重难点关键 ‎ 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．‎ ‎ 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．‎ ‎ 教学过程 ‎ 一、复习引入 ‎ （学生活动）用配方法解下列方程 ‎ （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52‎ ‎ （老师点评） （1）移项，得：6x2-7x=-1‎ ‎ 二次项系数化为1，得：x2-x=-‎ ‎ 配方，得：x2-x+（）2=-+（）2‎ ‎ （x-）2=‎ x-=± x1=+==1 ‎ x2=-+==‎ ‎ （2）略 ‎ 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．‎ ‎ （1）移项；‎ ‎ （2）化二次项系数为1；‎ ‎ （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；‎ ‎ （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；‎ ‎ （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．‎ ‎ 二、探索新知 ‎ 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．‎ ‎ 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2‎-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，‎ 6‎ x2=‎ ‎ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．‎ ‎ 解：移项，得：ax2+bx=-c ‎ 二次项系数化为1，得x2+x=-‎ ‎ 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2‎ ‎ 即（x+）2=‎ ‎ ∵b2‎-4ac≥0且‎4a2>0‎ ‎ ∴≥0‎ ‎ 直接开平方，得：x+=±‎ ‎ 即x=‎ ‎ ∴x1=，x2=‎ ‎ 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：‎ ‎ （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b‎-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．‎ ‎ （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．‎ ‎ （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．‎ ‎ （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．‎ ‎ 例1．用公式法解下列方程．‎ ‎ （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2‎ ‎ （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0‎ ‎ 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．‎ ‎ 解：（1）a=2，b=-4，c=-1‎ ‎ b2‎-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0‎ ‎ x=‎ 6‎ ‎ ∴x1=，x2=‎ ‎ （2）将方程化为一般形式 ‎ 3x2-5x-2=0‎ ‎ a=3，b=-5，c=-2‎ ‎ b2‎-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0‎ ‎ x=‎ ‎ x1=2，x2=-‎ ‎ （3）将方程化为一般形式 ‎ 3x2-11x+9=0‎ ‎ a=3，b=-11，c=9‎ ‎ b2‎-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0‎ ‎ ∴x=‎ ‎ ∴x1=，x2=‎ ‎ （3）a=4，b=-3，c=1‎ ‎ b2‎-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0‎ ‎ 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．‎ ‎ 三、巩固练习 ‎ 教材P42 练习1．（1）、（3）、（5）‎ ‎ 四、应用拓展 ‎ 例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．‎ ‎ （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．‎ ‎ （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．‎ ‎ 你能解决这个问题吗？‎ ‎ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．‎ ‎ （2）要使它为一元一次方程，必须满足:‎ ‎①或②或③‎ ‎ 解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2‎ ‎ m2=‎1 m=±1‎ ‎ 当m=1时，m+1=1+1=2≠0‎ ‎ 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）‎ 6‎ ‎ ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0‎ ‎ a=2，b=-1，c=-1‎ ‎ b2‎-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9‎ ‎ x=‎ ‎ x1=，x2=-‎ ‎ 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．‎ ‎ （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0‎ ‎ 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=‎2m-1=-1≠0‎ ‎ 所以m=0满足题意．‎ ‎ ②当m2+1=0，m不存在．‎ ‎ ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0‎ ‎ 所以m=-1也满足题意．‎ ‎ 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，‎ ‎ 解得：x=-1‎ ‎ 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0‎ ‎ 解得x=-‎ ‎ 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．‎ ‎ 五、归纳小结 ‎ 本节课应掌握：‎ ‎ （1）求根公式的概念及其推导过程；‎ ‎ （2）公式法的概念；‎ ‎ （3）应用公式法解一元二次方程；‎ ‎ （4）初步了解一元二次方程根的情况．‎ ‎ 六、布置作业 ‎ 1．教材复习巩固4．‎ ‎ 2．选用作业设计:‎ ‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎ 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．‎ A．x= B．x= ‎ C．x= D．x=‎ ‎ 2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．‎ 6‎ A．x1=，x2= B．x1=6，x2=‎ C．x1=2，x2= D．x1=x2=-‎ ‎ 3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．‎ ‎ A．4 B．‎-2 C．4或-2 D．-4或2‎ ‎ 二、填空题 ‎ 1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．‎ ‎ 2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．‎ ‎ 3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+‎2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．‎ ‎ 三、综合提高题 ‎ 1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．‎ ‎ 2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．‎ ‎ 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．‎ ‎ （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）‎ ‎（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时）‎ 交电费总金额（元）‎ ‎ 3‎ ‎ 80‎ ‎ 25‎ ‎ 4‎ ‎ 45‎ ‎ 10‎ ‎ 根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？‎ 答案:‎ 一、1．D 2．D 3．C 二、1．x=，b2‎-4ac≥0 2．4 3．-3‎ 三、1．x==a±│b│‎ ‎2．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，‎ ‎ ∴x1=，x2=‎ ‎ ∴x1+x2==-，‎ 6‎ ‎ x1·x2=·=‎ ‎ （2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0‎ ‎ 原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2‎ ‎ =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）‎ ‎ =0‎ ‎3．（1）超过部分电费=（90-A）·=-A2+A ‎ （2）依题意，得：（80-A）·=15，A1=30（舍去），A2=50‎ 6‎