2021年中考数学专题复习 专题14 角平分线问题（教师版含解析） 32页

专题 14 角平分线问题 1.角的平分线定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因 为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2= 1 2 ∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 2.作角平分线 角平分线的作法(尺规作图) ①以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D 两点； ②分别以 C、D为圆心，大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P； ③过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求． 3.角平分线的性质 (1)定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：∵OP 平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP. (2)逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫 做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点 D 在 BC 上. 说明：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝ 2 1 ∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . (1)三角形的角平分线是线段； (2)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； (3)三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； (4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 4.角平分线的综合应用 (1)为推导线段相等、角相等提供依据和思路； (2)在解决综合问题中的应用． 【例题 1】(2020•襄阳)如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，EG 平分∠BEF，若∠EFG＝64°， 则∠EGD 的大小是( ) A．132° B．128° C．122° D．112° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG ∠BEF＝ 58°，由平行线的性质即可得到结论． 【解析】∵AB∥CD，∠EFG＝64°， ∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°， ∵EG 平分∠BEF 交 CD 于点 G， ∴∠BEG ∠BEF＝58°， ∵AB∥CD， ∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°． 【对点练习】(2020 长春模拟 )如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为( ) A．44° B．40° C．39° D．38° 【答案】C． 【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再用平行线的性质解答即可． ∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°， ∵CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D， ∴∠DCB= 78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°， 【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。 【例题 2】(2020•随州)如图，点 A，B，C 在⊙O上，AD 是∠BAC 的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD 的 度数为 ． 【答案】30°． 【解析】先根据圆周角定理得到∠BAC ∠BOC＝60°，然后利用角平分线的定义确定∠CAD 的度数． ∵∠BAC ∠BOC 120°＝60°， 而 AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠CAD ∠BAC＝30°． 【对点练习】(2019 四川自贡)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC 的平 分线 BD 交 AC 于点 E，DE＝ ． 【答案】 ． 【解析】由 CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以 CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出 DE 的长． ∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝8， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CDE， ∵CD∥AB， ∴∠D＝∠ABE， ∴∠D＝∠CBE， ∴CD＝BC＝6， ∴△AEB∽△CED， ∴ ， ∴CE＝ AC＝ ×8＝3， BE＝ ， DE＝ BE＝ × ＝ 【点拨】本题考查相似三角形性质、勾股定理、角平分线性质。 【例题 3】(2020•金华)图 1 是一个闭合时的夹子，图 2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为 AC，BD(点 A 与点 B 重合)，点 O 是夹子转轴位置，OE⊥AC 于点 E，OF⊥BD 于点 F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF， CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 O 转动． (1)当 E，F 两点的距离最大时，以点 A，B，C，D 为顶点的四边形的周长是 cm． (2)当夹子的开口最大(即点 C 与点 D 重合)时，A，B两点的距离为 cm． 【答案】(1)16 (2) ． 【分析】(1)当 E，F 两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形 ABCD 是矩形，求出矩形的长和宽即可 解决问题． (2)如图 3中，连接 EF 交 OC 于 H．想办法求出 EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 解：(1)当 E，F 两点的距离最大时，E，O，F 共线，此时四边形 ABCD 是矩形， ∵OE＝OF＝1cm， ∴EF＝2cm， ∴AB＝CD＝2cm， ∴此时四边形 ABCD 的周长为 2+2+6+6＝16(cm)， 故答案为 16． (2)如图 3中，连接 EF 交 OC 于 H． 由题意 CE＝CF 6 (cm)， ∵OE＝OF＝1cm， ∴CO 垂直平分线段 EF， OC (cm)， ∵ •OE•EC •CO•EH， ∴EH (cm)， ∴EF＝2EH (cm) ∵EF∥AB， ∴ ， ∴AB (cm)． 故答案为 ． 【对点练习】已知：点 P 是∠MON 内一点，PA⊥OM 于 A，PB⊥ON 于 B，且 PA＝PB． 求证：点 P 在∠MON 的平分线上． 【答案】见解析。 【解析】证明：连结 OP 在 Rt△PAO 和 Rt△PBO 中， PA=PB OP=OP ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL) ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点 P 在∠MON 的平分线上． 