人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）3反比例函数与方程、不等式、一次函数综合．教师版 13页

1 考试内容 基本要求 略高要求 较高要求 反比例函数 能结合具体情境了解反比例函 数的意义；能画出反比例函数的 图象；理解反比例函数的性质 能根据已知条件确定反比例函 数的解析式；能用反比例函数的 知识解决有关问题 一次函数 理解正比例函数；能结合具体情 境了解一次函数的意义，会画一 次函数的图象；理解一次函数的 性质 会根据已知条件确定一次函数 的解析式；会根据一次函数的解 析式求其图象与坐标轴的交点 坐标；能根据一次函数的图象求 二元一次方程组的近似解 能用一次函数解决 实际问题 板块一 反比例函数与方程、不等式 1. 此类问题重点会考察通过数形结合的思想去解方程和不等式的解 2. 反比例函数与方程（组）：如图，一次函数 2y x  与反比例函数 3y x  相交于 (1,3)A 、 ( 3, 1)B   ，点 (3,1)C 是反比例函数 my x  上的点，直线 AB 交 x 轴于点 ( 2,0)D  ，因此我们得到 1 3 x y    、 3 1 x y      、 3 1 x y    都是方程 3 0yx   的解， 1 3 x y    、 3 1 x y      、 2 0 x y     都是方程 2 0x y   的解，但是因为方程 3 0yx   ，方程 2 0x y   都是不定方程，所以他们的解有无数组，分别对应的是函数图象上点的横、 纵坐标。方程组 3 0 2 0 yx x y        的解为 1 3 x y    、 3 1 x y      ，分别对应了一次函数 2y x  与反比例函数 3y x  交点 A 、 B 的横、纵坐标 3. 反比例函数与不等式： 如图，反比例函数 3y x  图象上两点 (1,3)A 、 ( 3, 1)B   ，分别过 A 、 B 两点作 y 轴的垂线 1l 、 2l ，直线 1l 、 2l 以及 x 轴将反比例函数图象分成四部分： 3y  、 0 3y  、 1 0y   、 1y   ⑴当 3y  时，对应的 x 的取值范围是 0 1x  ⑵当 0 3y  时，对应的 x 的取值范围是 1x  ⑶当 1 0y   时，对应 x 的取值范围是 3x   ⑷当 1y   时，对应 x 的取值范围是 3 0x   反比例函数与一次函数综合 2 如图，一次函数 2y x  与反比例函数 3y x  相交于 (1,3)A 、 ( 3, 1)B   ，分别过 A 、 B 两点作 x 轴的 垂线 2l ， 1l ，则 1l 、 2l 、 y 轴将直线和双曲线分成四段： 3x   ， 3 0x   ， 0 1x  、 1x  ⑴当 3x   时，双曲线在直线上方，则 3 2xx   ⑵当 3 0x   时，双曲线在直线下方，则 3 2xx   ⑶当 0 1x  时，双曲线在直线上方，则 3 2xx   ⑷当 1x  时，双曲线在直线下方，则 3 2xx   反之，若 3 2xx   ，则 3x   或 0 1x  ；若 3 2xx   ，则 3 0x   或 1x  【例 1】 已知函数 1 1y x  和 2 6y x  ⑴在如图所示坐标系中画出这两个函数的图象； ⑵求这两个函数图象的交点坐标； ⑶观察图象，当 x 在什么范围时， 1 2y y 【解析】本题是反比例函数与方程组和不等式的综合，直线与双曲线交点的坐标即是两个函数解析式所组 成的方程组的解；判定两函数值的大小可利用图象，根据点的坐标的意义来判定 3 【答案】⑴略；⑵联立方程组得 1 6 y x y x    ，解得 1 1 2 3 x y      ； 2 2 3 3 x y     ∴两函数图象的交点坐标为 ( 2, 3)  、 (3,2) ⑶根据图象得，当 3x  或 2 0x   时， 1 2y y 【巩固】如图，反比例函数 ky x  的图像与一次函数 y mx b  的图像交于 (13)A ， ， ( 1)B n ， 两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图像回答：当 x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【解析】略 【答案】（1）∵ (13)A ， 在 ky x  的图像上， ∴ 3k  ， 3y x  又∵ ( 1)B n ， 在 3y x  的图像上， ∴ 3n   ，即 ( 3 1)B  ， 3 1 3 m b m b       ，解得： 1m  ， 2b  ， 反比例函数的解析式为 3y x  ， 一次函数的解析式为 2y x  . （2）从图像上可知，当 3x   或 0 1x  时，反比例函数的值大于一次函数的值. 【巩固】如图，已知一次函数 1y x m  （ m 为常数）的图象与反比例函数 2 ky x  （ k 为常数， 0k  ）的 图象相交于点  1 3A ， ． （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点 B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值 1 2y y≥ 的自变量 x 的取值范围． 4 【解析】略 【答案】（1）由题意，得3 1 m  ， 解得 2m  ，所以一次函数的解析式为 1 2y x  ． 