人教版九年级数学上册教案：21_2_3 公式法 6页

1 21.2.3 公式法 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元 二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公 式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 （老师点评） （1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为 1，得：x2- 7 6 x=- 1 6 配方，得：x2- x+（ 7 12 ）2=- +（ ）2 （x- ）2= 25 144 x- =± 5 12 x1= + = 75 12  =1 x2=- + = 75 12  = （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为 1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元 二次方程无解． 二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求 出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知 ax2+bx+c=0（a≠0）且 b2-4ac≥0，试推导它的两个根 x1= 2 4 2 b b ac a    ， 2 x2= 2 4 2 b b ac a    分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c•也当成一个具体数字， 根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为 1，得 x2+ b a x=- c a 配方，得：x2+ x+（ 2 b a ）2=- +（ ）2 即（x+ ）2= 2 2 4 4 b ac a  ∵b2-4ac≥0 且 4a2>0 ∴ ≥0 直接开平方，得：x+ =± 2 4 2 b ac a  即 x= 2 4 2 b b ac a    ∴x1= 2 4 2 b b ac a    ，x2= 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac≥0 时，• 将 a、b、c 代入式子 x= 就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例 1．用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（ x-2）（ 3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0 x= ( 4) 24 4 2 6 2 6 2 2 4 2      3 ∴x1= 26 2  ，x2= 26 2  （2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0 x= ( 5) 49 5 7 2 3 6     x1=2，x2=- 1 3 （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0 ∴x= ( 11) 13 11 13 2 3 6     ∴x1=11 13 6  ，x2=11 13 6  （3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材 P42 练习 1．（ 1）、（ 3）、（5） 四、应用拓展 例 2．某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） 2 2mx  +（m-2）x-1=0 提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ① 2 11 ( 1) ( 2) 0 m mm        或② 2 10 20 m m     或③ 10 20 m m    解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=±1 当 m=1 时，m+1=1+1=2≠0 当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 4 b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x= ( 1) 9 1 3 2 2 4     x1=，x2=- 1 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=- ． （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以 m=0 满足题意． ②当 m2+1=0，m 不存在． ③当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-3≠0 所以 m=-1 也满足题意． 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0， 解得：x=-1 当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=- 1 3 因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1； 当 m=-•1 时，其一元一次方程的根为 x=- ． 五、归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业 1．教材复习巩固 4． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（ ）． A．x= 36 2  B．x= 36 2  C．x= 3 2 3 2  D．x= 3 2 3 2  2．方程 2 x2+4 3 x+6 =0 的根是（ ）． A．x1= ，x2= B．x1=6，x2= 5 C．x1=2 2 ，x2= D．x1=x2=- 6 3．（ m2-n2）（ m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2 的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4 或-2 D．-4 或 2 二、填空题 1．一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当 x=______时，代数式 x2-8x+12 的值是-4． 3．若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_____． 三、综合提高题 1．用公式法解关于 x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0． 2．设 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导 x1+x2=- b a ，x1·x 2= c a ； （2）•求代数式 a（x1 3+x2 3）+b（x1 2+x2 2）+c（x1+x2）的值． 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，•那么这户居 民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个月除了交 10•元用电费外超过部分 还要按每千瓦时 100 A 元收费． （1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？ （•用 A 表示） （2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？ 答案: 一、1．D 2．D 3．C 二、1．x= 2 4 2 b b ac a    ，b2-4ac≥0 2．4 3．-3 三、1．x= 2 2 22 4 4 4 2 a a b a   =a±│b│ 2．（ 1）∵x1、x2 是 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根， ∴x1= 2 4 2 b b ac a    ，x2= 2 4 2 b b ac a    ∴x1+x2= 2244 2 b b ac b b ac a       =- ， x1·x 2= · = （2）∵x1，x2 是 ax2+bx+c=0 的两根，∴ax1 2+bx1+c=0，ax2 2+bx2+c=0 6 原式=ax1 3+bx1 2+c1x1+ax2 3+bx2 2+cx2 =x1（ax1 2+bx1+c）+x2（ax2 2+bx2+c） =0 3．（ 1）超过部分电费=（90-A）· 100 A =- 1 100 A2+ 9 10 A （2）依题意，得：（80-A）· =15，A1=30（舍去），A2=50