【点拨】全等三角形性质、角平分线定义。 一、选择题 1．(2020•乐山)如图，E是直线 CA 上一点，∠FEA＝40°，射线 EB 平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝( ) A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的定义可得∠ 香，由 GE⊥EF 可得∠GEF＝90°，可得∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40° ﹣90°＝50°，由∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG 可得结果． 【解析】∵∠FEA＝40°，GE⊥EF， ∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝ 50°， ∵射线 EB 平分∠CEF， ∴∠ 香， ∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20° 2．(2020•福建)如图，AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BD＝5，则 CD 等于( ) A．10 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． ∵AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BD＝5， ∴CD＝5． 3.如图，在∆ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，过点 D 作 DEAB 于点 E，测得 BC=9，BE=3，则∆BDE 的周长 是( ) A.15 B.12 C.9 D.6 【答案】B 【解析】在△ABC 中，∠C=90°，∴AC⊥CD． ∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD． ∵BC=9，BE=3， ∴△BDE 的周长为 BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12． 4．如图，面积为 24 的▱ ABCD 中，对角线 BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE⊥BD 交 BC 的延长线于点 E，DE＝6， 则 sin∠DCE 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】连接 AC，过点 D 作 DF⊥BE 于点 E， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵▱ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝BC， ∴四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∵DE⊥BD， ∴OC∥ED， ∵DE＝6， ∴OC＝ ， ∵▱ ABCD 的面积为 24， ∴ ， ∴BD＝8， ∴ ＝ ＝5， 设 CF＝x，则 BF＝5+x， 由 BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣(5+x)2＝52﹣x2， 解得 x＝ ， ∴DF＝ ， ∴sin∠DCE＝ ． 故选：A． 5.已知：如图，点 P 在线段 AB 外，且 PA=PB，求证：点 P在线段 AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需 添加辅助线，则作法不正确的是( ) A．作∠APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C B．过点 P作 PC⊥AB 于点 C 且 AC=BC C．取 AB 中点 C，连接 PC D．过点 P作 PC⊥AB，垂足为 C 【答案】B． 【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． A．利用 SAS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点 P在线段 AB 的垂直平分线上，符合 题意； C．利用 SSS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点 P在线段 AB 的垂直平分线上，符合 题意； D．利用 HL 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点 P在线段 AB 的垂直平分线上，符合题意， B．过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。 6．如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°， 则∠EAD+∠ACD=( ) A．75° B．80° C．85° D．90° 【答案】A． 【解析】依据 AD 是 BC 边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE 平分∠BAC，即 可得到∠DAE=5°，再根据△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°． ∵AD 是 BC 边上的高，∠ABC=60°， ∴∠BAD=30°， ∵∠BAC=50°，AE 平分∠BAC， ∴∠BAE=25°， ∴∠DAE=30°﹣25°=5°， ∵△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°， ∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75° 7．(2019 山东滨州)如图，在正方形 ABCD 中，对角线相交于点 O，BN 平分∠CBD，交边 CD 于点 N，交对角 线 AC 于点 M，若 OM＝1，则线段 DN 的长是多少( ) A．1.5 B．2 C． D．2 【答案】B． 【解析】作 NE⊥BD 于 E，如图所示： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∠ODC＝45°，OB＝OD，BC＝DC， ∴△DEN 是等腰直角三角形， ∴DE＝NE，DN＝ NE， ∵BN 平分∠CBD， ∴NE＝NC， ∴NE＝NC＝DE， 设 NE＝NC＝DE＝x， 则 DN＝ x，∴DC＝ x+x， ∴BD＝ DC＝2x+ x，BE＝BD﹣DE＝ x+x， ∴OB＝ BD＝x+ x， ∵NE⊥BD， ∴NE∥AC， ∴△BOM∽△BEN， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：x＝ ， ∴DN＝ x＝2 8.(2019 陕西)如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E。 若 DE=1，则 BC 的长为( ) A.2+ 2 B. 32  C.2+ 3 D.3 【答案】A 【解析】 过点 D 作 DF⊥AC 于 F如图所示，∵AD 为∠BAC 的平分线，且 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，∴DE=DF=1，在 Rt △BED 中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在 Rt△CDF 中，∠C=45°，∴△CDF 为等腰直角三角形，∴CD= 2 DF= 2 ， ∴BC=BD+CD= 22 ，故选 A 9．