由题意，得3 1 k ， 解得 3k  ，所以反比例函数的解析式为 2 3y x  ． 由题意，得 32x x   ，解得 1 21 3x x  ， ． 当 2 3x   时， 1 2 1y y   ，所以交点 ( 3 1)B  ， ． （2）由图象可知，当 3 0x   或 1x  时， 函数值 1 2y y ． 【例 2】 如图，已知    4 2 4A n B ， ， ， 是一次函数 y kx b  的图象和反比例函数 my x  的图象的两个交 点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及 AOB 的面积； (3)求方程 0mkx b x    的解（请直接写出答案）； (4)求不等式 0mkx b x    的解集（请直接写出答案）. 【解析】（1）∵  2 4B ， 在函数 my x  的图象上 ∴ 8m   ． ∴反比例函数的解析式为： 8y x   ． ∵点  4A n ， 在函数 8y x   的图象上 5 ∴ 2n  ∴  4 2A  ， ∵ y kx b  经过  4 2A  ， ，  2 4B ， ， ∴ 4 2 2 4 k b k b        解之得 1 2 k b      ∴一次函数的解析式为： 2y x   （2）∵ C 是直线 AB 与 x 轴的交点 ∴当 0y  时， 2x   ∴点  2 0C  ， ∴ 2OC  ∴ 1 12 2 2 4 62 2AOB ACO BCOS S S           （3） 1 24 2x x  ， （4） 4 0x   或 2x  【答案】见解析 【巩固】利用图象解一元二次方程 2 3 0x x   时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛 物线 2y x 和直线 3y x   ，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程 2 3 0x x   ，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出 抛物线 y  和直线 y x  ，其交点的横坐标就是该方程的解． （2）已知函数 6y x   的图象（如图所示），利用图象求方程 6 3 0xx    的近似解（结果保留两 个有效数字）． 6 【解析】（1） 32 x （2）由图象得出方程的近似解为： 1 21.4 4.4x x  ， 【答案】见解析 板块二 反比例函数与一次函数的综合 ☞反比例函数与一次函数图象分布 【例 3】 函数 1y kx  与函数 ky x  在同一坐标系中的大致图象是（ ） 【解析】假设法与排除法 【答案】 D 【巩固】函数 y ax a  与 ay x  （ 0a  ）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） 7 【解析】假设法与排除法 【答案】 D ☞反比例函数与一次函数图象有关交点问题 【例 4】 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 y x 向上平移 1 个单位长度得到直线 l ．直线 l 与反比例函数 ky x  的图象的一个交点为  2A a ， ，则 k 的值等于 ． 【解析】本题主要考察一次函数和反比例函数的表达式。本题中由直线 y x 向上平移 1 个单位长度得到 直线 l 的表达式 1y x  ，将 A 点坐标代入求出 1a  ，再将 A 的坐标（1，2）代入反比例函数的 表达式得出 2k  。一次函数图像向上平移时 y kx b  中 b 的值增加。通过一次函数的表达式求 出 a 再去求 k 的值。 【答案】 2k  【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x  绕点 O 顺时针旋转 90 的到直线 l .直线 l 与反比例函数 ky x  的图象的一个交点为 A ( a ，3)，试确定反比例函数的解析式. 【解析】略 【答案】直线 y x  绕点O 顺时针旋转 90 的到直线l : y x ，因为点 A ( a ，3)在直线 y x 上，所以 3a  ， 即 A ( 3， 3)在 ky x  的图像上， 所以反比例函数的解析式为 9y x  【例 5】 已知反比例函数 ky x  ( 0k  )的图像经过点 A ( 3 ，m )，过点 A 作 AB  x 轴于点 B ，且 AOB 的面积为 3 . ⑴求 k 和 m 的值. ⑵若一次函数 1y ax  的图象经过点 A ，并且与 x 轴相交于点C ，求 :AO AC 的值. 【解析】略 【答案】⑴ 1 1 3 32 2AOBS AB BO AB         ，所以 2AB m  ， 2 3k   ⑵点 A ( 3 ， 2 )，直线 1y ax  过此点，所以 3 13y x   ，点 8 C 坐标为( 3 ， 0 )，易得 : 7 : 4AO AC  【巩固】已知一次函数 y kx b  ( 0k  )的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，且与反比例函数 my x  ( 0m  )的图象在第一象限交于 C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为 D .