人教数学九上一元二次方程学案 4页

‎22.1一元二次方程 学习目标、重点、难点 ‎【学习目标】‎ 1、 了解什么是一元二次方程及其一般形式；‎ 2、 理解一元二次方程的定义.‎ ‎3、方程的解的定义 ‎【重点难点】‎ 1、 一元二次方程的概念及其一般形式；‎ 2、 方程的解 知识概览图 概念：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中a，b，c分别为二次项系数、一次项系数和常数项 解：使方程左右两边相等的未知数的值 一元二次方程 新课导引 某学校为了美化校园，准备在东西长‎50m、南北宽‎38m的矩形场地上铺设东西与南北方向两条宽度相等的矩形水泥路面，余下的部分作为花坛、绿地，且花坛、绿地的总面积为‎160m2‎.求所铺设路面的宽为多少.‎ ‎【解析】为了便于理解，我们可以利用平移的知识将小路假设平移至场地一边，如右图所示，设路面宽为x m，由矩形面积公式可得（50－x）（38－x）＝160，解这个方程即可.这个方程便是我们即将学习的一元二次方程.‎ 教材精华 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.‎ 例如：4x2＝19，x2＋3x＝0，3y2－5y＝7等都是一元二次方程.‎ 判定一个方程是一元二次方程需同时满足以下三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.只有同时满足以上三个条件的方程才是一元二次方程.‎ 知识点2 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）. 这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.‎ 拓展 （1）一元二次方程的一般形式的特点为方程的右边为0，方程的左边是关于x的二次整式.‎ ‎（2）a≠0是一元二次方程定义的一部分，不可丢掉. 否则，方程中没有了二次项，就不是一元二次方程了. b，c是否为零不限制.‎ ‎（3）一元二次方程的项及系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，写项或项的系 数时都包括它前面的符号. 比如4x－3x－2＝0的二次项、一次项、常数项分别为4，－3x，－2、二次项系数、一次项系数、常数项分别为4，－3，－2.‎ 知识点3 方程的解的定义 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 例如：x＝3，x＝2都是一元二次方程x2－5x＋6＝0的根.‎ 规律方法小结 判断未知数的值是否为所给一元二次方程的解的方法是将这个数代入原方程，判断方程左右两边的值是否相等.‎ 探究交流 ‎ ‎（1）判断方程x（x＋10）＝ x2－3是否是一元二次方程；‎ ‎（2）方程3x2＋2x＝1的常数项是1，方程3x2－2x＋6＝0的一次项系数是2，这种说法对吗？‎ 点拨 （1）判断一元二次方程一般应先化简，再判断，因为方程x(x＋10)＝x2－3化简后为10x＋3＝0，所以它是一元一次方程，不是一元二次方程.‎ ‎（2）要想正确确定方程的系数，首先要将一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，然后再确定a，b，c. 方程3x2＋2x＝1化为一般形式为3x2＋2x－1＝0，因此常数项为－1.方程3x2－2x＋6＝0的一次项是－2x，一次项系数是－2. 所以这种说法不对，注意：项及项的系数包括它们前面的性质符号.‎ 课堂检测 基本概念题 ‎1、下列关于x的方程中，哪些是一元二次方程？‎ ‎（1）x3-2x2＋5＝0 （2）x2＝1；‎ ‎（3）； （4）2x2－x(2x＋1)＝0；‎ ‎（5）x3－x＋x2＝x3－1； （6）ax2＋bx＋c＝0.‎ 基础知识应用题 ‎2、把方程（3x＋2）2＝4（x－3）2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.‎ 综合应用题 ‎3、若关于x的方程（k－3）x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，则k的值为 .‎ ‎4、判断下列关于x的方程是否是一元二次方程.‎ ‎（1）（a2＋1）x2＋3x－6＝0；‎ ‎（2）（a＋1）22x2＋3x－6＝0.‎ 探索创新题 ‎5、m取何值时，关于x的一元二次方程mx2＋m2x－1＝x2＋x没有一次项？‎ 体验中考 ‎1、已知整式x2－的值为6，则2x2－5x＋6的值为 A. 9 B. 12 C. 18 D.24‎ ‎2、近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米3600元，比2008年同期房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为 （ ）‎ A. （1＋x2）＝2000 B. 2000（1＋x）2＝3600‎ C.（3600－2000）（1＋x）＝3600 D.（3600－2000）（1＋x）2＝3600‎ 学后反思 ‎ 附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 ‎1、分析 本题考查的是一元二次方程的概念. 方程（3）不是整式方程，因此排除. 方程（1）中未知数的最高次数是3，也被排除. 化简后可知方程（4）是一元一次方程，故也排除. 方程（6）中a的取值范围未定，因此排除 解：（2）（5）是一元二次方程.‎ ‎【解题策略】判定一个方程是否为一元二次方程必须将其进行化简. ‎ ‎2、分析 本题考查的是一元二次方程的一般形式. 一元二次方程的一般形式是等号左边为关于未知数的降幂排列，右边为0.‎ 解：去括号得9x2＋12x＋4＝4x2－24x＋36，‎ ‎ 移项，合并同类项，得5x2＋36x－32＝0，‎ ‎ ∴这个一元二次方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是－32.‎ ‎3、分析 本题综合考查一元二次方程的概念、绝对值不等式的解法以及解不等式. 由题意可知 即所以k＝－3. 故填－3.‎ ‎【解题策略】一元二次方程强调两点：①x的最高指数是2；②指数为2的项的系数不为零.‎ ‎ 4、分析 判断是否是一元二次方程，关键是看含有字母的二次项系数是否为0.‎ 解：（1）∵a2＋1≠0，‎ ‎∴方程（a2＋1）x2＋3x－6＝0是一元二次方程.‎ ‎（2）当a＋1≠0，即a≠－1时，原方程为一元二次方程；‎ 当a＋1＝0，即a＝－1时，原方程为一元一次方程.‎ 规律·方法 当一元二次方程的二次项系数是字母时，我们经常要讨论二次项系数是否为0.‎ ‎5、分析 本题主要考查的是通过某些字母的取值探索一元二次方程成立的条件.‎ 解：将方程化为一般形式为（m－1）x2＋(m2－1)x－1＝0.‎ 根据题意得解得m＝－1，‎ ‎∴当m＝－1时，原方程没有一次项 规律·方法 研究一元二次方程各项系数时，应先将该方程化为一般形式，另外，必须保证二次项系数不为0.‎ 体验中考 ‎1、分析 由条件知x2－＝6，这是关于x的一元二次方程. 但是本题不是求x的值，而是求2x2－5x＋6的值，所以只需对 x2－＝6进行变形即可，x2－＝6，2x2－5x＝12. 所以2x2－5x＋6＝12＋6＝18。 故选C.‎ ‎2、分析 本题考查平均增长率的定义以及根据题意列一元二次方程. 两年前平均每平方米房子的价格为3600－2000＝1600（元），经过两次增长后为1600（1＋x）2达到3600元. 故选D.‎