(2019 内蒙古)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB、AC 于 点 D，E，再分别以点 D、E 为圆心，大于 DE 为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 AF 交边 BC 于点 G，若 BG ＝1，AC＝4，则△ACG 的面积是( ) A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】利用基本作图得到 AG 平分∠BAC，利用角平分线的性质得到 G 点到 AC 的距离为 1，然后根据三角 形面积公式计算△ACG 的面积． 由作法得 AG 平分∠BAC， ∴G 点到 AC 的距离等于 BG 的长，即 G点到 AC 的距离为 1， 所以△ACG 的面积＝ ×4×1＝2． 二、填空题 10．(2020•扬州)如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB、BC 于点 D、E． ②分别以点 D、E 为圆心，大于 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F． ③作射线 BF 交 AC 于点 G． 如果 AB＝8，BC＝12，△ABG 的面积为 18，则△CBG 的面积为 ． 【答案】27． 【分析】过点 G作 GM⊥AB 于点 M，GN⊥AC 于点 N，根据作图过程可得 AG 是∠ABC 的平分线，根据角平分线 的性质可得 GM＝GN，再根据△ABG 的面积为 18，求出 GM 的长，进而可得△CBG 的面积． 【解析】如图，过点 G 作 GM⊥AB 于点 M，GN⊥AC 于点 N， 根据作图过程可知： BG 是∠ABC 的平分线， ∴GM＝GN， ∵△ABG 的面积为 18， ∴ AB×GM＝18， ∴4GM＝18， ∴GM ， ∴△CBG 的面积为： BC×GN 12× 27． 11．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC，若 AD=8cm，则 CD= ． 【答案】4cm． 【解析】∵∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∵BD 平分∠CBD， ∴∠CBD=∠ABD=30°， ∴CD= BD，∠A=∠ABD， ∴AD=BD=8cm， ∴CD=4cm 12.如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点 C 到射线 OA 的距离为 ． 【答案】3． 【解析】过 C 作 CF⊥AO，根据勾股定理可得 CM 的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CF=CM，进而可得答案． 过 C 作 CF⊥AO， ∵OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB， ∴CM=CF， ∵OC=5，OM=4， ∴CM=3，∴CF=3， 13．如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度． 【答案】24． 【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和 定理计算即可． ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴EA=EC，∴∠EAC=∠C， ∴∠FAC=∠EAC+19°， ∵AF 平分∠BAC，∴∠FAB=∠EAC+19°， ∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴70°+2(∠C+19°)+∠C=180°， 解得，∠C=24°， 14．(2019 内蒙古通辽)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝8，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为点 E， 且 AE 平分∠BAC，则 AB 的长为 ． 【答案】 ． 【解答】∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∵AE 平分∠BAO ∴∠BAE＝∠EAO，且 AE＝AE，∠AEB＝∠AEO， ∴△ABE≌△AOE(ASA) ∴AO＝AB，且 AO＝OB ∴AO＝AB＝BO＝DO，∴BD＝2AB， ∵AD2 +AB2 ＝BD2 ，∴64+AB2 ＝4AB2 ， ∴AB＝ 15．(2019 宁夏)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB， BC 于点 M，N，再分别以点 M，N为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AC 于点 D．若 ∠A＝30°，则 ＝ ． 【答案】 ． 【解析】由作法得 BD 平分∠ABC， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴DA＝DB， 在 Rt△BCD 中，BD＝2CD， ∴AD＝2CD， = 三、解答题 16．(2020•泸州)如图，AC 平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC． 【答案】见解析。 【解析】由“SAS”可证△ABC≌△ADC，可得 BC＝DC． 证明：∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 又∵AB＝AD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC(SAS)， ∴BC＝CD． 17．(2020•武汉)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，AE 与过点 D的切线 互相垂直，垂足为 E． (1)求证：AD 平分∠BAE； (2)若 CD＝DE，求 sin∠BAC 的值． 【答案】见解析。 【分析】(1)连接 OD，如图，根据切线的性质得到 OD⊥DE，则可判断 OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA，然后 利用∠2＝∠ODA 得到∠1＝∠2； (2)连接 BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠2＝∠3，利用三角函数的定义得到 sin∠ 1 ，sin∠3 ，则 AD＝BC，设 CD＝x，BC＝AD＝y，证明△CDB∽△CBA，利用相似比得到 x：y＝y： (x+y)，然后求出 x、y 的关系可得到 sin∠BAC 的值． 【解析】(1)证明：连接 OD，如图， ∵DE 为切线，∴OD⊥DE， ∵DE⊥AE， ∴OD∥AE， ∴∠1＝∠ODA， ∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD 平分∠BAE； (2)解：连接 BD，如图， ∵AB 为直径，∴∠ADB＝90°， ∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3， ∵sin∠1 ，sin∠3 ， 而 DE＝DC，∴AD＝BC， 设 CD＝x，BC＝AD＝y， ∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2， ∴△CDB∽△CBA， ∴CD：CB＝CB：CA，即 x：y＝y：(x+y)， 整理得 x2 +xy+y2 ＝0，解得 x y 或 x y(舍去)， ∴sin∠3 ， 即 sin∠BAC 的值为 ． 18.已知：OC 平分∠MON，P 是 OC 上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON， 垂足分别为点 A、点 B． 求证：PA＝PB． 【答案】见解析。 【解析】证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB 19.