若 1OA OB OD   ， ⑴ 点 A 、 B 、 D 的坐标； ⑵ 求一此函数与反比例函数的解析式. 【解析】略 【答案】⑴ A ( 1 ， 0 )、 B ( 0 ，1)、 D (1， 0 )；⑵ 1y x  ； 2y x  . 【例 6】 已知正比例函数与反比例函数图象交点到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 4，求它们的解析式． 【解析】注意分类讨论 【答案】设正比例函数 1 1( 0)y k x k  ，反比例函数为 2 2( 0)ky kx  由 1 2 y k x ky x   ，得 2 2 1 kx k ，要它们有交点，则 2 1 0k k  ，即 2k 、 1k 应同号，方程组才有实数解． 当 1k 、 2k 同为正时，两图象的交点分别在第一、三象限内， 故交点坐标为( 4 ，3)或( 4 ， 3 ) 将其中一个交点( 4 ， 3)代人所设两个函数解析式中， 求得 1 3 4k  ， 2 12k  ， 3 4y x 和 12y x  当 1k 、 2k 同为负数时，两图象的交点分别在第二、四象限内， 交点坐标为( 4 ， 3)或( 4 ， 3 ) 将( 4 ， 3)代入所设解析式中，得 3 4y x  和 12y x  正比例函数解析式为 3 4y x 或 3 4y x  反比例函数解析式为 12y x  或 12y x  ☞反比例函数与四边形 【例 7】 如图，点  1A m m ， ，  3 1B m m ， 都在反比例函数 ky x  的图象上． （1）求 m k， 的值； （2）如果 M 为 x 轴上一点，N 为 y 轴上一点， 以点 A B M N， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线 MN 的函数表达式． 9 【难度】4 星 【解析】略 【答案】（1）由题意可知，     1 3 1m m m m    ．解，得 3m  ． ∴    3 4 6 2A B， ， ， ； ∴ 4 3 12k    ． （2）存在两种情况，如图： ①当 M 点在 x 轴的正半轴上， N 点在 y 轴的正半轴 上时，设 1M 点坐标为  1 0x ， ， 1N 点坐标为  10 y， ． ∵ 四边形 1 1AN M B 为平行四边形， ∴线段 1 1N M 可看作由线段 AB 向左平移 3 个单位， 再向下平移 2 个单位得到的（也可看作向下平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位得到的）． 由（1）知 A 坐标为（3，4）， B 坐标为（6，2）， ∴ 1N 点坐标为 0 4 2（ ，- ），即 1 0 2N（ ，）； 1M 点坐标为（6－3，0），即 1M （3，0）． 设直线 1 1M N 的函数表达式为 1 2y k x  ，把 3 0x y ， 代入，解得 1 2 3k   ． ∴ 直线 1 1M N 的函数表达式为 2 23y x   ． ②当 M 点在 x 轴的负半轴上， N 点在 y 轴的负半轴上时， 设 2M 点坐标为 2 0x（ ，）， 2N 点坐标为 20 y（ ， ）． ∵ 1 1 2 2 1 1 2 2AB N M AB M N AB N M AB M N∥ ， ∥ ， ＝ ， ＝ ， ∴ 1 2 2 1 1 2 2 N M M N N M M N∥ ， ＝ ． ∴线段 2 2M N 与线段 1 1N M 关于原点 O 成中心对称． ∴ 2M 点坐标为（-3，0）， 2N 点坐标为（0，-2）． 设直线 2 2M N 的函数表达式为 2 2y k x  ，把 3 0x y  ， 代入，解得 2 2 3k   ， ∴ 直线 M2N2 的函数表达式为 2 23y x   ． 所以，直线 MN 的函数表达式为 2 23y x   或 2 23y x   ． 【例 8】 已知 ( 1 )A m ， 与 (2 3 3)B m ， 是反比例函数 ky x  图象上的两个点． （1）求 k 的值； （2）若点 ( 1 0)C  ， ，则在反比例函数 ky x  图象上是否存在点 D ，使得以 A B C D， ， ， 四点为顶 点的四边形为梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 10 【解析】（1）由 ( 1) 2 ( 3 3)m m     ，得 2 3m   ，因此 2 3k  ． （2）如图 1，作 BE x 轴， E 为垂足， 则 3CE  ， 3BE  ， 2 3BC  ，因此 30BCE  ∠ ． 由于点C 与点 A 的横坐标相同，因此CA x 轴，从而 120ACB  ∠ ． 当 AC 为底时，由于过点 B 且平行于 AC 的直线与双曲线只有一个公共点 B ，故不符题意． 当 BC 为底时，过点 A 作 BC 的平行线，交双曲线于点 D ， 过点 A D， 分别作 x 轴， y 轴的平行线，交于点 F ． 由于 30DAF  ∠ ，设 1 1( 0)DF m m  ，则 13AF m ， 12AD m ， 由点 ( 1 2 3)A  ， ，得点 1 1( 1 3 2 3 )D m m   ， ． 因此 1 1( 1 3 ) ( 2 3 ) 2 3m m      ， 解之得 1 7 33m  （ 1 0m  舍去），因此点 36 3D       ， ． 此时 14 33AD  ，与 BC 的长度不等，故四边形 ADBC 是梯形． 