北师大版九年级上册期末备考之考点突破：特殊平行四边形、相似、反比例函数（四） 8页

北师大版九年级上期末备考之考点突破： 特殊平行四边形、相似、反比例函数（四） 一．特殊平行四边形 1．如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，过点 A 作 AE⊥BC 于 E，延长 BC 到 F，使 CF＝BE，连接 DF 和 OF． （1）求证：四边形 AEFD 是矩形． （2）若 AD＝5，CE＝3，∠ABF＝60°，求 OF 的长． 2．如图，已知 O为坐标原点，四边形 OABC 为长方形，OA＝10，OC＝4，点 D是 OA 的中点， 点 P 在线段 BC 上运动． （1）写出点 A，B，C 的坐标； （2）当△ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，求点 P的坐标． 3．解答下列各题． （1）如图 1，点 P 是∠AOB 的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是 M、N，D 是 OP 的中点．求证：∠MDN＝2∠MON． （2）如图 2，若 P 是∠AOB 的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是 M、N，D 是 OP 的中点，问∠MDN 与∠MON 有何数量关系，并说明理由． 4．在△ABC 中，AB＝AC，点 D、O 分别是 BC、AC 边的中点，连接 AD，过点 A 作 AE∥BC，交 射线 DO 于点 E，连接 CE． （1）如图 1，求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）如图 2，点 F 在线段 CE 上，连接 AF、DF，在不添加任何字母和辅助线的情况下， 请直接写出四个与四边形 ABDF 面积相等的三角形或四边形． 5．已知：△ABC 中，AB＝BC，过 A点作 BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点 D，连接 CD． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）连接 AC 与 BD 交于点 O，过点 D 作 DE⊥BC 的延长线于点 E，连接 OE，若∠ABC＝60°， BC＝6，求 OE 的长． 二．相似综合 1．如图，已知正方形 ABCD，E 是 AB 的中点，F是 AD 上的一点，EG⊥CF 于 G 且 AF＝ AD． （1）求证：CE 平分∠BCF． （2）求证： AB2 ＝CG•FG． 2．四边形 ABCD 是正方形，点 E在边 CD 上（不与端点 B，C 重合），点 F 在对角线 AC 上， 且 EF⊥AC，连接 AE （1）如图 1，若 AB＝2，当 AE 平分∠DAC 时，求 EC 的长； （2）如图 2，点 G是 AE 的中点，连接 DG，FB，求证：FB＝ DG． 3．如图，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，动点 P从点 A 出发沿 AB 边由 A向 B以 1厘米/秒的 速度匀速移动（点 P 不与点 A、B重合），动点 Q 从点 B出发沿折线 BC﹣CD 以 2 厘米/秒 的速度匀速移动，点 P、Q 同时出发，当点 P 停止运动，点 Q 也随之停止．连接 AQ，交 BD 于点 E．设点 P 运动时间为 x 秒． （1）当点 Q 在线段 BC 上运动时，点 P 出发多少时间后，∠BEP 和∠BEQ 相等； （2）当点 Q 在线段 BC 上运动时，求证：△BQE 的面积是△APE 的面积的 2倍； （3）设△APE 的面积为 y，试求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域． 4．如图，P 为正方形 ABCD 边 BC 上任一点，BG⊥AP 于点 G，在 AP 的延长线上取点 E，使 AG ＝GE，连接 BE，CE． （1）求证：BE＝BC； （2）∠CBE 的平分线交 AE 于 N 点，连接 DN，求证： ； （3）若正方形的边长为 2，当 P点为 BC 的中点时，请直接写出 CE 的长为 ． 5．如图，BM、DN 分别平分正方形 ABCD 的两个外角，且∠MAN＝45°，连接 MN． （1）猜想以线段 BM、DN、MN 为三边组成的三角形的形状，并证明你的结论； （2）若△AMN 为等腰直角三角形，探究线段 BM、DN 之间的数量关系； （3）当 MN∥AD 时，直接写出 的值． 三．反比例函数综合 1．如图在平面直角坐标系中，O 为原点，A、B 两点分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，△AOB 的一条内角平分线、一条外角平分线交于点 P，P 在反比例函数 y＝ 的图象上． （1）求点 P 的坐标； （2）若 OA＝OB，则： ①∠P的度数为 ； ②求出此时直线 AB 的函数关系式； （3）如果直线 AB 的关系式为 y＝kx+n，且 0＜n＜2，作反比例函数 y＝﹣ ，过点（0， 1）作 x 轴的平行线与 y＝ 的图象交于点 M，与 y＝﹣ 的图象交于点 N，过点 N 作 y 轴 的平行线与 y＝kx+n 的图象交于点 Q，是否存在 k 的值，使得 MN+QN 的和始终是一个定值 d，若存在，求出 k的值及定值 d；若不存在，请说明理由． 2．如图①，已知点 A（﹣1，0），B（0，﹣2），▱ABCD 的边 AD 与 y轴交于点 E，且 E 为 AD 的中点，双曲线 y＝ 经过 C、D两点． （1）求 k的值； （2）点 P在双曲线 y＝ 上，点 Q 在 y 轴上，若以点 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行 四边形，直接写出满足要求的所有点 Q 的坐标； （3）以线段 AB 为对角线作正方形 AFBH（如图③），点 T 是边 AF 上一动点，M 是 HT 的 中点，MN⊥HT，交 AB 于 N，当点 T 在 AF 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求 出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 3．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 与直线 y＝ax+b（a≠0）交于 A、 B 两点，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 C、D 两点，E 为 x 轴上一点．已知 OA＝OC＝OE，A 点坐标为（3，4）． （1）将线段 OE 沿 x 轴平移得线段 O′E′（如图 1），在移动过程中，是否存在某个位 置使|BO′﹣AE′|的值最大？若存在，求出|BO′﹣AE′|的最大值及此时点 O′的坐标； 若不存在，请说明理由； （2）将直线 OA 沿射线 OE 平移，平移过程中交 的图象于点 M（M 不与 A 重 合），交 x 轴于点 N（如图 3）．在平移过程中，是否存在某个位置使△MNE 为以 MN 为腰 的等腰三角形？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点 C，点 A（ ，1）在反比例函数 y ＝ 的图象上． （1）求反比例函数 y＝ 的表达式； （2）求△AOB 的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点 P，使得以 O、B、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形若 存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，简述你的理由． 5．如图，过原点的直线 l 与双曲线 y＝ 相交于 A（2，2）、B 两点，点 C、D 在第三象限 双曲线的图象上（点 C在点 D 上方），连接 AC 交 x 轴于点 E，连接 AD 交 y轴于点 F．设 点 C 的横坐标为 m． （1）用含 m 的代数式表示点 E 的坐标； （2）求证：∠ACB＝2∠AEO； （3）若∠CBD＝135°，△AEF 的面积为 10，求直线 AC 的表达式．