已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D是 AC 上一点，DE⊥AB 于 E， 且 DE＝DC． (1)求证：BD 平分∠ABC； (2)若∠A＝36°，求∠DBC 的度数． 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC， ∴点 D 在∠ABC 的平分线上，∴BD 平分∠ABC． (2)∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°， ∵BD 平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝27°． 20.已知：如图，锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OB=OC. (1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)判断点 O是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由. 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB. ∵BD、CE 是两条高， ∴∠BDC=∠CEB=90°. 又∵BC=CB， ∴△BDC≌△CEB(AAS). ∴∠DCB=∠EBC. ∴AB=AC，即△ABC 是等腰三角形. (2)点 O 是在∠BAC 的角平分线上. 理由：连接 AO. ∵△BDC≌△CEB， ∴DC=EB,CE=BD. ∵OB=OC， ∴OD=OE. 又∵∠BDC=∠CEB=90°，AO=AO， ∴△ADO≌△AEO(HL). ∴∠DAO=∠EAO. ∴点 O 是在∠BAC 的角平分线上. 21.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB 于 E，BD⊥OA 于 D，AE 与 BD 相交于点 C．求证：AC＝BC． 【答案】见解析。 【解析】证明：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB， ∴CD＝CE， ∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴△ACD≌△BCE， ∴AC＝BC． 22.如图，已知点 D为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E 为 AD 延长线上的一点，且 CE=CA. (1)求证：DE 平分∠BDC； (2)若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证：ME=BD. 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：在等腰直角△ABC 中，∵∠CAD=∠CBD=15°， ∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°， ∴BD=AD， ∴△BDC≌△ADC， ∴∠DCA=∠DCB=45°. 由∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°， ∴∠BDE=∠EDC， ∴DE 平分∠BDC. (2)证明：连接 MC， ∵DC=DM，且∠MDC=60°， ∴△MDC 是等边三角形，即 CM=CD. 又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°， ∴∠EMC=∠ADC. 又∵CE=CA， ∴∠DAC=∠CEM=15°， ∴△ADC≌△EMC， ∴EM=AD=DB. 23. 如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，DA 平分∠CAB 交 BC 于 D，问能否在 AB 上确定一点 E，使 △BDE 的周长等于 AB 的长？若能，请作出点 E，并给出证明；若不能，请说明理由． 【答案】见解析。 【解析】由于点 D在∠CAB 的平分线上，若过点 D 作 DE⊥AB 于 E，则 DE＝DC．于是有 BD＋DE＝BD＋DC＝BC ＝AC，只要知道 AC 与 AE 的关系即可得出结论． 能在 AB 上确定一点 E，使△BDE 的周长等于 AB 的长。 过点 D 作 DE⊥AB 于 E，则△BDE 的周长等于 AB 的长．理由如下： ∵AD 平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE． 在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)． ∴AC＝AE． 又∵AC＝BC，∴AE＝BC． ∴△BDE 的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB． 24.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P是 OC 上一点，PDOA 交 OA 于点 D，PEOB 交 OB 于 点 E，F是 OC 上的另一点，连接 DF，EF．求证：DF=EF． 【答案】见解析。 【解析】证明：∵点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，PE⊥OB，PD⊥AO， ∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°. ∴∠DPF=90°-∠DOP，∠EPF=90°-∠EOP， ∴∠DPF=∠EPF． 在△DPF 和△EPF 中， , , , PD PE DPF EPF PF PF         ∴△DPF≌△EPF(SAS) ∴DF=EF． 25.如图，在四边形 ABDC 中，∠D=∠ABD=90°，点 O 为 BD 的中点，且 OA 平分∠BAC． 求证：(1)OC 平分∠ACD；(2)OAOC；(3)AB+CD=AC． 【答案】见解析。 【解析】证明： (1)如图，过点 O 作 OE⊥AC 于点 E. ∵∠ABD=90°，OA 平分∠BAC， ∴OB=OE. ∵O 为 BD 的中点， ∴OB=OD， ∴OE=OD，且 OE⊥AC,OD⊥CD, ∴OC 平分∠ACD. (2)在 Rt△ABO 和 Rt△AEO 中，  , , AO AO OB OE   ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)， ∴∠AOB=∠AOE. 同理得出∠COD=∠COE， ∴∠AOC=∠AOE+∠COE=12×180°=90°， ∴OA⊥OC. (3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO， ∴AB=AE. 同理可得 CD=CE. ∵AC=AE+CE， ∴AB+CD=AC． 26.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E． (1)求∠CBE 的度数； (2)过点 D作 DF∥BE，交 AC 的延长线于点 F，求∠F的度数． 【答案】见解析。 【解析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根 据角平分线定义即可求出∠CBE= ∠CBD=65°；先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再 根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°． (1)∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°． ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE= ∠CBD=65°； (2)∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°．