如图 2，当 AB 为底时，过点 C 作 AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 D ． 由于 AC BC ，因此 30CAB  ∠ ，从而 150ACD  ∠ ．作 DH x 轴， H 为垂足， 则 60DCH  ∠ ，设 2 2( 0)CH m m  ，则 23DH m ， 22CD m 由点 ( 1 0)C  ， ，得点 2 2( 1 3 )D m m  ， ， 因此 2 2( 1 ) 3 2 3m m   ． 解之得 2 2m  （ 2 1m   舍去），因此点 (1 2 3)D ， ． 此时 4CD  ，与 AB 的长度不相等，故四边形 ABDC 是梯形． 如图 3，当过点 C 作 AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 D 时， 11 同理可得，点 ( 2 3)D  ， ，四边形 ABCD 是梯形． 综上所述，函数 2 3y x  图象上存在点 D ，使得以 A B C D， ， ， 四点为顶点的四边形为梯形， 点 D 的坐标为： 36 3D       ， 或 (1 2 3)D ， 或 ( 2 3)D  ， ． 【答案】（1） 2 3k  ；（2）存在． 36 3D       ， 或 (1 2 3)D ， 或 ( 2 3)D  ， ． 【例 9】 如图，P 是函数 1 2y x  ( 0x  )图象上一点，直线 1y x   交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，PM Ox 轴于 M ，交 AB 于 E ， PN Oy 轴于 N ，交 AB 于 F .求 AF BE 的值. 【解析】设点 P ( x ， y )，过点 E 、 F 分别作 x 轴的垂线，易得 2AF y ， 2BE x ， 2 1AF BE xy   . 【答案】1 课堂检测 1. 直线 y kx ( 0k  )与双曲线 4y x  交于 A ( 1x ， 1y )， B ( 2x ， 2y )两点，求 1 2 2 12 7x y x y 的值. 【解析】 1 1 4x y  ， 2 2 4x y  ，又 1 2x x  ， 1 2y y  ，原式 2 2 2 22 7 20x y x y    . 【答案】见解析 2. 已知正比例函数 1y k x 1( 0)k  与反比例函数 2 2( 0)ky kx   的图象交于 A B、 两点，点 A 的坐标 为 (21)， ． （1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点 B 的坐标． 【解析】（1）把点 (21)A ， 分别代入 1y k x 与 2ky x  得， 1 1 2k  ， 2 2k  ． 正比例函数、反比例函数的表达式为： 1 2 2y x y x  ， ． 12 （2）由方程组 1 2 2 y x y x     得 1 1 2 1 x y      ， 2 2 2 1 x y    ． ∴ B 点坐标是 ( 2, 1)  【答案】见解析 3. 如图，是一次函数 y kx b  与反比例函数 2y x  的图像，则关于 x 的方程 2kx b x   的解为( ) A 1 21 2x x ， B 1 22 1x x   ， C 1 21 2x x  ， D 1 22 1x x  ， 【解析】对数形结合的充分考察，利用图形很快的得出结论：即为交点的横坐标： 1 21 2x x  ， 故选 C 【答案】见解析 课后作业 【习题 1】已知一次函数 y x m  与反比例函数 1my x  ( 1m   )的图象在第一象限内的交点为 P ( 0x ，3) ⑴求 0x 的值. ⑵求一次函数和反比例函数的解析式. 【解析】 0 1x  ， 2y x  ， 3y x  . 【答案】见解析 【习题 2】如图，一次函数 1 22y x  的图象分别交 x 轴、y 轴于 A B P， ， 为 AB 上一点且 PC 为 AOB 的中 位线， PC 的延长线交反比例函数  0ky kx   的图象于 Q ， 3 2OQCS  ，则 k 的值和 Q 点的坐标 分别为______________. 13 【解析】利用一次函数的性质求解 A，B 点的坐标， 进而得到 P 的坐标根据题意 Q 点的坐标就易得了， 所以 3k  ， 33 2Q     ， 【答案】见解析 【习题 3】已知一次函数与反比例函数的图象交于点 P ( 3 ， m )，Q ( 2 ， 3 )． ⑴ 求这两个函数的函数关系式； ⑵ 在给定的直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的 大致图象； ⑶ x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ x 为何值时，一次函数的值小于反比例函数 的值？ 【解析】⑴ 设两个函数分别为 y kx b  和 ny x  . 根据 3 3 2 2 ( 3) 3 m x b x b n m n            ，得到 6 2 1 1 n m k b          ， 即 1y x   和 6y x   .⑵ 图略. ⑶ 当 3x   或 0 2x  时一次函数的值大于反比例函数的值； 当 3 0x   或 2x  时一次函数的值小于反比例函数的值. 【答案】见解析