人教版九年级数学上册第二十四章圆圆的有关性质垂直于弦的直径课件 24页

第二十四章 圆 人教版 九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径 你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？ 在折的过程中你有何发现？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴． 导入新课 讲授新课 圆的对称轴一 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直 径所在直线都是圆的对称轴. 用折叠的方法 ●O 说一说 问题：如图,AB是⊙ O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为 E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的 两个半圆重合，点A与点B重合，AE 与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒ ⌒⌒ ⌒ ·O A B D E C 垂径定理及其推论二 u垂径定理 ·O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD. u推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种 语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 归纳总结 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？ 是 不是，因为 没有垂直 是 不是，因为CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E Ø垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？ 思考探索 D O A BE C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 如图，AB是⊙ O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） ·O A B C D E ⌒AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.⌒ ⌒ ⌒⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 证明举例 ⌒ ⌒ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧. u垂径定理的推论 ·O A B C D Ø特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙ O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm. ·O A BE 解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 一 垂径定理及其推论的计算三 ∴ 2 2 2 210 6 8 AE OA OE     cm. 典例精析 例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB 于D，DC＝2cm，求半径OC的长. ·O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 1 1 8 4(cm) 2 2 AD AB    设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 例3：已知：⊙ O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件. 归纳总结 试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 垂径定理的实际应用四 解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m. 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m. =18.52+(R-7.23)2 ∴ AD= AB=18.5m， OD=OC-CD=R-7.23. 2 2 2OA AD OD Q ， 练一练：如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在 的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. 64 C D C B O A DO A B 图a 图b 2cm或12cm 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h的计算题 时，常常通过连半径或作弦心距构造直角 三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 2 2 2 2 ar d        d+h=r O A BC · 归纳总结 视频：垂径定理微课讲解 1.已知⊙ O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 .5cm 2.⊙ O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦 AC= . 10 3 cm 3.（分类讨论题）已知⊙ O的半径为10cm，弦MN∥EF, 且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离 为 .14cm或2cm 当堂练习 4.如图，在⊙ O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形． D ·O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD. . A C D B O E 注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂 直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法． 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点 O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ ,CDOE  1 1 600 300(m). 2 2 CF CD     2 2 2 ,OC CF OF   22 2300 90 .R R   设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m.